Tuyển tập các bài toán hệ phương trình trên k2pi.net.vn

Các bài tập hệ phương trình hay và khó trên diễn đàn k2pi.net.vn Đây là các bài tập được các thành viên trên k2pi.net.vn biên soạn công phu và có thể có bản quyền. Vì vậy tôi chỉ tải về và đăng lên để giúp các bạn có 1 tài liệu học tập miễn phí về hệ phương trình, mọi điều gì liên quan đến vi phạm bản quyền xin gửi cho tôi, tôi sẽ lập tức rút tài liệu này về. Tôi không nhận bất cứ sở hữu nào về bản quyền này và cũng không chịu trách nhiệm trước pháp luật.

Trang 1

Hà Tĩnh tháng 11 năm 2015

Trang 2

Bài Toán 6 Giải hệ phương trình sau

29y2+ 8ypy2− xy + 4xy = x2+ 16yp3y2 + xy

1 + 3x + 1 = 12x + 12√

1 + y

Trang 3

Trang 4







(x2+ y2− 7)(x + y)2+ 2 = 0(x − 3)(x + y) = 1

Trang 5

yy(y − 3x + 3) = 15x + 10

4

√x(2y2 +√

Trang 7

Vn

Phần II Lời Giải Chi Tiết

Giải hệ phương trình sau

2

⇒ ypx (x + y) + xpy (y − x) ≤ x2+ y2 (3)Khi đó

!

y2+ −15 + 3√5

2 y = 0 ⇔ y = 0 ⇒ x = 0Với x = y = 0 thay lên phương trình trên thỏa mãn

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (0; 0)

Trang 8

⇒ 2py (x2− x) = x2− x + y

⇒ 4y x2− x = x2 − x + y2

⇔ y − x2+ x2 = 0

⇔ y = x2− xThế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; 0)

Ta thấy xy = 0 không phải là nghiệm của phương trình thứ hai

Chia cả 2 vế pt 2 cho xy ta được

2√

x − y

xy +

1(1 +





t = 0

t = −32

Trang 9

Vn

Từ đó suy ra trường hợp này vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = y = √41

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; −1)

⇒ y = −p2

2√3(T /M )

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = −p1

2√3

; −p2

2√3

!

Trang 10

Đồng thời thấy (x; y) = (0; 0) cũng thỏa mãn phương trình thứ hai.

Với xy > 0 ta lần lượt xét hai trường hợp sau

• Nếu y > 0 thì với phương trình thứ hai, ta có

2

+ 16

r

3 + xy

3 + t + 2 − 8 −√1 − t(t + 3) < 0 ∀t ∈ (0; 1] nên phương trình suy ra t = 1

Khi đó x = y, thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được

• Nếu y < 0 thì với phương trình thứ hai, ta có

2

− 16

r

3 + xyVới t = x

y ∈ (0; 1] ta xét hàm số f (t) = t2− 4t − 16√3 + t + 8√

1 − t − 29

Dễ dàng nhận thấy f (t) nghịch biến trên (0; 1] nên f (t) < f (0) < 0 ; ∀t ∈ (0; 1]

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (0; 0) và

1

2√

2;

1

2√2

Trang 11

Vn

Nếu một trong hai số x = 0 hoặc y = 0 thì từ phương trình thứ nhất nhận số còn lại là 0, nócũng thỏa phương trình còn lại nên (0; 0) là một nghiệm của hệ

Đặt f (t) = t3+ 3t2+ 3t thì phương trình thứ nhất của hệ là f (x) = 2f (y)

Do f0(t) = 3t2+ 6t + 3 = 3(t + 1)2 ≥ 0 nên f đồng biến trên R

Khi đó nếu x > 0 thì 0 = f (0) < f (x) = 2f (y) ⇒ f (y) > 0 ⇒ y > 0

Tương tự nếu x < 0 thì dẫn đến y < 0

Bây giờ ta lần lượt xét các trường hợp sau

Nếu x < 0 thì y < 0 khi đó phương trình thứ hai

⇒ t√t + 1 −√

t2− t = 2t , (b)Cộng hai phương trình (a) và (b) theo vế ta có

t = 2 +√

6 +√

3 +√2Với t = 2 +√6 −√

3 −√

2 ta thay y = t1x vào phương trình thứ nhất của hệ ta được(2t31− 1)x3+ (6t21− 3)x2+ (6t1− 3)x = 0

Để ý thấy các hệ số đều dương nên phương trình không thể có nghiệm dương

Tương tự phương trình cũng vô nghiệm với trường hợp t = 2 +√6 +√

3 +√2Vậy hệ có nghiệm duy nhất (0; 0)

Trang 12

Thế vào phương trình thứ hai ta có

√2x2+ 4x − 3 +√

5x2+ 6x − 3 = 3x + 2Thấy x = −2

3 không phải là nghiệm nên điều kiện là x > −2

3.Phương trình tương đương với

3x2+ 2x

√5x2+ 6x − 3 −√

2x2+ 4x − 3 = 3x + 2

x =√5x2+ 6x − 3 −√

2x2+ 4x − 3

⇒

(

x =√5x2+ 6x − 3 −√

2x2+ 4x − 33x + 2 =√

⇔ x =√5 − 1 → y =√

5

Thử lại thấy thõa mãn

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = √5 − 1;√

Trang 13

3xy =√

x2+ 1 + 1 py2 + 1 + 1≥ 4 ⇔ xy ≥ 4

3Kết hợp với điều kiện xy đã tìm được suy ra hệ phương trình đã cho tương đương với

(

x + y = 0

x2+ y2 + x2y2 = 3Giải hệ phương trình trên ta thu được các nghiệm (1; −1) và (−1; 1)

√

x2+ 1 = a

2+ 12a

py2 + 1 = b

2+ 12b

(b > 0)Khi đó phương trình thứ nhất trở thành :

a2− 12a +

b2+ 12b

a2+ 12a +

b2− 12b

3x2+ 4√

1 + 3x + 1 = 12x + 12√

1 − xPhương trình này giải ra chỉ có nghiệm x = 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (1; −1)







xy +py2+ 1= y (x2+ 1)(x + 2)y +py2 + 1=√

Trang 14

Vn

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được

x x(x + 2)√

Do x = 0 không là nghiệm và x > −2 nên phương trình tương đương với

15 (T /M )

Vậy hệ phương trình có nghiệm −1

2; −

2√515

= −353

Trang 15

x√2x − 1 + x√4

a − 1a

√

y = 12

b − 1b

2

−

b − 1a

2

= 4

Trang 16

= 0Mà

(

a4− 1 ≥ 0

b4− 1 ≥ 0

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 hay x = y = 0

Thay x = y = 0 vào phương trình (1) thỏa mãn

Vậy nghiệm của hệ là (0; 0)

√2x2+ 1

x2+ 1

√2y + 1 + 1 = 2

√2x2+ 1 + 1

√

x2+ 1

!2

√2y + 1 + 1 = 2

1 + x2− x) = 0

Trang 17

Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm (0; −1) , 4

3;

3 ±√52

⇒ 2 = x

2+ y2

xy ⇔ x = y

Từ đó ta kết hợp các dấu bằng tìm được x = y = 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 1)

Từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra y = 7x2+ 21x + 21

Thay vào phương trình đầu tiên ta có

√

x + 1 +

(x2+ x)(x + 4)

√7x2+ 21x + 21 + 7(x + 2)

= 0

Trang 18

Vn

Vì x ≥ 0 ⇒ x = 1

Vậy nghiệm của hệ là (x, y) = (1, 49)

p

x + 2y = p2x − 3y + 1

⇔ x + 2y = 2x − 3y + 1 + 2p2x − 3y

⇔ 5y = x + 1 + 2p2x − 3yThế vào phương trình hai ta được

Trang 19

Dấu bằng xảy ra tương ứng y = 0 ⇒ x = 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (1; 0)

Trang 20

2 ⇒ y = 1 +

√52Vậy nghiệm (x, y) của hệ phương trình là (1 +

√5

2 ,

1 +√5

y + 1, sử dụng đánh giá sau

8 = a2+ 1 + b2+ 1 + 8

a + b ≥ 2 (a + b) + 8

a + b ≥ 8Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 Từ đó giải ra nghiệm

Trang 21

Từ đây chúng ta có: x ≤ y là điều kiện để hệ có nghiệm.

Hơn thế nữa, chỉ ra được rằng 1 ≤ x, y ≤ 2

Sử dụng phân tích đánh giá cơ bản phương trình thứ hai như sau

Và y ≥ 1 Do đó f (x) + g (y) = 0 khi và chỉ khi x = y = 1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = y = 1

x ≥ 2

y ≥ −1

x + 3y + 1 ≥ 0Phương trình thứ hai tương đương với

2 +p2y + 6 + 3(y + 3) = 3(y + 3) + 1

Trang 22

2y2+ 6y + 6 = (3y + 8)py2− 1Nhường lại cho bạn đọc,chắc không khó với sự hỗ trợ CASIO

Trang 23

Vn

Vô nghiệm do t > 0, mà f0(t) liên tục trên (0 ; +∞)

Suy ra f0(t) không đổi dấu trên (0; +∞)

Suy ra f (t) đồng biến trên (0; +∞)

⇔

x

√

x + 1 − 1

+

1 −

3

√2x + 1x

√5

2 ;

1 +√52

Trang 24

x3y + 4xy3 = 21

Bài toán 29

Hướng Dẫn Giải

Điều kiện xy > 0

Phương trình thứ nhất tương đương với

2(x + 2y) = (p2xy − 1)2+ (x + 2y)2 ≥ (x + 2y)2

⇔ 0 < x + 2y ≤ 2Phương trình thứ hai tương đương

21xy(x + 2y)2− 84x2y2 = 2xy + 10p2(x4+ 16y4) ≥ 2xy + 5(x + 2y)2

⇔ (21xy − 5)(x + 2y)2 ≥ 84x2y2+ 2xy

⇔ (x + 2y)2 ≥ 84x

2y2+ 2xy21xy − 5

Ta có 2 ≥ x + 2y ≥ 2√2xy suy ra 0 < xy ≤ 1

2Xét f (xy) = 84x

2y2 + 2xy21xy − 5 trên

0;12

2x − y − 2

Bài toán 30

Điều kiện y ≥ 0

Từ phương trình đầu suy ra x > 0

Thế x = y +√y + 3vào phương trình hai,ta có

Trang 25

y = 8

√

22 − 2063Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm

y = 8

√

22 − 2063

Trang 26

Vì b ≤ 0 nên từ điều trên ta có : a = b − 4 ⇔ x + y =√x − y − 4

Thế 4 =√x − y − (x + y) xuống phương trình hai ta được :







(x2+ y2− 7)(x + y)2+ 2 = 0(x − 3)(x + y) = 1

Bài toán 34

Nhận thấy x + y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình nên

Trang 27

, (2; −1)

Trang 28

= 0

⇔ x = 1Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; −1)

Xét hàm số f (y) = 8√y + y2− 9 = 0 với y ≥ 0 ta có f (y) đồng biến

Với y ≥ 0 và f (1) = 0 nên y = 1 là nghiệm,suy ra x = 0

yy(y − 3x + 3) = 15x + 10

Bài toán 38

Điều kiện x ≥ 3

4 , y ≥ 0Phương trình thứ hai tương đương với (y + 5)(y − 3x − 2) = 0 ⇔ y = 3x + 2

Thế vào phương thứ nhất ta có

r4x − 17

3 = (2y

2

+ 11)(17 − y) +√

y

Trang 29

2 ⇒ x = −3Với y > 3

2 nên phương trình vô nghiệm

Vậy hệ phương trình chỉ có nghiệm (x, y) = (−3;3

Trang 30





x = 92

x2y2− 1

1 + x2+ y2+ x2y2 ≤ (xy − 1)(xy + 1)

(xy + 1)2 = xy − 1

xy + 1Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y Thay vào phương trình hai ta có

x2− x + 1 + (x − 1)√x2+ x + 1 + 2 = 0 > 0Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y) = (1; 1)

Trang 31

Vn

Phương trình đầu tương đương

(a − b)(a + b + 1) = 0 ⇔ a = bThế vào phương trình hai ta có √a = 3 − a2− a

4

√x(2y2+√

• TH2: √4

x +√

2 − x = 2y2 (3)Lấy (1) + (3) ta được

4

√2x2− x3+√4

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x, y) = (1; 1)

Trang 32

Vn

Trừ vế theo vế 2 phương trình ta được

2x2− (3y + 1)x − (2y2− 2y) = 0 ⇔

• Với y = 2x − 1 thay vào phương trình đầu tiên của hệ ta được

6x2− 3x − 30 + (√2 − x − 2) + (√

−2x − 2) = 0

⇔ (x + 2)

3x − 5 − √ 2

2 − x + 2 − √ 2

−2x + 2

= 0Với điều kiện của phương trình: x ≤ 0 ta chỉ được nghiệm x = −2

Vậy hệ ban đầu có nghiệm (x; y) = (−2; −5)

Trang 33

2b2− 3a2+ ab = 4(a − b) ⇔ (b − a)(2b + 3a + 4) = 0

⇔ a = b ⇔ y = x − 2Thế vào phương trình (2) ta được phương trình

= 0

⇔ x = 2 ⇒ y = 0 (T /M )Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 0)

(x2+ 2)√

x2− x + 1 = x3+ 2x2− 3x + 1

⇔ x(x2− x + 1) − (x2+ 2)√

x2− x + 1 + 3x2− 4x + 1 = 0Xem là phương trình bậc 2 với ẩn t =√x2− x + 1 ta có

∆ = (x2+ 2)2− 4x(3x2− 4x + 1) = (x2− 4x)2

Trang 34

4py + 3 + 4yp2y + 2 = 5y2+ 9 +p2(y2+ 1)

⇔ (y − 1)2

"

3 + 1p2(y2+ 1) + y + 1 +

2y

2√2y + 2 + y + 3 +

Vậy x = y = 1 là nghiệm duy nhất của hệ

Với x = 2 suy ra y = ±√3

Vậy hệ có ba nghiệm : (−1; 0), (2;√3)và (2; −√3)

Trang 35

30y − 9x + x = 2√

y − x +√

6y − 3x

Trang 36

Trang 37

x + y = (x2+ y + 2)√

y + 1 + xy

Trang 38

x =

r yx

8√

xy + 1xy

r

−x + y2

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	781,04 KB