SKKN TOÁN Sử dụng tính chất của số chính phương trong giải toán

Sử dụng tính chất của số chính phương trong giải toán. Sử dụng tính chất của số chính phương trong giải toán. Sử dụng tính chất của số chính phương trong giải toán. Sử dụng tính chất của số chính phương trong giải toán. Sử dụng tính chất của số chính phương trong giải toán. Sử dụng tính chất của số chính phương trong giải toán.

UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẢN MƠ TẢ SÁNG KIẾN SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG TRONG GIẢI TỐN BỘ MƠN: TỐN Năm học 2020 – 2021 MỤC LỤC Trang Thông tin chung sáng kiến Tóm tắt sáng kiến Mơ tả sáng kiến Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến Cơ sở lý thuyết vấn đề Thực trạng vấn đề Các giải pháp, biện pháp thực 4.1 Biện pháp thực 4.2 Nội dung sáng kiến Kết đạt 18 Điều kiện để sáng kiến nhân rộng 20 Kết luận khuyến nghị 21 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Sử dụng tính chất số phương giải tốn Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dạy ơn học sinh giỏi mơn Tốn khối lớp 6, 7, 8, ôn thi vào lớp 10 THPT Tác giả: Họ tên: Ngày tháng/năm sinh: Nam Trình độ chun mơn: Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Điện thoại: Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: – Học sinh khối nắm kiến thức chương trình THCS – Thày giáo giảng dạy mơn Tốn trường THCS Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2017 – 2018 TÁC GIẢ XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN TÓM TẮT SÁNG KIẾN Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến Trong năm qua, đề thi khảo sát chất lượng, đề thi học sinh giỏi mơn Tốn 6, 7, 8, đặc biệt tuyển sinh vào THPT không chuyên trường chuyên thường phong phú dạng tốn Có bản, khơng nâng cao, cách giải tương đối phức tạp Mỗi dạng toán lại ẩn chứa kiến thức mà học sinh khơng cẩn thận dễ dàng bị thiếu sót Qua nhiều năm dạy ơn thi, nhận thấy để điểm cao kì thi khảo sát hay quan trọng kì thi vào lớp 10 THPT ngồi việc nắm kiến thức, dạng tốn việc xác định mối quan hệ tập với quan trọng, giúp cho có hướng giải tốn cách nhanh chóng, khác khơng bị nhầm lẫn Chính điều thúc viết sáng kiến Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến Sáng kiến áp dụng việc dạy lớp, ôn thi cho kì thi khảo sát chất lượng thi vào lớp 10 THPT chuyên, không chuyên Đối tượng sử dụng thày cô giáo dạy ôn thi học sinh giỏi lớp 6, 7, 8, ôn thi vào THPT em học sinh Nội dung sáng kiến Trong năm gần đây, đề thi khảo sát chất lượng, đề thi học sinh giỏi khối lớp đề thi vào lớp 10 THPT ngồi câu hỏi thơng thường cịn có câu hỏi, tập khó mà bắt nguồn từ toán sách giáo khoa, sách tập phát triển lên Do em nắm vững dạng tốn bản, nắm tính chất quen thuộc với hướng phát triển tốn em không bị bỡ ngỡ gặp tốn Hơn nữa, tốn lại trở nên quen thuộc em học sinh Nội dung chuyên đề hướng dẫn em cách sử dụng tính chất số phương để giải tốn Từ giúp em tìm hướng giải toán tránh sai lầm việc giải toán Khi chưa hướng dẫn, đúc rút kinh nghiệm cách sử dụng tính chất