skkn toán MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

skkn toán MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN skkn toán MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN skkn toán MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN skkn toán MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN skkn toán MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN skkn toán MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN skkn toán MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẢN MƠ TẢ SÁNG KIẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN BỘ MƠN: TỐN Năm học THƠNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dạy học mơn Tốn khối lớp Tác giả: Họ tên: Nam Ngày tháng/năm sinh: Trình độ chun mơn: Chức vụ, đơn vị cơng tác: Giáo viên trường THCS Điện thoại: Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Học sinh THCS nắm kiến thức tích, số nguyên kỹ biến đổi phương trình - Thày giáo giảng dạy mơn Tốn trường THCS Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2018-2019 TÁC GIẢ XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN TĨM TẮT SÁNG KIẾN Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến Trong năm qua, đề kiểm tra, đề thi khảo sát chất lượng học kì, cuối học kì, tuyển sinh vào THPT khơng chuyên trường chuyên hay đề thi học sinh giỏi huyện, tỉnh thành thường có tốn phương trình nghiệm nguyên dạng tương tự Đối với toán này, nhiều học sinh khá, giỏi cảm thấy khó khăn Qua nhiều năm giảng dạy ôn thi, nhận thấy phương trình nghiệm nguyên dạng có số em học sinh làm Cịn phương trình dạng khó nhiều em lúng túng cách xác định hướng giải Dẫn đến nhiều em bị điểm kì kiểm tra hay thi cử Việc nắm dạng tốn phương trình nghiệm ngun giúp cho dễ dàng tìm hướng giải tốn, tránh sai lầm q trình giải tốn Từ đưa tốn cần giải toán quen thuộc Điều cần thiết cho em học sinh Chính điều thúc viết sáng kiến Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến Sáng kiến áp dụng việc giảng dạy lớp, ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên, không chuyên thi học sinh giỏi cấp Đối tượng sử dụng thầy cô giáo dạy Tốn, dạy ơn thi học sinh giỏi tốn lớp 9, ôn thi vào THPT em học sinh Đặc biệt em học sinh lớp Nội dung sáng kiến Trong năm gần đây, đề kiểm tra định kì, đề thi vào lớp 10 THPT thi học sinh giỏi cấp thường có tốn phương trình nghiệm ngun Thực tế cho thấy đa số em có tâm lí “bỏ qua” tập hướng giải toán Nội dung chuyên đề giúp em nắm dạng tốn phương trình nghiệm ngun, từ tìm hướng giải tốn Trong sách viết phương trình nghiệm nguyên, nhiều đề cập đến việc đưa dạng phương trình Tuy nhiên việc đưa chưa đầy đủ dạng tốn, phân tích chưa sâu mà chủ yếu cách giải tốn Chưa cho em nắm sở hình thành cách giải Nội dung sáng kiến phân tích sâu cách xác định hướng làm phương trình nghiệm nguyên, dạng tốn dạng phương trình Điều giúp cho em tránh sai lầm lời giải xác định nhanh chóng hướng làm, tạo hứng thú học tập cho em Từ giúp em có niềm say mê, hứng thú tự tin cần thiết cho em học tập thi cử, giúp tiết kiệm thời gian kì thi Khi chưa hướng dẫn, đúc rút kinh nghiệm cách giải phương trình nghiệm ngun Tơi thấy nhiều em học sinh cịn lúng túng việc xác định hướng giải toán Sau thực chuyên đề vào giảng dạy, em nắm nội dung kiến thức, biết phát áp dụng thành thạo vào việc xác định hướng giải tập Nhất tốn địi hỏi có tư sâu hơn, tốn phương trình nghiệm nguyên khó Điều khẳng định lợi ích thiết thực