Đang tải... (xem toàn văn)
Vận dụng một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 ở trường THCS CẤP HUYỆN;Vận dụng một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 ở trường THCS CẤP HUYỆNVận dụng một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 ở trường THCS CẤP HUYỆN;Vận dụng một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 ở trường THCS CẤP HUYỆN;Vận dụng một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 ở trường THCS CẤP HUYỆN;
I PHẦN MỞ ĐẦU: Lý chọn đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử chuyên đề khó rộng, chiếm vị trí quan trọng chương trình bồi dưỡng với dạng tốn như: Phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức, tìm nghiệm nguyên phương trình, giải phương trình, chứng minh chia hết,…Do việc tìm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nhanh chóng, thơng minh, xác cần thiết giáo viên học sinh Bồi dưỡng HSG mơn Tốn để học sinh đạt giải kỳ thi học sinh khiếu cấp huyện việc làm khó khăn, vất vả tốn nhiều công sức thầy trị Việc tìm phương pháp bồi dưỡng hiệu cần thiết khơng giúp học sinh học tập dễ dàng mà rèn cho em lĩnh kiên cường, tự tin bước vào kỳ thi Vì tơi chọn đề tài nhằm mục đích giúp cho học sinh hiểu sâu sắc thực hành thành thạo dạng toán để tăng số học sinh đạt giải, nâng chất lượng giải kỳ thi chọn học sinh khiếu mơn tốn cấp huyện Mục đích nghiên cứu: Nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn dạng tập nâng cao có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử, giúp cho học sinh hiểu sâu sắc thực hành thành thạo dạng toán để nâng chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi, đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng tri thức vào thực tiễn sống Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phạm vi nghiên cứu: Nhóm học sinh giỏi Toán lớp Trường THCS năm học 2018 – 2019 Nhiệm vụ nghiên cứu: - Tìm hiểu nội dung (lý thuyết tập) phân tích đa thức thành nhân tử sách giáo khoa sách tham khảo - Tìm hiểu ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử việc giải tốn có liên quan Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý luận, thực tiễn - Phương pháp khảo sát thực tiễn - Phương pháp phân tích, tổng hợp - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Thời gian nghiên cứu: Từ ngày 15 tháng năm 2018 đến ngày 10 tháng 12 năm 2018 II PHẦN NỘI DUNG: Cơ sở lý luận: Để việc bồi dưỡng đạt kết giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống phương pháp đại; lấy học sinh làm trung tâm trình dạy học; phát huy khả tự học, tính tích cực, sáng tạo tự giác học sinh Muốn phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo nhanh chóng trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử phân tích đa thức cho thành tích đa thức, sau nắm phương pháp phương pháp nâng cao để phân tích, là: Phân tích đa thức thành nhân tử gì? Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử - Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách hạng tử - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thêm bớt hạng tử - Phương pháp tìm nghiệm đa thức… Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử ngồi giải tập phân tích đa thức thành nhân tử dạng tập vận dụng vận dụng ? - Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức,đơn thức khác - Phân tích đa thức thành nhân tử toán nhiều tốn khác Ví dụ: + Bài toán chứng minh chia hết + Rút gọn biểu thức + Giải phương trình bậc cao + Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Trong chương trình Tốn tập I sách giáo khoa giới thiệu cho học sinh kỹ phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cụ thể là: - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử - Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp Thời lượng để giảng dạy bốn phương pháp tiết Qua tiết học học sinh nắm cách phân tích đa thức thành nhân tử Cịn phương pháp cịn lại phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp: - Tách hạng tử - Thêm bớt hạng tử - Phương pháp tìm nghiệm đa thức - Đổi biến số Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp học dạng tốn khó lại quan trọng học sinh Đặc biệt phương pháp không giới thiệu sách giáo khoa Toán lại áp dụng nhiều tập Thực trạng vấn đề: 2.1 Thuận lợi: - Được đạo trực tiếp lãnh đạo nhà trường, tổ chuyên môn - Giáo viên tổ nhiệt tình đóng góp ý kiến, trao đổi kinh nghiệm buổi dự thăm lớp - Đa số học sinh ngoan hiền, lễ phép, biết giúp đỡ lẫn học tập - Giáo viên phân công giảng dạy chuyên nghành 2.2 Khó khăn: - Học sinh chưa hiểu sâu rộng toán phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt tốn khó, em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo - Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt - Suy luận kém, khơng biết liên hệ cho đề với kiến thức học - Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic - Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn nại gặp tốn khó Các giải pháp thực sáng kiến kinh nghiệm: * Quy trình cách thức: - Xây dựng kế hoạch thực từ đầu năm học - Tổ chức thi tuyển chọn em có khiếu môn Đặc biệt phải học môn Tốn - Tổ chức cho học ơn luyện theo chun đề, trao đổi trực tiếp Sau chuyên đề kiểm tra kiến thức học sinh (Đề dạng đề thi để học sinh làm quen dần) - Giáo viên say mê, tích cực, giảng dạy tự học; tìm tịi nhiều dạng tập phong phú cho học sinh luyện tập không lớp mà nhà - Thổi vào học sinh tự tin, niềm tin chiến thắng, ý chí kiên cường tâm thi đạt giải cao kỳ thi chọn học sinh khiếu Động viên, khích lệ học sinh thường xuyên liên tục Đồng thời kết hợp tốt với việc uốn nắn hướng dẫn cụ thể học sinh buổi học - Mỗi dạng toán cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải cách tỉ mỉ, khai thác triệt để phương pháp giải cho em luyện tập hai lần toán tương tự lớp Sau buổi học Giáo viên giao tập nhà cho em luyện tập để em khắc sâu dạng tốn ơn tâp Người giáo viên giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh với khả sáng tạo, ham thích học mơn tốn giải dạng tập mà cần phải thơng qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết tốt kì thi Từ tơi mạnh dạn chọn đề tài sang kiến kinh nghiệm: “ Vận dụng số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bồi dưỡng học sinh giỏi toán trường THCS ” nhằm giúp học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh phát phương pháp phù hợp với cụ thể dạng khác * Khảo sát thực tiễn Khi chưa thực sáng kiến này, hầu hết em làm tập lúng túng, thời gian làm nhiều, chí khơng tìm cách giải Để thực sáng kiến tiến hành khảo sát lực học sinh thông qua số kiểm tra kết sau: Xếp loại Tổng số Giỏi Khá Trung bình Yếu HS SL % SL % SL % SL % 0 25 75 0 Thông qua kết khảo sát suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững u cầu q trình giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Tơi mạnh dạn nêu số phương pháp sau Các phương pháp tiến hành để giải vấn đề: Vân dụng số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử giải toán 4.1 Phương pháp 1: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử Đối với đa thức mà hạng tử khơng có nhân tử chung, phân tích nhân tử ta thường phải tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác để nhóm với hạng tử có đa thức nhóm có nhân tử chung, từ nhóm có nhân tử chung xuất đẳng thức quen thuộc 4.1.1 Dạng tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c Cách 1: Làm xuất hệ số tỉ lệ, nhờ làm xuất nhân tử chung (thường tách hạng tử thứ 2) + Để phân tích ax bx c thành nhân tử, ta tách bx b1 x b2 x cho b1 c b1 b2 a.c a b2 + Cách làm: Bước 1: Tìm tích a.c Bước 2: Phân tích a.c thành tích hai số nguyên Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b Cách 2: Làm xuất hiệu hai bình phương (thường tách hạng tử 3) Cách 3: Một số tam thức bậc hai ax bx c có dạng đặc biệt + Nếu a + b + c = ax bx c a x 1 x c x 1 ax c a c + Nếu a – b + c = ax bx c a x 1 x x 1 ax c a Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau nhân tử: x2 - 6x + Giải Đa thức khơng có thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức đáng nhớ khơng thể nhóm hạng tử Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều hạng tử cách tách hạng tử thành hay nhiều hạng tử Cách 1: Tách hạng tử thứ hai: x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x + (Tách – 6x = (- 4x) + (-2x) = x(x - 2) - 4(x - 2) (Nhóm hạng tử) = (x - 2)(x - 4) (Đặt nhân tử chung) Cách 2: Tách hạng tử thứ ba: TH : x2 - 6x + = x2 - 6x + – (Tách = - 1) = (x - 3)2 - (Sử dụng đẳng thức) = (x - 2)(x - 4) (Dùng đẳng thức) TH : x2 - 6x + = x2 - 4x + - 2x + (Tách = + 4) = (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4) TH : x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12 (Tách = -4 + 12) = (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4) TH : x2 - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24 (Tách = -16 + 24) = (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2) Cách 3: Tách hạng tử thứ nhất: x2 - 6x + = 3x2 - 6x - 2x2 + (Tách = - 2) = 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) (Nhóm hạng tử đặt nhân tử chung) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)] (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (x - 2)(x - 4) Nhận xét: Trong cách giải trên, cách đơn giản dễ làm Ở ta tách số hạng bậc - 6x thành hai số hạng - 2x - 4x Trong đa thức x2 - 2x - 4x + hệ số số hạng là: 1; - 2; - 4; hệ số thứ thứ gấp (- 2) lần hệ số liền trước, nhờ xuất thừa số chung (x 2) Trong ví dụ x2 - 6x + có a = 1; b = - c = Tích a.c = 8, ta phân tích thành tích hai thừa số, hai thừa số dấu (vì tích chúng 8) âm (để tổng chúng - 6); ví dụ: (- 4, - 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 9x2 + 6x - Giải Cách 1: Cách hạng tử thứ hai 9x2 + 6x - = 9x2 - 6x + 12x - = 3x(3x - 2) + 4(3x - 2) = (3x - 2)(3x + 4) Chú ý: Hệ số phân tích thành - 12, có tích 72 9.(- 8) Cách 2: Tách hạng tử thứ 9x2 + 6x - = (9x2 + 6x + 1) - = (3x + 1)2 – = (3x + + 3)(3x + - 3) = (3x + 4)(3x - 2) Nhận xét: Qua hai ví dụ ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích: - Làm xuất hệ số tỷ lệ, nhờ mà xuất nhân tử chung (cách 1) - Làm xuất hiệu hai bình phương (cách 2) 4.1.2 Chú ý: a Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 phân tích cách làm tương tự đa thức bậc hai biến Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2 Giải Cách 1: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) Cách 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2 = 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y) = 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y) b Đối với đa thức f(x)có bậc từ ba trở lên để làm xuất hệ số tỉ lệ, tùy theo đặc điểm hệ số tỉ lệ ta có cách tách riêng cho phù hợp để vận dụng phương pháp nhóm sử dụng phương pháp đẳng thức đặt nhân tử chung Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử n3 – 7n + Giải: n3 – 7n + = n3 – n – 6n + = n(n2 – 1) – 6(n – 1) = n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) – 6] = (n – 1)(n2 + n – 6) = (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) = (n – 1)[n(n – 2) + 3(n – 2)] = (n – 1)(n – 2)(n + 3) Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 – 30x2 + 31x – 30 Ta có cách tách sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 Giải: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 = x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30) = (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6) c Đa thức bậc hai ax2 + bx + c không phân tích thành tích nhân tử phạm vi số hữu tỷ theo cách phân tích a.c tích hai thừa số ngun cách khơng có hai thừa số có tổng b, theo cách sau đưa đa thức bậc dạng a(x2 - k) k khơng phải bình phương số hữu tỉ Chẳng hạn đa thức x2 + 4x + có tích a.c bằng 1.6, 2.3 khơng có hai thừa số có tổng Cịn theo cách thì: x2 + 4x + = (x2 + 4x + 4) + = (x + 2)2 + = (x + 2)2 - (- 2) (-2) bình phương số hữu tỷ Vậy đa thức x2 + 4x + khơng phân tích thành tích Lưu ý: Kinh nghiệm phân tích toán thành nhân tử Trong tốn phân tích đa thức thành nhân tử - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung bước biểu thức lại ngoặc, thường thu gọn, sử dụng phương pháp nhóm dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử bước biểu thức nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp dùng đẳng thức bước toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức - Phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng liên tiếp hai bước liền Phương pháp nhóm khơng thể sử dụng liên tiếp hai bước liền Phương pháp dùng đẳng thức sử dụng liên tiếp hai bước liền 4.1.3 Bài tập vận dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – 4x – 3; b) 2x2 – 5x – 3; c) 3x2– 5x – 2; d) 2x2 + 5x + e) 5 x 16 x 4.2 Phương pháp 2: Thêm bớt hạng tử Thêm, bớt hạng tử để nhóm với hạng tử có đa thức nhằm xuất nhân tử chung xuất đẳng thức, đặc biệt xuất tổng, hiệu hai bình phương 4.2.1 Thêm bớt hạng tử để làm xuất bình phương tổng hiệu: Phương pháp áp dụng tập chứng minh đẳng thức lớn nhỏ với số thực, tìm GTLN, GTNN Học sinh nắm vững đẳng thức số A B A2 AB B 2 A B A2 AB B 2 Ví dụ : Chứng minh: a/ x x 11 với số thực x b/ x x với số thực x Giải: a/ x x 11 2 �5 � �5 � = x x � � � � 11 (hướng dẫn hs thêm bớt để đẳng thức) �2 � �2 � 2 � � 25 = �x � 11 (đưa đẳng thức số 1) � 2� � � 19 = �x � � 2� � 5� �x ��0x Vì � � Vậy x x 11 với số thực x 19 0 b/ x x với số thực x x x2 1 x x 1 2 �2 �1 � �1 � � �x x � � � � 1� � �2 � �2 � � � � � � 1� � � �x � 1� � 2� � � � � � 3� � �x � � � � 4� � � � � 3� � �x � � 0x � � 4� � � � � 3� vây � �x � � 0x � � 4� � 4.2.2 Thêm bớt hạng tử để làm xuất hiệu hai bình phương: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x4 + 81 Ta nhận thấy đa thức cho tổng bình phương (2x 2)2 + 92 tương ứng với hai số hạng A2 + B2 đẳng thức A2 + 2AB + B2 thiếu 2AB Vậy cần thêm bớt 2.2x2.9 để làm xuất đẳng thức 10 Giải x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + = (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 ) = x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + ) Cách 2: Thêm x3, x2, x bớt x3, x2, x (làm xuất đặt nhân tử chung) Giải x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + ) Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1, ….; tổng quát đa thức dạng x 3m+2 + x3n+1 + x – 1, x6 – 3m + chia dư 2, 3n + chia dư thơng thường có chứa nhân tử x2 + x + 1, thêm bớt hạng tử để từ đưa tích có chứa nhân tử x2 + x + Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 + x – Ta thấy: chia cho dư 2, chia cho dư nên đa thức x + x – có nhân tử x2 + x + Cách 1: x5 + x – = x5 – x4 + x4 – x3 + x3 – x2 +x2 + x – = x3(x2 – x + 1) + x2(x2 – x + 1) – (x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x3 + x2 – 1) Cách 2: x5 x x5 x x x x x 1 x x 1 x x 1 x x x 1 x x 1 x 1 4.2.4 Bài tập vận dụng: Bài 1: Chứng tỏ rằng: a/ x2 – 6x + 10 > với x b/ 4x – x2 – < với x 12 Bài 2: Tìm GTNN đa thức: a/ P = x2 – 2x + b/ Q = 2x2 – 6x Bài 3: Tìm GTLN đa thức: a/ 4x – x2 + b/ x – x2 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: a/ x7 + x5 + b/ x8 + x + c/ x11 + x4 + d/ x10 + x2 + e/ x7 + x2 + 4.3 Phương pháp 3: Phương pháp tìm nghiệm đa thức Để tách hạng tử đa thức làm xuất hệ số tỷ lệ ta thường dùng cách tìm nghiệm đa thức 4.3.1 Nhắc lại số kiến thức nghiệm đa thức a Định nghĩa nghiệm đa thức: Số a gọi nghiệm đa thức f(x) f(a) = 0, đa thức f(x) có nghiệm x = a chứa thừa số x - a Khi xét nghiệm đa thức ta cần nhớ định lý sau: b Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số nghiệm đa thức c Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ - nghiệm đa thức d Định lý 3: Nếu đa thức f(x) với hệ số nguyên có nghiệm ngun nghiệm ngun ước hệ số tự Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ ước hệ số tự do, không nghiệm đa thức dùng nhận xét sau: Nếu a nghiệm nguyên đa thức f(x) f(1), f(-1) khác f 1 số nguyên a 1 f 1 a 1 Ví dụ: f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 Có ước 18 là: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6; ± 9; ± 18 f(1) = - 13 + - 18 = - 18 f(-1) = - - 13 - - 18 = - 44 13 18 18 Hiển nhiên ± không nghiệm f(x), ta thấy: 3 1 ; �6 1 ; 18 18 ; �9 1 �18 1 không nguyên nên - 3; ± 6; ± 9; ± 18 không nghiệm f(x); 44 1 không nguyên nên nghiệm f(x) Chỉ (– 2) 3, kiểm tra ta thấy nghiệm f(x) Do đó, ta tách hạng tử sau: 4x3 - 13x2 + 9x - 18 = 4x3 - 12x2 - x2 + 3x + 6x – 18 = 4x2 (x – 3) – x(x – 3) + 6(x – 3) = (x – 3)( 4x2– x+ 6) e Định lý 4: Đa thức f(x) với hệ số nguyên có nghiệm hữu tỷ x = p p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao q 4.3.2 Phương pháp tìm nghiệm nguyên đa thức: Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 có nghiệm nguyên x = x0 x0 ước hệ số tự a0, phân tích f(x) nhân tử f(x) có chứa nhân tử x - x Vì đa thức biến bậc cao, ta nên tìm lấy nghiệm để định hướng việc phân tích nhân tử Nguyên tắc: + Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm theo định lý Bơ du ta có: Nếu m nghiệm (1) m chứa nhân tử (x - m), dùng phép chia đa thức ta có: ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x + b'x + c'), nhân tử bậc hai phân tích tiếp dựa vào phương pháp nêu + Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt x = a x = b ta phân tích đa thức thành tích ba thừa số (x – a), (x – b) Q(x) P(x) = (x – a)(x – b) Q(x) Muốn tìm Q(x), ta chia P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x + (a + b)x + ab, ta có thương phép chia Q(x) Sau lại áp dụng để phân tích tiếp Q(x) + Các phương pháp tìm nghiệm đa thức bậc 3: - Nếu tổng hệ số: a + b + c + d = đa thức có nghiệm x = đa thức chứa nhân tử chung (x - 1) 14 - Nếu tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ tức a - c = b + d đa thức có x = -1 đa thức chứa nhân tử chung (x + 1) - Nếu không xét tổng hệ số ta xét ước hệ số tự d (hệ số không đổi) Nếu ước d làm cho đa thức có giá trị ước nghiệm Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 5x2 + 8x - Ta thấy đa thức cho có tổng hệ số - + - = 0, nên nghiệm đa thức Đa thức cho chứa thừa số x – Giải x3 - 5x2 + 8x - = x3 - x2 - 4x2 + 4x + 4x - = x2 (x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1) = (x - 1)(x2 - 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 5x2 + 3x + Ta thấy hệ số đa thức + = - + 9, nên đa thức cho có nghiệm -1, đa thức chứa thừa số x + Giải x3 - 5x2+ 3x + = x3 - 6x2 + x2 - 6x + 9x + = x2(x + 1) - 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)(x2 - 6x + 9) = (x + 1)(x - 3)2 Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – Ta nhận thấy đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt -1 Vì P(-1) = P(2) = Do P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x – x – , ta thương phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + = (x + 1)2 + Ta thấy Q(x) �0 x nên Q(x) phân tích Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x3 - x2 - Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, ± Ta thấy f(2) = 23 - 22 - = - - = 0; đa thức có nghiệm x = 2, chứa thừa số x - Giải Ta có: x3 - x2 - = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 15 = x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2) Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 + 3x2 – Nếu đa thức có nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử ( x – a) nhân tử cịn lại có dạng x2 + bx = c suy – ac = – suy a ước – Vậy đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên có phải ước hạng tử không đổi Ước (– 4) –1; 1; – 2; 2; – 4; Sau kiểm tra ta thấy nghiệm đa thức Suy đa thức chứa nhân tử ( x – 1) Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung (x – 1) Giải Cách 1: Đa thức x3 + 3x2 – có nghiệm x = nên chứa nhân tử x – P(x) = x3 + 3x2 – = x3 – x2 + 4x2 – = x2(x – 1) + 4(x – 1)(x + 1) = ( x – 1)(x2 + 4x + 4) = (x – 1)(x + 2)2 Cách 2: Đa thức x3 + 3x2 – có nghiệm x = –2 nên chứa nhân tử x + Ta có x3 + 3x2 – = x3 + 2x2 + x2 + 2x – 2x – = x2(x + 2) + x(x + 2) –2(x + 2) = (x + 2) (x2 + x – 2) = (x + 2) (x2 – x + 2x – 2) = (x + 2) x(x – 1) + 2(x – 1) * Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau nhân tử: a) x3 + 2x - 3; e) x3 - 9x2 + 6x + 16; b) x3 - 7x + 6; f) x3 - x2 - x - 2; c) x3 - 7x - 6; (nhiều cách) g) x3 + x2 - x + 2; d) x3 + 5x2 + 8x + 4; h) x3 - 6x2 - x + 30 4.3.3 Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ đa thức: Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 có nghiệm hữu tỉ p x = q (dạng tối giản) p ước hệ số tự a0 q ước dương 16 hệ số cao an + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) a-1 f(-1) số nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự a+1 Khi phân tích f(x) nhân tử f(x) có chứa nhân tử qx - p Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 + 5x2 + 5x + Giải Theo ví dụ, ta thấy số 1; 3 khơng nghiệm đa thức Như đa thức nghiệm nguyên, đa thức có nghiệm hữu tỉ khác Các ước là: 1; – 1; 3; – (p) Các ước dương là: 1; (q) p 3 Xét số dạng q là: 1; 3; ; ta thấy nghiệm đa thức cho 2 Vậy Đa thức 2x3 + 5x2 + 5x + có nghiệm x = 3 nên chứa nhân tử 2x + Ta có: 2x3 + 5x2 + 5x + = 2x3 + 3x2 + 2x2 + 3x + 2x +3 = x2(2x + 3) + x(2x + 3) + (2x + 3) = (2x + 3)(x2 + x + 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 - x2 + 5x + Ta thấy ± 1; ± nghiệm đa thức, xét số hữu tỷ dạng p � ; � Ta có nghiệm đa thức với p Ư(2) q Ư(3) gồm q 2 nên chứa thừa số 2x + Vậy 2x3 - x2 + 5x + = 2x3 + x2 - 2x2 + 6x - x + = x2(2x + 1) - x(2x + 1) + 3(2x + 1) = (2x + 1)(x2 - x + 3) Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau nhân tử: a) 6x2 – x – 1; e) 2x3 – 5x2 + 5x – b) 6x2 – 6x – 3; f) 2x3 + 3x2 + 3x + 1; c) 15x2 – 2x – 1; g) 3x3 – 2x2 + 5x + 2; 17 d) 2x3 – x2 + 5x + 3; h) 27x3 – 27x2 + 18x – 4; 4.3.4 Chú ý: - Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức có nghiệm Ví dụ 1: Đa thức a) 3x4 – 4x +1 có 3+ (–4) + = nên có nghiệm x = b) 4x3 +5x2 – 3x – có + + (–3) + (–6) = nên có nghiệm x = - Nếu đa thức có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ đa thức có nghiệm –1 Ví dụ 2: Đa thức a) 4x5 + 5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x – Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : + 11 + (–3) = 13 Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + + = 13 Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm – b) x3 + 3x2 + 6x + Tổng hệ số số hạng bậc chẵn bằng: + = Tổng hệ số số hạng bậc lẻ bằng: + = Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm –1 - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức Nếu đa thức F(x) có nghiệm x = a chứa nhân tử x – a phân tích cần làm xuất nhân tử chung cho có nhân tử x – a 4.4 Phương pháp đổi biến Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa đa thức có bậc thấp để thuận tiện cho việc phân tích nhân tử, sau phân tích nhân tử đa thức mới, thay trở lại biến cũ để đa thức với biến cũ Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 2) h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 3) g(x) = 4x( x + y)( x + y + z)( x + z) + y2x2 Giải 18 1) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Đặt x2 + x + = y � x2 + x + = y + f(x) = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) Thay y = x2 + x + , ta được: f(x) = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) Đến ta phân tích tiếp: x2 + x – = x2 – x + 2x – = x(x – 1) + 2(x – 1) = (x – 1)(x + 2) 2 �1 � �1 � � � 19 x + x + = x + x + � � � � �x � �2 � �2 � � 2� 2 � 1� Vì �x ��0x, x �R nên � 2� � � 19 19 �x � � � 2� 4 Và x2 +x + khơng thể phân tích Kết quả: f(x) = (x –1)(x + 2)(x2 + x +5) 2) h(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 24 = (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) – 24 Đặt y = x2 + 5x + � x2 + 5x + = y + ta được: h(x) = y(y + 2) – 24 = y2 + 2y – 24 = y2 - 4y + 6y – 24 = y(y – 4) + 6(y – 4) = (y – 4)(y +6) Thay y = x2 +5x + , ta được: h(x) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) Kết quả: h(x) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) 19 3) g(x) = 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)( x + z) + y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2 Đặt : x2 + xy + xz = m, ta có: g(x) = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = ( 2m + yz)2 Thay m = x2 + xy + xz, ta : g(x) = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Kết quả: g(x) = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Hiệu SKKN: Áp dụng sáng kiến vào bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp Trường THCS năm học 2018 – 2019 thu kết khả quan Kết bồi dưỡng học sinh nâng lên rõ rệt qua học, qua kì thi, đặc biệt em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm dạng tốn có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết tốt Bên cạnh phương pháp giúp em dễ dàng tiếp cận với dạng tốn khó kiến thức việc hình thành số kĩ trình học tập giải tốn học mơn tốn Xếp loại Tổng số Giỏi Khá Trung bình Yếu HS SL % SL % SL % SL % 25 62,5 12,5 0 III PHẦN KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT: Kết luận: Ngay từ bắt đầu năm học phân cơng giảng dạy Tốn giáo viên cần phải xác định nhiệm vụ, mục tiêu rõ ràng cho học sinh tầm quan trọng nội dung kiến thức chương I Việc phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng việc giải tốn khơng tốn phân tích mà cịn liên quan đến nhiều dạng tốn sau Nếu giúp học sinh nắm vững kỹ phân tích đa thức 20 chương I chương II giáo viên học sinh làm việc nhẹ nhàng Việc áp dụng kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử bước đầu giúp học sinh nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên để học sinh nhận dạng tập áp dụng cách phân tích phù hợp Đây vấn đề tơi trăn trở? Phần lớn học sinh say mê giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử em khơng cịn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử Các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú học toán Từ đó, tạo cho em tính tự tin độc lập suy nghĩ Phát triển tư logic, óc quan sát, suy luận tốn học Từ đó, giúp phát triển ngôn ngữ tạo cho cá em tư mới, vững vàng học tập, lao động sống Trong trình giải tập giúp em có khả phân tích, suy ngẫm, khái quát vấn đề cách chặt chẽ, em khơng cịn ngại khó, mà tự tin vào khả học tập mình, tìm cách giải hay ngắn gọn phù hợp Trong trình giảng dạy, hẳn mong muốn cho học sinh hiểu bài, chất lượng học tập em tốt hơn, tạo cho em có đầy đủ điều kiện bước vào sống học lên Vì địi hỏi người tạo sản phẩm cần phải : Có kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh Học sinh phải nắm vững lý thuyết, biết vận dụng thực hành loại toán, giải nhanh, thành thạo nhiều cách Trên sở giải tập, biết đặt tập để kích thích say mê học tốn Những biện pháp việc làm tơi trình bày trên, bước đầu chưa đạt kết chưa thật mỹ mãn tâm ý thân Tuy nhiên, thực tốt nghĩ góp phần đổi phương pháp dạy học mà ngành quan tâm đạo Mặt khác, với cách trình bày (nếu thành cơng) tơi thiết nghĩ, áp dụng cho số phần khác như: Giải phương trình quy phương trình bậc ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn mẫu… Đề xuất: 2.1 Về giáo viên: - Nghiên cứu kỹ chương trình, dạy chọn nội dung kiến thức phù hợp với đối tượng học sinh - Để học sinh nắm vững kiến thức giáo viên cần phải lựa chọn tập từ dễ đến khó nhằm khắc sâu kiến thức rèn luyện kỹ giải tập cho học sinh 21 - Bất kỳ dạng phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên phải làm mẫu cho học sinh Đối với tập mẫu giáo viên cần phải phân tích cụ thể ghi lại cách làm chi tiết cho học sinh để học sinh nhà làm tập tương tự từ phát triển thành nhiều tập khó phức tập 2.2 Về Học sinh: - Nắm vững lý thuyết - Tăng cường kỹ giải tập lớp nhà 2.3 Về phía phụ huynh: - Cần quan tâm đến thời gian học tập em - Đầu tư loại sách tham khảo để em tự học 2.4 Về phía nhà trường: - Nhà trường xếp đảm bảo hợp lý, khoa học hiệu thời gian bồi dưỡng sở vật chất phục vụ cho việc dạy học - Cuối đợt bồi dưỡng sau phần khảo sát chất lượng cần chọn số học sinh tiêu biểu để tuyên dương khen thưởng nhằm tạo động lực để em tiếp tục nghiên cứu tự học Tôi tin kinh nghiệm biện pháp nhỏ bé kinh nghiệm đúc kết qua sách vở, quý thầy giáo, cô giáo trước bạn đồng nghiệp Vì vậy, thân tơi mong góp ý, xây dựng quý thầy giáo, cô giáo, bạn đồng nghiệp, nhằm giúp tơi bước hồn thiện phương pháp giảng dạy Từ đó, thân tơi có điều kiện cống hiến nhiều trí lực cho nghiệp giáo dục Tôi xin chân thành cảm ơn! , ngày 20 tháng 12 năm 2019 Người viết Đinh Thị Viên 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại Số NXB Giáo Dục Sách tập toán tập NXB Giáo Dục Toán Nâng cao phát triển Đại Số Vũ Hữu Bình Tốn bồi dưỡng học sinh lớp Vũ Hữu Bình Đa thức-Phân thức đại số-Phương trình Bộ GD-ĐT 23 PHỤ LỤC Bài tập rèn luyện: Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x y xy2 x z xz y z yz 2xyz b) 8x (y z) y3 (z 2x) z (2x y) c) (x y z)3 x y z d) x16 e) x y6 Bài tập 2: Phân tích đa thức sau nhân tử a) f(x) =5x – 10xy + 5y – 20z b) g(x) = x – x + 3x y + 3xy + y – y c) h(x) = 2x + 7x – 2x – 13x + d) k(x) = 27x – 9x3 + 14x – e) l(x) = (x + x) + 4(x + x) – 12 f) m(x) = x + 27 g) n(x) = x + 3x + h) p(x) = (x + 2)(x + )(x + 4)(x + 5) – 24 i) i(x) = a6 + a4 + a2b2 + b4 – b6 Bài tập 3: Phân tích đa thức sau nhân tử : A = (a + b + c)3 – 4(a3 + b3+ c3) – 12abc cách đổi biến: đặt a + b = m, a – b = n Bài tập 4: Phân tích đa thức sau nhân tử : a) x8 + 14x4 + 1; b) x8 + 98x4 + Bài tập 5: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng thêm số phương Bài tập 6: Chứng minh rằng: số A = (n + 1)4 + n4 + chia hết cho số phương khác với số n nguyên dương Bài tập 7: Tìm số nguyên a, b, c cho phân tích đa thức (x + a)(x – 4) – nhân tử ta (x + b)(x + c) Bài tập 8: Tìm số hữu tỉ a, b, c cho phân tích đa thức 24 x3 + ax2 + bx2 + c thành nhân tử ta (x + a)(x + b)(x + c) Bài tập 9: Số tự nhiên n nhận giá trị, biết phân tích đa thức x2 + x – n nhân tử ta (x – a)(x + b) với a, b số tự nhiên < n < 100 ? Bài tập 10: Cho A = a2 + b2 + c2, a b hai số tự nhiên liên tiếp c = ab CMR: A số tự nhiên lẻ 25 ĐÁNH GIÁ CỦA HĐKH CẤP CƠ SỞ TRƯỜNG THCS BT DTTS (Xác nhận, đánh giá, xếp loại) , ngày tháng năm 2020 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ CỦA HĐKH CẤP NGÀNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN (Xác nhận, đánh giá, xếp loại) , ngày tháng năm 2020 CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG 26 ... hiểu phân tích đa thức thành nhân tử phân tích đa thức cho thành tích đa thức, sau nắm phương pháp phương pháp nâng cao để phân tích, là: Phân tích đa thức thành nhân tử gì? Phân tích đa thức thành. .. thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung - Phân tích đa thức. .. kỹ phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cụ thể là: - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức - Phân tích