Gốc tọa độ là tõm đối xứng của một hỡnh lồi diện tớch lớn hơn 4. Chứng minh rằng hỡnh đú chứa một điểm nguyờn khỏc tõm tọa độ.
Chứng minh O A D B C I • • • • • • Hỡnh 2.14
Xột tất cả những hỡnh lồi nhận được từ hỡnh đó cho bằng phộp tịnh tiến theo cỏc vectơ cú cả hai tọa độ đều chẵn. Ta chứng minh cú ớt nhất hai trong số cỏc hỡnh thu được cú giao khỏc rỗng.
Hỡnh ban đầu cú thể được giới hạn bởi hỡnh trũn tõm tại gốc tọa độ, bỏn kớnh R ( với R ). Lấy cỏc hỡnh trong số đang xột cú cỏc tọa độ tõm đối xứng là cỏc số khụng õm bộ hơn hoặc bằng 2n. khi đú ta cú (n + 1)2 hỡnh, và tất cả cỏc hỡnh này đều nằm trong hỡnh vuụng cú cạnh 2.(n + R) (1).
Nếu cỏc hỡnh này khụng cắt nhau thỡ với mọi n ta cú:
(n + 1)2.S ≤ 4.(n + R)2, (*) trong đú S là diện tớch của hỡnh ban đầu.
Nhưng S > 4, nờn cú thể chọn n sao cho:
1 4
n R S
n
(**) Do (*) và (**) mõu thuẫn nờn tồn tại n sao cho cú ớt nhất hai hỡnh cú giao khỏc rỗng.
Giả sử hỡnh H1 tõm O1 và hỡnh H2 tõm O2 cú điểm chung A nào đú. Ta sẽ chứng minh trung điểm M của O1O2 sẽ thuộc cả hai hỡnh. Xỏc định điểm B sao cho O B1 O A2 . Vỡ hỡnh đó cho cú tõm đối xứng nờn B thuộc hỡnh H1. Do A, B đều thuộc hỡnh H1 nờn trung điểm của AB cũng thuộc hỡnh H1 (vỡ H1 lồi). Và trung điểm AB cũng là trung điểm O1O2. Vậy M thuộc H1 và M khụng trựng với O1. Theo phộp tịnh tiến O O1 về hỡnh ban đầu ta cũng cú M' là ảnh của điểm M. M' là điểm cần tỡm. (Đpcm)