số phương giải tốn Tơi thấy nhiều em học sinh lúng túng việc xác định hướng giải toán mắc sai lầm, dẫn đến bị điểm Sau thực việc áp dụng tính chất số phương giải số tốn, tơi thấy em nắm nội dung kiến thức, biết phát áp dụng thành thạo vào việc xác định hướng giải tập Nhất tốn địi hỏi có tư sâu hơn, không làm theo cách thông thường Điều khẳng định lợi ích thiết thực sáng kiến Sáng kiến không viết dạng toán cụ thể mà số ví dụ việc áp dụng tính chất số phương giải số tốn mức độ cao hơn, khó sở lí thuyết Từ giúp em dễ dàng phát hướng làm, đưa toán đề thi thành toán bản, quen thuộc Một điều quan trọng tất kì thi Kết đạt sáng kiến Trước sau áp dụng sáng kiến, tơi có khảo sát để so sánh, đối chứng để kiểm định kết Qua khảo sát, thấy làm em tốt nhiều so với trước áp dụng sáng kiến Điều khẳng định giá trị sáng kiến Đề xuất kiến nghị để thực áp dụng mở rộng sáng kiến Để thực tốt sáng kiến này, giáo viên cần phải cho học sinh ôn lại kiến thức số phương chương trình THCS Sau hệ thống lại thành dạng tốn cho ơn thi học sinh giỏi ôn thi vào lớp 10 THPT Giáo viên cần cho em làm tập áp dụng, phát kiến thức từ đơn giản đến phức tạp nhằm hình thành khả thói quen tư cho em Dần dần em có hướng tư tích cực xác Chúng ta biết, tính chất số phương nội dung khó mơn Tốn Do địi hỏi học sinh phải có tư duy, hiểu chất tập Chính em cần phải tập trung để nắm vững kiến thức Từ hình thành lên hướng giải tập Để sáng kiến áp dụng tốt giáo viên cần có phương tiện cơng nghệ thơng tin để hỗ trợ máy tính, máy chiếu đa năng… MƠ TẢ SÁNG KIẾN Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến 1.1 Nội dung kiến thức Trong đề thi khảo sát chất lượng, đề thi học sinh giỏi đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Các tốn có nội dung nâng cao thường xuất phát từ toán bản, quen thuộc em học sinh Do em biết tư hướng, biết cách phát toán bắt nguồn từ tốn bản, quen thuộc việc giải tốn đề thi điều khơng q khó khăn em, Để giải tốt toán này, ta phải nắm lí thuyết, nắm dạng tốn việc phân tích đề để tìm hướng làm, xác định xác điều kiện… Các em học sinh cần hiểu, nắm lí thuyết, nắm dạng tốn Sau sử dụng kiến thức công cụ để hỗ trợ việc phát hướng giải toán khác Điều quan trọng kiểm tra, thi cử Đặc biệt việc ôn thi học sinh giỏi thi vào THPT chuyên, không chuyên 1.2 Giáo viên Khi giảng dạy lớp, giáo viên cần hệ thống bổ sung cho em kiến thức trình học tập, ôn thi khảo sát thi vào lớp 10 THPT để em chủ động nắm bắt kiến thức Từ hình thành kiến thức em Trong việc ôn cho em thi học sinh giỏi hay thi vào THPT, giáo viên cần hình thành cho em thói quen xác định dạng toán để xác định hướng giải toán Đồng thời cần hình thành cho em thói quen phân tích tốn, xác định điều kiện chuẩn chưa, hướng làm toán xác chưa? Những tốn có câu hỏi đặc biệt làm nào… 1.3 Học sinh Thực tế cho thấy, qua kì thi khảo sát, đề thi học sinh giỏi thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Rất nhiều em giải nhiều toán đề thi dựa sở toán, dạng toán quen thuộc Điều em ôn tập kĩ hướng dẫn thầy cô giáo