Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN HỌC TÀI LIỆU GIẢNG DẠY MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH GV biên soạn: Trần Quang Hà Trà Vinh, 2013 Lƣu hành nội Phụ lục MỤC LỤC Nội dung Trang Chương 1: Ma trận hệ phương trình tuyến tính Chương 2: Định thức 24 Chương 3: Không gian vectơ 38 Chương 4: Ánh xạ tuyến tính 48 Chương 5: Các dạng tắc ma trận 58 Chương 6: Không gian Euclide 69 Chương 7: Dạng song tuyến tính dạng toàn phương 77 Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính Chƣơng MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  Mục tiêu học tập: Sau học xong chương này, người học có thể: - Tính phép tốn ma trận - Ứng dụng ma trận giải hệ phương trình tuyến tính 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN: 1.1.1 Định nghĩa: Một ma trận A loại mxn trường K bảng chữ nhật gồm mxn phần tử K viết thành m dòng n cột sau:  a11   a 21 A =   a  m1 a12 a 22 am2 a1n   a n    a mn  aij  K phần tử vị trí dịng thứ i cột thứ j A - Ma trận A viết gọn A = (aij) - Ký hiệu Mmxn  K  tập hợp tất ma trận loại mxn K - Một ma trận K thường ký hiệu chữ in hoa (ví dụ: A, B, C, ) - Ký hiệu A  Mmxn  K  cho biết A ma trận loại mxn K - Ký hiệu [A]ij (hoặc aij) hiểu phần tử nằm vị trí (i, j) A Ví dụ: 1 4  a11  , a22  ,   A =  - a23  , Nếu m = n ta nói A ma trận vuông cấp n K Tập hợp tất ma trận vuông cấp n trường K ký hiệu Mn  K  Ví dụ: 2  A = 3  2 4  1 5  2i i  Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính + Các phần tử đường chéo 2, -1, i + Các phần tử đường chéo phụ 2, -1, 1.1.2 Định nghĩa: Ta nói Mmxn  K  ma trận khơng (hay ma trận zero), ký hiệu A = Omxn (hay đơi khơng có nhầm lẫn), a ij =0 ,  i,j Ví dụ: O3×3 0 0   = 0 0 0 0   1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN: 1.2.1 Định nghĩa: Cho A, B  Mmxn  K  Ta nói A=B aij  bij ,  i,j Ví du:  4  p q A  A=B p = 2, q = 4, = n,  , B  n 0  0 1.2.2 Định nghĩa: Cho A  Mmxn  K  Ta gọi B  Mmxn  K  chuyển vị A (ký hiệu B = AT), bij  a ji , i, j Ví dụ: 1 3  AT = A =     5    6  7    Tính chất: (i) (AT)T = A; (ii) AT = BT A = B 1.2.3 Định nghĩa: Cho A Mmxn(K) c  K Tích c với A (ký hiệu cA) ma trận định nghĩa  mxn cA  caij Tài liệu giảng dạy mơn Đại số tuyến tính Nếu c = -1 ta ký hiệu (-1)A = - A gọi ma trận đối A Ví dụ: 1 2  4       4  8 Tính chất: Cho A  Mmxn(K) c, d  K Khi đó: (i) (c.d).A = c.(d.A), suy (-c)A = c(-A); (ii) (c.A)T = c.AT 1.2.4 Định nghĩa: Cho A, B  Mmxn(K) Tổng A B (ký hiệu: A + B) ma trận thuộc Mmxn(K) định nghĩa   A+B= aij  bij , i, j      5        Ví dụ:           Tính chất: Cho A, B, C Mmxn(K) c,d K Khi (i) A + B = B + A; (ii) (A + B) + C = A + (B + C); (iii) + A = A + = A; (iv) A + (-A) = (-A) + A = 0; (v) (A + B)T = AT + BT; (vi) c(A + B) =cA +cB; (vii) (c + d)A = cA + dA 1.2.5 Định nghĩa Cho A  Mmxn(K) B  Mnxp(K) Tích A B (ký hiệu AB) ma trận C thuộc Mmxp(K) định nghĩa cij =a i1b1j  a i2b2j  a in bnj , i  1, , m; j  1, 2, , p  1   1 2  , ta có Ví d: Cho A   , B    4  2   Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính  1.1  1.3 1.2  1.4        AB =  2.1  1.3 2.2  1.4      3.1  2.3 3.2  2.4   14      Chú ý: - Tích hai ma trận thực số cột ma trận thứ số dòng ma trận thứ hai - AB BA tồn A B hai ma trận vuông cấp AB  BA - AB = xảy A  B  Ví dụ: 1 0  , B = A =   0  0   , 1 0  0  AB =   0  Tính chất: Cho A, A’  Mm x n(K) , B, B’  Mn x p (K), C  Mp x q(K) c  K Khi đó: (i) (AB)C = A(BC); (ii) A0nxp = 0mxp; 0rxmA = 0rxn; (iii) A(B  B’) = AB  AB’ ; (A  A’)B = AB  A’B; (iv) (AB)T = ATBT; (v) c(AB) = A(cB) = (cA)B 1.3 CÁC LOẠI MA TRẬN VUÔNG ĐẶC BIỆT 1.3.1 Định nghĩa Ta nói A Mn(K) ma trận đường chéo cấp n i aij  0, i  j , (nghĩa ma trận vuông có tất phần tử bên ngồi đường chéo 0) Ví dụ: 1 0   A =  0  0 3   1.3.2 Định nghĩa Một ma trận đường chéo cấp n K với tất phần tử đường chéo gọi ma trận vô hướng cấp n K Một ma trận vô hướng cấp n với phần tử đường chéo gọi ma trận đơn vị cấp n K Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính Ký hiệu: In ma trận đơn vị cấp n K có dạng 1  0 In =   0     = (  ij), i, j = 1, n    Trong  ij ký hiệu: 1, i = j 0, i  j  ij =  1.3.3 Định nghĩa: Ta nói B Mn (K) ma trận tam giác aij  0, i  j (nghĩa ma trận vng có phần tử bên đường chéo 0) 1.3.4 Định nghĩa: Ta nói C Mn (K) ma trận tam giác cij  0, i  j (nghĩa ma trận vng có phần tử bên đường chéo 0) 1.3.5 Định nghĩa Một ma trận tam giác tam giác gọi chung ma trận tam giác 1.3.6 Định nghĩa: Ta nói A Mn (K) ma trận phản đối xứng (hay phản xứng) AT = - A, nghĩa aij  a ji ,  i,j Nhận xét: Tất phần tử đường chéo ma trận phản ứng    3   Ví dụ: A =   3 1    1.4 LŨY THỪA MA TRẬN: 1.4.1 Định nghĩa: Cho A Mn(K) Ta định nghĩa luỹ thừa A cách quy nạp sau: A0 = In, A1 = A, A2 = A.A, , Ak + = Ak.A,  k  N Ví dụ: 0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  A =  0  => A2 =  0  A3=  0  Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính Như với A  A3=0 Với A Mn(K), xảy trường hợp A   Ak = Một ma trận A Mn(K) thoả điều kiện Ak = với k  N gọi ma trận lũy linh 1.4.2 Tính chất: (i) (0n)k = 0n,  k  N (ii) (In)k = In,  k N (iii) Ar + s = Ar.As,  A  Mn (K),  r,s  N (iv) Ars = (Ar)s,  A  Mn(K),  r, s  N 1.5 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN DÕNG: 1.5.1 Các phép biến đổi sơ cấp dòng (i) Biến dòng i thành c lần dòng i (c  K, c  0), ký hiệu (ii) Biến dòng i thành dòng i cộng c lần dòng j (c  K, i  j), ký hiệu A A i  cd i d  A’ d  d  cd i i   j  A’ (iii) Hốn vị dịng i dòng j A với (i  j), ký hiệu A d d i  j  A’ Ví dụ:  5  10   10   10    d1 2 d1   d d  d1   d d3           11 21    3  3  3   11 21         1.5.2 Định nghĩa: Cho A, B Mm x n(K) Ta nói A tương đương dòng với B (ký hiệu A∾B) B nhận từ A qua số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dòng 1.6 HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: 1.6.1 Định nghĩa: Một hệ phương trình tuyến tính K hệ thống gồm m phương trình bậc (n ẩn) có dạng tổng quát sau: Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính  a11 x1  a12 x2   a x a x  22  21   a x am x2  m1  a1n xn  a2 n xn    bm amn xn b1 b2 (*) Trong aij  K (gọi hệ số ) bi K (gọi hệ số tự do) phần tử cho trước, xj ẩn cần tìm (trong K) Nếu (*) có b1 = b2 = = bm = ta nói (*) hệ phương trình tuyến tính K Ví dụ: Hệ phương trình 2 x1   x1 x   x2  x2  x3  x3    x2  x3  3 (1) hệ gồm phương trình tuyến tính ẩn  Ta nói (c1, , cn)  Kn nghiệm hệ (*) ta thay x1 = c1, , xn = cn vào (*) tất đẳng thức (*) thoả Ví dụ: Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm (1, 2, 1) 1.6.2 Định lý: Đối với hệ phương trình tuyến tính (*) có ba trường hợp nghiệm xảy là: có nghiệm vơ nghiệm vơ số nghiệm 1.6.3 Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm tầm thường có vơ số nghiệm 1.6.4 Định nghĩa: Cho hệ phương trình tuyến tính (*), đặt:  a11   a 21 A=   a  m1 a12 a 22 am a1n   a n  ,   a mn   x1     x2  X=  ,    x   n  b1    b2 B=        bm  Ta gọi A ma trận hệ số, X cột ẩn B cột hệ số tự hệ (*), (*)  AX=B Ký hiệu: Tài liệu giảng dạy mơn Đại số tuyến tính  a11   a21 ~ A = (A |B) =   a  m1 a12 a22 am a1n a2 n amn b1   b2    bm  ~ ~ Ma trận A gọi ma trận mở rộng hệ (*) viết A = (A|B) gọi ma trận hố hệ (*) Ví dụ:  1 1    4 1  1   3   1.6.5 Định nghĩa: Hai hệ phương trình tuyến tính (có số ẩn) gọi tương đương có tập hợp nghiệm 1.6.6 Định lý: Cho hai hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn K có dạng ma trận hố ~ ~ ~ ~ A =(A|B) C =(C|D), đó, A ∾ C hai hệ tương đương nhau: Ví dụ:  1 1     1     3   d1 =  d1 d2 = d2 – d1 d3 = d3 + 2d1 d1 = d1 – 2d2 d3 = d3 – d2 0  1  7    1 0    7   d3 = d3 –d1 d2 = d2 – d3 d1 = d1 + 3d3  0   7   1  0     0 1   1 0 1  2   Do hệ phương trình cho tương đương với 0 x1   x1 0 x   x2  x2  x3  x3    x2  x3    x3   x1 x     Vậy nghiệm hệ (x1, x2, x3) = (1, 2, 1) 1.7 THUẬT TOÁN GAUSS VÀ GAUSS – JORDAN ĐỂ GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: Tài liệu giảng dạy mơn Đại số tuyến tính 10 6.2.6 Bài tốn cực tiểu hóa: a/ Vấn đề: Cho Wm ≤ V với V không gian Euclide Cho trước   V Ta muốn tìm   Wm cho   -   = {  -  /   Wm } b/ Giải Ta có: V = Wm  Wm Phân tích:  = ’ + ’’ m Trong ’ =    /  j   j j 1 Và a = { 1, …., n } Cơ sở trực chuẩn tùy ý Wm Đặt d(,Wm) =  - : k/c từ  đến Wm ’ = prWm Bài tốn cực tiểu hóa có nghiệm  = ’ = prWm        |  Wm  Ví dụ: V = R3 W2 có sở a = { 1  (3,1,2),  (1,1,4)} Xét  = (1, 1, 1)  V Tìm prw2  d(  ,w2) Trực chuẩn hóa sở a 1   Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính 74  1 2  2  1 = (1, -1, 4) – 1 = (1, -1, 4) -       1  4     3           3           3          2 ( -3, 1, 2) = (13, -9, 24) 7 =>   12  (3,1,2),   7 '  (13,9,24) sở trực giao W2     => E    1     1 ,       (3,1,2),   (13,9,24) 1    14 826  P rw  =  ’ = <  /  >  + <  /  >  2 13 13 1 28 14  1 (3,1,2)   (13,9,24)  (13,9,24)  (13,9,24) 14 826 826 413 24  28 14 (13,9,24)  (13,9,24) 826 413 d(  ,W2) =       Pr W  = (1,1,1)  14 (13,9,24) 413 = (413,413,413)  (182,126,336) 413 = 1 (231,539,77)  2312  5392  77 413 413 Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính 75  BÀI TẬP CỦNG CỐ 6.1 Xét khơng gian Euclide R4 Hãy xác định hình chiếu prwu khoảng cách d(u,w) mỗI trường hợp sau: a) u = (4, -3, -1, 4) W không gian lời giải hệ phương trình tuyến tính AX = với    3    6  A=  2 5 6    1  9   b) u = (4, 2, -5, 1) W không gian lời giải hệ phương trình tuyến tính AX = với 2 2      1 0 A = 4 3    2    c) u = (1, 1, 1, 1) W = với S = {(1, 1, -1, -2); (5, 8, -2, -3); (3, 9, 3, 8)} d) u = (-1, 2, 0, 1) W = với S = {(1, 0, 2, 1); (2, 1, 2, 3); (0, 1, -2, 1)} 6.2 Tìm a, b  R để giá trị tích phân nhỏ tính giá trị nhỏ đó:  x a)   a  bx dx ; b)  1  ax  bx  dx 1  x  a  be  dx ; c) x 2 d)  ( x  a sin x  b cos x) dx  e)  (2  ax  b cos x) dx ; Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính f)  (e x  a  bx) dx 1 76 Chƣơng DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TỒN PHƢƠNG  Mục tiêu học tập: Sau học xong chương này, người học có thể: - Nhận diện dạng tồn phương - Đưa dạng tồn phương tắc 7.1 KHÁI NIỆM DẠNG TOÀN PHƢƠNG Xét trường K (K = Q, R, C, ) 7.1.1 Định nghĩa: Giả sử V K – Không gian véctơ n chiều Ánh xạ:  : V V  R ( x , y )   ( x, y ) gọi dạng song tuyến  tuyến tính theo biến x,y, nghĩa là: a)  ( x   ' x ', y)   ( x, y)   ' ( x ', y) x,x’,y  V, ,’  K b)  ( x,  y   ' y ')   ( x, y)   ' ( x, y ') x,y,y’  V, ,’  K Giả sử (x,y) dạng song tuyến V, E = {e1,e2, .en} sở V Khi với hai véctơ x,y thuộc V n n x   xi ei , y   y i ei i 1 j 1 n n ta có  ( x, y )    x y  (e , e ) i 1 i j 1 i i Đặt aij = (ei,ej) ta n  ( x, y )   i 1 n a j 1 ij xi y j (1) Ma trận A = (aij) gọi ma trận dạng song tuyến tính  sở E, ký hiệu A = []E Ta viết dạng song tuyến tính  dạng ma trận:  ( x, y)  xE A y E T Dạng song tuyến tính thường viết dạng (1) Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính 77 Chú ý: sở khơng rõ ta ngầm hiểu E sở tắc V Ví dụ: Dạng song tuyến tính   x1 y1  x1 y2  x1 y3  x2 y  3x3 y1  x3 y3 có ma trận 1  1   A  0  3  7   Ta đưa vào tập hợp tất dạng song tuyến tính V cấu trúc không gian định nghĩa: a) (   ' )( x, y) :  ( x, y)   ' ( x, y) b) ( )( x, y) : ( x, y) 7.1.2 Định nghĩa: Giả sử V K – không gian véctơ n chiều Dạng song tuyến tính (x,y) Vđược gọi đối xứng ( tương ứng, phản đối xứng ) nếu:  ( x, y)   ( y, x), x, y V ( tương ứng,  ( x, y)   ( y, x), x, y V ) Ma trận dạng song tuyến đối xứng  sở E ma trận đối xứng Cũng vậy, ma trận dạng song tuyến tính phản đối xứng ma trận phản đối xứng 7.1.3 Định nghĩa: Giả sử  dạng song tuyến tính đối xứng K – khơng gian véctơ V Ánh xạ Q: VK x  (x,y) gọi dạng toàn phương V ứng với  Nếu A ma trận dạng song tuyến tính  sở A gọi ma trận dạng toàn phương Q sở Ta có A ma trận đối xứng, nghĩa AT = A đó: Q( x)  xE A T E Chú ý cho Q  hồn tồn xác định dễ thấy Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính 78  ( x, y)  Q( x  y )  Q( x )  Q( y ) Ví dụ đơn giản dạng tồn phương Q(x) = XTIX = X, với X = [x]E, E sở V Những ví dụ cho thấy tương ứng ma trận đối xứng A dạng toàn phương XTAX: Ví dụ: x  Cho x    Tính XTAX ma trận sau:  x2   0  a) A    3   2  b) A      4x    x1     ( x1 , x2 )   x12  3x22 a) X T AX  ( x1 , x2 )(   x2   3x2     x1    b) X T AX  ( x1 , x2 )    x2   3x  x    ( x1 , x2 )   x1  x2   x1 (3x1  x )  x (2 x1  x )  3x12  x1 x  x x1  x 22  3x12  x1 x  x 22 Ví dụ: Với véctơ = (x1,x2,x3)  R, cho Q( x)  5x12  3x22  x32  x1 x2  8x2 x3 viết dạng toàn phương dạng XTAX Các hệ số x12 , x22 , x32 nằm ngang đường chéo A Để A ma trận đối xứng, hệ số xixj với i  j phải chia phần tử (i,j) (j,i) A Hệ số x1x3 Dễ dàng kiểm tra lại rằng:  /  x1      Q( x)  X AX  ( x1 , x , x3 )  /  x    x3   T Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính 79 7.1.4 Định nghĩa: (Đổi cở số cho dạng toàn phương) Giả sử F   f1 , f ,, f n  sở khác V, n f i   cij ei i 1 P = (cij) ma trận chuyển sở từ E sang F Nếu A, A’ ma trận dạng song tuyến tính  V theo thứ tự sở E F n  n  aij'   ( f i , f j )     cki ek , clj el  l 1  k 1   n  cki clj (ek , el )  k ,l 1 Nghĩa n c k ,l 1 ki a kl clj A’ = PTAP (2) 7.2 DẠNG CHÍNH TẮC CỦA MỘT DẠNG TOÀN PHƢƠNG – ĐƢA DẠNG TOÀN PHƢƠNG VỀ CHÍNH TẮC 7.2.1 Định nghĩa: Trong khơng gian Euclide Rn xét dạng tồn phương Q Ta nói Q đưa dạng tắc ta cở sở F = {fj} mà sở này, ma trận dạng tồn phương Q có dạng đương chéo, nghĩa là: Q( x)  xE AF xF  1 x12   x22     n xn2 T với: AF  diag (1 ,  ,,  n ), x F  x1    x   2    x   n Ta chứng tỏ dạng tồn phương ln đưa dạng tắc 7.2.2 Phƣơng pháp biến đổi trực giao Xét dạng toàn phương Q: Rn  R x  Q(x) với ma trận A sở tắc E Rn A ma trận thực, đối xứng Theo kết Chương 7, tồn sở trực chuẩn F = {fj} gồm véctơ riêng A: Tài liệu giảng dạy mơn Đại số tuyến tính 80 n f i   cij ei i 1 P = (cij) ma trận chuyển sở trực chuẩn, P ma trận trực giao, nghĩa là: PT = P-1 Giả sử A’ ma trận Q F Thế A’ ma trận chéo với đường chéo trị riêng tương ứng với véctơ riêng fi ta có: A’ = PTAP = P-1AP theo (2) Nếu x  Rn có toạ độ sở F là: X  xF  x1 f1    xn f n A’ có dạng chéo nên Q( X )  X T A' X  1 x12   x22     n xn2 Do A’ = P-1AP nên A’ A có đa thức đặc trưng  i trị riêng A Ví dụ: Giả sử Q dạng tồn phương khơng gian véctơ Euclide R3 xác định bởi: Q( x)  x2 x3  x3 x1  x1 x2 với 0 1   x  ( x1 , x2 , x3 ) A   1  1 0   Đa thức đặc trưng A là:  A  I  1  1  1    2     Vậy 1    3  1 giá trị riêng A, 1 nghiệm đơn,  nghiệm kép Ta tìm véctơ riêng, đồng thời cột ma trận đổi sở P:   1 0      A  1 I  A  I        1   1    0   Tài liệu giảng dạy mơn Đại số tuyến tính 81 1 1  1      A   I  A  I  1 1   0  1 1  0      Do véctơ riêng là: v1  1,1,1, v2  1,1,0 v3  0,1,1 Thực q trình trực giáo hố, trực chuẩn hố, ta thu véctơ trực giao  v1     v2     v3      3 3  ,0  ,  1 , , 1 , ,   6 Và ma trận P phép chuyển sở tắc sang sở trực chuẩn v1 , v2 , v3  ma trận có véctơ cột véctơ v1 , v2 , v3     P=      1   6 1    6    6 3 Nếu x = (x1, x2, x3) có tọa độ sở v1, v2, v3 x  x1' v1  x2' v2  x3' v3 thì:  x1'   x1   '   x S   x2   2  x'  x   3  3 hay: x1  ' ' ' x1  x2  x3 , x2  ' ' ' x1  x2  x3 , Tài liệu giảng dạy mơn Đại số tuyến tính 82 x3  ' ' x1  x3 Thay x1, x2, x3 biểu thức dạng tồn phương cho Q(x), ta dạng tắc tồn phương cho Q(x), ta đượcdạng tắc tồn phương 1 x1'2   x2'2  3 x3'2  x1'2  x2'2  x3'2 gồm tổng bình phương 7.2.3 Phƣơng pháp Lagrange Ý tưởng phương pháp Lagrange bước đưa dạng toàn phương dạng Q( x1 , x2 ,, xn )  a1 x12  Q1 ( x2 ,, xn ), (3) với Q1(x1, , xn) có tối đa n – biến: Q1 ( x2 , xn )  a2 x22  Q2 ( x3 ,, xn ), Bài toán chia làm trường hợp với cách xử lý khác nhau: 1o Trường hợp aii = 0, i = 1,2, .,n; 2o Trường hợp có aii  với i Trường hợp 1o aii = 0, i = 1,2, ,n Ta tìm cách đưa Trường hợp 2o + Nếu a12 = a13 = = a1n = dạng tồn phương cịn n – biến chuyển xử lý cho Q(x2, ,xn) + Nếu ngược lại a12  Ta thực biến đổi theo công thức:  x1  x1'  x 2' ;  ' '  x  x1  x '  x3  x3     x n  x n'   Cơ sở E’ = e1' , e2' , e3' ,, en' Ma trận phép đổi sở khơng suy biến có dạng Tài liệu giảng dạy mơn Đại số tuyến tính 83 1  1 1 A'   0    0  0   0   0  0       Sau phép biến đổi trên, dạng toàn phương Q có dạng Q  2a12 x1'2  2a12 x2'2  n a i , j 2 ' ij xi' x 'j vậy, với phép biến đổi toạ độ trên, Trường hợp 1o đưa Trường hợp 2o Trường hợp 2o Có aij  với i Khơng tính tổng qt, giả sử a11  0, Q  a x  2a12 x1 x2    2a1n x1 xn  11 n a i , j 2 ij xi x j   a12 a1n   a12 a1n   x2    x2    xn    xn    a11  x1  x1  a11   a11 a11     a11  n  a a  a11  12 x    1n x n    aij xi x j a11  i , j   a11 Đặt a1 = a11  '  x1  '  x2   '  x n   a12  a  x    1n x n  a11   a11   x2   xn n  a a Q1 x ,, x  a11  12 x2'    1n xn'    aij xi x j , a11  i , j 2  a11  ' ' n  ta Q  a1 x1'2  Q1 ( x2' ,, xn' )   có dạng (3) với Q1 x2' ,, xn' dạng toàn phương với n – biến Tiếp tục thuật toán với Q1, sau số hữu hạn bước ta đưa Q dạng tắc Cuối cùng, để viết ma trận sở, ta viết lại phép biến đổi dạng Tài liệu giảng dạy mơn Đại số tuyến tính 84  '  x1  '  x2   '  x n  x1'   x 2'  a a12 ' x    1n x n' a11 a11  x n'   Phép chuyển sở sang sở E '  e1' , e2' ,, en' có ma trận là: a    12 a11   S    0       a1n   a11       Thuật tốn Lagrange trình bày cịn gọi “ khử số hạng chữ nhật” Ví dụ: Cho dạng toàn phương Q R4 Q( x)  x12  x1 x2  x1 x3  x1 x4  x22  x2 x3  x2 x4  x42  x42 Ta biến đổi sau: Q  x1  x2  x3  x4    x2  x3  x4   x22  x2 x3  x2 x4  x23  x42 2  x1  x2  x3  x4   3x2 x3  x2 x4  x3 x4  x42 Đặt x1'  ( x1  x2  x3  x4 ) khử số hạng chữ nhật x4 x3 x32 Q( x)  x  3( x4  x2  )  x2 x3  3 /2 Đặt x2/  x4  x2  x3 khử số hạng chữ nhật x3 3x 3x Q( x)  x1/  3x2/  ( x3  )  3 Đặt x3/  x3  3x / ; x4  x2 Q( x)  x1'2  3x2'2  x3'2  x4'2 Đây dạng tắc dạng tồn phương cho Phép biến đổi tiến hành là: Tài liệu giảng dạy mơn Đại số tuyến tính 85 x1'  x1 x 2'  x4 x3'  x3 x 4'  x2  x  x3  x x  x2  3 3x2  Hay x1  x1'  x 2'  x  x 4' ' x3  x 4' 3 ' x4 x' x  x 2'   x 4' 2 x3  x3'  Ma trận chuyển sở sang sở tắc là: 1  0 0  0   4/3 0 1     / 2   /  /  Như vậy, sở tắc là: 3 e1'  (1,0,0,0), e2'  (1,0,0,1), e3'  ( ,0,1, ), e4'  (1,1, , 3 2 Tài liệu giảng dạy mơn Đại số tuyến tính 86  BÀI TẬP CỦNG CỐ 7.1 Trong không gian  , đưa dạng tồn phương sau dạng tắc a) Q( x)  x12  x1 x2  x1 x3  x22  x2 x3  3x32 ; b) Q( x)  x1 x2  x2 x3  x3 x1 ; c) Q( x)  x12  5x22  x32  x1 x2  x1 x3 ; 7.2 Trong không gian  , dưa dạng tồn phương sau dạng tắc a) Q( x)  x12  x1 x2  x3 x4 ; b) Q( x)  x1 x2  x3 x4 ; 7.3 Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc phép biến đổi trực giao a) Q( x)  x1 x2 ; b) Q( x)  3x12  x1 x2  3x22 ; c) Q( x)  x12  x22  x32  x1 x2  x1 x3  x2 x3 ; d) Q( x)  x12  x22  x1 x3  x32  x42 ; e) Q( x)  x12  x1 x2  x1 x3  x22  x32 ; f) Q( x)  x12  x1 x2  x1 x3  x22  x2 x3  x32 ; 7.4 Trong không gian  , đưa dạng tồn phương sau dạng tắc, biện luận theo   số qn tính dạng tồn phương a) Q( x)  x12  x1 x2  x22  x3 x4 ; b) Q( x)  x12  x1 ( x2  x3  x4 )  x2 ( x3  x4 )  x3 x4 ; 7.5 Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc a) Q( x)  x12  x22  3x32  x1 x2  x1 x3  x2 x3 ; b) Q( x)  x1 x2  x1 x3  x1 x4  x2 x3  x2 x4  x x4 ; Q( x)  x12  x1 x2  x1 x3  x2 x3  3x32 ; Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO  TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐỂ BIÊN SOẠN NỘI DUNG MÔN HỌC: Đại số tuyến tính – Bùi xuân Hải (chủ biên) – 2000 – Ban xuất trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại số tuyến tính: Lý thuyết Bài tập - Tạ Văn Hùng, Nguyễn Phi Khứ, Hà Thanh Tâm Đại số tuyến tính - Dương Quốc Việt, Nguyễn Cảnh lương, NXB KHKT, Hà Nội, 2005 Bài tập đại số tuyến tính Hồng Xn Sính, Trần Phương Dung - Tái lần thứ - Hà Nội 2003 Bài tập đại số tuyến tính hình học giải tích - Khu Quốc Anh, Hà Nội, Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999  TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐỀ NGHỊ CHO HỌC VIÊN: Đại số tuyến tính – Bùi xuân Hải (chủ biên) – 2000 – Ban xuất trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại số tuyến tính : Lý thuyết Bài tập - Tạ Văn Hùng, Nguyễn Phi Khứ, Hà Thanh Tâm Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính 88 ... thành Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính 31  x1   x1 3x   x2  x2  x3  x3     x3  2 x2  tùy ý  x2  Hệ có vơ số nghiệm =>  x1  x2    x3   x2 Tài liệu giảng dạy môn Đại. .. Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính 47 Chƣơng ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  Mục tiêu học tập: Sau học xong chương này, người học có thể: - Xây dựng ánh xạ tuyến tính - Tìm nhân, ảnh ánh xạ tuyến tính. .. tuyến tính dạng tồn phương 77 Tài liệu giảng dạy môn Đại số tuyến tính Chƣơng MA TRẬN VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  Mục tiêu học tập: Sau học xong chương này, người học có thể: - Tính