Bài giảng Olympic sinh viên môn Đại số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng OLYMPIC SINH VIÊN MƠN ĐẠI SỐ ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH, MA TRẬN VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH , ĐA THỨC Tóm tắt lý thuyết, ví dụ, tập lời giải Dresden (Germany) - 2012 MỤC Mục lục LỤC Chương Ma trận - Định thức Định thức 1.1 Các tính chất định thức 1.2 Các định thức đặc biệt 1.3 Bài tập Định thức phần phụ đại số 2.1 Các định nghĩa tính chất 2.2 Bài tập Phần bù Schur 3.1 Các định nghĩa tính chất 3.2 Bài tập Chương Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính 5 11 13 13 14 16 16 17 19 Không gian đối ngẫu - Phần bù trực giao 1.1 Không gian đối ngẫu 1.2 Phần bù trực giao 1.3 Bài tập Hạt nhân ảnh - Không gian thương 2.1 Hạt nhân ảnh 2.2 Không gian thương 2.3 Bài tập Cơ sở không gian véctơ - Độc lập tuyến tính 3.1 Bài toán đổi sở 3.2 Bài tập Hạng ma trận 4.1 Các tính chất hạng ma trận 4.2 Bài tập 19 19 21 21 22 22 23 24 25 25 25 27 27 28 MỤC LỤC Chương Dạng tắc ma trận tốn tử tuyến tính 31 Vết ma trận Cấu trúc tự đồng cấu 2.1 Trị riêng véctơ riêng 2.2 Tự đồng cấu chéo hoá 2.3 Đa thức tối tiểu 2.4 Bài tập Dạng chuẩn ma trận 3.1 Dạng chuẩn Jordan ma trận 3.2 Dạng chuẩn Frobenius 3.3 Bài tập Biểu diễn ma trận 4.1 Rút gọn ma trận ma trận dạng đường chéo đơn giản 4.2 Biểu ma trận dạng tọa độ cực 4.3 Biểu diễn Schur 4.4 Biểu diễn Lanczos 4.5 Bài tập Chương Các ma trận có dạng đặc biệt Ma trận đối xứng - Ma trận Hermitian 1.1 Các định nghĩa tính chất 1.2 Bài tập Ma trận phản xứng 2.1 Các định nghĩa tính chất 2.2 Bài tập Ma trận trực giao - Phép biến đổi Cayley 3.1 Các định nghĩa tính chất 3.2 Bài tập Ma trận chuẩn tắc 4.1 Các định nghĩa tính chất 4.2 Bài tập Ma trận luỹ linh 5.1 Các định nghĩa tính chất 5.2 Bài tập Toán tử chiếu - Ma trận lũy đẳng 6.1 Các định nghĩa tính chất 6.2 Bài tập Ma trận đối hợp 31 32 32 33 34 35 40 40 41 42 43 43 43 44 44 44 45 45 45 46 47 47 47 48 48 48 50 50 50 52 52 52 54 54 54 57 MỤC LỤC Ma trận hốn vị (hay cịn gọi ma trận giao hoán) 8.1 Định nghĩa 8.2 Bài tập Chương Các bất đẳng thức ma trận 58 58 58 59 59 59 60 61 61 62 63 Các bất đẳng thức cho ma trận đối xứng Hermitian 1.1 Các định lý 1.2 Bài tập Các bất đẳng thức cho trị riêng 2.1 Các bất đẳng thức 2.2 Bài tập Chương Đa thức MỤC LỤC CHƯƠNG MA TRẬN - ĐỊNH THỨC §1 Đ ỊNH THỨC 1.1 Các tính chất định thức Định thức ma trận vuông A = (aij )1n cấp n tổng luân phiên ∑(−1)σ a1σ(1) a2σ(2) anσ(n) , σ tổng lấy qua tất phép hoán vị σ ∈ Sn Định thức ma trận A kí hiệu det A | A|, det A = ta nói A ma trận khả nghịch (khơng suy biến) Các tính chất sau thường sử dụng để tính định thức ma trận Các bạn kiểm chứng chứng minh chúng cách dễ dàng Nếu đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) ma trận A định thức đổi dấu Nói riêng, ma trận A có hai hàng (cột)giống det A = Nếu A, B C ma trận vng cấp det A C B = det A det B n det A = ∑ (−1)i + j Mi,j , Mij định thức ma trận thu từ A cách bỏ j =1 hàng thứ i cột thứ j Cơng thức cịn gọi công thức khai triển định thức theo hàng Các bạn tự viết cơng thức khai triển định thức theo cột cách tương tự λ1 α + µ1 β λn α n + µn β n α1 a12 a1n a12 a1n + µ = λ αn an2 ann an2 ann β a12 a1n β n an2 ann Chương Ma trận - Định thức det( AB) = det A det B det( A T ) = detA 1.2 Các định thức đặc biệt Định thức Vandermonde Ma trận Vandermonde cấp n ma trận vng cấp n có dạng  1 1  a2 a n − a n  a1   a22 a2n−1 a2n Vn (a1 , a2 , , an ) =  a1   −1 n −1 a1n−1 a2n−1 ann− an Định lý 1.1 Chứng minh det Vn (a1 , a2 , , an ) = ∏ i< j n         (a j − ) Từ suy hệ Vn (a1 , a2 , , an ).X = có nghiệm tầm thường a1 , a2 , , an đôi phân biệt Một ứng dụng thú vị định thức Vandermonde toán sau: Bài tập 1.1 Cho A ma trận vng cấp n Khi An = ⇔ tr( Ak ) = 0, k = 0, 1, 2, , n Chứng minh ⇒ Nếu An = A ma trận lũy linh, A có trị riêng 0, nên Ak có trị riêng với k Suy điều phải chứng minh ⇐ Giả sử giá trị riêng A λ1 , λ2 , , λn Khi từ tr( Ak ) = 0, k = 0, 1, 2, , n ta có hệ phương trình:    λ1 + λ2 + + λ n =      λ2 + λ2 + + λ2 = n (1.1)        λn + λn + + λn = n hay Vn (λ1 , λ2 , , λn )(λ1 , λ2 , , λn )T = Ta chứng minh tất giá trị riêng A Thật vậy: Nếu λi đơi phân biệt định thức Vandermonde khác khơng, hệ phương trình có nghiệm λ1 , λ2 , , λn = Mâu thuẫn Định thức Ngược lại, không tính tổng quát, giả sử λ1 = λ2 khơng giá trị λi cịn lại Khi hệ phương trình viết lại dạng Vn−1 (λ2 , , λn )(2λ2 , , λn )T = Lập luận tương tự ta có λ2 = = λn = 0, mâu thuẫn Vậy tất trị riêng A Bài tập 1.2 Chứng minh với số nguyên k1 < k2 < < kn số nguyên det Vn (k1 , k2 , , kn ) det Vn (1, 2, , n) Bài tập 1.3 Cho W ma trận có từ ma trận V = Vn (a1 , a2 , , an ) cách thay hàng (a1n−1 , a2n−1 , , ann−1 ) hàng (a1n , a2n , , ann ) Chứng minh det W = (a1 + a2 + + an ) det V Bài tập 1.4 Chứng minh  1 1   a1 a2 an −1 an   det    n −2 −2 a2n−2 ann− ann−2  a1 a2 a3 an a1 a3 an a1 a2 an−2 an a1 a2 an−1       = (−1)n−1 det Vn (a1 , a2 , , an )    Chứng minh • Nếu a1 , a2 , , an = nhân cột thứ với a1 , cột thứ hai với a2 , , cột thứ  n với an chia cho a1 a2 an ta  1 1     a1 a2 an −1 an     det       n −2 n −2 n −2 n − an −1 an a2   a1 a2 a3 an a1 a3 an a1 a2 an−2 an a1 a2 an−1   a1 a2 a n − a n    a1 a22 a2n−1 a2n      det  =    a1 a2 a n  n−1 n−1 n −1 n −1  a a a a  n  n −1 1 1 n − = (−1) det Vn (a1 , a2 , , an ) • Trường hợp có số a1 , a2 , , an (xét riêng) Chương Ma trận - Định thức Bài tập 1.5 Cho f ( x ), f ( x ), , f n ( x ) đa thức bậc không n − Chứng minh với số a1 , a2 , , an ta có f ( a1 ) f ( a1 ) f ( a2 ) f ( a2 ) f ( an ) f ( an ) =0 f n ( a1 ) f n ( a2 ) f n ( a n ) Chứng minh Giả sử f i ( x ) = bi0 + bi1 x + + bi,n−2 x n−2    b10 b11 b1,n−2 f ( a1 ) f ( a2 ) f ( a n )     f (a1 ) f (a2 ) f (an )   b20 b21 b2,n−2 =        bn0 bn1 bn,n−2 f n ( a1 ) f n ( a2 ) f n ( a n ) Từ ta có điều phải chứng minh Bài tập 1.6 Cho A = aij f i ( x ) = f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f n ( x1 ) f n ( x2 )     0    .   a1 a2 a1n−1 a2n−1  1  an −1 an     n −1 ann− −1 an a1i + a2i x + + ani x n−1 với i = 1, n Chứng minh f ( xn ) f ( xn ) = det A.Vn ( x1 , x2 , , xn ) f n ( xn ) Chứng minh Tương tự ?? ta có      1 a11 a12 a1,n−1 a1n f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x n )       f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn )   a21 a22 a2,n−1 a2n   x1 x2 . =            n −1 n −1 x1 x2 an1 an2 an,n−1 ann f n ( x1 ) f n ( x2 ) f n ( x n ) Suy điều phải chứng minh  1  x n −1 x n     −1 n −1 xnn− xn Bài tập 1.7 Chứng minh với k1 , k2 , , kn số tự nhiện khác a1 , a2 , , an số dương khác   1  k1 k1 k1 k   a1 a2 a3 an1   k2 k2 k2 k2  a a a a det  n   =0     a1kn a2kn a3kn aknn Định thức Định thức Cauchy Ma trận Cauchy ma trận vuông cấp n, A = (aij ), aij = quy nạp, ta chứng minh det A = xi + y j Bằng phương pháp Πi > j ( xi − x j )(yi − y j ) Πi,j ( xi + x j ) Trước hết lấy cột từ đến n − trừ cột cuối cùng, ta aij′ = ( xi + y j )−1 − ( xi + yn )−1 = (yn − y j )( xi + yn )−1 ( xi + y j )−1 với j = n Đưa nhân tử ( xi + yn )−1 hàng, yn − y j cột trừ cột cuối khỏi định n thức ta thu định thức |bij |i,j =1 , bij = aij với j = n bin = Tiếp theo, lấy hàng từ đến n − trừ hàng cuối Đưa nhân tử xn − xi hàng trừ hàng cuối cùng, nhân tử ( xn + y j )−1 cột trừ cột cuối cùng, ta thu công thức truy hồi định thức Cauchy cấp n qua cấp n − Định thức Frobenius Ma trận có dạng   0     0 0  0 0  a0 a1 a2 0 0            an −2 an −1 gọi ma trận Frobenius, hay ma trận bạn đa thức p ( λ ) = λ n − a n − λ n − − a n − λ n − − − a0 Khai triển định thức Frobenius theo hàng thứ nhất, bạn dễ dàng thu công thức sau: det(λI − A) = p(λ) Ma trận trực giao - Phép biến đổi Cayley 49 Bài tập 4.13 Cho J ma trận khả nghịch Ma trận A gọi J - trực giao A T J A = J J -phản xứng A T J = − J A Chứng minh phép biến đổi Cayley biến ma trận J - trực giao thành ma trận J - phản xứng ngược lại Bài tập 4.14 (Djokovíc, 1971) Giả sử tất giá trị tuyệt đối trị riêng ma trận A | Ax | ≤ | x | với x Chứng minh A toán tử unita Bài tập 4.15 (Zassenhaus, 1961) Một toán tử unita U biến véctơ khác không x thành véctơ Ux trực giao với x Chứng minh cung vòng tròn đơn vị chứa tất trị riêng U có độ dài khơng nhỏ π 50 Chương Các ma trận có dạng đặc biệt §4 MA TRẬN CHUẨN TẮC 4.1 Các định nghĩa tính chất Tốn tử tuyến tính A C gọi chuẩn tắc, A∗ A = AA∗ Ma trận toán tử chuẩn tắc sở trực chuẩn gọi ma trận chuẩn tắc Hiển nhiên A ma trận chuẩn tắc A∗ A = AA∗ Định lý 4.18 Các điều kiện sau tương đương: A ma trận chuẩn tắc, A = B + iC, B, C ma trận Hermitian giao hốn, A = UΛU ∗ , U ma trận unita Λ ma trận đường chéo n n i =1 i,j=1 ∑ |λ2i | = ∑ | a2ij |, λ1 , , λn trị riêng A Định lý 4.19 Nếu A ma trận chuẩn tắc, KerA∗ = KerA Im A∗ = Im A Hệ 4.20 Nếu A ma trận chuẩn tắc, V = KerA + ⊕(KerA)⊥ = KerA ⊕ Im A Định lý 4.21 Ma trận A chuẩn tắc véctơ riêng A véctơ riêng A∗ Định lý 4.22 Nếu ma trận A chuẩn tắc, A∗ biểu diễn dạng đa thức A Hệ 4.23 Nếu A B ma trận chuẩn tắc AB = BA A∗ B = BA∗ AB∗ = B∗ A, nói riêng AB ma trận chuẩn tắc 4.2 Bài tập Bài tập 4.16 Cho A ma trận chuẩn tắc Chứng ming tồn ma trận chuẩn tắc B cho A = B2 Bài tập 4.17 Cho A B toán tử chuẩn tắc cho Im A ⊥ Im B Chứng minh A + B toán tử chuẩn tắc Bài tập 4.18 Chứng minh ma trận A chuẩn tắc A∗ = AU , U ma trận unita Ma trận chuẩn tắc 51 Bài tập 4.19 Chứng minh A toán tử chuẩn tắc A = SU biểu diễn tọa độ cực SU = US Bài tập 4.20 Cho A, B AB ma trận chuẩn tắc Chứng minh BA ma trận chuẩn tắc 52 Chương Các ma trận có dạng đặc biệt §5 MA TRẬN LUỸ LINH 5.1 Các định nghĩa tính chất Định nghĩa 4.24 Ma trận A vuông cấp n gọi luỹ linh tồn số nguyên k cho Ak = Nếu có thêm Ak−1 = k gọi bậc lũy linh ma trận A Định lý 4.25 Bậc luỹ linh ma trận lũy linh cấp cao khối Jordan Định lý 4.26 Cho A ma trận luỹ linh, vuông cấp n Khi An = Định lý 4.27 Đa thức đặc trưng ma trận vuông cấp n lũy linh λn Định lý 4.28 Cho A ma trận vuông cấp n Chứng minh A lũy linh tr( A p ) = với p = 1, 2, , n Định lý 4.29 Cho A : V → V tốn tử tuyến tính W không gian bất biến V Đặt A1 : W → W A2 : V/W → V/W toán tử cảm sinh toán tử A Chứng minh A1 A2 lũy linh A lũy linh 5.2 Bài tập Bài tập 4.21 A ma trận lũy linh tất giá trị riêng A Bài tập 4.22 Chứng minh A ma trận lũy linh I − A ma trận khả nghịch Chứng minh Ta có I = I − Ak = ( I − A)( I + A + A2 + + Ak−1 ) Bài tập 4.23 Chứng minh với ma trận vng A ln phân tích A = B + C với C ma trận lũy linh B ma trận chéo hóa BC = CB Bài tập 4.24 Cho A B ma trận vuông cấp thỏa mãn B ma trận lũy linh AB = BA Chứng minh det( A + B) = det A Bài tập 4.25 Cho A B ma trận vuông cấp thỏa mãn A2008 = I; B2009 = AB + 4A + 2009B = Chứng minh ( A + B) ma trận không suy biến Ma trận luỹ linh 53 Bài tập 4.26 (2000) Cho A B ma trận vuông cấp thỏa mãn A1999 = 0; B2000 = AB = BA Chứng minh ( A + B + I ) khả nghịch Chứng minh Nhận xét ( A + B)3999 = nên ( A + B) ma trận luỹ linh, suy điều phải chứng minh Bài tập 4.27 Cho A B ma trận vuông cấp thỏa mãn A1999 = I; B2000 = I AB = BA Chứng minh ( A + B + I ) khả nghịch Chứng minh Giả sử ( A + B + I ) suy biến Khi tồn vecto X khác cho ( A + B + I )X = Hay ( A + I )X = − BX suy ( A + I )1999 X = − B1999 X = − X, suy (( A + I )1999 + I )X = Theo gỉa thiết ( A2000 − I ) x = Ta chứng minh hai đa thức ( x + 1)1999 + x2000 − nguyên tố Thậy vậy, giả sử chúng có nghiệm chung z Khi (z + 1)1999 = −1 z2000 = Từ suy môđun z (z + 1) Do đó, arg z = ± 2π z2000 = cos ±4000π ±4π ±4π ±4000π + sin = cos + sin =1 3 3 Vậy tồn đa thức P( x ) Q( x ) để P( x )[( x + 1)1999 + 1] + Q( x )( x2000 − 1) = Từ suy [ P( A)[( A + 1)1999 + 1] + Q( A)( A2000 − I )] X = X hay X = 0, mâu thuẫn với việc chọn X Vậy ta có điều phải chứng minh Bài tập 4.28 (IMC) Cho hai ma trận vuông cấp n, A B Giả sử tồn (n + 1) số t1 , t2 , , tn phân biệt cho ma trận Ci = A + ti B ma trận lỹ linh với i = 1, , n + Chứng minh A B ma trận lũy linh Bài tập 4.29 Tìm ma trận A, B cho λA + µB luỹ linh với λ, µ khơng tồn ma trận P cho P−1 AP P−1 BP ma trận tam giác 54 Chương Các ma trận có dạng đặc biệt §6 T ỐN TỬ CHIẾU - MA TRẬN LŨY ĐẲNG 6.1 Các định nghĩa tính chất Định nghĩa 4.30 Toán tử P gọi toán tử chiếu (hay luỹ đẳng) P2 = P Định lý 4.31 Tồn sở không gian cho ma trận tốn tử chiếu có dạng diag(1, , 1, 0, , 0) Hệ 4.32 Có tương ứng 1-1 tốn tử chiếu phân tích V = W1 ⊕ W2 khơng gian V Nói rõ hơn, với phân tích V = W1 ⊕ W2 , tồn toán tử chiếu P thỏa mãn P(w1 + w2 ) = w1 ; ngược lại, với tốn tử chiếu P có phân tích tương ứng V = Im P ⊕ KerP Toán tử P gọi tốn tử chiếu lên W1 theo hướng W2 Hệ 4.33 Nếu P tốn tử chiếu rank P = tr P Hệ 4.34 Nếu P tốn tử chiếu I − P toán tử chiếu, Ker ( I − P) = Im P Im( I − P) = KerP Định lý 4.35 Toán tử chiếu P Hermitian Im P ⊥ KerP Định lý 4.36 Toán tử chiếu P Hermitian | Px | ≤ x với x Các toán tử chiếu Hermitian P Q gọi trực giao Im P ⊥ Im Q, nghĩa PQ = QP = Định lý 4.37 Cho P1 , , Pn tốn tử chiếu Hermitian Khi tốn tử P = P1 + + Pn toán tử chiếu Pi Pj = với i = j Định lý 4.38 (Djokovíc, 1971) Cho V = V1 ⊕ ⊕ Vk , Vi = với i = 1, , k Đặt Pi : V → Vi phép chiếu trực giao A = P1 + + Pk Khi ≤ | A| ≤ 1, | A| = Vi ⊥ Vj với i = j 6.2 Bài tập Bài tập 4.30 Cho P toán tử chiếu V = Im P ⊕ KerP Chứng minh Im P ⊥ KerP Pv hình chiếu trực giao v lên Im P Bài tập 4.31 Cho A ma trận vuông cấp n Chứng minh điều kiện sau tương đương Toán tử chiếu - Ma trận lũy đẳng 55 a A ma trận lũy đẳng b C n = Im A + KerA với Ax = x với x ∈ Im A c KerA = Im( I − A) d rank( A) + rank( I − A) = n e Im( A) ∩ Im( I − A) = {0} Bài tập 4.32 Cho A ma trận vuông cấp n Chứng minh A lũy đẳng rank( A) = tr( A) rank( I − A) = tr( I − A) Bài tập 4.33 Cho P1 P2 toán tử chiếu Chứng minh P1 + P2 toán tử chiếu P1 P2 = P2 P1 = P1 − P2 toán tử chiếu P1 P2 = P2 P1 = P2 Bài tập 4.34 (Định lý ergodic) Cho A ma trận unita Chứng minh n −1 i ∑ A x = Px, n→∞ n i =0 lim P phép chiếu Hermitian lên Ker( A − I ) Bài tập 4.35 Cho A B ma trận vuông cấp n Chứng minh AB = A BA = B A, B ma trận lũy đẳng Bài tập 4.36 Cho A B ma trận vng cấp n, lũy đẳng Tìm điều kiện cần đủ để ( A + B) ma trận lũy đẳng Bài tập 4.37 Cho A ma trận lũy đẳng Chứng minh ( A + I )k = I + (2k − 1) A với k ∈ N Bài tập 4.38 (OL) Cho A, B ma trận cấp, lũy đẳng AB + BA = Tính det( A − B) Bài tập 4.39 Cho A, B ma trận cấp, lũy đẳng I − ( A + B) khả nghịch CMR tr( A) = tr( B) Bài tập 4.40 Cho A1 , A2 , , Ak tốn tử tuyến tính khơng gian véctơ n chiều V cho A1 + A2 + + Ak = I Chứng minh điều kiện sau tương đương A1 , , Ak toán tử chiếu 56 Chương Các ma trận có dạng đặc biệt Ai A j = với i = j rank A1 + + rank Ak = n Bài tập 4.41 Cho A1 , A2 , , Ak ma trận lũy đẳng Chứng minh A1 + A2 + + Ak = I Ai A j = với i = j Ma trận đối hợp 57 §7 MA TRẬN ĐỐI HỢP Định nghĩa 4.39 Tốn tử tuyến tính (hoặc ma trận) A gọi đối hợp A2 = I Dễ dàng kiểm chứng P ma trận lũy đẳng 2P − I ma trận đối hợp Định lý 4.40 Tồn sở không gian cho ma trận tốn tử đối hợp có dạng diag(±1, , ±1) Chú ý 4.41 Nếu A toán tử đối hợp V = Ker( A + I ) ⊕ Ker( A − I ) Định lý 4.42 (Djokovíc, 1967) Ma trận A biểu diễn dạng tích ma trận đối hợp ma trận A A−1 đồng dạng Hệ 4.43 Nếu B ma trận khả nghịch cho X T BX = B X biểu diễn dạng tích ma trận đối hợp Nói riêng, ma trận trực giao biểu diễn dạng tích ma trận đối hợp Bài tập 4.42 Chứng minh A ma trận đối hợp 12 ( I + A) ma trận lũy đẳng 58 Chương Các ma trận có dạng đặc biệt §8 MA TRẬN HỐN VỊ (HAY CỊN GỌI L À MA TRẬN GIAO HỐN ) 8.1 Định nghĩa  c0 c1 c0 c2 c1 c0   c n −1  Định nghĩa 4.44 Ma trận hốn vị ma trận có dạng C =   c n −2 c n −1   c1 c2 c3      0       gọi ma trận hoán vị sở Ma trận P =        0 0 c n −1 c n −2 c n −3 c0         8.2 Bài tập Bài tập 4.43 Chứng minh Pn = I; P T = P−1 Tìm giá trị riêng P Bài tập 4.44 Cho f ( x ) = c0 + c1 x + + cn−1 x n−1 Chứng minh a C = f ( P) b Các giá trị riêng C f (ω k ), k = 0, 1, , n − với ω bậc n n −1 c det C = ∏ f (ωi ) i =0 Bài tập 4.45 Cho A, B ma trận hoán vị Chứng minh A B giao hoán AB ma trận hoán vị Bài tập 4.46 Cho A ma trận hoán vị Chứng minh rank( Ak ) = rank( A) với k CHƯƠNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC MA TRẬN §1 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CHO MA TRẬN ĐỐI XỨNG VÀ HERMITIAN 1.1 Các định lý Định nghĩa 5.1 Cho A, B ma trận Hermitian Ta viết A > B (tương ứng A ≥ B) A − B ma trận xác định dương (tương ứng xác định không âm) Định lý 5.2 Nếu A > B > A−1 < B−1 Định lý 5.3 Nếu A > A + A−1 ≥ 2I Định lý 5.4 Nếu A ma trận thực A > ( A−1 x, x ) = max(2( x, y) − ( Ay, y)) y Định lý 5.5 Cho A = A1 B B ∗ A2 > Khi det A ≤ det A1 det A2 Hệ 5.6 (Bất đẳng thức Hadamard) Nếu A = (aij ) ma trận xác định dương, det A ≤ a11 a22 ann dấu xảy A ma trận đường chéo Hệ 5.7 Nếu X ma trận bất kì, | det X | ≤ ∑ | x1i |2 | xni |2 i 59 60 Chương Các bất đẳng thức ma trận A1 B > ma trận xác định dương, B ma trận B ∗ A2 vng Khi | det B|2 ≤ det A1 det A2 Định lý 5.8 Cho A = Định lý 5.9 Cho αi > 0, ∑ αi = Ai > Khi | α A + + α k A k | ≥ | A | α1 | A k | α k Định lý 5.10 Cho λi số phức Ai ≥ Khi | det(λ1 A1 + + λk Ak )| ≤ det(|λ1 | A1 + + |λk | Ak ) Định lý 5.11 Cho A B ma trận thực xác định dương, A1 , B1 ma trận thu từ ma trận A, B tương ứng cách xóa hàng cột Khi | A + B| | A| | B| ≥ + | A1 + B1 | | A1 | | B1 | 1.2 Bài tập Bài tập 5.1 Cho A B ma trận vuông cấp n > 1, A > B ≥ Chứng minh | A + B| ≥ | A| + | B| dấu xảy B = Bài tập 5.2 Cho A B ma trận Hermitian A > Chứng minh det A ≤ | det( A + iB)| dấu xảy B = Bài tập 5.3 Cho Ak Bk ma trận cấp k phía trên, góc trái ma trận xác định dương A B cho A > B Chứng minh | A k | > | Bk | Bài tập 5.4 Cho A B ma trận thực đối xứng A ≥ Chứng minh C = A + iB ma trận khơng khả nghịch, Cx = với x véctơ thực khác Bài tập 5.5 Cho A ma trận vuông cấp n A > Chứng minh | A|1/n = tr( AB), n giá trị nhỏ lấy tất ma trận B xác định dương có định thức Bài tập 5.6 Cho A ma trận thực đối xứng xác định dương Chứng minh   x1 x n    x1  ≤0 det    A   xn Các bất đẳng thức cho trị riêng 61 §2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CHO TRỊ RIÊNG 2.1 Các bất đẳng thức Định lý 5.12 (Bất đẳng thức Schur) Cho λ1 , , λn trị riêng ma trận A = (aij )1n Khi n ∑ | λi | ≤ i =1 n ∑ i,j=1 | aij |2 , dấu xảy A ma trận chuẩn tắc Định lý 5.13 Cho λ1 , , λn trị riêng ma trận A = B + iC, B C ma trận Hermitian Khi n ∑ | Re λi |2 ≤ i =1 n ∑ i,j =1 |bij |2 n ∑ | Im λi |2 ≤ i =1 n ∑ i,j =1 |cij |2 Định lý 5.14 (H Weyl) Cho A B ma trận Hermitian, C = A + B Cho trị riêng ma trận xếp theo thứ tự tăng dần α1 ≤ ≤ αn , β ≤ ≤ β n , γ1 ≤ ≤ γn Khi a) γi ≥ α j + βi − j+1 với i ≥ j, b) γi ≤ α j + βi − j+n với i ≤ j B C ma trận Hermitian Giả sử trị riêng A C∗ D B xếp theo thứ tự tăng dần sau: α1 ≤ ≤ αn , β1 ≤ ≤ β m Khi Định lý 5.15 Cho A = αi ≤ β j ≤ αi + n − m Định lý 5.16 Cho A B phép chiếu Hermitian, nghĩa A2 = A B2 = B Khi trị riêng AB thực nằm khoảng [0, 1] Định nghĩa 5.17 Các giá trị σi = giá trị kì dị ma trận A √ µi , µi trị riêng ma trận A∗ A, gọi Chú ý 5.18 Nếu A ma trận Hermitian xác định khơng âm giá trị kì dị A trị riêng A trùng Nếu A = SU phân tích tọa độ cực A, giá trị kì dị A trùng với trị riêng ma trận S Với ma trận S, tồn ma trận unita V cho S = VΛV ∗ , Λ ma trận đường chéo Do đó, ma trận A biểu diễn dạng A = VΛW , V W ma trận unita Λ = diag(σ1 , , σn ) 62 Chương Các bất đẳng thức ma trận Định lý 5.19 Cho σ1 , , σn giá trị kì dị ma trận A, σ1 ≥ ≥ σn , đặt λ1 , , λn trị riêng ma trận A, với |λ1 | ≥ ≥ |λn | Khi |λ1 λm | ≤ σ1 σm với m ≤ n Định lý 5.20 Cho σ1 ≥ ≥ σn giá trị kì dị ma trận A đặt τ1 ≥ ≥ τn giá trị kì dị ma trận B Khi n | tr( AB)| ≤ ∑ σi τi i =1 2.2 Bài tập Bài tập 5.7 (Gershgorin discs) Chứng minh trị riêng ma trận (aij )1n nằm trong đĩa sau | akk − z| ≤ ρk , ρk = ∑ | akj | i=j Bài tập 5.8 Chứng minh U ma trận unita S ≥ 0, | tr(US)| ≤ tr S Bài tập 5.9 Chứng minh A B ma trận xác định khơng âm, | tr( AB)| ≤ tr A tr B Bài tập 5.10 Cho A B ma trận Hermitian Chứng minh tr( AB)2 ≤ tr( A2 B2 ) Bài tập 5.11 (Cullen, 1965) Chứng minh lim Ak = điều kiện sau thỏa mãn: k→∞ a) giá trị tuyệt đối trị riêng A nhỏ 1; b) tồn ma trận xác định dương H cho H − A∗ H A > Giá trị kì dị Bài tập 5.12 Chứng minh tất giá trị kì dị ma trận A nhau, A = λU , U ma trân unita Bài tập 5.13 Chứng minh giá trị kì dị ma trận A σ1 , , σn , giá trị kì dị ma trận adj A Πi =1 σi , , Πi =n σi Bài tập 5.14 Cho σ1 , , σn giá trị kì dị ma trận A Chứng minh trị A riêng ma trận σ1 , , σ, − σ1 , , σn A∗ CHƯƠNG ĐA 63 THỨC ... j p Định thức phần phụ đại số 15 Bài tập 1.29 Chứng minh a11 a1n x1 vdots = − ∑ xi y j Aij , an1 ann xn i,j y1 y n Aij phần bù đại số phần tử aij Bài tập 1.30 Chứng minh tổng... p + jn , i = i1 + + i p , j = j1 + + j p Đại lượng (−1)i + j A i p+1 i n j p + jn gọi phần bù đại số định thức A 2.2 Bài tập Bài tập 1.28 Cho A ma trận vuông cấp n Chứng minh |... 1.3 Bài tập Bài tập 1.8 Cho A ma trận phản xứng cấp n lẻ Chứng minh det A = Bài tập 1.9 Chứng minh định thức ma trận phản xứng cấp n chẵn không thay đổi ta cộng thêm vào phần tử với số cố định Bài