BÍ KÍP GIẢI HỆ PHưƠNG TRÌNH CHỈ TRONG 10 PHÚT P4

Điều khó khăn nhất để giỏi môn toán là phải dành cho nó nhiều thời gian. Dù không phải nhớ nhiều nhưng trước hết chúng ta phải nhớ các định nghĩa, các tính chất, các định lý và các hệ quả. Để nhớ và hiểu sâu sắc các định nghĩa và định lý, chúng ta phải làm nhiều bài tập. Trăm hay không bằng tay quen. Khi đến 1 khu phố lạ ta bị lạc đường nhưng 1 đứa bé 10 tuổi có thể dẫn ta đi bất cứ ngóc ngách nào mà không lạc, đó chính là do quen.

Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán BÍ KÍP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHỈ TRONG 10 PHÚT Chuyên đề Phƣơng pháp hàm đặc trƣng Nội dung phƣơng pháp: Phương pháp ta sử dụng với hệ mà phương trình có x y độc lập với biến đổi hệ phương trình có x y độc lập với Sau xét hàm số f  t  đồng biến (hoặc nghịch biến) D Khi phương trình f (u)  f (v)  u  v Để xuất hàm đặc trƣng cần ý:  Hàm đặc trưng xuất từ (1) (2) phương trình hệ thông qua biến đổi đại số, đặt ẩn phụ chia hai vế phương trình cho biếu thức  Hàm đặc trưng xuất sau cộng trừ hai phương trình hệ  x3 (2  y )  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x( y  2)  Giải:  Xét x=0 không nghiệm hệ phương trình   3y  (1)   x (2  y )   x  Xét x  :   x ( y  2)    y3   (2)  x  Cộng phương trình (1) (2) ta được:   y  y (3) x x Xét hàm : f  t   t  3t Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Ta có f '  t   3t   suy hàm f (t ) đồng biến 1 (3)  f    f ( y ) x  y x Thay vào phương trình (1) ta được:  x   y2 3 x (2  )   x  3x      x  x  1  y  1 1  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    ;2  ,  1; 1 2   x  x  x   y 1  (1) Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  x 1  y  y  y    (2) Giải:   x  1  y 1   x  x  2x       x 1   y  y  y     y  1   x  1  y  1   y 1   3x 1 Trừ hai vế phương trình cho ta đươc:  x  1   x  1   3x1   y  1  Xét hàm f (t )  t  t   3t Ta có f ' (t )   đồng biến t t 1  y  1 (3)  f  x  1  f ( y  1) Thay vào phương trình được:   y 1 (3)  3t ln t  0, t suy hàm f (t ) x y Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán x 1   x  1   3x1 Đặt u  x 1 Ta phương trình u  u   3u    3u u  u      u  Xét hàm: g  u   3u u  u   g '  u   3u ln3 1    u    Suy hàm g (u ) nghịch biến Mặt khác, g(0)=1, phương trình có nghiệm u=0 suy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(1;1) 10   x  xy  y  y Ví dụ Giải hệ phƣơng trình    4x   y   (1) (2) Giải: Nhận thấy y  không nghiệm hệ nên ta chia vế phương trình (1) cho y  :ta được: x x     y  y (3)  y y Ta xét hàm: f  t   t  t  f '(t )  5t   Suy hàm f (t ) đồng biến Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán x (3)  f    f ( y )  y x  y y  x  y2 Thay vào phương trình (2):   4x   x     4x     x8 3  4( x  1) x 1  0 4x   x8 3    ( x  1)   0 x8 3  4x    x 1     x   y  1   0  x   x8 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   (1;1) , (1;-1) Ví dụ (ĐHKA-2010) Giải hệ phƣơng trình   x  1 x   y  3  y   2  4 x  y   x  (1) (2) Giải: Đặt  t2  y  t (t  0)  y  1  t (1)   x  1 x  t  2  x  x   1   t  1 t (3)   Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Ta xét hàm: f  t   (t  1)t  f '(t )  3t   Suy hàm f (t ) đồng biến (3)  f  2x   f (t )  2x  t  2x   y x     4x y   Thế vào (2) ta được: 5  4x    2x2    x  2  Dễ thấy x  0, x  (4), 0 x không nghiệm (4) 5   3 Xét g ( x)  x    x    x  0;  2   4 4 5  g '( x)  x  x   x    12 x  16 x3   4x  4x 2   3  x  x  3   x   0;   4x  4  3 1 Suy hàm g ( x) nghịch biến  0;  Mặt khác g     x  nghiệm  4 2 (4)  y  1  Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y )   ;2    NOTE: Chúng ta xét hàm (a,b) không xét hàm [a,b], số trường hợp điểm mút a,b đạo hàm không xác định Vì em nên tách điểm đầu mút xét riêng xem có nghiệm phương trình không Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán  e x  y  e x  y   x  1 (1) Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  x  y (2) e  x  y  Giải: Đặt u  x  y, v  x  y Hệ có dạng: eu  ev  u  v    u  1   v  1  eu  v   eu  ev   u  1  eu  eu  v   ev  u   u e  v  (3) (4) Trừ vế (3) (4) cho ta được: ev  eu  u  v  ev  v  eu  u (5) Ta xét hàm: f  t   et  t  f '(t )  et   Suy hàm f (t ) đồng biến (5)  f  u   f (v) uv  x y  x y  y 0 Từ (2)  e x  x   e x  x  (6) Đặt g ( x)  e x  x , g '( x)  e x   Nếu x   g ' ( x)   g ( x) đồng biến (0; )  g ( x)  g (0)  g ( x)  Suy (6) vô nghiệm  Nếu x   g ' ( x)   g ( x) nghịch biến (;0)  g ( x)  g (0)  g ( x)  Suy (6) vô nghiệm  Nếu x   VT(6)  VP(6)   x  nghiệm (6) Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y)  (0;0) Bài tập tự luyện Giải hệ phƣơng trình sau: Bài 2 y  x  x   x  y   y  x   xy  x Bài  2  x  1  x    y  3 y     4x   y   Bài 3   y  y  x  3x  x     1 x  y   y 1 Bài   x   x  y y      2  x   y  1  Download chuyên đề trước: - Giải hệ phương trình phương pháp miền giá trị: Tại Giải hệ phương trình phương pháp nhân chia: Tại Giải hệ phương trình phương pháp hạng tử tự do: Tại Để theo dõi tài liệu khác, truy cập fanpage : Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Để học online, truy cập kênh Youtube: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán