Đang tải... (xem toàn văn)
Bạn có thể bắt đầu với những công thức, lý thuyết đơn giản nhất như các phép cộng – trừ – nhân – chia. Đừng vội cười bởi vì chỉ bằng cách nhắc đi nhắc lại những công thức toán học hằng ngày thì cho dù bạn không có năng khiếu đối với toán học, những công thức, lý thuyết này cũng sẽ tự động lưu lại vào bộ nhớ của bạn.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Dạng 1: Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình quen thuộc ( Đối xứng loại 1, loại 2, thường…) Ví dụ 1: Cơ + = = 2 2 +3 =5 =2 + = Đặt = =2 =3 hệ phương trình trở thành + =5 =6 Trường hợp 1: + =1 =1 =0 =1 Trường hợp 2: =2 =2 → =3 =3 + =3 =3 → =2 =2 = log = log = log − log = log Hệ phương trình mũ logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page Kết luận: ( ; ) = (0; 1)(log − log ; log 2) + Ví dụ 2: ( Điều kiện: >0 >0 (1) +2 2 ( ) +2 ( ) ( ) =2 − = (1 ) (Điều kiện: > 0) Phương trình (1 ) trở thành: Đặt = = − )= ( ( ỏ ô ã ) ỏ ã ) →2 =1 − =0 = thay vào phương trình (2) ta được: log log log + −2=0 (log − 1) = −1 =4 (log ) − log −8=0 (log − 4)(log + 2) = ⎡ →⎢ ⎢ ⎣ Kết luận: ( ; ) = Ví dụ 3: ( Điều kiện: ; = ) +( (16; 16) ( ) ) = ( ) >0 >0 Hệ phương trình mũ logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page Từ (1) → = thay vào (2) ta được: (log ) + (log ) = (log ) + (log ) =2 2(log ) = log = ±1 → (thỏa mãn) Kết luận: ( ; ) = 10; − ( + )− Ví dụ 4: + − Điều kiện ( ; 10) = ( − )= >0 >0 Hệ phương trình cho tương đương với + − Đặt = = điều kiện > hệ phương trình trở thành log =2 − log =1 = log − log → − log log =1 − log + log + log =1 =0 =0 log (1 + log 2) = log =0 > 0, ( + )( − ) = log ( + ) − log ( − ) = =1→ =2 ( ℎỏ =1 ã )→ + − =2 =1 Hệ phương trình mũ logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page = (thỏa mãn) = Kết luận:( ; ) = ( ; ) √ Ví dụ 5: Điều kiện ( + )= = + >0 Hệ phương trình tương đương với log ( + ) = = 1152 + =5 = 1152 = 5− = 1152 = 5− =6 = −2 (thỏa mãn) =7 Kết luận: ( ; ) = (−2; 7) Ví dụ 6: Điều kiện log + log log = + log + log = log (1 + log ) >0 >0 Hệ phương trình tương đương với log log + log + = log 10 = log (log + log ) log + log = log 10 log (8 ) = log log (5 ) log ( (1) (2) ) = log 10 log (8 ) = ( ) Hệ phương trình mũ logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page = 10 log (8 ) = log (5 = 10 =5 ) = =5 = = 16 =5 (thỏa mãn) =2 Kết luận: ( ; ) = (2; 5) ( − )= Ví dụ 7: − ( + ) =− ; Điều kiện log ( Hệ phương trình tương đương với − ) = log = −1 − =2 log = −1 − = 32 = = − = 32 = − 32 − 144 = Hệ phương trình mũ logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page = ( + 4)( − 36) = = − 36 = ì +4>0 =2 =6 ì >0 Kết luận: ( ; ) = (6; 2) − Ví dụ 8: Điều kiện = = + >0 Hệ phương trình tương đương với = log =3 Đặt điều kiện Hệ phương trình trở thành log − = 15 log = log + 3 >0 − = 15 =2 +3 = − 15 (2 − 15) = + 3(2 − 15) = − 15 − 23 + 45 = = − 15 ( − 9)(2 − 5) = − 15 ( ạ) log = =9 → =3 =3 = ( ℎỏ =1 ã ) Hệ phương trình mũ logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page Kết luận: ( ; ) = (2 ; 1) + + Ví dụ 9: Điều kiện: > 0, = = >0 Hệ phương trình tương đương với + ( + ) − = 17 =4 ( + ) = 25 =4 + = 17 )=2 = 17 =4 + log ( =5 ì + =4 >0 = 5− (5 − ) = =5− −5 +4=0 =5− (thỏa mãn) Kết luận: ( ; ) = (1; 4)(4; 1) Ví dụ 10: Điều kiện: = = > 0, < ≠1 log Lấy logarit số phương trình thứ nhất, ta đưa hệ dạng log = log − log = Hệ phương trình mũ logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page log = log log − log log = log log =2 log log =4 =2 = = 16 (thỏa mãn) =4 Kết luận: ( ; ) = (16; 4) √ Ví dụ 11: =( ) = >0 Điều kiện Hệ phương trình tương đương với 2√ = √ = √ =2 = −1 = −1 √ = =3 √ =1 =3 (thỏa mãn) =1 Kết luận: ( ; ) = (1; 3) Ví dụ 12: Điều kiện ( + − − + )− = ( − )= >0 >0 Hệ phương trình mũ logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page Lấy logarit số hai vế phương trình thứ ta đươc log (4 − ) = log log (2 + ) − log (2 − ) = log (2 + ) + log (2 − ) = log (2 + ) − log (2 − ) = log (2 + ) = − log (2 − ) − log (2 − ) − log (2 − ) = log (2 + ) = − log (2 − ) log (2 − ) + log log (2 − ) = log (2 + ) = − log (2 − ) (1 + log 2) log (2 − ) = log (2 + ) = − log (2 − ) log (2 − ) = log (2 + ) = log (2 − ) = + − = = =2 =1 (thỏa mãn) Kết luận: ( ; ) Ví dụ 13: Điều kiện: √ + − = = ≥ 0, >0 + log = Hệ phương trình tương đương với √ − log = log = √ + 3√ − 10 = Hệ phương trình mũ logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page log √ = √ −2 √ +5 =0 log √ = √ −2=0 ì√ +5>0 log = √ =2 = √10( ℎỏ =4 ã ) Kết luận: ( ; ) = (4; √10) Ví dụ 14: Điều kiện ( ) > 0, = =( ) >0 Lấy logarit số 10 hai vế hai phương trình ta đươc log log = log log (log + log ) log = (log + log ) log log log − log log = log log − log log = (log 3) − (log 4) Đặt = log = log log − log = log − log = (log 3) − (log 4) Khi hệ có dạng Ta có = log − log =(log 4) − (log 3) ≠ 0, hệ phương trình có nghiệm log − log = = (log 3) − (log 4) − log = ((log 3) − (log 4) ) log − log log log (log 3) − (log 4) = ((log 3) − (log 4) ) log Hệ phương trình mũ logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 10 Suy hệ có nghiệm = = = − log = = − log → log = − log log = − log (thỏa mãn) = Kết luận: ( ; ) = ( ; ) ( − ( + Ví dụ 15: + )+ )+ ( + ( + )= + )= ( ) ( ) 0 ⎪ ≠0 ⎩ 1+2 >0 Giải (1) (1) log (1 − ) + log Nhận thấy log (1 + ) = (3) (1 − ) log (1 + ) = 1, đặt = log (1 − ) → log (1 + )= Khi phương trình (3) trở thành + = −2 +1=0 ( − 1) = −1=0 = → log 1+ (1 − ) = = 1− = − thay vào phương trình (2) ta log log 1−4 (1 − (1 − ) + log (1 + ) = )=2 = (1 + ) Hệ phương trình mũ logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 11 5 +2 =0 = 0( ) =− =− = Kết luận: ( ; ) = (− ; ) √ + + Ví dụ 16: Điều kiện > 0, = + = + >0 Hệ phương trình tương đương với log ( + 3) = 2(1 + log log ( + 3) = 2(1 + log ) ) log ( + 3) = 2(1 + log ) (1) 2(1 + log ) = log ( + 3) (2) → log ( + 3) + log = log ( + 3) + log (3) Xét hàm số ( ) = log ( + 3) + log = (0; +∞) Miền xác định Đạo hàm ( )= ( ) + > 0, ∀ ∈ → hàm số đồng biến Vậy phương trình (3) viết dạng ( ) = ( ) = +3=2 + = + = + = ( + = thay vào phương trình (2) ta được: log ( + 3) = 2(1 + log ( ) ) ) + Xét hàm số ( ) = = (3) + Hệ phương trình mũ logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 12 = (0; +∞) Miền xác định ( ) = (1 − log 4) Đạo hàm − log < 0, ∀ ∈ →Hàm số nghịch biến Vậy phương trình (3) có nghiệm nghiệm Nhận thấy → = = nghiệm phương trình vì: + = (đúng) =1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( ; ) = (1; 1) Ví dụ 17: − =( + = Điều kiện > 0, )( + − ) ( ) ( ) >0 Giải (1) > Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) Khi đó: log < log Khi đó: 0 nghiệm (1) = Vậy > log >0 → (1)vô nghiệm −1 >0 Điều kiện Từ hệ suy ra: log ( + 1) + log ( + 1) + = log + = log Xét hàm sô ( ) = log + −1 + + hàm số đồng biến với > 0, phương trình co dạng: ( + 1) = ( ) +1= Khi hệ chuyển thành = +1 +1=2 = = +1 log ( + 1) = =0 =1 (thỏa mãn) =1 =2 +1 =0 =1 Kết luận: ( ; ) = (0; 1)(1; 2) Ví dụ 19: ( + )= + − ( + )= + − Điều kiện + >0 +1>0 + +2≠1 0< ( ) ( ) + >0 +1>0 Giải (1) Đặt = + > ta được: log Lại đặt = log Bemoulli) log =0 → log =1 Với + + 1+ = − (3) → = Khi phương trình (3) có dạng: = =0 =1 =1 → =2 + + = hệ phương trình trở thành + (Phương trình =1 =2 + =1 log (1 + ) = =1 =1 Hệ phương trình mũ logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 14 + =1 =0 =0 =1 (thỏa mãn) =1 =0 Kết luận: ( ; ) = (0; 1)(1; 0) √ + + Ví dụ 20: − = √ = +1≥0 Điều kiện − ≥ 0 < >0 Phương trình (2) ( ) ( ) ≤4 = − log 3 =3 3 = = thay vào phương trình (1) ta được: √ + − = √ + = √4 − +1= 5− √4 − = √ +1 + 2√4 − −2 −2≥0 − = ( − 2) ≥2 −3 =0 ≥2 =0 =3 =3→ =0 Kết luận: ( ; ) = (3; 0) Hệ phương trình mũ logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 15 Ví dụ 21: ( ( + )− + )− ( ( )+ = ( + + − + )= ) − > 0; + > 0; + > Điều kiện + − + > 0; > (∗) Hệ phương trình tương đương với ( ) = +3 = ( log ) = log ( + ) log = log ( ) −3 +2 =0 − +2 −2 =0 ( − )( − ) = ( − )( − 2) = = =2 =2 = =2 =1 Từ ( ) điều kiện (∗) trở thành: > 0, >0 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Ví dụ 22: Điều kiện = ( − )= − = = =2 =1 ∈ ( + ) − >0 + >0 , ≠0 Hệ phương trình tương đương với ( ) =2 log ( − ) + log ( + ) = Hệ phương trình mũ logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 16 + log ( =5 − + )=1 = (1) − = (2) Giải (1): Đặt = 2 → = Khi phương trình (1) trở thành: =5 −5 +2=0 =2 =2 = → =2 =2 Với = thay vào (2) ta được: =1 + = = ±1 → − =3 −4 =3 =1 =2 = −1 = −2( ) Với = thay vào (2) ta được: = −1 ( vô nghiệm ) Kết luận: ( ; ) = (2; 1) Ví dụ 23: − + =( = Điều kiện > 0, >0 − )( + ) ( ) ( ) Giải (1), nhận thấy Nếu > log > log Khi ( ) ( ) >0 → (1) vô nghiệm [...]... đó hệ trở thành: < log ( ) Nếu Khi đó: ( = + =1 = 2 =1 = = = = √ ( ì > 0) √ √ Kết luận: ( ; ) = ( √ ; √ ) Hệ phương trình mũ và logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 18 Hệ phương trình mũ và logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 19 Hệ phương trình mũ và logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 20 Hệ phương trình. .. https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 20 Hệ phương trình mũ và logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 21 Câu 4 : Hệ phương trình mũ và logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 22 Câu 5 : Hệ phương trình mũ và logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 23 Hệ phương trình mũ và logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/... 1+ = − 1 (3) → = 2 Khi đó phương trình (3) có dạng: 2 = =0 =1 =1 → =2 + + = 1 hệ phương trình trở thành + 1 (Phương trình =1 =2 + =1 log (1 + ) = 0 =1 =1 Hệ phương trình mũ và logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 14 + =1 =0 =0 =1 (thỏa mãn) =1 =0 Kết luận: ( ; ) = (0; 1)(1; 0) √ + + Ví dụ 20: − = √ = +1≥0 Điều kiện 4 − ≥ 0 0 < >0 Phương trình (2) ( ) ( ) ≤4 =... kiện (∗) trở thành: > 0, >0 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là Ví dụ 22: Điều kiện = ( − )= − = = =2 =1 ∈ ( + ) − >0 + >0 , ≠0 Hệ phương trình tương đương với 2 ( ) =2 log ( − ) + log ( + ) = 1 Hệ phương trình mũ và logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 16 2 + log ( 2 =5 − + )=1 = 5 (1) − = 3 (2) Giải (1): Đặt = 2 → = Khi đó phương trình (1) trở thành: 2 =5 −5... 3 = thay vào phương trình (1) ta được: √ + 1 − 1 = √ + 1 = √4 − +1= 5− √4 − = √ +1 + 2√4 − −2 −2≥0 4 − = ( − 2) ≥2 −3 =0 ≥2 =0 =3 =3→ =0 Kết luận: ( ; ) = (3; 0) Hệ phương trình mũ và logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 15 Ví dụ 21: ( ( + )− + )− ( ( )+ = ( + + − + )= ) − 2 > 0; + 3 > 0; + 1 > 0 Điều kiện 4 + 2 − 2 + 4 > 0; > 0 (∗) Hệ phương trình tương... 1) = 0 −1=0 = 1 → log 1+ (1 − ) = 1 = 1− = − thay vào phương trình (2) ta được log log 1−4 (1 − 4 (1 − 2 ) + log (1 + 2 ) = 2 )=2 = (1 + ) Hệ phương trình mũ và logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 11 5 +2 =0 = 0( ạ ) =− =− = Kết luận: ( ; ) = (− ; ) √ + + Ví dụ 16: Điều kiện > 0, = + = + >0 Hệ phương trình tương đương với log ( + 3) = 2(1 + log log ( + 3)... 2 log = (0; +∞) Miền xác định Đạo hàm ( )= ( ) + > 0, ∀ ∈ → hàm số đồng biến trên Vậy phương trình (3) được viết dưới dạng ( ) = ( ) = +3=2 + 3 = 4 2 + 3 = 4 2 + 3 = 4 ( + 3 = 4 thay vào phương trình (2) ta được: log ( + 3) = 2(1 + log ( ) ) ) + 3 Xét hàm số ( ) = = 4 (3) + 3 Hệ phương trình mũ và logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 12 = (0; +∞) Miền xác... (thỏa mãn) =3 Kết luận: ( ; ) = (3; 3) Ví dụ 18: ( + )= = − Hệ phương trình mũ và logarit https://www.facebook.com/groups/nhomtoanthayquangbaby/ Page 13 > −1 >0 Điều kiện Từ hệ suy ra: log ( + 1) + log ( + 1) + = log + 1 = log Xét hàm sô ( ) = log + −1 + + là hàm số đồng biến với > 0, do đó phương trình co dạng: ( + 1) = ( ) +1= Khi đó hệ được chuyển thành = +1 +1=2 = = +1 log ( + 1) = =0 =1... Vậy phương trình (3) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Nhận thấy → = = 1 là nghiệm của phương trình vì: 1 + 3 1 = 4 (đúng) =1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ; ) = (1; 1) Ví dụ 17: − =( + = Điều kiện > 0, )( + − ) ( ) ( ) >0 Giải (1) > Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) Khi đó: log < log Khi đó: 0 là nghiệm của (1) = Vậy > log >0 → (1)vô nghiệm 0, >0 − )( + ) ( ) ( ) Giải (1), nhận thấy Nếu > log > log Khi đó ( ) ( ) >0 → (1) vô nghiệm