THÔNG TIN TÀI LIỆU
1 Mục lục Trang Lời nói đầu Ch-ơng I Các khái niệm sở nửa nhóm Đ1.1 Các định nghĩa bản.4 Đ1.2 Đồng cấu nửa nhóm Đ1.3 Tương đẳng nửa nhóm thương Ch-ơng II Hệ ph-ơng trình vị nhóm tự do…………….14 §2.1 Nưa nhãm tõ Nưa nhãm tù do……………… …….14 Đ2.2 Vị nhóm tự do.18 Đ2.3 Hệ phương trình vị nhóm tự do. 22 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 Lời nói đầu Lý thuyết nửa nhóm đ-ợc đời vào năm đầu kỷ hai m-ơi Những công trình nửa nhóm dạng báo ngắn (công trình đầu báo ngắn Đichxơn năm 1905) Nó đà tỏ có nhiều ứng dụng đại số nói riêng toán học nói chung Lý thuyết nửa nhóm đà đ-ợc nhiều tác giả nghiên cứu theo h-ớng khác nh-ng ch-a có nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến giải ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình nửa nhóm Tr-ớc ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình th-ờng đ-ợc giải tr-ờng số (tr-ờng số thực, tr-ờng số phức) Chính lẽ nên chọn đề tài nghiên cứu: Hệ ph-ơng trình vị nhóm tự Khoá luận gồm hai ch-ơng Ch-ơng I Các khái niệm sở nửa nhóm Trong ch-ơng trình bày khái niệm, tính chất nửa nhóm làm sở cho việc trình bày ch-ơng sau Đ1.1 Các định nghĩa Trình bày khái niệm sở nửa nhóm Kết cần ý định lý 1.1.7 Đ1.2 Đồng cấu nửa nhóm Trình by khái niệm tính chất đồng cấu nửa nhóm Kết cần ý định lý 1.2.11 định lý 1.2.13 Đ1.3 T-ơng đẳng nửa nhóm th-ơng Trình bày khái niệm tính chất t-ơng đẳng, nửa nhóm th-ơng Kết cần ý mệnh đề 1.3.6 định lý 1.3.12 Ch-ơng II Hệ ph-ơng trình vị nhóm tự Đây phần khóa luận Trong ch-ơng tr-ớc hết trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm tự do, vị nhóm tự để làm sở cho việc trình bày nội dung khóa luận: Hệ ph-ơng trình vị nhóm tự Đ2.1 Nửa nhóm từ Nửa nhóm tự Trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm từ, nửa nhóm tự Kết cần ý định lý 2.1.5 định lý 2.1.7 Đ2.2 Vị nhóm tự Xây dựng vị nhóm tự dựa kết nửa nhóm tự tiết tr-ớc Kết cần ý định lý 2.2.10 định lý 2.2.11 Đ2.3 Hệ ph-ơng trình vị nhóm tự Đây tiết khoá luận Trong tiết xây dựng khái niệm ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình vị nhóm, nghiệm hệ ph-ơng trình đ-a đ-ợc bổ đề 2.3.8 bổ đề 2.3.9 để làm sở cho việc chứng minh định lý khóa luận định lý 2.3.10 Việc xây dựng tiếp tính chất hệ ph-ơng trình vị nhóm tự vấn đề tiếp tục nghiên cứu Khoá luận đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp tác giả bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc thầy giúp đỡ nhiệt tình góp ý thiết thực cho tác giả trình hoàn thành khóa luận Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ đại số; thầy giáo, cô giáo khoa Toán tr-ờng Đại Học Vinh tập thể lớp 46A- Toán đà động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá luận Do trình độ thời gian có hạn nên khoá luận chắn nhiều thiếu sót, mong đ-ợc góp ý bạn đọc để khoá luận đ-ợc hoàn thiện Vinh, tháng 05 năm 2009 Tác giả Ch-ơng I khái niệm Trong ch-ơng trình bày khái niệm tính chất mở đầu lý thuyết nửa nhóm (các định nghĩa nửa nhóm, đồng cấu nửa nhóm, t-ơng đẳng nửa nhóm th-ơng) Đ1.1.Các định nghĩa 1.1.1 ịnh nghĩa i) Giả sử S tập hợp tùy ý Khi ánh xạ f : S x S S đ-ợc gọi phép toán hai miền xác định S Nếu ánh xạ đ-ợc ký hiệu (.) ảnh phần tử (x, y) S x S S đ-ợc ký hiệu x.y hay đơn giản xy ii) Tập hợp S khác rỗng với phép toán hai đ-ợc gọi nhóm iii) Một nhóm S đ-ợc gọi nửa nhóm phép toán có tính chất kết hợp, nghĩa với x, y, z S cã (xy)z = x(yz) 1.1.2 Định nghĩa i) Giả sử S nửa nhóm Phần tử x S đ-ợc gọi đơn vị trái (phải) S xy = y (yx = y) víi mäi y S PhÇn tư x S đ-ợc gọi đơn vị x vừa đơn vị trái vừa đơn vị phải S Một nửa nhóm có đơn vị ( đơn vị phải đơn vị trái), đơn vị kiểu Nói riêng, S có đơn vị đơn vị phải ii) Phần tử z S đ-ợc gọi phần tử không bên trái (phải) za = z (az = z) víi mäi a S PhÇn tư z S đ-ợc gọi phần tử không z vừa phần tử không bên trái vừầ phần tử không bên phải Một nửa nhóm có không phần tử không iii) Phần tử z S đ-ợc gọi luỹ đẳng e2 = e Tập hợp tất luỹ đẳng S ký hiệu E = ES 1.1.3 Định nghĩa Nửa nhóm S đ-ợc gọi vị nhóm S có đơn vị Đối với nửa nhóm S xác định vị nhóm S cách bổ sung đơn vị cho S S khơng có đơn vị S S vị nhóm S= S S không vị nhóm ú l phần tử đơn vị (mới), S 1.1.4 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm A tập không rỗng S Khi A nửa nhóm S A đóng kÝn d-íi phÐp lÊy tÝch, nghÜa lµ víi mäi x, y thuộc A xy thuộc A Rõ ràng, A nửa nhóm S thân A nửa nhóm (với phép toán A đ-ợc cảm sinh từ phép toán S) Ai / i I họ nưa nhãm t ý cđa S cho A 1.1.5 Bổ đề Giả sử khác rỗng A = Ai Khi A nửa nhóm S iI Chứng minh Để chứng minh A nửa nhãm cđa S ta sÏ chøng minh víi mäi x, y A th× xy A ThËt vËy, lÊy x, y A suy x, y Ai , i I Do Ai nửa nhóm S nên xy Ai Mặt kh¸c : A = Ai suy xy A Điều phải chứng minh iI 1.1.6 Bổ đề Nửa nhóm S nửa nhóm với luật giản -ớc phải không chứa luỹ đẳng khác S1 nửa nhóm với luật giản -ớc phải Đối với tập không rỗng X cđa nưa nhãm S, ta ký hiƯu X S lµ giao tất nửa nhóm S chứa X Theo bổ đề 1.1.6, X S nưa nhãm cđa S gäi lµ nưa nhãm sinh bëi X, vµ nã lµ nưa nhãm bÐ nhÊt cđa S chøa X Trong tr-êng hỵp nưa nhãm S đ-ợc xác định rõ ràng ngữ cảnh xÐt, th× ta sÏ viÕt X thay cho X S 1.1.7 Định lý Giả sử X tập không rỗng nửa nhóm S Thế X S = X n = x1 x2 xn / n 1, xi X n 1 Chøng minh KÝ hiÖu A= X n Khi A nửa nhóm S n 1 Ta sÏ chøng minh X S = A Do Xn A mµ Xn X S A X S Mặt khác : X S lµ nưa nhãm cđa S suy X S A Từ suy điều phải chứng minh Đ1.2 Đồng cấu nửa nhóm 1.2.1 Định nghĩa Giả sư (S , ) vµ (P, ) lµ nửa nhóm, ánh xạ : S P đ-ợc gọi đồng cấu nửa nhóm với cặp phần tử x, y thuộc S ta có: ( x y ) = ( x) ( y ) Gi¶ sư : S P đồng cấu nửa nhóm Khi với tập X S, ta kí hiệu (X ) = ( x) | x X 1.2.2 Bổ đề Giả sử : S P đồng cấu X S Thế th× (X S ) = (X )P Chøng minh Lấy x X S theo định lý 1.1.7, x = x1.x2…xn víi c¸c xi X Vì đồng cấu nên (x) = (x1) (x2)… ( xn ) (X )P tõ ®ã suy (X S) (X )P Mặt khác, y (X )P theo định lý 1.1.7 ta cã : y = (x1) (x2)… (xn), ®ã ( xi ) (X), ( xi X) Tõ ®ã : y = (xi.xi…xn) víi x1.x2…xn X S Suy (X )P (X S) 1.2.3 HÖ Nếu A nửa nhóm S : S P đồng cấu (A) lµ nưa nhãm cđa P 1.2.4 Bỉ ®Ị NÕu : S P vµ : P T đồng cấu : S T đồng cấu Chứng minh Víi mäi x, y S ta cã : (xy ) = (xy )= ( x) ( y)= (x) ( y) = (x) ( y) Đối với ánh xạ : S T, chóng ta sÏ ký hiƯu c¸i thu hĐp cđa tập X S X , nghÜa lµ ( X X : X P đ-ợc xác định )(x) = (x), với mäi x X 1.2.5 HƯ qu¶ Gi¶ sư : S P vµ : S P đồng cấu nửa nhóm Với tập X cđa S, cã X = X nÕu vµ chØ nÕu X S X S 1.2.6 Định nghĩa Giả sử : S P đồng cấu i) đ-ợc gọi phép nhúng hay đơn cấu đơn ánh ii) đ-ợc gọi toàn cấu toàn ánh iii) đ-ợc gọi đẳng cấu vừa đơn ánh vừa toàn ánh iv) đ-ợc gọi tự đồng cấu P = S v) đ-ợc gọi tự đẳng cấu P = S đẳng cấu 1.2.7 Bổ đề i) Nếu : S P : P T đẳng cấu nửa nhóm : S T đẳng cÊu nöa nhãm 1 ii) NÕu : S P đẳng cấu nửa nhóm ánh xạ ng-ợc : P S đẳng cấu Chứng minh i) Vì tích hai song ánh (nếu xác định ) song ánh, ta cần chứng minh đồng cấu, mà điều ta đà chứng minh bổ đề 1.2.4 ii) Vì : S P song ánh nên ánh xạ ng-ợc : P S song ánh = iP, iP ánh xạ đồng P Vì đồng 1 1 cÊu nªn ( ( x). ( y)) = ( 1 ( x)) ( ( ( y)) = ( ( x) ).