Một số vấn đề về đồ thị và mạng luới ô vuông

1 Tr-ờng đại học vinh Khoa toán === === lê thị liên số vấn đề đồ thị mạng l-ới ô vuông khóa luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán Vinh, 2009 = = Tr-ờng đại học vinh Khoa toán === === lê thị liên số vấn đề đồ thị mạng l-ới ô vuông khóa luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán Ng-ời h-íng dÉn khãa ln : PGS TS ph¹m ngäc béi Sinh viên thực : Lê Thị Liên Lớp : 46B1 - To¸n Vinh, 2009 =  Formatted LỜI NÓI ĐẦU Đồ thị vấn đề liên quan chủ đề tốn học ln ln quan tâm nghiên cứu Khóa luận với tên "Một số vấn đề đồ thị mạng lưới ô vuông", trình bày nội dung: Tơ màu cạnh đồ thị, định lý, tính chất mạng lưới vng điểm ngun Có nhiều tốn nhìn khó giải quyết, chuyển dạng tô màu cạnh đồ thị việc giải đơn giản nhiều Mạng lưới ô vuông kiến thức tảng, làm sở vững cho kiến thức hình học phổ thơng, hiểu rõ phần giải thích vấn đề, tốn khó mà thơng thường cơng nhận khơng chứng minh chương trình phổ thơng Nội dung khóa luận gồm chương: Chƣơng I Đồ thị Trong chương tơi trình bày khái niệm đồ thị, số khái niệm liên quan đến đồ thị Trình bày vấn đề sắc số đồ thị, số Remsey đồ thị đủ số toán liên quan Chƣơng II Mạng lƣới ô vuông điểm nguyên Trong chương trình bày định nghĩa lưới vng, số tốn liên quan đến mạng lưới vng Chứng minh số định lý quan trọng mạng lưới vng điểm ngun Khóa luận hồn thành Khoa Toán Trường Đại Học Vinh Qua tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội, người hướng dẫn tơi hồn thành khóa luận Mặc dù tơi cố gắng nhiều song trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót kiến thức thời gian cịn nhiều hạn chế Tơi mong nhận góp ý q thầy bạn để khóa luận hồn thiện Cuối xin chân thành cảm Ban Chủ Nhiệm Khoa Tốn, thầy Khoa, gia đình bạn bè nhiệt tình giúp đỡ tạo điều kiện giúp tơi hồn thành khóa luận Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn khắc ghi tất giúp đỡ quý báu Vinh, ngày 20 tháng năm 2009 Tác giả CHƢƠNG I ĐỒ THỊ 1.1 Các khái niệm Hai chữ "đồ thị" (hay graph) thường xuyên xuất đời sống toán học đời sống hàng ngày Trong học toán, nói tới đồ thị hàm số, biểu đồ biểu diễn mối quan hệ đại lượng kinh tế gọi đồ thị Tóm lại khái niệm đồ thị khái niệm toán học nhằm biểu diễn tương quan lại hai nhiều đối tượng khác 1.1.1 Định nghĩa Một đồ thị hiểu cặp hai tập hợp hữu hạn Tập hợp đỉnh tập hợp cạnh nối đỉnh với nhau, hay định nghĩa cụ thể là: Đồ thị G có tập hợp đỉnh V có tập hợp cạnh E G = (V, E) 1.1.2 Một số khái niệm liên quan đến đồ thị 1.1.2.1 Đồ thị có hướng, đồ thị vơ hướng, đố thị đơn đồ thị kép - Cho hai đỉnh a b, đoạn thẳng nối a b gọi cạnh vô hướng - Cho hai đỉnh a b, đoạn thẳng nối a b đồng thời rõ hướng đoạn thẳng (từ a đến b hay từ b đến a) gọi cạnh có hướng - Đồ thị mà có tất cạnh vơ hướng gọi đồ thị vơ hướng, thường kí hiệu G=(V,E) - Đồ thị mà có tất cạnh có hướng gọi đồ thị có hướng, thường kí hiệu G=[V,E] - Đồ thị có cạnh vơ hướng cạnh có hướng gọi đồ thị hỗn hợp - Đồ thị khơng có khun (khun cạnh nối đỉnh với nó) hai đỉnh có khơng q cạnh nối chúng gọi đồ thị đơn - Đồ thị kép đồ thị có khuyên tồn hai đỉnh mà chúng có hai cạnh nối chúng 1.1.2.2 Đồ thị - Đồ thị G1 =(V1,E1) gọi đồ thị G2=(V2,E2) V1  V2 E1  E2 1.1.2.3 Đường, chu trình - Trong đồ thị, dãy cạnh nối tiếp (hai cạnh nối tiếp hai cạnh có chung đầu mút) (A1, A2), (A2, A3), , (An-1, An) gọi đường từ A1 đến An, ký hiệu A1A2 An Đỉnh A1 gọi đỉnh đầu, đỉnh An gọi đỉnh cuối - Một đường khép kín (có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng nhau) gọi chu trình - Đường chứa tất cạnh đồ thị gọi đường Euler đồ thị - Đường chứa tất đỉnh đồ thị gọi đường Hamiton 1.1.2.4 Đồ thị liên thông - Một dãy cạnh gọi dãy cạnh đơn ta bỏ hướng cạnh (nếu có) trở thành đường - Đồ thị G gọi liên thơng hai đỉnh nối dãy cạnh đơn 1.1.2.5 Đồ thị đủ - Đồ thị G gọi đồ thị đủ cặp gồm hai đỉnh khác nối với cạnh Nếu đồ thị chưa đủ ta thêm vào số đoạn thẳng để đồ thị thu đồ thị đủ - Đồ thị bù với đồ thị G gọi G có số đỉnh G hai đỉnh nối cạnh hai đỉnh không nối với cạnh G - Nếu S tập tập đỉnh đồ thị G cho trước đồ thị sinh S đồ thị lớn G với tập đỉnh S, kí hiệu G S Ta có : G S đồ thị thành phần G Nếu G đồ thị đầy đủ G S đồ thị đầy đủ Ví dụ: Hình 1.1 đồ thị đủ đỉnh C B S = { B, C, D, E} Đồ thị sinh S phần đồ thị tơ đậm đồ thị đủ D A E Hình 1.1 1.1.2.6 Cây bụi - Cây đồ thị đơn vơ hướng khơng có chu trình với đỉnh (hình 1.2: hai cây) - Một đồ thị mà thành phần liên thông gọi bụi (hình 1.3: bụi gồm hai cây) Hình 1.2 Hình 1.3 1.2 Sắc số 1.2.1 Định nghĩa Cho đồ thị G, tơ màu đỉnh đồ thị Khi đỉnh a tô màu ổn định láng giềng (hai đỉnh gọi kề hay láng giềng chúng nối với cạnh) a tô màu a - Một cách tô màu đỉnh đồ thị G gọi cách tô màu ổn định đỉnh đồ thị tô màu ổn định - Giả sử G đồ thị cho trước tô màu ổn định Số nhỏ màu tơ đỉnh G cách ổn định gọi sắc số, kí hiệu   G  1.2.2 Nhận xét - Đồ thị có khun khơng có cách tơ màu ổn định đỉnh - Đồ thị có cạnh kép G* có   G*  =   G  với G đồ thị đơn thu từ cách thay cạnh kép G* cạnh đơn - Với đồ thị đơn G với n đỉnh ta tơ màu ổn định chúng n màu, với đỉnh ta gán cho màu - Đồ thị điểm có sắc số - Đồ thị rỗng có sắc số - Đồ thị đủ n đỉnh có sắc số n Trong thực tế, gặp nhiều tốn tơ màu, tốn hay khó thú vị Chẳng hạn tốn tơ màu đồ có từ lâu: “Từ cuối kỷ 18, người thợ tô màu Anh nhận thấy để tô màu đồ cần màu đủ, cho hai quốc gia có biên giới chung tơ màu khác nhau” Tuy tốn thức giải vào năm 1975 hai nhà toán học Mỹ Kenneth Appel Wolfgang Haken, lời giải q dài (khoảng gần 200 trang giấy với chương trình máy tình điện tử nhằm kiểm tra xem có bỏ sót trường hợp không) Vậy nên giới hy vọng tìm lời giải xác ngắn gọn (trích [3]) 1.2.3 Định lý Cho đồ thị G với bậc lớn  ta có:   G     (Bậc đỉnh số láng giềng đỉnh đó) Chứng minh Đồ thị G có bậc lớn  , nghĩa đỉnh G có số láng giềng khơng vượt q  Nếu ta có   màu khác ta tơ màu ổn định n đỉnh đồ thị cách tùy ý từ đỉnh tới đỉnh n sau: Ta tô màu đỉnh thứ   màu, đỉnh có số láng giềng không vượt  , ta chọn số màu tô số láng giềng đỉnh  màu lại Tiếp tục, xuất phát từ đỉnh kề đỉnh thứ ta tiếp tục tô đỉnh láng giềng cho màu đỉnh láng giềng khác với màu đỉnh kề Q trình ln tiến hành tơ hết đỉnh G Vì tơ đỉnh ta cịn  màu, mà số đỉnh không vượt  (Đpcm) 1.2.4 Định lý Một đồ thị cho trước G với cạnh có sắc số G khơng có chu trình lẻ cạnh Chứng minh Ta cần chứng minh định lý cho đồ thị liên thơng đủ Vì đồ thị có nhiều thành phần liên thơng sắc số đồ thị sắc số lớn thành phần liên thông - Điều kiện cần Nếu đồ thị G với cạnh có sắc số G khơng có chu trình lẻ cạnh Thật vậy, gọi C chu trình G, đỉnh chu trình tơ màu xen kẽ dọc theo chu trình Do chu trình có số đỉnh chẵn Vậy chu trình có số cạnh chẵn - Điều kiện đủ Giả sử G đồ thị với cạnh khơng có chu trình lẻ cạnh Khi G có sắc số Nghĩa ta tơ màu ổn định đồ thị màu Đầu tiên, ta chọn đỉnh P0 G, với đỉnh P đồ thị G luôn tồn đường W nối P0 với P Vì G liên thông Ta tô màu đỉnh P màu đỏ độ dài l(W) chẵn, ngược lại tô đỉnh P màu xanh l(W) lẻ 10 Màu đỉnh P không phụ thuộc vào việc chọn đường Vì có đường khác W' nối P0 với P W' có độ dài chẵn lẻ giống với W Thật vậy, giả sử W có độ dài chẵn cạnh, tồn đường W' nối P với P mà có độ dài lẻ cạnh G có chu trình lẻ cạnh Mâu thuẫn với giả thiết G khơng có chu trình lẻ cạnh Tiếp theo ta tô màu đỉnh láng giềng P Giả sử Q đỉnh láng giềng P đồ thi G nối với cạnh k Xét đường W0 có độ dài ngắn nối P0 với P Ta xét đường nối P0 với Q trường hợp Q thuộc không thuộc đường W0 - Nếu Q nằm W0 ta thu đường nối P0 Q có độ dài l(W0) - - Nếu Q không nằm W0 ta nối thêm cạnh k vào W0 thu đường nối P0 với Q có độ lài l(W0) + Do tính chẵn lẻ đường nối P0 với P đường nối P0 với Q khác nhau, nên màu P màu Q khác Vậy tất đỉnh láng giềng P tô màu khác P Suy P tô màu ổn định Và cách tô màu cách tô màu ổn định (đpcm) 1.3 Bài tốn tơ màu cạnh đồ thị Trong thực tế có nhiều tốn mà để ngun khó giải Tuy nhiên đưa tốn dạng đồ thị với đối tượng đỉnh, mối quan hệ cạnh, phân chia mối quan hệ hai đối tượng cách tơ màu cạnh việc giải tốn trở nên đơn giản Vì vậy, tốn tơ màu cạnh có nhiều ứng dụng 1.3.1 Nguyên lý Dirichlet “Nếu nhốt n thỏ vào n - chuồng (n > 2) có hai thỏ bị nhốt vào chuồng” 30 Để chứng minh khoảng cách từ A đến điểm có tọa độ nguyên khác đơi ta chứng minh có hai điểm nguyên cách A khoảng hai điểm trùng Nếu AB= AC B trùng với C Thật vậy:  AB = AC  x     y    u     v   2 2  x2  y  u  v2  2  x  u    y  v  (*) Vế trái (*) số nguyên Để đẳng thức xảy vế phải số nguyên  x  u, y  v Suy B trùng với C Vậy, khoảng cách từ A đến điểm nguyên khác đôi b) Do A( 2, ) cách điểm nguyên với khoảng cách đôi khác nhau, ta xắp xếp khoảng cách từ A đến điểm nguyên theo thứ tự tăng dần: a1 < a2 < a3 < < an < Chọn an < R < an+1 Khi hình tròn (A, R) chứa n điểm nguyên gần A Chú ý: Ở câu b) ta chọn A điểm ngun bất kỳ, tốn thỏa mãn 2.3 Định lí Picard Một ứng dụng trực tiếp thiết thực mạng lưới ô vng tính diện tích hình phẳng thơng qua việc phủ mạng lưới vng Cơ sở việc tính diện tích đa giác xác đinh diện tích hình tam giác đơn (tam giác có đỉnh đỉnh ngun khơng chứa bên đỉnh nguyên khác) 2.3.1 Định lý Diện tích tam giác đơn mạng lưới ô vuông đơn vị 1/2 Để chứng minh định lý ta chứng minh bổ đề 31 Bổ đề Trong đa giác đơn với số đỉnh n ≥ tồn đường chéo nằm miền Chứng minh bổ đề Định lý Pash Cho tam giác ABC, đường thẳng d không qua đỉnh tam giác, d cắt canh điểm d cắt cạnh điểm Từ định lý Pash ta có hệ Cho tam giác ABC, đường thẳng d qua điểm tam giác không qua đỉnh tam giác d cắt hai cạnh hai điểm Mặt khác: Trong đa giác ln tồn góc bé 180 giả sử góc BAC  1800 Nối B với C, ta có khả sau: Khả Tam giác ABC không chứa đỉnh đa giác D Ngồi đỉnh A, B, C Khi BC đường chéo cần tìm Thật vậy: Giả sử BC khơng nằm hồn tồn D, BC cắt cạnh đa giá D KL I.(I thuộc BC) Theo định lý Pash KL cắt hai cạnh lại AB AC điểm Do K, L không thuộc tam giác ABC, giao hai đường thẳng KL AB (hoặc AC) giao cạnh KL cạnh AB (hoặc AC) Vậy cạnh KL AB có điểm chung Mâu thuẫn với giả thiết D đa giác đơn Vậy BC phải đường nằm hoàn toàn D Khả Tam giác ABC chứa đỉnh đa giác D khác đỉnh A, B, C Từ đỉnh kẻ đường thẳng song song với BC Sẽ tồn đường thẳng d gần A nhất, giả sử đường thẳng qua D Nối A với D, AD đường chéo cần tìm Thật vậy: Giả sử tồn KL cắt AD I điểm AD Theo hệ định lý Pash KL cắt hai cạnh tam giác AB'C' hai điểm khác Vậy đường thẳng KL cắt hai cạnh AB' AC' Vì D 32 gần A nêu tam giác AB'C' không chứa bên đỉnh nào, tương tự KN1 ta có cạnh KL AB AC có điểm chung Mâu thuẫn với giả thiết D đa giác đơn Vậy AD đường chéo cần tìm Bổ đề Có thể chia n_ giác đơn thành n - tam giác cho tam giác khơng có điểm chung cạnh tam giác nằm n_ giác Chứng minh bổ đề Dùng phương pháp quy nạp - Với n = Định lý (do bổ đề 1) - Giả sử định lý đến n ≤ k Ta chứng minh định lý cho n = k+1 Gọi Dk+1 k+1 đa giác đơn Theo bổ đề 1, tồn đường chéo nằm D k+1 Khi Dk+1 chia thành Dm Dr giao biên Gọi số cạnh Dm Dr m r Ta có : m + r = k + + = k + Do m, r ≥ nên m = k + - r ≤ k r = k + - m ≤ k Khi Dm Dr chia thành tam giác khơng có điểm chung cạnh tam giác tương ứng nằm hoàn tồn Dm Dr Khi Dk+1 chia thành q tam giác thỏa mãn đề Trong Dm có m - tam giác, Dr có r - tam giác Vậy Dk+1 có q tam giác và: q = m + r - = k + - = (k + 1) - Vậy Dk+1 chia thành (k + 1) - tam giác khơng có điểm chung (Đpcm) Từ bổ đề ta có hệ quả: Tổng góc n_ giác đơn là: (n - 2).1800 33 Bổ đề Cho đa giác đơn D có đỉnh nguyên, Khi nối điểm nguyên nằm D biên D để tam giác đơn Chứng minh bổ đề Theo bổ đề 2, đa giác đơn D chia thành tam giác khơng có điểm chung Vậy để chia D thành tam giác đơn ta cần chia tam giác D thành tam giác đơn Ta giả sử D tam giác ABC A A D D B C a) B C b) Hình 2.12 - Nếu tam giác ABC có điểm nguyên E nằm biên mà khác đỉnh tam giác Ta nối E với A, B C E chia tam giác thành tam giác nhỏ khơng có điểm chung Tiếp tục ta lại xét cho tam giác tạo thành Nếu chung không chứa điểm ngun nằm dừng lại, cịn chúng cịn chứa ta lại làm với tam giác ABC Số bước lặp hữu hạn số điểm nguyên tam giác hữu hạn Khi D chia thành tam giác đơn Sau nối điểm nói ta thu hình gọi lưới tam giác (hay tam giác phân D) Bổ đề Số tam giác đơn tam giác phân đa giác đơn D với kiểu tam giác phân Nếu bên D có k điểm nguyên biên D có m điểm ngun (kể đỉnh) số tam giác đơn là: s = 2k + m - 34 Chứng minh bổ đề Giả sử đa giác có tam giác phân D gồm s tam giác Tổng góc tất tam giác tam giác phân là: D = s.2v Mặt khác: D=t+b+d (*) Trong đó: t: Tổng tất góc s tam giác nói đỉnh điểm D t = k 4v b: Tổng tất góc tam giác đỉnh điểm biên D đỉnh D b = (m - n) 2v d: Tổng tất góc tam giác đỉnh trùng với đỉnh đa giác đơn D d = (n - 2) 2v Thay vào (*) ta có: s.2v = k.4v + (m - n).2v + (n - 2).2v s = 2k + m - Chứng minh định lý: Để chứng minh diện tích tam giác đơn ABC 1/2 ta chứng minh: dtABC ≥ 1/2 dt ABC ≤1/2 Phủ tam giác ABC hình chữ nhật MNPQ : dt ABC = dt MNPQ - tổng diện tích tam giác phụ với ABC = k - l/2 = m/2 (k, l , m  * ) Vậy dt ABC = m/2 ≤ 1/2 Xét tam giác phân tam giác phụ với tam giác ABC hình chữ nhật MNPQ Khi ta có tam giác phân cho hình chữ nhật MNPQ Số tam giác tạo thành : s = 2(m - 1)(n - 1) + 2( m + n) - = 2mn (m, n cạnh hình chữ nhật MNPQ) SMNPQ=  dt tam giác phân ≥ 2mn 1/2 = mn Nhưng SMNPQ = m.n Vậy tam giác phân phải có diện tích 1/2 (Đpcm) 35 2.3.2 Định lý Cho đa giác đơn D có đỉnh điểm nguyên Trên biên có m điểm nguyên bên có k điểm nguyên Khi diện tích là: dt D = k + m/2 - Chứng minh Theo bổ dề 4, ta chia D thành 2k + m - tam giác đơn đoạn thẳng nối điểm nguyên nằm biên Theo định lý 3.1 tam giác phân có diện tích 1/2 Vậy diện tích đa giác D là: dt D = (2k + m - 2).1/2 = k + m/2 - (Đpcm) 2.3.3 Một số toán liên quan Bài toán Trong tam giác ABC có điểm nguyên Chứng minh điểm nguyên trọng tâm tam giác ABC Chứng minh Trong tam giác ABC có điểm nguyên D Khi tam giác ABC phân chia làm tam giác ABD, ACD, BCD, tam giác khơng chứa điểm ngun ngồi đỉnh Theo định lý 3.1 ta có: dt ABD = dt ACD = dt BCD = 1/2 A Mặt khác: dt ABD = dt ACD Suy : hb = hc Khoảng cách từ B C đến AD D nhau, nên D nằm đường trung tuyến kẻ từ A C B Tương tự, ta có D nằm trung tuyến kẻ từ B.Vậy D trọng tâm tam giác Hình 2.13 ABC (Đpcm) Bài tốn Hãy tính diện tích nhỏ mà ngũ giác lồi nguyên đạt 36 Chứng minh Theo toán 2, ngũ giác lồi ngun có điểm ngun điểm trong, nghĩa k ≥ 1, m ≥ Vậy : dt D = k + m/2 - ≥ + 5/2 - = 5/2 dt D ≥ 5/2 Tồn ngũ giác lồi ngun có diện tích 5/2 Ví dụ ngũ giác có D(1,0) Ngũ giác có điểm ngun A • B • I • biên điểm nguyên I(1, 1) O• • D đỉnh là: O(0,0), A(0,1), B(1,2), C(2,1), điểm Vậy dt Dmin = 5/2 • C Hình 2.14 Bài tốn Nếu ngũ giác khơng phải ngũ giác lồi diện tích nhỏ bao nhiêu? Lời giải Nếu D' ngũ giác đơn khơng lồi số điểm k ≥ dt D' ≥ 3/2.Ngũ giác đơn ABCDI có diện tích 3/2 Vậy dt D'min = 3/2 2.4 Phủ hình mạng lƣới vng 2.4.1 Định lý (Minkowki) Gốc tọa độ tâm đối xứng hình lồi diện tích lớn Chứng minh hình chứa điểm nguyên khác tâm tọa độ Chứng minh 37 Xét tất hình lồi nhận từ hình cho phép tịnh tiến theo vectơ có hai tọa độ chẵn Ta chứng minh có hai số hình thu có giao khác rỗng Hình ban đầu giới hạn hình trịn tâm gốc tọa độ, bán kính R ( với R  ) Lấy hình số xét có tọa độ tâm đối xứng số không âm bé 2n ta có (n + 1) hình, tất hình nằm hình vng có cạnh 2.(n + R) (1) Nếu hình khơng cắt với n ta có: (n + 1)2.S ≤ 4.(n + R)2, (*) S diện tích hình ban đầu Nhưng S > 4, nên chọn n cho: nR S  n 1 (**) Do (*) (**) mâu thuẫn nên tồn n cho có hai hình có giao khác rỗng Giả sử hình H1 tâm O1 hình H2 tâm O2 có điểm chung A Ta chứng minh trung điểm M O 1O2 thuộc hai hình Xác định điểm B cho O1B  O2 A Vì hình cho có tâm đối xứng nên B thuộc hình H1 Do A, B thuộc hình H1 nên trung điểm AB thuộc hình H (vì H1 lồi) Và trung điểm AB trung điểm O1O2 Vậy M thuộc H1 M không trùng với O1 Theo phép tịnh tiến O1O hình ban đầu ta có M' ảnh điểm M M' điểm cần tìm (Đpcm) 2.4.2 Mệnh đề Trên tờ giấy có vết mực diện tích nhỏ Chứng minh kẻ carơ tờ giấy với hình vng đơn vị (cạnh 1) cho khơng có đỉnh mạng lưới vuông rơi vào vết mực Chứng minh Trước hết dùng tờ giấy trắng phủ tờ giấy mạng lưới vng đơn vị có cạnh song song với cạnh tờ giấy Sau ta cắt ô vuông đơn vị khỏi tờ giấy đặt chúng chồng lên Giả sử mực thấm từ ô 38 vuông sang ô vuông khác Theo giả thiết diện tích vết mực nhỏ nên có điểm hình vng khơng thấm mực Sau ta trải vng vị trí ban đầu điểm tạo nên hệ thống đỉnh mạng lưới ô vuông đơn vị Và khơng có điểm chúng nằm vết mực (Đpcm) 39 KẾT LUẬN Trong trình nghiên cứu tổng hợp kiến thức từ tài liệu tham khảo, khoá luận đạt kết sau: - Trình bày khái niệm đồ thị khái niệm liên quan - Trình bày định lý việc tô màu đồ thị (định lý 3.3, định lý 3.4) - Sưu tầm hệ thống tốn đồ thị tơ màu hệ thống lời giải chi tiết - Trình bày khái niệm mạng lưới ô vuông, điểm nguyên - Trình bày định lý Ricard, định lý Minkowki chứng minh chi tiết - Sưu tầm hệ thống tốn mạng lưới vng, điểm ngun, toán liên quan đến định lý hệ thống lời giải chi tiết Trên số kết đạt khố luận có tên: “Một số vấn đề đồ thị mạng lưới ô vng” Dù cố gắng tìm tịi nghiên cứu thời gian có hạn khó khăn việc tìm tài liệu nên đề tài cịn có nhiều thiếu sót Vậy nên tơi mong nhận góp ý thầy giáo bạn đọc để đề tài hoàn thiện Và hy vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn sinh viên muốn tìm hiểu vấn đề 40 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Hữu Bình (2005), Các tốn hình học tổ hợp NXB GD [2] Vũ Đình Hịa (2000), Một số kiến thức hình học tổ hợp, NXB GD, Hà Nội [3] Vũ Đình Hịa (2001), Định lý vấn đề đồ thị hữu hạn NXB GD [4] Vũ Đình Hịa (2002), Lý thuyết tổ hợp toán ứng dụng, NXB GD, Hà Nội [5] Vũ Đình Hịa (2002), Một số kiến thức sở Graph hữu hạn, NXB GD, Đà Nẵng 42 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng I ĐỒ THỊ 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Một số khái niệm liên quan đồ thị 1.2 Sắc số 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Nhận xét 1.2.3 Định lý 1.2.4 Định lý 1.3 Bài tốn tơ màu cạnh 1.3.1 Nguyên lý Đirichlet 1.3.2 Số Rensey đồ thị đủ 1.3.3 Định lý 1.3.4 Định lý 10 43 1.3.5 Một số toán liên quan 11 Chƣơng II MẠNG LƢỚI Ô VUÔNG VÀ ĐIỂM NGUYÊN 17 2.1 Mạng lưới ô vuông 17 2.1.1 Định nghĩa 17 2.1.2 Các toán liên quan 17 2.2 Các điểm toạ độ nguyên mặt phẳng 22 2.2.1 Định nghĩa 21 2.2.2 Định lý 22 2.2.3 Các toán liên quan 24 2.3 Định lý Picard 27 2.3.1 Định lý 27 2.3.2 Định lý 31 2.3.3 Một số toán liên quan 31 2.4 Phủ hình mạng lưới vng 33 2.4.1 Định lý Minkowki 32 2.4.2 Mệnh đề 33 44 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 ... chương: Chƣơng I Đồ thị Trong chương tơi trình bày khái niệm đồ thị, số khái niệm liên quan đến đồ thị Trình bày vấn đề sắc số đồ thị, số Remsey đồ thị đủ số tốn liên quan Chƣơng II Mạng lƣới vng... NĨI ĐẦU Đồ thị vấn đề liên quan chủ đề tốn học ln ln quan tâm nghiên cứu Khóa luận với tên "Một số vấn đề đồ thị mạng lưới vng", trình bày nội dung: Tô màu cạnh đồ thị, định lý, tính chất mạng lưới... cạnh Nếu đồ thị chưa đủ ta thêm vào số đoạn thẳng để đồ thị thu đồ thị đủ - Đồ thị bù với đồ thị G gọi G có số đỉnh G hai đỉnh nối cạnh hai đỉnh không nối với cạnh G - Nếu S tập tập đỉnh đồ thị G