Khi hiểu vận dụng tính chất số phương vào giải tốn Các em dễ dàng tìm đường giải tốn số phương mà em cần phải thực đề thi Tôi thấy em học sinh thực tốt việc vận dụng kiến thức vào việc phát hướng giải toán, từ dễ đến khó Qua ta thấy tầm quan trọng việc nắm vững tính chất cách vận dụng tính chất số phương giải toán Cơ sở lý luận vấn đề Như nói trên, việc xác định dạng toán, biết toán đề thi thực chất toán mà em biết cách làm định hướng làm toán Các em xác định dạng tốn việc phát hướng giải toán thuận lợi nhiều Việc xác định xác điều kiện ẩn giấu đề kết hợp với việc nắm vững lí thuyết dạng tốn giúp cho em khơng bị điểm thi cử Đó mục tiêu chuyên đề Thực trạng vấn đề 3.1 Nội dung chương trình Trong trình học tập ơn thi cho kì thi khảo sát, thi học sinh giỏi thi tuyển sinh vào THPT chun, khơng chun Thực tế có nhiều đề thi năm gần có tập số phương mà em để ý thấy tốn phát triển từ tốn mà em ôn Để giải tập này, việc nắm kiến thức em học sinh phải có chăm có lực tư định phải có tính cẩn thận trình bày thi Việc phát tập đề thi tốn quen thuộc mà em học góp phần khơng nhỏ việc tư duy, phân tích em Từ giúp em có hướng giải tốn đơn giản Và quan trọng giúp em không bị điểm thi – điều cần thiết học sinh 3.2 Phương tiện dạy học, phương pháp dạy học tổ chức lớp giáo viên Ngoài phương tiện truyền thống phấn, thước, bảng viết Máy tính, máy chiếu, góp phần hỗ trợ việc thực chuyên đề Giáo viên sử dụng phương pháp khái quát hóa để hình thành kiến thức Sau dùng phương pháp phân tích, dùng kiến thức có để phát kiến thức, tổng hợp thành kiến thức cần thiết cho việc giải toán Giáo viên tổ chức lớp hình thức hoạt động cá nhân đơn giản, hoạt động tập thể, nhóm nội dung kiến thức khó Các giải pháp, biện pháp thực Trong trình thực chuyên đề vận dụng tính chất số phương giải tốn Tơi thực lớp 6, 7, 8, Dưới lí thuyết số tốn: 4.1 Tính chất số phương 4.1.1 Định nghĩa: Số phương số bình phương số nguyên 4.1.2 Tính chất: + Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9; khơng thể có chữ tận 2, 3, 7, + Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn + Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + (n � N) + Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + (n � N) + Số phương tận 1, chữ số hàng chục chữ số chẵn + Số phương tận chữ số hàng chục + Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ + Số phương chia hết cho chia hết cho + Số phương chia hết cho chia hết cho + Số phương chia hết cho chia hết cho 25 + Số phương chia hết cho chia hết cho 16 4.2 Một số tốn số phương Bài Chứng minh số nguyên x, y thì: A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y số phương (Trích đề thi HSG lớp huyện Thủy Nguyên – Hải Phòng năm học 2012 – 2013) Hướng làm Để chứng minh A số phương, ta cần chứng minh A viết dạng bình phương số nguyên Bài giải Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y = ( x  xy  y )( x  xy  y )  y Đặt x  xy  y  t (t �Z ) A = ( t  y )(t  y )  y  t  y  y  t  ( x  xy  y ) Vì x, y, z � Z nên x �Z , xy �Z , y �Z � x  xy  y �Z Vậy A số phương Bài Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương (Trích đề thi HSG lớp huyện Quỳnh Lưu – Nghệ An năm học 2012 – 2013) Hướng làm Ta cần chứng minh giá trị biểu thức cho viết dạng bình phương số nguyên Bài giải Gọi số tự nhiên liên tiếp n, n + 1, n + 2, n + (n � N) Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n (n + 3)(n + 1)(n + 2) + = ( n +3n)(n + 3n + 2) +1 (*) Đặt n +3n = t (t �N ) (*) = t(t + 2) + = t2 + 2t + = (t + 1)2 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n � N nên n2 + 3n + � N � n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + số phương Bài Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) với k � N Chứng minh 4S + số phương (Trích đề thi HSG lớp huyện Diễn Châu – Nghệ An năm học 2013 – 2014) Hướng làm Ta cần chứng minh giá trị 4S + viết dạng bình phương số nguyên Với k �N, ta có: k(k + 1)(k + 2) = Bài giải k (k + 1)(k + 2) 4 (k + 3) - (k -1) � k(k + 1)(k + 2) � � � 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) – k(k + 1)(k + 2)(k – 1) 4 = � 4S = 1.2.3.4 – 0.1.2.3 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) – k(k + 1)(k + 2)(k – 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) � 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + = (k2 + 3k)(k2 + 3k + 2) + � 4S + = [(k2 + 3k + 1) – 1].[(k2 + 3k + 1) + 1] + � 4S + = (k2 + 3k + 1)2 – + � 4S + = (k2 + 3k + 1)2 Vì k � N � k2 + 3k + � N � (k2 + 3k + 1)2 số phương � 4S + số phương Bài tập tương tự Chứng minh số sau số phương A  111 1  444 1 1) 2n ch�s�1 n ch�s�4 2) M  444  222 2  888 123 7 3) B  111 1  111 1  666 123 8 4) D  224 999 91000 09 123 123 5) E  111 1555 123 2n ch�s�4 2n ch�s�1 n+1ch�s�2 n+1ch�s�1 n-2 ch�s�9 n ch�s�8 n ch�s�6 n ch�s�0 n ch�s�1 n -1ch�s�5 Bài Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương (Trích đề thi HSG lớp huyện Thanh Chương – Nghệ An năm học 2016 – 2017) Hướng làm Ta sử dụng tính chất chữ số tận kết hợp với tính chia hết số phương, số cho chia hết cho số nguyên tố mà khơng chia hết cho bình phương số ngun tố số cho khơng số phương Bài giải Gọi số tự nhiên liên tiếp n – 2, n – 1, n +1, n + ( n � N, n >2) Đặt A = (n – 2)2 + ( n – 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 � A = n2 – 4n + + n2 – 2n + + n2 + n2 + 2n + + n2 + 4n + � A = 5n2 + 10 � A = (n2 + 2) Vì n2 khơng thể tận n2 + khơng thể chia hết cho � A chia hết cho mà A không chia hết cho 25 � A không số phương Bài Chứng minh số có dạng n – n4 + 2n3 + 2n2 n � N n > số phương (Trích đề thi HSG lớp huyện Nghi Xuân – Hà Tĩnh năm học 2015 – 2016) Hướng làm Ta sử dụng nguyên lí kẹp: Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương để chứng minh số cho số phương Bài giải Đặt A = n – n + 2n + 2n , ta có: A = n2.(n4 – n2 + 2n +2) = n2 [n2(n–1)(n+1) +2(n+1)] A = n2[(n+1)(n3 – n2 + 2)] = n2(n + 1).[(n3 + 1) – (n2 – 1)] A = n2(n + 1)2.(n2 – 2n + 2) Với n �N, n > ta có: n2 – 2n + = ( n –1)2 + > ( n – 1)2 (1) Ta lại có n2 – 2n + = n2 – 2(n – 1) < n2 (2) Từ (1) (2) � (n – 1)2 < n2 – 2n + < n2 � n2 – 2n + khơng phải số phương Mà n2(n + 1)2 số phương nên A = n 2(n + 1)2.(n2 – 2n + 2) khơng số phương Bài Chứng minh tổng bình phương số nguyên lẻ khơng phải số phương (Trích đề thi HSG lớp huyện Can Lộc – Hà Tĩnh năm học 2016 – 2017) Hướng làm Ta sử dụng tính chất số chia hết cho số nguyên tố mà khơng chia hết cho bình phương số ngun tố số cho khơng số phương Bài giải Vì a b lẻ nên a = 2k + 1, b = 2m + (Với k, m � Z) � a2 + b2 = (2k + 1)2 + (2m + 1)2 � a2 + b2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + � a2 + b2 = 4(k2 + k + m2 + m) + Do 4(k2 + k + m2 + m) chia hết cho 4; không chia hết cho � a2 + b2 = 4(k2 + k + m2 + m) + không chia hết cho Mà a2 + b2 = 4(k2 + k + m2 + m) + chia hết cho � a2 + b2 = 4(k2 + k + m2 + m) + khơng số phương Vậy tổng bình phương số nguyên lẻ khơng phải số phương Bài Chứng minh p tích n (với n > 1) số nguyên tố p – p + số phương (Trích đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên Hà Tĩnh năm học 2019 – 2020) Hướng làm Ta sử dụng tính chất chẵn lẻ số phương, dạng tổng quát số phương kết hợp với phương pháp chứng minh phản chứng Bài giải Vì p tích n số nguyên tố nên p M2 p không chia hết cho (1) *) Chứng minh p + khơng phải số phương: Giả sử p + số phương Đặt p + = m2 (Với m � N) Vì p chẵn nên p + lẻ � m2 lẻ � m lẻ Đặt m = 2k + (k � N), ta có: m2 = 4k2 + 4k + � p + = 4k2 + 4k + � p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) M4 mâu thuẫn với (1) � điều giả sử sai � p + số phương *) Chứng minh p – khơng phải số phương: Do n > nên p = 2.3.5 số chia hết cho � p – = 3k + (với k � N) � p – không số phương (Do số phương khơng có dạng 3k + với k � N) Vậy p tích n (n >1) số nguyên tố p – p + khơng số phương Bài Giả sử N = 1.3.5.7 2009 2011 Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N – 1, 2N 2N + khơng có số số phương (Trích đề thi tuyển sinh vào THPT chun Thái Bình năm học 2018 – 2019) Hướng làm Ta sử dụng tính chất chẵn lẻ số phương, dạng tổng quát số phương kết hợp với tính chất số chia hết cho số nguyên tố mà không chia hết cho bình phương số ngun tố số cho khơng phải số phương Bài giải +) Ta có 2N – = 2.1.3.5.7 2011 – Vì 2N M3 � 2N – = 3k + (k � N) � 2N – khơng số phương +) Ta có 2N = 2.1.3.5.7 2011 � 2N số chẵn Vì N = 1.3.5 2009.2011lẻ � N không chia hết cho 2N M2 � 2N không chia hết cho � 2N không số phương +) Ta có 2N + = 2.1.3.5.7 2011 + � 2N + lẻ nên 2N + không chia hết cho Mà 2N không chia hết 2N + chia cho không dư � 2N + khơng số phương b  000 Bài Cho a  111 2010ch�s�1 2009 ch�s�0 Chứng minh ab  số tự nhiên (Trích đề thi HSG lớp huyện Vũ Thư – Thái Bình năm học 2018 – 2019) Hướng làm Ta cần chứng minh ab + số phương Bài giải = 1000 00 14 43   = 999  = 111 1  = 9a + Ta có b  000 2009 ch�s�0 2010 ch�s�0 2010 ch�s�9  ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 2010ch�s�1 ab +1 = (3a +1) = 3a +1 �N Bài 10: Tìm số tự nhiên n cho số n2 + 2n + 12 số phương (Trích đề thi HSG Tốn huyện Đơng Hưng–Thái Bình năm học 2017– 2018)  Hướng làm Ta sử dụng định nghĩa số phương, tính chất số phương chia hết cho số nguyên tố phải chia hết cho bình phương số ngun tố Bài giải Vì n + 2n + 12 số phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k � N) � (n2 + 2n + 1) + 11 = k2  k2 – (n + 1)2 = 11  (k + n + 1)(k – n – 1) = 11 Nhận xét thấy k + n + > k – n – chúng số nguyên dương, k + n +1 = 11 � 2k = 12 k=6 � � �� �� nên ta có � k - n -1 = n = k -2 n=4 � � � Vậy n = thỏa mãn đề Bài tương tự Tìm a để số sau số phương 1) a2 + a + 43 2) a2 + 81 3) a2 + 31a + 1984 4) a(a + 3) 5) 13a + 6) n2 + n + 1589 Bài 11 Tìm số tự nhiên n 1 cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! số phương (Trích đề thi HSG Tốn huyện Vụ Bản – Nam Định năm học 2017 – 2018) Hướng làm Ta sử dụng định nghĩa số phương, tính chất chữ số tận số phương Bài giải Với n = 1! = = số phương Với n = 1! + 2! = khơng số phương Với n = 1! + 2! + 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 33 số phương Với n  ta có +) 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 +) 5!; 6!; …; n! tận � 1! + 2! + 3! + … n! có tận chữ số nên khơng phải số phương Vậy n = 1; n = thoả mãn đề Bài 12 Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 số phương (Trích đề thi HSG Tốn huyện Xuân Thủy–Nam Định năm học 2015– 2016) Hướng làm Ta sử dụng định nghĩa số phương, tính chất số phương chia hết cho số nguyên tố phải chia hết cho bình phương số nguyên tố Bài giải Giả sử 2010 + n số phương 2010 + n2 = m2 (m � N) � m2 – n2 = 2010  (m + n) (m – n) = 2010 Như số m + n m – n phải có số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m  số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2)  m + n m – n số chẵn  (m + n) (m – n)  2010 không chia hết cho  Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương Bài 13 Biết x � N x > Tìm x cho x(x -1).x(x -1) = (x - 2)xx(x -1) (Trích đề thi tuyển sinh THPT chuyên Nam Định năm học 2014 – 2015) Hướng làm  Ta thấy x(x -1).x(x -1) = x(x -1)  nên (x - 2)xx(x -1) số phương Dùng chữ số tận số phương ta tìm x Bài giải  Ta có x(x -1).x(x -1) = (x - 2)xx(x -1) � x(x -1)   (x - 2)xx(x -1) Do vế trái số phương nên vế phải số phương Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1) Do x chữ số nên x  9, kết hợp với đề ta có x N < x  (2) Từ (1) (2)  x nhận giá trị 5; 6; Bằng phép thử ta thấy có x = thoả mãn đề bài, 762 = 5776 Vậy x = Bài 14 Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n + 3n + số phương (Trích đề thi HSG tốn huyện Quế Võ – Bắc Ninh năm học 2014–2015) Hướng làm Dùng phương pháp chặn kết hợp với chữ số tận số phương định nghĩa số phương ta tìm n Bài giải Ta có 10  n  99 nên 21  2n +  199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 2n + � {25; 49; 81; 121; 169} � n � {12; 24; 40; 60; 84} � 3n + � {37; 73; 121; 181; 253} Mà 3n + số phương nên 3n + = 121 � n = 40 Vậy n = 40 Bài 15: Chứng minh n số tự nhiên cho n + 2n + số phương n bội số 24 (Trích đề thi tuyển sinh THPT chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An năm học 2015 – 2016) Hướng làm Dùng phương pháp chẵn lẻ kết hợp tính chất đồng dư số phương ta chứng minh n M24 Bài giải Vì n + 2n + số phương nên đặt n + = k2, 2n + = m2 (với k, m � N) Ta có m số lẻ  m = 2a +  m2 = 4a(a + 1) + (với a � N) m -1 4a(a +1) Mà n = = = 2a(a +1) 2  n chẵn  n + lẻ  k lẻ  đặt k = 2b + (với b  N )  k2 = 4b(b+1) +  n = 4b(b+1)  n  (1) 2  Ta có: k + m = 3n + 2 (mod3) Mặt khác k2 chia cho dư 1, m2 chia cho dư Nên để k2 + m2  (mod3) k2  (mod3) m2  (mod3)  m2 – k2  hay (2n + 1) – (n + 1)   n  (2) Mà (8; 3) = (3) Từ (1), (2), (3)  n  24 Bài 16 Tìm tất số tự nhiên n cho số + 211 + 2n số phương (Trích đề thi tuyển sinh THPT chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam năm học 2015 – 2016) Hướng làm Dùng tính chất số phương viết dạng lũy thừa bậc chẵn số nguyên tố, ta tìm n Bài giải 11 n Do + + số phương nên 28 + 211 + 2n = a2 (a  N) � 2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48) � 2p 2q = (a + 48) (a – 48) với p, q  N ; p + q = n p > q 10 � a + 48 = 2p � � �  2p 2q = 96  2q (2p–q – 1) = 25.3 q a  48  �  q = p – q =  p =  n = + = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 212 = 802 Vậy n = 12 thỏa mãn đề Bài 17 Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị ta số phương B Hãy tìm số A B (Trích đề thi tuyển sinh THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam năm học 2013 – 2014) Hướng làm Dùng định nghĩa số phương kết hợp với phương trình nghiệm ngun dạng tích, ta tìm số A B Bài giải Do A B số phương có chữ số nên Đặt A = abcd k Nếu thêm vào chữ số A đơn vị ta có số B = (a  1)(b  1)(c  1)( d  1) m với k, m  N 32 < k < m < 100; a, b, c, d chữ số a � Ta có B = (a  1)(b  1)(c  1)(d  1) m � abcd  1111 m  B – A = m2 – k2 = 1111 � (m – k)(m + k) = 1111 (*) Nhận xét thấy (m – k)(m + k) > nên m – k m + k số nguyên dương Ta lại có m – k < m + k < 200 nên (*) � (m – k) (m + k) = 11.101 m  k  11 m  56 A  2025 � � � � � � � � � m  k  101 k  45 B  3136 � � � Vậy A = 2025 B = 3136 Bài 18 Tìm tất số nguyên tố p để tổng tất ước tự nhiên p4 số phương (Trích đề thi tuyển sinh THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam năm học 2011 – 2012) Hướng làm Dùng định nghĩa số phương kết hợp tính chất hai số phương liên tiếp khơng có số phương nào, ta tìm số ngun tố p thỏa mãn yêu cầu đề Bài giải 11 Do p số nguyên tố nên tất ước p là: 1; p; p2; p3; p4 Theo ta có + p + p2 + p3 + p4 số phương � + p + p + p3 + p4 = m � + 4p + 4p2 + 4p3 + 4p4 = 4m2 với m � N +) Ta có 4m2 – (2p2 + p)2 = + 4p + 4p2 + 4p3 + 4p4 – 4p4 – 4p3 – p2 = 3p2 + 4p + > (do p số nguyên tố) (1) +) Ta có (2p2 + p + 2)2 – 4m2 = 4p4 + p2 + + 4p3 + 8p2 + 4p – – 4p – 4p2 – 4p3 – 4p4 = 5p2 > (do p số nguyên tố) (2) 2 2 Từ (1) (2) � (2p + p) < 4m < (2p + p + 2) � 4m2 = (2p2 + p + 1)2 � + 4p + 4p2 + 4p3 + 4p4 = 4p4 + p2 + + 4p3 + 4p2 + 2p � p2 – 2p – = � (p – 3)(p + 1) = � p = p = – Mà p số nguyên tố nên p =3 Vậy p = Bài 19 Tìm số nguyên dương n cho A = (n + 3)(4n + 14n + 7) số phương (Trích đề thi chọn HSG Tốn tỉnh Thái Bình năm học 2015 – 2016) Hướng làm Dùng tính chất số phương phân tích thành tích số ngun tố số ngun tố số phương kết hợp tính chất hai số phương liên tiếp khơng có số phương nào, ta tìm số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu đề Bài giải Ta có 4n + 14n + = (n + 3)(4n + 2) + với n � N* � n + 4n2 + 14n + hai số nguyên tố Nên A = (n + 3)(4n2 + 14n + 7) số phương � n + 4n2 + 14n + số phương Ta có 4n2 + 14n + – (2n + 3)2 = 4n2 + 14n + – 4n2 – 12n – = 2n – �0 (do n � N*) � 4n2 + 14n + �(2n + 3)2 (1) Ta lại có 4n2 + 14n + – (2n + 4)2 = 4n2 + 14n + – 4n2 – 16n – 16 = – 2n – < (do n � N*) � 4n2 + 14n + < (2n + 4)2 (2) 2 Từ (1) (2) � (2n + 3) �4n + 14n + < (2n + 4)2 12 Mà 4n2 + 14n + số phương nên 4n2 + 14n + = (2n + 3)2 � 2n – = � n = Thử lại, với n = ta A = (1 + 3)(4 + 14 + 7) = 100 = 10 số phương Vậy n = thỏa mãn đề Bài 20 Cho A = + + 22 + 23 + … + 233 Hỏi A có số phương hay khơng? Vì sao? (Trích đề thi HSG Tốn huyện Vũ Thư - Thái Bình năm học 2015 – 2016) Hướng làm Dùng tính chất chữ số tận số phương Bài giải Ta có A = + + (2 + + + 25) + … + (230 + 231 + 232 + 233) � A = + 22(1 + + 22 + 23) + … + 230(1 + + 22 + 23) � A = + 4.15 + … +230.15 � A = + 2.30 + … + 229.30 � A có chữ số tận Mà số phương khơng có chữ số tận � A khơng số phương Vậy A khơng số phương Bài tập tương tự Bài Tìm số phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị Bài Tìm tất số nguyên n để A = n + 2n3 + 2n2 + n + số phương Bài Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống Bài Tìm số có chữ số vừa số phương vừa lập phương Bài Tìm số phương gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, bậc hai số có tổng chữ số số phương Bài Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phương số viết số bở hai chữ số số theo thứ tự ngược lại số phương Bài Cho số phương có chữ số Nếu thêm vào chữ số ta số phương Tìm số phương ban đầu Bài Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số 13 Bài Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương số có chữ số giống Bài 10 Cho số nguyên dương thỏa mãn x2 + y2 = z2 Chứng minh x.y.z chia hết cho 60 Kết đạt Trong giảng dạy học sinh khối 6, 7, linh hoạt hướng dẫn học sinh thực với số toán SGK, SBT, tập mạng internet tiết luyện tập, ôn tập chương, ôn tập học kì, kết học sinh tư linh hoạt với tốn đưa ra, biết tìm mối quan hệ toán với Học sinh sau làm xong tập thường tập trung suy nghĩ nghiên cứu đề bài, lời giải, nhiều em có ý tưởng khai thác tốn hay thú vị, tạo khơng khí học tập lớp theo nhóm Đề (Trước triển khai chun đề): Bài (3 điểm) Tìm số phương abcd biết ab  cd  Bài (3 điểm) {  88 {  Chứng minh A số phương Cho A  11 2n n Bài (4 điểm) Chứng minh A = 2012 4n + 20134n + 20144n + 20154n khơng phải số phương với số nguyên dương n Đề (Sau triển khai chuyên đề): Bài (3 điểm) Tìm số tự nhiên x để biểu thức x + 2x + 20 có giá trị số phương Bài (3 điểm) Chứng minh a, b số nguyên thỏa mãn hệ thức 2a2 + a = 3b2 + b a – b 2ª + 2b + số phương Bài (4 điểm) Tìm tất số nguyên n cho A = n4 + n3 + n2 có giá trị số phương Kết đạt cụ thể sau: * Trước triển khai chuyên đề: 14