( ( y) ) = xy 1 1 1 Suy ra: ( x) ( y) = ( xy ) 1 Do đó: đồng cấu nên đẳng cấu 1.2.8 Hệ i) Các tự ®ång cÊu cđa nưa nhãm S cïng víi phÐp nh©n ánh xạ tạo thành vị nhóm ii) Các tự ®¼ng cÊu cđa mét nưa nhãm S cïng víi phÐp nhân ánh xạ tạo thành nhóm 1.2.9 Định nghĩa Giả sử X tập hợp tuỳ ý Ký hiệu TX tập hợp tất ánh xạ từ X vào Khi TX với phép hợp thành ánh xạ nửa nhóm đ-ợc gọi nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi X 1.2.10 Định nghĩa i) Một đồng cấu : S TX đ-ợc gọi biĨu diƠn cđa S ii) Mét biĨu diƠn : S TX đ-ợc gọi biểu diễn trung thành đơn cấu Định lý sau phát biểu nửa nhóm đ-ợc hình dung nh- nửa nhóm nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi, nghĩa nửa nhóm S tồn tập hợp X cho S đẳng cấu với nửa nhóm P TX 1.2.11 Định lý Mỗi nửa nhóm S có biểu diễn trung thành Chứng minh Giả sử X = S1, nghĩa bổ sung phần tử đơn vị vào S S vị nhóm Xét nửa nhóm đầy đủ phép biến T = TX Đối với x S xác định ánh xạ : S1 S1, x ( y) = xy, víi y S1 Khi ®ã x T vµ víi mäi x, y S vµ mäi z S , ta cã xy (z) = (xy)z = x (yz) = x ( y ( z ) ) = x y (z) Do ®ã : xy = x y Vì ánh xạ : S T , x = x lµ đồng cấu Hơn (x) = ( y ) kÐo theo x = y , ®ã x (1) = y (1) hay x = y Vậy đơn ánh đơn cấu Suy điều phải chứng minh Từ ®Þnh lý 1.2.11 suy r»ng: Lý thut nưa nhãm quy lý thuyết phép biến đổi 1.2.12 Bổ đề Giả sử TX nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi tập hợp X Khi đó: i) Nửa nhóm phần tử khả nghịch bên phải TX gồm tất ánh xạ - từ X vào X ( đơn ánh ) ii) Nửa nhóm phần tử khả nghịch bên trái TX gồm tất ánh xạ từ X lên X ( toàn ánh ) iii) Nhóm tất phần tử khả nghịch T X trùng với nhóm tất song ánh từ X vào X Tập hợp X đ-ợc gọi đếm đ-ợc hữu hạn lực l-ợng với N Các phần tử tập hợp liệt kê d-ới dạng X = x1 , x2 , 1.2.13 Định lý (Định lý Evan) Giả sử S nửa nhóm đ-ợc sinh tập đếm đ-ợc Thế S đ-ợc nhúng vào nửa nhóm đ-ợc sinh hai phần tử Theo định lý 1.2.11 có kết quả: Mỗi nửa nhóm đẳng cấu với nửa nhóm nửa nhóm đầy đủ phép biến đổi Do thực chất việc chứng minh định lý 1.2.13, ta cần chứng minh 1.2.14 Định lý (Định lý Sierprinski) Giả sử a1, a2, phép biến đổi * tập hợp N Khi tồn phép biến đổi 1, 2: N * N * cho i hợp thành hai phép biến đổi đó: i , Đ1.3 T-ơng đẳng nửa nhóm th-ơng 1.3.1 Định nghĩa Giả sử X tập hợp không rỗng Khi tập tích Descartes đ-ợc gọi quan hệ trªn X Chóng ta sÏ viÕt (x, y) hay xy để cặp có thứ tự (x, y) n»m quan hƯ Gi¶ sư b(X) tập hợp tất quan hệ X Tập hợp b(X) tạo thành vị nhóm d-ới toán tử phép hợp thành = ( x, y) X X z X : ( x, z ) , ( z, y) Phần tử đơn vị b(X) quan hƯ ®ång nhÊt i = iX = ( x, x) x X Phần tử không b(X) lµ quan hƯ phỉ dơng = X = ( x, y) x, y X 10 Gi¶ sư b(X) vµ Y X Chóng ta sử dụng ký hiệu sau đây: x = y ( x, y) ; Y = y ; -1 = ( y, x) ( x, y) yY 1.3.2 Định nghĩa Một quan hệ b(X) đ-ợc gọi quan hệ t-ơng đ-ơng phản xạ ( iX ), ®èi xøng ( 1 = ) bắc cầu ( ) Các tập hợp x đ-ợc gọi lớp t-ơng đ-ơng, chúng tạo thành phân hoạch tập hợp X : X = x y Ø x = y x X 1.3.3 Định nghĩa Giả sử quan hệ t-ơng đ-ơng nửa nhóm S Khi đ-ợc gọi t-ơng đẳng phải ( trái ) ổn định phải ( trái ), nghĩa với x, y, z S , xy th× xzyz (hay zxzy ) đ-ợc gọi t-ơng đẳng vừa t-ơng đẳng trái vừa t-ơng đẳng phải Chúng ta nhắc lại quan hệ t-ơng đ-ơng phân hoạch miền xác định S thành lớp t-ơng ®-¬ng x ( x S ) Mét líp t-¬ng đ-ơng t-ơng đẳng đ-ợc gọi lớp t-ơng đẳng Nếu t-ơng đẳng bảo toàn tích S, nghĩa phần tử x1, y1 x2, y2 thuộc lớp t-ơng đẳng tích x1x2 y1y2 thuộc lớp t-ơng đẳng 1.3.4 Bổ đề Một quan hệ t-ơng đ-ơng nửa nhóm S t-ơng đẳng vµ chØ nÕu víi mäi x1, x2, y1, y2 cã x1 y1 , x2 y x1 x2 y1 y Chứng minh Giả sử t-ơng đẳng x1 y1 , x2 y Ta cần chøng minh x1 x2 y1 y Do t-ơng đẳng nên x1 y1 , x2 y th× x1 x2 x1 y , x1 y y1 y Từ tính bắc cầu suy x1 x2 y1 y §iỊu ng-ợc lại hiển nhiên theo định nghĩa t-ơng đẳng 1.3.5 Định nghĩa Giả sử t-ơng đẳng S , giả sử S x x S = 16 Chøng minh Gi¶ sư S đ-ợc sinh tự tập X S A bảng chữ với A X Khi tồn song ánh : A X V× A sinh A cách tự nên tồn më réng toµn cÊu : A S theo định lý 2.1.5 Vì : X A song ánh S đ-ợc sinh tù bëi X nªn 1 cã mét më réng toµn cÊu : S A Cái hợp thành : A A toàn cấu thoả mÃn điều kiện A 1 = = ( X ) = = iA V× iA : A A đ-ợc mở rộng tới đồng cÊu ®ång nhÊt i A : A A nên = i A Vì = i A song ánh nên đơn ánh song ánh Từ đẳng cấu Giả sử tồn ®¼ng cÊu : A S Khi ®ã S = ( A)S vµ cã 1 mét ánh xạ ng-ợc : S A đẳng cấu Xác định ánh xạ = X = (A) Giả sử P nửa nhãm tuú ý vµ A : X P ánh xạ Thế ánh x¹ : A P më réng thành đồng cấu : A P cách Xét ánh xạ = : S P Đó đồng cấu đồng cấu Với x X, (x) = ( ( x)) = ( x) = X = , nghÜa lµ lµ mở rộng đồng cấu (x), Theo định nghĩa, S đ-ợc sinh tự X Từ định lý 2.1.7, trực tiếp suy hệ sau 2.1.8 Hệ i) Nếu S đ-ợc sinh tự tËp X th× S A víi A X ii) Nếu S R nửa nhóm đ-ợc sinh tự X Y cho X Y th× S R 2.1.9 HƯ Mỗi nửa nhóm tự có luật giản -ớc 17 Chøng minh Suy tõ lt gi¶n -íc cã A Gi¶ sư X S Chúng ta nói x = x1x2xn phân tích thành nhân tử phần tử x X xi X, i = 1, 2,, n Nếu X sinh S phần tử x thuộc X có nhân tử hoá X Nói chung phân tích không nhất, nghĩa cã thĨ x¶y x1.x2…xk = y1.y2…ym víi xi X, yj X xk yk 2.1.10 Định lý Mỗi nửa nhóm S đ-ợc sinh tự X phần tử x thuộc S có nhân tử hoá nhÊt trªn X Chøng minh Tr-íc hÕt ta thÊy định lý 2.1.10 thoả mÃn với nửa nhóm A Giả sử A bảng chữ cho A X vµ o : X A song ánh Giả thiết X sinh S cách tự do, x S có nhân tử hoá X X sinh S Gi¶ sư x = x1.x2…xn = y1.y2ym hai nhân tử hoá x X mở rộng đồng cấu o th× (x) = ( x1 ) ( x2 ) ( xn ) = ( y1 ) ( y2 ) ( ym ) hai nhân tử hoá (x) A Vì A thoả mÃn khẳng định định lý, nên ta phải có o ( xi ) = o ( yi ) víi mäi i = 1, 2, …, n ( vµ n = m) Vì o song ánh nên xi = yi, víi mäi i = 1, 2, …, n S thoả mÃn định lý 2.1.10 Giả thiết S thoả mÃn điều kiện Ký hiệu: o = o giả sử : A S mở rộng đồng cấu o Khi toàn ánh (vì X sinh S ) đơn ¸nh (v× nÕu (u ) = (v) víi u, v A , u v (u ) có hai cách nhân tử hoá khác X : trái với giả thiết) Vậy song ánh đẳng cấu Định lý 2.1.10 đ-ợc chứng minh 2.1.11 Định nghĩa Đối với nửa nhóm S , tập B(S) = S\S2 = x S y, z S : x yz đ-ợc gọi sở S 18 Từ định nghĩa suy phần tử x S nằm B(S) x không biểu diễn thành tích hai phần tử thuộc S 2.1.12 Định lý ( LÐvi - Dubreil - Jacotin) Mét nöa nhãm S tù nÕu vµ chØ nÕu B(S) sinh S mét cách tự Chứng minh Đặt X = B(S) Nếu X sinh S cách tự S nửa nhóm tự theo định nghĩa 2.1.2 Giả sư S lµ nưa nhãm tù Ta chøng minh X sinh S mét c¸ch tù Tr-íc hÕt, ta có X tập S -ớc thuộc S Thế X ứ X sinh S ThËt vËy, gi¶ sư a S Nếu a -ớc a X Nếu a có -ớc a = bc b, c X a = xyzhoặc trình kết thúc ta thu đ-ợc biểu diễn a d-ới dạng tích phần tử thuộc X với n lớn tuỳ ý tồn phần tử a1, a2,, an S cho a = a1a2… an NÕu a = a1a2… an th× a1, a1a2,,a1a2 an-1 -ớc bên trái a Chúng khác nửa nhóm tự có luật giản -ớc luỹ đẳng Vì n lớn tuỳ ý nên mâu thuẫn với định lý 2.1.7 định nghĩa nửa nhóm tõ VËy X sinh S Gi¶ sư x1.x2…xn = y1.y2ym xi, yj X Đặt x = x2…xn, y = y2…ym th× ta cã x1x = y1y nên x1 = y1 x1, y1 có -ớc Khả thứ hai không xảy định nghĩa X Bây t-ơng tự thu đ-ợc x2 = y2 tiếp tục trình không max n, m b-ớc, ta tới n = m xi = yi víi i = 1, 2,…, n Nh vËy phần tử thuộc S biểu diễn đ-ợc cách d-ới dạng tích phần tử thuộc X Do S đ-ợc sinh tự X §2.2 VÞ nhãm tù 2.2.1 §Þnh nghÜa VÞ nhãm M gọi vị nhóm tự đ-ợc sinh tù bëi mét tËp X víi X nÕu X 1 lµ mét tËp sinh cđa M ánh xạ : X P (trong P vị nhóm) mở rộng đ-ợc thành đồng cấu vị nhóm : M P, nghÜa lµ X = vµ (1M ) = 1P 2.2.2 VÝ dơ (N, +) vị nhóm tự với X = 1 tËp sinh tù cña nã 19 n Nếu : X P ánh xạ ta định nghĩa : S P bëi (n) = (1) vµ (0) = 1P Khi ®ã X = , (0) = 1P đồng cấu v× (m + n) = (1) mn = (1) m (1) n Từ định nghĩa trực tiếp suy 2.2.3 Định lý Nếu S nửa nhóm tự S1 vị nhóm tự 2.2.4 Hệ Vị nhóm từ A* vị nhóm tự với bảng chữ A Khẳng định ng-ợc lại định lý 2.2.3 2.2.5 Định lý Một vị nhóm M vị nhóm tự M\ nửa nhóm tự Chứng minh Đối với điều kiện ng-ợc lại, tập M\ nửa nhóm M Điều đ-ợc thoả mÃn, không 1M có hai cách nhân tử hoá khác Chiều thuận suy từ định nghĩa vị nhóm tự Những kết khác ®èi víi nưa nhãm tù cịng ®óng víi vÞ nhóm tự Nói riêng ta có 2.2.6 Định lý i) Một vị nhóm M đ-ợc sinh tự tập X x M\ 1 cã mét sù nh©n tư hãa nhÊt X ii) Mỗi vị nhóm tự ảnh đồng cấu vị nhóm từ A* với bảng chữ chọn thích hợp iii) Một vị nhóm M tự M đẳng cấu với vị nhóm từ A* với bảng chữ A * 2.2.7 Định nghĩa i) Đối với tập X A từ chóng ta ký hiƯu X = X A lµ nửa nhóm mà X sinh vị nhóm từ A , nghĩa * X gồm tất tích từ X * Vị nhóm t-ơng ứng X * = X 1 Chó ý r»ng nÕu X th× X = X * ii) NÕu w A* từ ta viết w thay cho w * 20 iii) Gi¶ sư u, v A u đ-ợc gọi nhân tử v nÕu v w1.u.w2 víi c¸c tõ w1, w2 thuộc A* u đ-ợc gọi tiền tè (hËu tè) cña v nÕu v uw (v wu) với w A* Bổ đề sau đ-ợc suy trực tiếp từ định nghĩa 2.2.8 Bổ đề Nếu u1u2 = v1v2 A* u1 tiền tố v1 v1 tiền tố u1, nghĩa tồn mộ từ w A* cho u1 = v1w hc v1 = u1w * Đối với vị nhóm M A , chóng ta sư dơng ký hiƯu M+ = M\ Khi M+ nửa nhóm A , từ rỗng không tích hai từ khác từ rỗng Cơ sở M B(M) B(M)+ = M+\ M+2 sở nửa nhóm M+ Nhớ đơn vị (từ rỗng) đơn vị vị nhóm M Cơ sở vị nhóm tự gọi mà Một vị nhóm vị nhóm từ A* không thiết vị nhóm tự * 2.2.9 Bổ đề Đối với vị nhóm M A , sở B(M) tập sinh tối tiểu M (xét nh- vị nhóm), nghÜa lµ nÕu N lµ tËp sinh M B(M) N Chứng minh Để chứng tỏ B(M) sinh M, ta giả thiết trái lại có từ w M không biểu diễn thành tích từ thuộc B(M) Giả thiết w từ ngắn nhÊt cho w M+ nh-ng w B(M)+ Vì w B(M) nên tồn hai từ u, v M+ cho w = uv V× u, v ngắn w nên từ cách xác định cđa w ta cã u, v B(M)+ Khi ®ã uv B(M)+ hay w B(M)+ : M©u thuÉn Giả sử N tập sinh M Khi ®ã víi mäi u B(M), u N* = M Nh-ng u tích hai hay nhiều hai từ thuộc M nên u N Do : B(M) N 2.2.10 Định lý (M.P.Schutzenberger) Giả sử M vị nhóm vị nhóm * từ A Thế M tự nÕu vµ chØ nÕu: u, v, uw, wv M w M * Chứng minh Giả thiết r»ng M tù do, w A lµ mét tõ có u, v M cho uw, wv M Gi¶ sư u = u1…uk, uw = v1…vt, wv = uk+1…uk+r vµ v = 21 vt+1…vt+s, ®ã mäi ui, vj X, víi X = B(M) Khi đó: uwv = u1uk uk+1uk+r = v1vt vt+1vt+s Vì M đ-ợc sinh tự X nên k + r = t + s, u i = vi víi i = 1,…, k+r Tõ ®ã w = uk+1…ut ( k t) nên w M Giả sử điều kiện với M Ta chứng minh M vị nhóm tự Giả sử tồn từ có hai nhân tử hoá khác trªn X : u1u2…un = v1v2…vm (ui, vj X) Giả thiết u1 v1, ng-ợc lại ta lại có u2un = v2vm Thế u1 tiền tố v1 v1 tiền tố u1 Giả sử v1 = u1w (tr-ờng hợp lại lập luận t-ơng tự tính đối xứng) Khi u1w M u2u3un = wv2vm (do A cã lt gi¶n -íc) Theo gi¶ * thiÕt w M, tõ ®ã v1 = u1w B(M) : M©u thuÉn VËy M tù * 2.2.11 Định lý Giả sử M i i I họ vị nhóm tự A Khi ®ã M = * Mi cịng vị nhóm tự A iI * Chứng minh Rõ ràng M vị nhóm cđa A Gi¶ sư u, v, uw, wv M, thÕ th× u, v, uw, wv Mi, víi i I Do ®ã w Mi, víi i I theo định lý 2.2.10 Suy w Mi = M Lại theo định lý 2.2.9,ta có M vị nhóm tự iI A* * * Gi¶ sư X A lµ mét tËp t ý cđa A Thế giao M M vị nhóm * * cđa A , X M lµ vị nhóm tự A Rõ ràng vị nhóm tự * nhỏ A chứa X Cơ sở giao gọi bao tự X đ-ợc * ký hiƯu F(X) Nãi riªng, X * F (X ) * X vị nhóm X F (X ) * 2.2.12 Định lý (Định lý khuyết) Giả sử X A tập hữu hạn từ F(X) bao tự Nếu X mà (nghĩa X sở vị nhóm tự đó) F ( X ) X 1 22 * Chøng minh V× X F (X ) nên từ u X đ-ợc viết cách d-ới dạng u = w1w2wk, víi wi F(X) Gi¶ sư : X F(X) ánh xạ cho (u ) = w1, nÕu u w1 F (X )* Giả thiết X * không tự do, tån t¹i mét tõ w X * cã hai cách nhân tử hoá X: w = u1u2un = v1v2…vm (ui, vj X), ®ã u1 v1 (nÕu u1 = v2 th× chóng ta cã mét tõ ngắn u2un với hai cách nhân tử hoá khác X) Thế (u1 ) = (v1 ) , nh- đơn ánh (Nếu (u1 ) (v1 ) từ w có hai cách nhân tử hoá khác * F(X), mâu thuẫn với F (X ) vị nhóm tự do) Bây ta toàn ánh Giả sử ng-ợc lại r»ng tån t¹i mét tõ w thuéc F(X) cho (u ) w víi tÊt c¶ u X Giả sử Y = (F(X)\ w.w* Khi X Y * ThÕ th× Y tù do, v× nÕu u1u2…un = v1v2…vr (ui, vj Y), ®ã * ui = yi w i vµ vj = zj wt víi yi, zj F(X)\ w vµ ki, tj th× k j k y1 w k y2 w …ym w k2 t t t = z1 w z2 w …zr w r vµ ( v× F (X )* tù ) y1 = z1, k1 = t1,…, ym = zm, km = tm, m = r Nh-ng ®ã * ui = vi víi mäi i Do ®ã Y tù Chóng ta cã X Y * nh-ng Y * F (X )* , m©u thn víi tÝnh cùc tiĨu cđa F(X) với t- cách sở bé vị nhóm tự chứa X Điều kéo theo toàn ánh Vì đơn ánh nên F (X ) = (X ) < X , ®ã F ( X ) X * 2.2.13 HƯ qu¶ Hai tõ u, v A giao hoán đ-ợc với chúng luỹ thừa từ 23 Đ2.3 Hệ ph-ơng trình vị nhóm tự * 2.3.1 Định nghĩa Giả sử : A* B : A* B * hai đồng cấu * vị nhóm từ A vào B * , với A B bảng chữ hữu hạn Tập xác định bëi E ( , ) = w A* (w) (w) Mỗi từ w E ( , ) đ-ợc gọi nghiệm ( , ) Mét nghiÖm w đ-ợc gọi nghiệm không tầm th-ờng Chú ý: Chóng ta lu«n cã E ( , ) , từ rỗng nghiệm tầm th-ờng cđa ( , ) 2.3.2 MƯnh ®Ị E ( , ) vị nhóm tự thoả mÃn điều kiện v, uv E ( , ) u E ( , ) Chøng minh V× (1) = = (1) nên E ( , ) Giả sö v, uv E ( , ) Khi ®ã (uv) = (u ) (v) = (u ) (v) vµ (uv) = (uv) = (u ) (v) nªn (u ) (v) = (u ) (v) , (u ) = (u ) v× A* cã luËt gi¶n -íc VËy u E ( , ) NÕu u, v, uw, wv E ( , ) th× tõ v, wv E ( , ) suy w E ( , ) theo nhận xét Vì , đồng cấu vị nhóm nên từ u,v E ( , ) suy (uv) = (u ) (v) = (u ) (v) = (uv) Do ®ã uv E ( , ) Theo định lý Schutzenberger, E ( , ) vị nhóm tự * cđa A Chó ý r»ng c¬ së B( E ( , ) ) lµ tËp hợp tất nghiệm cực tiểu ( , ) Theo mƯnh ®Ị 2.3.2 B( E ( , ) ) lµ mét m· * * * * 2.3.3 VÝ dơ Gi¶ sư A = a, b Xét ánh xạ : A A , : A A tự đồng cấu đ-ợc xác định ảnh phần tử sinh a b: 24 Khi w E = E ( , ) lµ mét tõ khác rỗng phải bắt đầu chữ a ( (b) (b) không so sánh đ-ợc) Chữ phải b, đ-ợc nghiệm ab: (ab) = aba.ba = ab.aba = (a) (b) = (ab) Dùng ph-ơng pháp qui nạp ta chứng minh đ-ợc (ab) n E ( , ) VËy: E ( , ) = (ab) = (ab) n n * 2.3.4 Định nghĩa i) Giả sử X = x1 , x2 , , xn lµ bảng chữ đặc biệt, chữ đ-ợc gọi biến Một ph-ơng trình X cặp từ (u, v) với u, v X * Khi ®ã chóng ta viÕt u = v thay cho (u, v) Chóng ta sÏ nãi r»ng (w1, w2,…, wn) - víi wi A* , i = 1, 2,…, n - lµ mét nghiƯm cđa ph-ơng trình u = v phép xi wi u vµ v cho ta cïng * mét tõ A Nãi c¸ch kh¸c, mét nghiƯm cđa ph-ơng trình u = v * đồng cấu vÞ nhãm : X * A cho (u ) (v) , ( xi ) = wi, i = 1, 2, …, n, nghÜa lµ (u, v) ker( ) ii) TËp hỵp t ý = (ui , vi ) i 1,2 ph-ơng trình (theo biến từ X) đ-ợc gọi hệ ph-ơng trình * Một nghiệm đồng cấu vị nhóm : X * A cho cã nghiÖm chung cho mäi ui = vi iii) Hai hÖ ph-ơng trình gọi t-ơng đ-ơng chúng có tập hợp nghiệm 2.3.5 Ví dụ Giả sử X = x, y, z tập hợp biến (1) Giải ph-ơng trình xyz = zxyz * * Xét đồng cấu vị nhóm : X * A , ta lấy vị nhóm A vị nhóm tự (N, +) Đặt : u = xyz v = zxyz Khi u = v ph-ơng trình X 25 Khi nghiệm ph-ơng trình (u, v) ker( ) (u) = (v) hay (zxyz) = (zxyz) (z) = Nh- nghiệm ph-ơng trình tất đồng cấu vị nhóm thoả mÃn (z) = (2) Giải hệ ph-ơng trình xyz = zxyz (I) zxy = xyzx (II) xzy = yxyz (III) Xét t-ơng tự (1) ta đ-ợc : Nghiệm ph-ơng trình (I) tất đồng cấu vị nhóm thoả mÃn (z) = Nghiệm ph-ơng trình (II) tất đồng cấu vị nhóm thoả mÃn (x) = Nghiệm ph-ơng trình (III) tất đồng cấu vị nhóm thoả m·n (y) = VËy nghiƯm cđa hƯ ®· cho đồng cấu vị nhóm thoả mÃn đồng thêi (z) = , (x) = vµ (y) = tøc lµ: : X * N cho (w) = víi mäi w X * B©y giê, chóng ta nhắc lại định lý sở Hilber Giả sử Z x1 , x2 , , xn lµ vµnh đa thức với hệ số nguyên biến x1, x2,, xn 2.3.6 Định lý (Định lý Hilbert sở) Giả sử Pi (i 1) hệ đa thức vành Z x1 , x2 , , xn Khi tồn hệ hữu hạn P1 , P2 , Pt hệ Pi (i 1) cho đa thức Pi biểu diễn đ-ợc d-ới dạng tỉ hỵp tun tÝnh Pi = P1 Fi1 + P2 Fi2 +….+ Pt Fit ®ã Fi j Z x1 , x2 , , xn , j = 1, 2,, t Phép chứng minh định lý 2.3.5 đ-ợc tiÕn hµnh nh- sau: Tr-íc hÕt ta chØ r»ng Z thoả mÃn tính chất trên, nghĩa tập hợp số nguyên pi (i = 1, 2,), tồn tập hữu hạn p1, p2,, pt Tiếp giả thiết vành thoả mÃn điều kiện hữu hạn (vành Noether) R vành ®a thøc R x cịng tho¶ m·n kÕt ln định lý 2.3.5 Khẳng định đ-ợc suy tõ vµnh Z x1 , x2 , , xn đẳng cấu với vành Z x1 , x2 , , xn1 xn 26 2.3.7 HƯ qu¶ Gi¶ sư Pi = Qi (i = 1, 2, ) lµ hệ ph-ơng trình đa thức, Pi, Qi Z x1 , x2 , , xn Tồn hệ hữu hạn Pi = Qi víi i = 1, t t cho nÕu (m1, m2,, mn) nghiệm hệ hữu hạn Pi(m1, m2,…, mn) = Qi(m1, m2,…, mn) víi i = 1, t nghiệm đầy đủ hệ ®· cho Chøng minh XÐt hÖ ®a thøc Ri = Pi - Qi Z x1 , x2 , , xn Theo định lý Hilbert sở, tồn hệ hữu hạn R1, R2,, Rt cho Ri = R1 Fi1 + R2 Fi2 +….+ Rt Fit với Ri (đối với Fi j ®ã) ThÕ th× = Ri(m1, m2,…, mn) = Pi(m1, m2,…, mn) - Qi(m1, m2,…, mn) víi i = 1, 2,…, t kÐo theo Pi(m1, m2,…, mn) = Qi(m1, m2,…, mn) Gi¶ sư X = x1 , x2 , , xk tập hợp biến Với xi đ-a vào bốn biến nguyên xi1 , xi2 , xi3 , xi4 vµ ký hiƯu ~ X = xi j i k ,1 j Hơn nữa, với i = 1, 2,, k ta định nghĩa : xi1 xi2 Xi = x x i3 i4 ~ ~ giả sử M (X ) vị nhóm vị nhóm ma trận Z x X đ-ợc sinh bëi c¸c ma trËn X1, X2,…, Xk ~ 2.3.8 Bỉ đề Vị nhóm M (X ) đ-ợc sinh tự bëi X1, X2,…, Xk Chøng minh XÐt hai phÇn tư M = X r1 X r2 X rm vµ M’ = X s1 X s2 X sm ~ M (X ) Phần tử góc bên phải M12 M chứa đơn thức xr xr xr xr xr xr , víi j = 1, 2,…, m j j j m Nếu đa thức tồn (M)12 t = m X r j X s j , víi j = 1, 2, , m Do ®ã (M)12 = (M’)12 kÐo theo X r1 X s1 , X r2 X s2 ,…, X rm X sm 27 §iỊu cần khẳng định đ-ợc chứng minh 2.3.9 Bổ đề Giả sử B bảng chữ nhị nguyên, B = x, y Khi tồn t-ơng ứng song ánh đồng cấu : X * B * với đồng cấu vị ~ nhóm : M (X ) SL(2, N) cho biểu đồ sau giao hoán X* B* ~ M ( X ) SL(2, N ) ~ đó, đồng cấu vị nhóm : X * M (X ) xác định bëi xi1 xi2 xi3 xi4 ( xi ) (Thùc chÊt đẳng cấu), SL(2, N) vị nhóm nhân tù sinh bëi c¸c ma trËn 1 0 a = 1 1 1 1 b = , đồng cấu : B * SL(2, N) đồng cấu vị nhóm cho bëi (x) = a vµ (y) = b Bây ta chứng minh định lý tiết 2.3.10 Định lý Một hệ ph-ơng trình tập hữu hạn biến có hệ hữu hạn t-ơng đ-ơng ~ Chứng minh Giả sử X X đ-ợc xác định nh- Theo định lý Evans (định lý 1.2.13), vị nhóm B * nhúng đ-ợc vào vị nhóm tự sinh hai phần tử, hạn chế nghiệm : X * B * chúng tr-ờng hợp B nhị nguyên, B = x, y Với từ w X * , chóng ta ký hiƯu: Pw1 (w) = Pw3 Pw2 Pw4 ~ Pw j Z X Xét ph-ơng trình tuú ý u = v ®ã u, v X * Định nghĩa hệ p(u, v) ph-ơng trình đa thức nh- sau 28 j Pu j = Pv j p(u, v) = xt1 xt4 xt2 xt3 = nÕu t k Gi¶ sư : X * B * đồng cấu, giả sử đồng cấu vị nhóm t-ơng ứng bổ đề 2.3.9 Thế theo 2.3.8 2.3.9 ta cã (u ) = (v) (u ) = (v) (u ) = (v) ~ Xét ánh xạ o ' : X N cho bëi o ' ( xi1 ) o ' ( xi2 ) ( X i ) = ' ( x ) ' ( x ) o i4 o i3 ThÕ th× o ' nghiệm ph-ơng trình thứ hai theo định nghĩa p(u, v) Điều ánh xạ vào SL(2, N) Hơn nữa, o ' mở rộng cách ~ thành đồng cÊu vµnh ' : Z X Z mµ ®èi víi nã ' ( Pw1 ) ' ( Pw2 ) ) (w) = ' ( Pw ) ' ( Pw víi mäi w X * Do ®ã, (u ) = (v) nÕu vµ chØ nÕu ' lµ nghiƯm toµn thĨ cđa p(u, v) Gi¶ sư = ui vi i I hệ ph-ơng trình giả sử p = p(ui, vi) iI Theo định lý Hilbert sở, p có hệ hữu hạn t-ơng đ-ơng po = p(ui, vi) iI o XÐt hÖ o = ui vi i I o cña Theo lập luận ta có nghiệm cđa o ' lµ nghiƯm cđa po ' lµ mét nghiƯm cđa p nghiệm Mà điều chứng minh đ-ợc o t-ơng đ-ơng với Vậy định lý 2.3.10 đà đ-ợc chứng minh 29 Kết luận Khoá luận đà thu đ-ợc kết sau Hệ thống hoá khái niệm sở cđa nưa nhãm HƯ thèng ho¸ c¸c kh¸i niƯm tính chất đồng cấu nửa nhóm; t-ơng đẳng nửa nhóm th-ơng Tổng quan nửa nhóm tự do, vị nhóm tự dựa sở nửa nhóm từ Xây dựng khái niệm hệ ph-ơng trình vị nhóm tự khảo sát mét sè tÝnh chÊt cđa chóng 30 Tµi liƯu tham khảo Tiếng Việt Nguyễn Tự C-ờng (2003), Giáo trình đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Hữu Việt H-ng (1998), Đại số đại c-ơng, NXB Giáo dục Hà Nội 4Hoàng Xuân Sính (1992), Đại số đại c-ơng, NXB Giáo dục Hà Nội Tiếng Anh H Cliford and G B Preston (1961-1967), The Algebraic theory of semirowps Vol I & II, Mathematical Surveyys of the Amer Math Soc 6 P M Higgins (1992), Techniques of semigroup theory, Oxford Univesity Prees 7J M Howie (1995), Fundamentals of semigroup theory, Academi Prees 8 M Petrich (1984), Letures in semigroups, Wiley ... nửa nhóm tự do, vị nhóm tự để làm sở cho việc trình bày nội dung khóa luận: Hệ ph-ơng trình vị nhóm tự 3 Đ2.1 Nửa nhóm từ Nửa nhóm tự Trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm từ, nửa nhóm tự Kết... S nửa nhóm tự S1 vị nhóm tự 2.2.4 Hệ Vị nhóm từ A* vị nhóm tự với bảng chữ A Khẳng định ng-ợc lại định lý 2.2.3 2.2.5 Định lý Một vị nhóm M vị nhóm tù nÕu vµ chØ nÕu M 1 lµ nưa nhóm tự Chứng... trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm tự do, vị nhóm tự để làm sở cho việc trình bày nội dung khóa luận: Hệ ph-ơng trình vị nhóm tự Đ2.1 Nửa nhóm từ Nửa nhóm tự 2.1.1 Định nghĩa Giả sử A tập hợp
Ngày đăng: 21/10/2021, 23:08
Xem thêm: