Bí kíp giải hệ phương trình chỉ trong 10 phút Đỗ Duy Thành

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Tốn BÍ KÍP GI I H PH NG TRÌNH CH TRONG 10 PHÚT - Khi máy tính casio bó tay - Khi k n ng phân tích nhân t đ a v ph ng trình tích vơ hi u hóa  Các em h c sinh s ph i x lý th ? Hãy áp d ng nh ng ph ng pháp c c h u ích sau Chuyên đ Ph ng pháp mi n giá tr gi i h ph ng trình D u hi u nh n bi t:  Tr ng h p 1: H có ph ng trình b c v i x, y Cách gi i: Coi ph ng trình b c n x , gi i    u ki n c a y Coi ph ng trình b c n y , gi i    u ki n c a x Dùng u ki n c a x, y đ đánh giá ph ng trình cịn l i  Tr ng h p 2: H có ph ng trình b c hai v i x (ho c b c hai v i y ) Cách gi i: V i ph ng trình (1), coi x n, gi i    u ki n c a y V i ph ng trình (2), coi x n, gi i    u ki n c a y So sánh ph ng trình rút k Ví d 1: Gi i h ph ng trình 697  (1) x y  81   x2  y2  xy  3x  y   (2) Coi (2) ph Ph ng trình b c hai n x : x2  ( y  3) x  y2  y   ng trình có nghi m     ( y  3)  4( y2  y  4)   y2  y   y2  16 y  16   3 y2  10 y   1 y  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán Coi (2) ph ng trình b c hai n y : y2  ( x  4) y  x2  3x   Ph ng trình có nghi m     ( x  4)  4( x2  x  4)   x2  x  16  x2  12 x  16   3x2  x   0 x 697  7  4 y  1,  , x  0,  x4  y2         VT(1)  VP(1), 81  3  3 3 3 4 7 VT(1)=VP(1) x  , y  V y h ph ng trình có nghi m nh t  ,  3 3 3 Ví d 2: Gi i h ph ng trình  2 (1)  (2 x  1)(2 y  1)  xy  2   x  y  xy  x  y  14  (2) Coi (2) ph Ph ng trình b c hai n x : x2  ( y  7) x  y2  y  14  ng trình có nghi m     y2  14 y  49  y2  24 y  56   3 y2  10 y   ng trình b c hai n y : 1 y  Coi (2) ph y2  ( x  6) y  x2  x  14  Ph ng trình có nghi m     x2  12 x  36  x2  28 x  56   3x2  16 x  20   2 x x  y  không nghi m c a h 10 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán  1  (1)   x   y    (3) x  y  1 t f  t   2t   f '  t      f  t  đ ng bi n (;0) (0; ) t t  f 1  1 89  7   7  Xét t  1;      89   y   y  1;  y 21  3  f     3    21   f  2   10 191   10  Xét t   2;      2x   x   2;  x 30    f  10   191  3      30   x 1 V y h có nghi m (1;2)  VT (3)  D u “=” x y   y  Ví d 3: Gi i h ph ng trình  x2 y2  x  y2    2x  4x   y  Coi (1) ph (1) (2) ng trình b c hai n x : x2 y2  x  y2  Ph ng trình có nghi m   '    y4   1  y  Coi (2) ph ng trình b c hai n x : x2  x   y3  Ph (3) ng trình có nghi m   '      y3     y3   y  1 (4) T (3) (4)  y  1 Thay vào h ta đ Bài t p t luy n  x3  y2   2  x  xy  y  y  c x=1 V y h có nghi m (1;-1) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán Chuyên đ Ph ng pháp nhân chia gi i h ph ng trình D u hi u nh n bi t:  Tr ng h p 1: H ph ng trình tích  Tr ng h p 2: H ph ng trình ch a ph i h ph ng trình tích nh ng có th s d ng bi n đ i đ i s đ đ a v h ph ng trình tích Ví d 1: Gi i h ph ng trình  x ( x  y) y   ( x  y) x  y  (1) (2) i u ki n: x, y  +) D th y x  y  nghi m c a h +) V i x, y  , chia v c a ph ng trình (1) (2) cho ta đ ( x  y) y x  ( x  y) x y  y( x  y)  x( x  y)  x2  5xy  y2   x  3y   x  2y V i x  y , thay vào ph ng trình (1) ta đ 2y y  3y c: c: T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán 3y  16 y  y  y(16 y2  3)   y3  y    y  i chi u v i u ki n ta đ 3  x 4 y V i x  y , thay vào ph c: ng trình (1) ta đ y y c: 2y  2y y  2y  y3  y  y(2 y2 1)  y     y  i chi u v i u ki n ta đ c: y V y h ph  x 2 ng trình cho có nghi m (0, 0); ( Ví d 2: Gi i h ph ng trình 3 , ) ; ( 2, ) 4 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán  ( x 1) y2  x  y    ( y  2) x  y  x   ( x 1) y2  ( x 1)   y    ( y  2) x  ( y  2)  x 1  ( x 1)( y2  1)   y   (1) (2)  ( y  2)( x  1)  x 1 +) Nh n th y x  1, y  nghi m c a h ph +) V i x  1, y  , nhân v c a ph ng trình ng trình (1) (2) cho nhau, ta đ ( x2 1)( y2 1)  c: (3) x2   Do y2    VT (3)  VP (3) Khi VT(3)=VP(3)  x  y  Thay x  y  vào h ban đ u không th a mãn V y h có nghi m nh t (1,2) Ví d 3: Gi i h ph ng trình   (4  y  x) x     (4  ) y   y  2x i u ki n: x, y  H ph   4  y  2x x  ng trình   4    y  2x y  (1) (2) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán C ng v c a ph ng trình (1) (2), tr v c a ph   8  x     y  2x   Nhân v c a ph y (3)  x y (4) ng trình (3) (4) ta đ c: 16 12 16   2x  y x y  8x2  2xy  y2      V i y  x , th vào ph y x  y x (th a mãn) (lo i) ng trình ban đ u ta đ   x2 4 x    (16 x 1) x  8x  16 x 1  x  (16 x 1)2  192 x  256 x2 160 x  1  5 x  16   52 x  16  c: ng trình (1) (2) ta đ ch : T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán 52 52  52 52  V y h có nghi m  , ,    8   16   16 Bài t p t luy n   (1  y  x) 3x   Bài   (1  ) y   y x   (1   Bài   (1   12 ) x2 y  3x 12 ) y 6 y  3x T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán Chuyên đ Ph ng pháp th h ng t t Chú ý: ph ng pháp ta c n làm nh ng b  Gi i: Th ph c toán: a s h ng b c v m t nhóm  So sánh b c c a hai ph Ví d Gi i h ph c sau đ gi i đ ng trình đ tìm cách th h p lí  x3  xy2  y  (1) ng trình  2 (2) 8 y  x  ng trình (2) vào ph ng trình (1) ta đ c: x3  xy2  (8 y2  x2 ) y   x3  xy2  x2 y  y3  (3)  Nh n th y x=0 không nghi m c a h ph ng trình  Khi x  , chia c v c a ph ng trình (3) cho x3  ta đ : t y  t , ph x c:  y  y  y           (4)  x  x  x ng trình (4) có d ng: 8t  2t  t  1  (2t  1)(4t  t  1)  t  Th vào ph V y h ph ng trình (2) ta đ 1  x  2 y  y  c 12 y      y  1 3 1  x 3  x  1   1  ng trình cho có nghi m  x; y   ; ; ,    3  3 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán Ví d Gi i h ph Gi i: Th ph  x3  y3  (1) ng trình  5 2  x  y  x  y (2) ng trình (1) vào (2) ta đ c x5  y5  ( x2  y2 )( x3  y3 )  x2 y3  x3 y2   x2 y2 ( x  y)  x    y   x   y N u x  t (1) suy y  N u y  t (1) suy x  N u x   y t (1) suy  1, d n t i ph V y h ph ng trình vơ nghi m ng trình có nghi m (x;y) = (0;1), (1;0) Ví d Gi i h ph ng trình  x3 -8x = y3 +2y  2  x -3 = 3(y +1) Gi i:  x3 -8x = y3 +2y  2  x -3 = 3(y +1) Th ph ng trình (2) vào ph  x3  y3  2(4 x  y)  2 x  3y  ng trình (1) ta đ c 3( x3  y3 )  ( x2  y2 )(4 x  y)  3x3  y3  x3  x2 y  12 xy2  y3  x3  x2 y  12 xy2  x   2  x  xy  12 y  (3) (1) (2) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Tốn N u x=0 t (2) suy ph ng trình vơ nghi m N u x  , chia c v c a ph ng trình (3) cho x2  ta đ c:  y  y     12     x  x t y  t , ta có ph x   t   x  3y ng trình sau  t  12t     t  1  x  4 y  V i x=3y, thay vào ph ng trình (2) ta đ V i x=-4y, thay vào ph ng trình (2) ta đ  y 1 x  c y2     y  1  x   c   x  4 y  13 13 y      x4 y   13  V y h ph 13 13  6  6  ; ; ng trình có nghi m  x; y  ( 3; 1),(3;1),  4 , 4  13 13   13 13   Ví d 4: Gi i h ph ng trình ( HKA-2011)  x2 y  xy2  y3  2( x  y)   2  xy( x  y )   ( x  y) (1) (2) Gi i: Ta có: (2)  ( xy  1)( x2  y2  2)   xy  ho c x2  y2   N u xy  t (1) suy ra: y4  y2    y  1 Suy ra: (x;y)=(1;1) ho c (x;y)=(-1;-1)  N u x2  y2  t (1) suy ra: T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán y( x2  y2 )  xy2  x2 y  2( x  y)   y  xy2  x2 y  2( x  y)   xy   (1  xy)(2 y  x)    x  2y V i x=2y, t x2  y2  suy ra:  10 10   10 10  ( x; y)   ; ;  ho c ( x; y)     5 5      10 10   10 10  V y h có nghi m: (1;1),(1; 1),  ; ; ,     5   Bài t p t luy n Gi i h ph ng trình sau: Bài  y3  y2 x  3x  y   x2  xy   Bài  x x  y  x  y y  x y    Bài  x3  y3  xy2   4 2 x  y  x  y  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán Chuyên đ Ph ng pháp hƠm đ c tr ng N i dung ph ng pháp: Ph ng pháp ta s s d ng v i h mà ph ng trình có x y đ c l p v i ho c có th bi n đ i v h ph ng trình có x y đ c l p v i Sau xét m t hàm s f  t  đ ng bi n (ho c ngh ch bi n) D Khi ph ng trình f (u)  f (v)  u  v xu t hi n hƠm đ c tr ng c n ý:  Hàm đ c tr ng s xu t hi n t (1) (2) ph ng trình c a h thơng qua bi n đ i đ i s , đ t n ph ho c chia c hai v c a ph ng trình cho m t bi u th c  Hàm đ c tr ng s xu t hi n sau c ng ho c tr hai ph ng trình c a h Ví d Gi i h ph  x3 (2  y)  ng trình   x( y  2)  Gi i:  Xét x=0 không nghi m c a h ph ng trình    y (1) 3  x (2  y)    x  Xét x  :     x y ( 2)   y3   (2)  x  C ng ph ng trình (1) (2) ta đ c:   y3  y (3) x x Xét hàm : f  t   t  3t Ta có f '  t   3t   suy hàm f (t ) đ ng bi n T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán 1 (3)  f    f ( y)  x  y x Thay vào ph ng trình (1) ta đ c:  x  y2 3  x (2  )   x  3x     x  x  1  y  1 V y h ph 1  ng trình cho có nghi m  x; y   ;2  ,  1; 1 2  Ví d Gi i h ph  x  x2  x   y1  (1) ng trình  x1  y  y  y    (2) Gi i:   x  1  y1   x  x  2x       x1   y  y  y     y  1  Tr hai v c a ph ng trình cho ta đ  x  1   x  1 2  y  1   y1   3x1 c:   3x1   y  1  Xét hàm f (t )  t  t   3t Ta có f ' (t )   đ ng bi n  x  1 t t 1  y  1 (3)  f  x  1  f ( y  1) Thay vào ph ng trình đ c:   y1 (3)  3t ln t  0, t suy hàm f (t )  x y T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán x 1   x  1   3x1 t u  x 1 Ta đ c ph ng trình u  u   3u    3u u  u      u  Xét hàm: g  u   3u u  u   g '  u   3u ln3 1  0 u    Suy hàm g (u ) ngh ch bi n M t khác, g(0)=1, ph ng trình có nghi m nh t u=0 suy h ph ng trình có nghi m nh t (x;y)=(1;1) Ví d Gi i h ph 10   x  xy  y  y ng trình    4x   y   (1) (2) Gi i: Nh n th y y  không nghi m c a h nên ta chia c v ph :ta đ c: ng trình (1) cho y5   x x     y  y (3)  y y Ta xét hàm: f  t   t  t  f '(t )  5t   Suy hàm f (t ) đ ng bi n T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán  x (3)  f    f ( y)  y x  y y  x  y2 Thay vào ph ng trình (2):   4x   x     4x     x8 3  x 1 4( x  1)  0 x8 3 4x      ( x  1)   0 x8 3  4x    x 1     x   y  1   0  x   x8 3 V y h ph ng trình có nghi m  x; y  (1;1) , (1;-1) Ví d ( HKA-2010) Gi i h ph ng trình   x  1 x   y  3  y   2  4 x  y   x  (1) (2) Gi i: t  t2  y  t (t  0)  y  1  t (1)   x  1 x  t  2  x  x  1   t  1 t (3)   T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán Ta xét hàm: f  t   (t  1)t  f '(t )  3t   Suy hàm f (t ) đ ng bi n (3)  f  2x   f (t )  2x  t  2x   y x     4x y   Th vào (2) ta đ c: 5  x    x2    x  2  D th y x  0, x  (4), 0 x không nghi m c a (4) 5   3 Xét g ( x)  x    x2    x  0;  2   4 4 5   12 x  16 x3  g '( x)  x  x   x2    4x  4x 2   3  x  x2  3   x   0;   4x  4 1  3 Suy hàm g ( x) ngh ch bi n  0;  M t khác g     x  nghi m 2  4 nh t c a (4)  y  1  V y h cho có nghi m ( x; y)   ;2    NOTE: Chúng ta ch xét hàm (a,b) ch khơng xét hàm [a,b], m t s tr ng h p t i m mút a,b đ o hàm không xác đ nh Vì v y em nên tách m đ u mút xét riêng xem có nghi m c a ph ng trình khơng T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Tốn Ví d Gi i h ph  e x y  e x y   x  1 (1) ng trình  x y (2) e  x  y  Gi i: t u  x  y, v  x  y H có d ng: eu  ev  u  v    u  1   v  1  eu  v   eu  ev   u  1  eu  eu  v   ev  u   u e  v  (3) (4) c: ev  eu  u  v Tr v c a (3) (4) cho ta đ  ev  v  eu  u (5) Ta xét hàm: f  t   et  t  f '(t )  et   Suy hàm f (t ) đ ng bi n (5)  f  u   f (v) uv  x y  x y  y  T (2)  e x  x   e x  x  (6) t g ( x)  e x  x , g '( x)  e x   N u x   g ' ( x)   g ( x) đ ng bi n (0; )  g ( x)  g (0)  g ( x)  Suy (6) vô nghi m  N u x   g ' ( x)   g ( x) ngh ch bi n (;0)  g ( x)  g (0)  g ( x)  Suy (6) vô nghi m  N u x   VT(6)  VP(6)   x  nghi m nh t c a (6) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Tốn V y h cho có nghi m ( x; y)  (0;0) Bài t p t luy n Gi i h ph ng trình sau: Bài 2 y3  x  x   x  y   y  x   xy  x Bài  2  x  1  x    y  3 y     4x   y   Bài 3   y  y  x  3x  x     1 x  y   y 1 Bài   x  x  y y      2  x   y  1  T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán Chuyên đ Ph ng pháp đ t n ph N i dung ph ng pháp: S d ng ph ng pháp h ph ng trình có v ph i đ c l p v i x ho c y Khi ta kh x, y v ph i c a c hai ph ng trình l a ch n n ph cho phù h p Ví d Gi i h ph  y  xy2  x2 ng trình  2 1  x y  x Gi i:  Xét x=0 không nghi m c a h ph ng trình  Xét x  , chia c v c a hai ph ng trình cho x2  ta đ c:  y y2 6   x x    y2   x2  y  6  x  x  y       y   y    x x  t u y ; v   y ta đ x x c h ph ng trình:    u   u.v  u u    v    v  v  v  2u  v2    v3  5v  12    v V i u=2, v=3: T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán     x   y    2   y  2x y  y  2x  x    1     x x    x    x    y3 x   x      y     V y h ph 1  ng trình cho có nghi m  x; y  1;2  ,  ;1 2  Ví d Gi i h ph  xy2  y  3x2  ng trình  2  y  x y  2x  (1) (2) Gi i:  Ta có x=y=0 m t nghi m c a h ph ng trình  Khi x  0; y  , chia v c a ph ng trình (1) cho x2 , chia v c a ph trình cho y2 ta đ c:  y2  y2 y y  2  3  2 3  x x x x    2 1  x  x   x  x  1  y y2 y2  y y2 x2 t u  ;v  ta đ x y c h ph ng trình  u  1      u v   u   3  u  v  3     v 1    u   3   v 1 v        u  6 v   1  2   v   1 v   v   3v  v    v    u  3     v     V i u= -1,v=1 ta có: ng T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán  y2   1  x  1  x  1 x    x2    x  y 1   y 1   y V i u  6; v  2 ta có  y2  x  6    x    x   y    y  V y h ph   ng trình cho có nghi m  x; y    ;   ,  1;1 9  Ví d Gi i h ph  x2 +y +xy+1 = 4y ng trình  2  y(x+y) = 2x  y  Gi i:   x2  x y   4    x2 +y +xy+1 = 4y y  y( x  y)  ( x  1)  y     2 2  y  y x  y  x   y y(x+y) = 2x ( ) 2( 1)   ( x  y)  x     y  x2  t u  x  y; v  ta đ y c h ph ng trình  u  u   v   u  v   u  4v  u  4v   v 1     v        u  5 v  10v   u  2v  u  2v   v       v  V i u  3; v  1: T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán      x  1 x y   y  3 x y  3 x      y4   x2     x  1    x2   x   y 1  y 1   x         y     V i u  5; v  :  x  y  5  y  5  x   (vô nghi m)   x2   x 1  y 9  y 9   V y h ph ng trình có nghi m  x; y  (1;4),(2;1) Ví d 4: Gi i h ph  y3  x3 (9  x3 ) ng trình  2 x y  y  6x (1) (2) Gi i:  Nh n th y x=y=0 m t nghi m c a h ph  Xét x  0; y  Chia v c a ph trình (2) cho x ta đ c: ng h ph ng trình ng trình (1) cho x3 , chia v c a ph ng   y   y  y y y2    y    x3  x 9  x   (x  y  )   x   [  x   -3y]=9 x  x  x   x    x x     y y  y2   y( x  y )    y( x  )  y x    6   xy     x x x x     y t u  x  ; v  y ta đ c h ph ng trình: x   v  u (u  3v)   v  u   u   u.v  u  27  y  x   V i u=3;v=3:  x   y3 (h vô nghi m) T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Fanpage: Th y Duy Thành – Ti n s Toán V y h ph ng trình có nghi m: (x;y)=(0;0) Bài t p t luy n Bài 1  x3 y3  19 x3  2  y  xy  6 x Bài  x3 (2  y)    x( y  2)  Bài  x2  xy  x  y   2  x  x y  3x  y  Bài 1  x3 y3  19 x3  2  y  xy   x Bài  x2   y( x  y)  y  ( x  1)( y  x  2)  y Bài 8 x3 y3  27  18 x3  2  xy  x  y Bài  xy  x   y  2  x y  xy   13x Bài  x3  xy2  216 y   x y  y  24 x