chuyên đề Kết đạt sáng kiến Trước sau áp dụng sáng kiến, tơi có khảo sát để so sánh, đối chứng để kiểm định kết Qua khảo sát, thấy làm em tốt nhiều so với trước áp dụng sáng kiến Điều khẳng định giá trị sáng kiến Đề xuất kiến nghị để thực áp dụng mở rộng sáng kiến Để thực tốt sáng kiến này, giáo viên cần phải cho học sinh ôn lại bổ sung thêm tính chất phép nhân số tự nhiên, phép nhân số nguyên, ước bội số nguyên, tính chất chia hết, đẳng thức, phép biến đổi phân thức Sau hệ thống lại thành kiến thức phương trình nghiệm nguyên Giáo viên cần cho em làm tập áp dụng, phát kiến thức từ đơn giản đến phức tạp nhằm hình thành khả thói quen tư cho em Dần dần em có hướng tư tích cực xác Các em học sinh cần phải tập trung để nắm vững kiến thức phương trình nghiệm nguyên, nắm phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Nắm kĩ biến đổi phương trình Từ vận dụng vào tập Để sáng kiến áp dụng tốt giáo viên cần có phương tiện cơng nghệ thơng tin để hỗ trợ máy tính, máy chiếu đa năng… MƠ TẢ SÁNG KIẾN Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến 1.1 Nội dung kiến thức Trong chương trình tốn học THCS, có nhiều tốn giải phương trình nghiệm nguyên Tuy nhiên nội dung khó nên đa số tập dừng lại mức độ đơn giản Mặc dù vậy, sách nâng cao phát triển khối lớp lại có nhiều tập hay khó Đặc biệt đề kiểm tra, đề thi năm gần hay có tốn phương trình nghiệm nguyên Để giải tốt toán này, ta phải nắm lí thuyết phép nhân số nguyên, ước bội số nguyên, phân tích đa thức thành nhân tử… để tìm hướng làm Từ có lời giải tốn Các em học sinh cần hiểu, nhớ cách giải dạng toán nhớ kiến thức Sau sử dụng kiến thức cơng cụ để hỗ trợ việc phát hướng giải toán khác Điều quan trọng, đặc biệt việc ôn thi vào THPT chuyên, không chuyên thi học sinh giỏi Toán cấp 1.2 Giáo viên Khi giảng dạy lớp Do sách giáo khoa không đề cập đến phương trình nghiệm nguyên mà hình thành tập từ lớp đến lớp 9, cấp độ lớp có tập yêu cầu với cách hỏi khác thực chất giải phương trình nghiệm ngun Vậy nên trình giảng dạy, giáo viên cần hình thành kiến thức em từ lớp Trong việc ôn thi cho em vào lớp 10 THPT ôn thi học sinh giỏi cấp Khi ôn phương trình nghiệm nguyên, giáo viên cần tổng hợp lại thành dạng toán cho em để xác định hướng giải toán 1.3 Học sinh Trong đề thi có câu hỏi phương trình nghiệm ngun, câu hỏi khơng q khó có số em giải tốt tốn Tuy nhiên cịn nhiều em học sinh bỏ phần làm không đầy đủ, thiếu trường hợp… Thực tế cho thấy, nhiều em làm tốn em trang bị tốt kiến thức phương trình nghiệm ngun Khi chưa ơn cách hệ thống, thấy em học sinh gặp tốn phương trình nghiệm ngun, em thường lúng túng việc tìm hướng làm Có em giải sai, giải thiếu trường hợp lập luận không chặt chẽ, xác định thiếu giá trị ẩn… Có em không Khi học nắm dạng toán phương trình nghiệm ngun Tơi thấy em học sinh thực tốt việc vận dụng dạng toán vào việc phát hướng giải tốn, từ dễ đến khó Qua ta thấy tầm quan trọng việc nắm vững dạng tốn phương trình nghiệm ngun việc ôn thi vào lớp 10 THPT hay ôn thi học sinh giỏi cấp Cơ sở lý luận vấn đề Khi học sinh làm tập, em thường dừng lại việc kết thúc toán mà ý đến mối quan hệ toán với nhau, chưa ý nhiều đến việc áp dụng toán việc giải tốn khác Như nói trên, việc nắm dạng tốn phương trình nghiệm ngun giúp em xác định hướng làm toán Từ em chuyển tốn đề cho thành toán quen thuộc mà em nắm vững cách giải Đó mục tiêu chuyên đề Thực trạng vấn đề 3.1 Nội dung chương trình Trong chương trình ơn thi vào THPT chuyên, không chuyên hay ôn thi học sinh giỏi cấp huyện, tỉnh có dạng tốn phương trình nghiệm ngun Thực tế có nhiều đề thi năm gần có nội dung kiến thức Để giải tập này, ngồi việc nắm kiến thức em học sinh phải có chăm có lực tư định Tuy nhiên, góc độ phát kiến thức, phát hướng làm việc nắm vững dạng tốn góp phần khơng nhỏ việc tư duy, phân tích em Từ giúp em có hướng giải toán đơn giản 3.2 Phương tiện dạy học, phương pháp dạy học tổ chức lớp giáo viên Ngoài phương tiện truyền thống phấn, thước, bảng viết Máy tính, máy chiếu, góp phần hỗ trợ việc thực chuyên đề Giáo viên sử dụng phương pháp khái qt hóa để hình thành kiến thức Sau dùng phương pháp phân tích, dùng kiến thức có để phát kiến thức, tổng hợp thành kiến thức cần thiết cho việc giải tốn Giáo viên tổ chức lớp hình thức hoạt động cá nhân đơn giản, hoạt động tập thể, nhóm nội dung kiến thức khó Các giải pháp, biện pháp thực 4.1 Cơ sở lí thuyết Để học sinh nắm phương pháp giải phương trình nghiêm nguyên cách tốt giáo viên cần trang bị cho học sinh đơn vị kiến thức sau: 4.1.1 Định nghĩa phép chia hết a, b  � (b  0)  q, r  � cho a =bq + r với  r < b Nếu r =  a Mb Nếu r 0  a Mb 4.1.2 Một số tính chất  a,b,c,d  � Nếu a  a Ma Ma Nếu a Mb b Mc  a Mc Nếu a Mb b Ma  a =  b Nếu a Mb a Mc  a MBCNN(a,b) Nếu a Mb , a Mc (b,c) =  a M(b,c) Nếu a Mb  ac Mb ( c ��) 4.1.3 Một số định lí thường dùng Nếu a Mc b Mc  (a  b) Mc Nếu a Mc b Md  ab Mcd Nếu a Mb  an Mbn ( n nguyên dương) * Một số hệ áp dụng: +  a,b  � n nguyên dương ta có (an – bn) : (a – b) +  a,b  � n chẵn (n nguyên dương) ta có (an – bn) : (a + b) +  a,b  � n lẻ (n nguyên dương) ta có (an + bn) : (a + b) * Các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5,8, 9, 11 * Thuật toán Ơ-clit mở rộng (Tìm ước chung lớn số a, b) 4.1.4 Phương trình ax2 + bx + c = Nếu có nghiệm ngun x0 c Mx0 Phương trình có nghiệm ngun  (hoặc  ') số phương * Số số nguyên tố chẵn 4.1.5 Sử dụng tính chất chia hết số phương Số phương khơng tận 2, 3, 7, Số phương chia hết cho số nguyên tố p chia hết cho p2 Số phương chia cho 3, cho dư Số phương chia cho 5, cho số dư 0; Số phương lẻ chia cho số dư Lập phương số nguyên chia cho dư 0; Khơng tồn số phương nằm hai số phương liên tiếp 4.1.6 Bất đẳng thức Cơ - si: a1  a  a3   a n n  a1 a a3 a n n Với  Đẳng thức xảy � a1 = a2 = a3 = =an 4.1.7 Bất đẳng thức Bunhiacopski a 2    a22   an2 x12  x22  2n  a1 x1  a2 x2   an xn  Đẳng thức xảy � a1 a a a     n x1 x x xn 4.2 Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 4.2.1 Phương pháp xét số dư vế Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình: 9x + = y2 + y Giải Ta có 9x + = y + y � 9x + = y(y + 1) Ta thấy 9x + chia cho dư nên y(y + 1) chia cho dư Mà y y + hai số nguyên liên tiếp nên y = 3k + 1; y + = 3k + với k số nguyên Khi ta có: 9x + = (3k + 1)(3k + 2) � 9x = 9k(k + 1) � x = k.(k + 1) Thử lại với y = 3k + 1, x = k(k +1) thỏa mãn phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm ngun là: �x = k(k +1) � với k số nguyên �y = 3k +1 Ví dụ Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: x2 + y2 = 2019 Giải: 2 Ta thấy x y chia cho có số dư 0, nên x2 + y2 chia cho có số dư 0, 1, Còn vế phải 1999 chia cho dư Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Ví dụ Có tồn số nguyên x, y, z thoả mãn: x3 + y3 + z3 = x + y + z + 2017 khơng? Giải Ta có x3 - x = (x - 1)x(x + 1) chia hết cho Tương tự với y, z Mà 2017 không chia hết cho vơ lí Vậy khơng tồn số nguyên x, y, z thỏa mãn đề Ví dụ Tìm cặp số tự nhiên (x; y) thoả mãn x2 + 3y = 3026 Giải +) Nếu y = x = 3025 � x = 55 +) Nếu y khác 3y chia hết cho Vì x2 chia cho dư mà 3y chia hết x2 + 3y chia dư 0, mà 3026 chia dư vơ lí Vậy x = 55, y = Bài tập Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: 1) x2 - 2y = 2006 2) x2- 2y2 = 3) 19x2 + 28y2 = 2001 4) x2 = 2y2 – 8z + 5) 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 4.2.2 Phương pháp đưa dạng tổng lũy thừa Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + y2 - x – y = Giải Ta có: x2 + y2 - x – y = � 4x2 – 4x + 4y2 – 4y = 32 � 4x2 – 4x + + 4y2 – 4y + = 34 2 � 2x   2y   32  52 Vì x, y nguyên nên ta có trường hợp sau: � � �2x -1 = �2x -1 = � � �2y -1 = �2y -1 = Ta dễ dàng giải hệ Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên là: (2 ; 3); (-1; 3); (2; -2); (-1 ; -2); (3; 2); (3; -1); (-2 ; 2); (-2; -1) Ví dụ Tìm nghiệm tự nhiên phương trình m2 + n2 = 9m + 13n – 20 Giải 2 Ta có: m + n = 9m + 13n – 20 � 4m2 + 4n2 – 36m – 52n = - 80 � 4m2 - 36m + 81 + 4n2 - 52n + 169 =170 � (2m - 9)2 + (2n - 13)2 = 112 + 72 = 12 + 132 � � � � �2m -9 = 11 �2m -9 = �2m -9 = �2m -9 = 13 � � � � � �2n -13 = �2n -13 =11 �2n -13 = 13 �2n -13 =1 Ta dễ dàng giải hệ (với m, n số tự nhiên) Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên là: (10 ; 10), (10 ; 3); (8;12); (1; 1); (8; 1); (1; 12); (5;13); (5;0); (4;13); (4;0); (11;7); (11; 6) Bài tập Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình 5x2 - 4xy + y2 = 169 Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 – 4xy + 5y2 = 16 Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 – 6xy + 13y2 = 100 4.2.3 Phương pháp đưa phương trình ước số Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy – x – y = Giải Ta có xy – x – y = � x(y – 1) – y = � x(y – 1) – (y – 1) = � (y – 1)(x – 1) = Ta gọi phương trình phương trình ước số: vế trái tích thừa số nguyên, vế phải số Vì x y số nguyên nên x – y – số nguyên ước Vì x, y ngun nên ta có bảng sau: x-1 -1 -3 y-1 -3 -1 x -2 y -2 Nghiệm nguyên phương trình: (4 ; 2), (2 ; 4), (0 ; -2), (-2 ; 0) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + xy + y = Giải Ta có: x + xy + y = � (x + 1)(y + 1) = 10 (1) Vì x, y nguyên nên từ (1) ta suy (x + 1) (y + 1) ước 10 Do ta có bảng sau: x+1 -1 -2 10 -10 -5 y+1 10 -10 -5 -1 -2 x -2 -3 -11 -6 y -11 -6 -2 -3 Từ ta tìm nghiệm phương trình : (1, 4), (4, 1), (-3, -6), (-6, -3), (0, 9), (9, 0), (-2, -11), (-11, -2) Ví dụ Hãy tìm số có chữ số Biết số số phương số giảm chữ số hàng nghìn đơn vị cịn tăng lên chữ số hàng đơn vị nhận số phương (trích đề Thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc 05-06) Giải Do a + b – > a - b a + b - khác tính chẵn lẻ với a – b Nên ta có bảng sau: a + b -1 a–b a b p q n 2 38 328 20 11 10 21 19 398 20 13 25 15 82 55 5 47 Vậy n � {101; 38; 47; 55; 82; 199; 398} Ví dụ Tìm tất số nguyên tố a, b, c thoả mãn ab + ba = c Giải Do a, b, c nguyên tố nên c > c lẻ nên a, b phải khác tính chẵn lẻ Do vai trị a, b nên giả sử a lẻ, b chẵn mà b nguyên tố nên b = Do ta có a2 + 2a = c Nếu a = thoả mãn c =17 Nếu a �3 a2 = 3n + (n nguyên dương), 2a = (3-1)a = 3t - a lẻ Từ c = a2 + 2a = 3n + + 3t – = 3(n + t) hợp số Vậy tốn có nghiệm ngun (3; 2; 17) (2; 3; 17) Bài tập Bài Biết p = a + bc, q = b + ca, r = c + ab số nguyên tố, a, b, c số nguyên dương Chứng minh ba số có hai số Bài Cho số a = 2n + 3n b = 2n+2 + 3n+2 với n nguyên dương Tìm ƯCLN(a, b) = ? Bài Chứng minh 3n+4 số phương với n nguyên dương Bài Tìm số nguyên dương n để n2 + 2002 số phương 4.2.5 Hạn chế tập hợp chứa nghiệm 4.2.5.1 Hạn chế tập hợp chứa nghiệm dựa vào điều kiện ẩn Ví dụ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x  y  50 Giải Do vai trò x, y nên giả sử < x �y Ta có: x  y  50 � y  50  x � y = 50 + x - 10 2x Do x, y nguyên dương nên 2x phải số nguyên dương nên x = 2.m2 (với m > 0) � m  y 5 12 � y = 2n2 (n > 0) Khi ta có m + n = Mà m, n nguyên dương, m �n nên m = 1; n = n = 2; m = Khi ta tìm nghiệm phương trình (2;32); (8;18); (32;2); (18;8) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 – xy + y2 = Giải Ta có x2 – xy + y2 = � 4x2 – 4xy + 4y2 = 20 � (2x – y)2 = 20 – 3y2 Vì (2x – y)2 �0 với x, y nên 20 – 3y2 �0 � 3y2 �20 Mà y nguyên nên y2 � {0; 1; 4} � y � {0; 1; 2; -1; -2} + Nếu y = ta có x2 = vơ nghiệm ngun + Nếu y = ta có x2 - x + = � x2 - x – = vô nghiệm nguyên + Nếu y = ta có x2 – 2x + = vô nghiệm nguyên + Nếu y = - ta có x2 + x + = vô nghiệm nguyên + Nếu y = -2 ta có x2 +2x + = vơ nghiệm ngun Vậy phương trình cho khơng có nghiệm nguyên 4.2.5.2 hạn chế tập hợp chứa nghiệm cách thứ tự ẩn (áp dụng cho vai trò ẩn nhau) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x2 + y2 + z2 + xyz = 20 Giải Ta thấy vai trò x, y, z x, y, z nguyên dương Giả sử �x �y �z � x2 + y2 + z2 + xyz �x2 + x2 + x2 + x2 � 4x2 �20 � x2 �5 � x �2 (Do x nguyên dương) + Với x = ta có y2 + z2 + yz = 19 Lại có �x �y �z nên y2 + y2 + y2 �y2 + z2 + yz = 19 � 3y2 �19 � y2 �6 � y �2 - Nếu y = + z2 + z = 19 � z2 + z = 18 khơng có nghiệm ngun z - Nếu y = + z2 + 2z = 19 � z2 + 2z = 15 � z = (z nguyên dương) + Với x = ta có + y2 + z2 + 2yz = 20 � y2 + z2 + 2yz = 16 Mà �x �y �z � y2 + y2 + 2y2 �y2 + z2 + 2yz = 16 � 4y2 �16 � y2 �4 � y �2 Mà x �y nên y = Với x = 2, y = ta có: + z2 + 4z = 16 � z2 + 4z = 12 � z = (Do z nguyên dương) Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên dương là: (1; 2; 3); (2; 2; 2) Ví dụ Tìm nghiệm ngun dương phương trình 1 + + =1 x y z Giải 13 1 + + = nên x, y, z > x y z Do vai trò x, y, z nên giả sử �x �y �z 1 1 1 1 � � � �   � + + = � �1 � x �3 � x �{2; 3} x y z x x x x y z x 1 1 1 + Với x = ta có + + = � + = y z y z 1 1 1 1 mà � � nên  � + = � � � y �4 � y � {2; 3; 4} x y z y y y z y 1 1 - Với y = ta có + = � = vơ lí z z 1 1 - Với y = ta có + = � = � z = z z 1 1 - Với y = ta có + = � = � z = 4 z z 1 1 + Với x = ta có + + = � + = y z y z 1 1 1 2 mà � � nên  � + = � � � y �3 x y z y y y z y mà x = 3; x �y nên y = 1 Khi ta có + + = � z = 3 z Do x, y, z ngun dương mà Vậy phương trình có nghiệm nguyên (2; 3; 6); (2; 4; 4); (3; 3; 3) 4.2.5.3 Hạn chế tập nghiệm cách nghiệm ngun Ví dụ Tìm số tự nhiên x cho: x  3x  5x Giải: x Viết phương trình dạng: x �2 � �3 � � � � �  �5 � �5 � (1) Với x = vế trái (1) 2, loại Với x = vế trái (1) 1, x x x x �� �� � � �� Với x �2 � � , � � nên: � � � �   loại 5 5 5 5 �� �� � � �� Nghiệm phương trình x = Bài tập Bài Tìm số nguyên dương a, b, c đôi khác thoả mãn 14 1 1 1      �Z a b c ab ac bc Bài Tìm ngiệm nguyên dương phương trình x + y + z + = xyz Bài Tìm ba số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng Bài Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau 5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt A= 1 Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x  y  Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 5x + 12x =13x 4.2.6 Phương pháp dùng nguyên lý kẹp n2 < A < (n + 1)2 A khơng phương (với n ngun) Ví dụ Tìm tất số ngun tố p để tổng tất ước tự nhiên p4 số phương Giải Theo ta có + p + p + p + p = m2 với m � N � + 4p + 4p2 + 4p3 + 4p4 = 4m2 2 + Xét 4p + 4p + 4p + 4p + - (2p + p) 4 2 = 4p + 4p + 4p + 4p + - 4p – 4p – p = 3p + 4p + > p nguyên tố 2 Suy (2p + p) < 4m (1) 2 + Xét (2p + p + 2) – (4p + 4p + 4p + 4p + 4) = 4p4 + p2 + + 4p3 + 8p2 + 4p – 4p4 - 4p3 - 4p2 - 4p – = 5p2 > p số nguyên tố Suy 4m2 < (2p2 + p + 2)2 (2) 2 Từ (1) (2) � (2p + p) < (2m) < (2p2 + p + 2)2 Do (2p2 + p)2 (2p2 + p + 2)2 (2m)2 số phương nên (2m)2 = (2p2 + p + 1)2 � + 4p + 4p2 + 4p3 + 4p4 = (2p2 + p + 1)2 � + 4p + 4p2 + 4p3 + 4p4 = 4p4 + p2 + + 4p3 + 4p2 + 2p � p2 – 2p – = � p = (do p nguyên tố) Vậy p = 3 Ví dụ Chứng minh với số nguyên k cho trước, không tồn số nguyên dương x cho: x(x +1) = k(k + 2) Giải Giả sử x(x +1) = k(k + 2) với k nguyên, x nguyên dương Ta có: x2 + x = k2 + 2k � x2 + x + = k2 + 2k + � x2 + x + = (k + 1)2 Do x > nên x2 < x2 + x + = (k + 1)2 (1) Cũng x > nên (k + 1)2 = x2 + x + < x2 + 2x + = (x + 1)2 (2) 15 Từ (1) (2) suy ra: x2 < (k + 1)2 < (x + 1)2 vô lý Vậy không tồn số nguyên dương x để x(x + 1) = k(k + 2) với k nguyên Bài tập Bài Giải phương trình nghiệm nguyên x2 + x = y4 + y3 + y2 + y Bài Tìm tất số nguyên n để A= n + 2n3 + 2n2 + n + số phương Bài Tìm nghiệm ngun phương trình: x6 + 3x3 + = y4 Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + (x + 1)2 = y4 + (y + 1)4 4.2.7 Phương pháp giản ước cho ước số chung (Nguyên tắc lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn, nguyên tắc xuống thang) Ví dụ Tìm nghiệm ngun dương phương trình x4 + 4y4 = 2(z4 + 4t4) Giải Theo nguyên tắc lùi vô hạn: Do x4 + 4y4 = 2(z4 + 4t4) nên x4 chia hết x chia hết cho � x = 2x1 với x1 ngun Thay vào phương trình ta có: 16x14 + 4y4 = 2(z4 + 4t4) � 8x14 + 2y4 = z4 + 4t4 � z chia hết cho � z = 2z1 với z1 nguyên � 8x14 + 2y4 = 16z14+ 4t4 � 4x14 + y4 = 8z14 + 2t4 � y chia hết cho � y=2y1 với y1 nguyên � 4x14 + 16y14 = 8z14 + 2t4 � 2x14 + 8y14 = 4z14 + t4 � t chia hết cho � t = 2t1 với t1 nguyên � 2x14 + 8y14 = 4z14 +16 t14 � x14 + 4y14 = 2z14 +8t14 Vậy (x, y, z, t) nghiệm phương trình (x 1, y1, z1, t1) nghiệm phương trình, với x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1, t = 2t1 Lập luận tương tự ta có (x2, y2, z2, t2) nghiệm phương trình, với x1= 2x2, y1= 2y2, z1= 2z2, t1 = 2t2 Cứ tiếp tục x, y, z, t chia hết cho k với k số tự nhiên tùy ý Điều xảy x = y = z = t = Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun dương Theo nguyên tắc cực hạn: Giả sử (x0, y0, z0, t0) nghiệm ngun dương phương trình, x0 giá trị nguyên dương nhỏ mà x nhận 16 Gọi (x0, y0, z0, t0) = d ta có x0 = dx1; y0 = dy1; z0 = dz1; t0 = dt1 với (x1; y1; z1; t1) =1, x1; y1; z1; t1 nguyên � x1 = 2x2; y1=2y2; z1 = 2z2; t1= 2t2 vơ lý Vậy phương trình ko có nghiệm ngun dương Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + y2 + z2 = x2y2 Giải +) Nếu số x, y, z lẻ x chia dư 1, y2 chia dư 1, z2 chia dư nên x2 + y2 + z2 chia dư mà x2y2 chia dư vơ lí +) Nếu x, y lẻ z chẵn x + y2 + z2 chia hết cho 2, x2y2 không chia hết cho vơ lí +) Nếu x lẻ, y chẵn x chẵn y lẻ x 2y2 chia hết z lẻ Khi x2 + y2 + z2 chia dư 2, x2y2 chia hết cho vơ lí Vậy số x, y, z chẵn Khi x = 2x 1, y = 2y1, z = 2z1 với x1, y1, z1 số nguyên Vậy 4x12 +4y12 + 4z12 = 16x12y12 � x12 +y12 + z12 = 4x12y12 Thấy 4x12y12 chia hết x12 +y12 + z12 chia hết cho Vậy số x1,y1,z1 chẵn Khi x1=2x2, y1=2y2, z1=2z2 với x2; y2; z2; t2 nguyên � 4x22 +4y22 + 4z22 = 64x22y22 � x22 +y22 + z22 = 16x22y22 nên x2=2x3, y2=2y3, z2=2z3; Cứ tiếp tục x, y, z chia hết cho k với k số TN tùy ý Điều xảy x = y = z = Vậy pt có nghiệm nguyên x = y = z = Bài tập Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 - 2y2 = Bài Tìm ba số nguyên dương đôi khác x, y, z thỏa mãn: x + y3 + z = (x + y + z) Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  2y3  4z Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 – 3y3 – 9z3 = Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + y2 + z2 + t2 = 2xyzt 17 4.2.8 phương pháp xét chữ số tận Ví dụ Tìm nghiệm ngun dương phương trình: 1! 2!  x!  y Giải Nếu x > dễ thấy k! với k > có chữ số tận � 1! + 2! + 3! + 4! + … + x! = 33 + 5! + … + x! có chữ số tận Mặt khác y2 số phương nên khơng thể tận Do với x > phương trình vơ nghiệm + Nếu x = ta có 1! + 2! + 3! + 4! = y2 � y2 = + + + 24 = y2 � y2 = 30 khơng có nghiệm ngun + Nếu x = ta có 1! + 2! + 3! = y2 � y2 = � y = (do y nguyên dương) + Nếu x = ta có 1! + 2! = y2 � y2 = nghiệm nguyên + Nếu x = ta có y2 = � y = (do y nguyên dương) Vậy nghiệm nguyên dương (x ; y) phương trình (1 ; 1), (3 ; 3) Ví dụ Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình: x  x   32y1 Giải Cho x giá trị từ đến 9, dễ dàng xác định chữa số tận x  x  chì nhận giá trị 1; 5; Mặt khác ta thấy 32y1 lũy thừ bậc lẻ nên chữ số tận 7, khác với 1; 5; Vậy phương trình cho khơng có nghiệm nguyên dương Bài tập Bài Giải PT nghiệm nguyên x2002 + y2002 = 20032001(x3 + y3) Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 10(2x - 1) = x(13x - 3) 4.2.9 Sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc hai Ví dụ Giải phương trình nghiệm nguyên 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = Giải Ta có 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = � y2 + 2.(1 + 2x)y + 3x2 + 4x + = 18  ’y = (1 + 2x)2 – (3x2 + 4x + 5) = 4x2 + 4x + – 3x2 – 4x – = x2 – Để phương trình có nghiệm ngun  ’y phải số phương � x2 – = n2 với n � N � (x – n)(x + n) = mà x, n nguyên, x + n �x – n x + n x – n có tính chẵn lẻ nên ta có bảng: x-n -2 x+n -2 x -2 n 0 Thay x = vào phương trình ta y2 + 10y + 25 = � y = -5 Thay x = - vào phương trình ta y2 - 6y + = � y = Vậy phương trình có nghiệm ngun là: (2; -5); (-2; 3) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 - (y + 5)x + 5y + = Giải Ta có x2 - (y + 5)x + 5y + =  x = (y + 5)2 – 4(5y + 2) = y2 + 10y + 25 – 20y – = y2 – 10y + 17 Để phương trình có nghiệm ngun  x phải số phương � y2 – 10y + 17 = n2 với n � N � (y – 5)2 – n2 = � (y – + n)(y – – n) = Vì y nguyên, n � N nên y – + n > y – – n y – + n ; y – – n có tính chẵn lẻ Do ta có bảng sau: y–5+n y–5–n y n -2 -4 Thay y = vào phương trình ta x2 – (8 + 5)x + 5.8 + = � x2 – 13x + 42 = � x = x = Thay y = vào phương trình ta x2 – (2 + 5)x + 5.2 + = � x2 – 7x + 12 = � x = x = Vậy phương trình có nghiệm ngun là: (7; 8); (6; 8); (4; 2); (3; 2) 19 Bài tập Bài Giải phương trình nghiệm nguyên 2x2 + 2y2 - 2xy + x + y - 10 = Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình 3(x2+xy+y2)=x+8y Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình (2x – y - 2)2 = 7(x - 2y - y2 - 1) Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình x – y = x2 + xy + y2 4.2.10 Phương pháp tách giá trị nguyên Ví dụ Giải phương trình nghiệm nguyên xy – x = y + Giải: Ta có xy – x = y + � x(y – 1) = y + -Nếu y = ta có 0x = vơ nghiệm Nếu y �1 ta có: x  y  y 1  3  1 y 1 y 1 y 1 Do x số nguyên nên số nguyên, y – ước Vậy ta có y 1 bảng sau: y-1 -1 -3 y -2 x -2 Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên (4; 2); (2; 4); (0; -2); (-2;0) x2  x  Ví dụ Tìm cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn A= số xy  nguyên Giải Ta có yA = x   x  y 1 xy  Do A, x, y nguyên dương nên x  y 1 nguyên dương xy  � x + y + �xy – � (x – 1)(y – 1) �3 Do x, y nguyên dương nên x – � {0; 1; 2; 3} � x � {1; 2; 3; 4} 20 x2  x  - Nếu x = ta có A= nguyên � nguyên mà y nguyên dương y 1 xy  nên y � {2; 4} x2  x  - Nếu x = ta có A = nguyên � xy  nguyên mà y nguyên 2y  dương nên 2y – � {1; 7} � y � {1; 4} x2  x  - Nếu x = ta có A = nguyên � xy  13 nguyên mà y nguyên 3y  dương nên 3y – � {1; 13} � khơng có y ngun dương thỏa mãn x2  x  - Nếu x = ta có A = nguyên � xy  21 nguyên mà y nguyên 4y  dương nên 4y – � {1; 3; 7; 21} � y � {1; 2} Vậy cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn : (1 ; 2); (1; 4); (2; 1); (2; 4); (4; 1); (4; 2) Bài tập Bài Tìm số nguyên dương x, y, z thoả mãn 2(y + z) = x(yz - 1) a2  �Z Bài Tìm cặp số nguyên dương cho ab  x4  Bài Tìm cặp số (x; y) nguyên dương cho phân thức x y 1 nhận giá trị nguyên x3  x Bài Tìm cặp số (x;y) nguyên dương cho nguyên xy  4.3 Một số tập tương tự Bài Giải phương trình nghiệm nguyên sau 1) 4y + = 3x 2) x6 + 3x3+1 = y4 3) x + y + z = xyz (x, y, z nguyên dương) 4) x2 - 4xy = 23 5) 3x - 3y + = 6) 19x2 + 28y2 = 729 7) 3x2 + 8y2 + 10xy = 96 Bài Chứng minh phương trình 25t = 2t5 + 1997 khơng có nghiệm ngun 21 Bài Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau: 1) 5(xy + yz + xz) = 4xyz 3) 1 1    x y z 1995 2) xy yz xz   3 z x y 4) (x + 2004)(x + 1980) = 3y - 81 Bài Tìm n nguyên để n4 + 6n3 + 11n2 + 6n số phương Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình: 1) x2 + (x + 1)2 = y4 + (y + 1)4 2) x2 + 2003x + 2004y2 + y = xy + 2004xy2 + 2005 3) x y z y z x + + = + + = x+y+z=3 y z x x y z Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1) xy = 3(y - x) 2) (n + 1)(2n + 1) = 10m2 3) xy + yz + zx = 2(x + y + z) Bài Tìm nghiệm nguyên hệ phương trình : � 2x - 7x + 8x - = y � 1) �2y - 7y + 8y - = z � 2z - 7z + 8z - = x � �x + y = z 2) � 3 �x + y = z Bài Giải phương trình nghiệm nguyên 3x + 4y = 7z Bài Giải phương trình nghiệm nguyên: 1) x4 - y4 + z4 + 2x2z2 + 3x2 + 4z2 + 1=0 2) x3 - x2y + 3x - 2y – = 3) x6 + 8x3 + 11x2 + 28x + 12 + 3y2 = 4) 4y2 = + 199  x  2x Bài 10 Tìm tất số nguyên dương A có ba chữ số cho cộng chữ số A với A với số viết chữ số A theo thứ tự ngược lại ta số phương Kết đạt Trong trình thực sáng kiến “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên” năm học 2013 - 2014; 2014 - 2015 201522 2016, thấy em học sinh có hứng thú với chuyên đề Việc tiếp thu vận dụng em vào toán khác nhanh linh hoạt Trước sau triển khai, tiến hành kiểm tra 40 em học sinh, với mức đề khó khảo sát ban đầu: Đề (Trước triển khai chuyên đề): Bài (4 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: 1) 5(x + y) + = 3xy 2) x2 + x + = y2 Bài (6 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: + x + x + x3 = y3 Đề (Sau triển khai chuyên đề): Bài (4 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: 1) x2 + 2x + 4y2 = 37 2) x2 + y2 + z2 = 2xyz Bài (6 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: + x + x + x3 + x4 = y2 Kết đạt cụ thể sau: * Trước triển khai chuyên đề: