Ghi chú và tổng hợp kiến thức theo từng chương, phần, chủ đề. Điều quan trọng sau khi học xong bài học là cần phải ghi nhớ các định lý, công thức, cách giải dạng bài tập. Tuy vậy, đôi khi bạn bị chi phối bởi quá nhiều môn học khiến bạn quên đi chúng. Cách hay nhất là ghi chú chúng lại vào sổ tay. Nhưng điều này vẫn chưa đủ, để có thể hiểu và vận dụng các kiến thức đã học một cách thuần thục không chỉ trong toán học mà còn vật lý, hóa học… Bạn cần biết cách tổng hợp lại kiến thức theo chủ đề, ví dụ như lượng giác, hình học, đại số… và theo từng chương.
Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh PHNG TRèNH V H PHNG TRèNH I S I PHNG TRèNH ax + b = * Cỏc bc gii v bin lun: i) a = = b : Mi x l nghim a = b : Vụ nghim ii) a : Phng trỡnh gi l phng trỡnh bc nht, cú nghim nht: x = b a * Nhn xột: Phng trỡnh ax + b = cú hn mt nghim v ch mi x l nghim, v ch a = b = * Cỏc phng trỡnh chuyn v phng trỡnh ax + b = : Phng trỡnh cú n mu: PP Gii: t K mu thc khỏc khụng Quy ủng, b mu Gii phng trỡnh i chiu kt qu vi ủiu kin Kt lun nghim VD1 Gii v bin lun phng trỡnh: x 2m x + = 2x 4x m m x 2m x + = x 9mx + 2m = x 9mx = 2m2 + (1) 2x 4x m HD K: x , x i) m = 0: (1) vụ nghim 2m + 9m 2m + l nghim ca phng trỡnh ủó cho x= 9m 2m + 1 1 9m 4m 9m + 4m + 9m m 2, m m m 8m + 9m m m 2m + m 9m 2m + m 0, m x KL: : = 9m m m = m = m = : Vụ nghim ii) m : (1) x = VD2 Gii v bin lun phng trỡnh: a b a+b + = ax bx (a + b) x Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh ax-1 ax bx HD K: bx-1 (a+b)x-1 (a+b)x (1) (2) (3) Phng trỡnh tng ủng: a+b 2abx (a + b) = abx (a + b) x + (a + b) x 2ab(a + b) x (a + b) x 2abx + (a + b) = ab(a + b) x (a + b) x + (a + b) ab(a + b) x 2abx = x [ ab(a + b) x 2ab] = x = ab(a + b) x 2ab = (4) (5) i) (4) cho x = l nghim vi mi a, b ii) Gii (5): + a = 0: x l nghim ca (5) b = 0: x l nghim ca phng trỡnh ủó cho b : x ca phng trỡnh ủó cho b + b = 0: x l nghim ca (5) a = 0: x l nghim ca phng trỡnh ủó cho ca phng trỡnh ủó cho a + a = - b: (5) 0x + 2b2 = b = 0: x l nghim ca phng trỡnh ủó cho b : (5) vụ nghim Phng trỡnh ủó cho cú nghim x = + a b a b : (5) x = a+b x= l nghim ca phng trỡnh ủó cho ch khi: a+b a + b a ab a + b b a + b a + b KL a = b = 0: x a = b: x b b = a: x a a : x Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s matheducare.com MATHEDUCARE.COM a 0, a 0, a b, a - b: x = Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh a+b a 0, a 0, a = b, a = - b: x = * Bi luyn (m 1) x (m 1) x + =0 x+3 xm ax + b x b = Bi Gii v bin lun theo a, b phng trỡnh : xa x+a a b Bi Gii v bin lun theo a, b phng trỡnh : = xb x a ax b a( x + 1) Bi Gii v bin lun theo a, b phng trỡnh : + = x x +1 x Bi Gii v bin lun theo m phng trỡnh : Bi Gii v bin lun theo a, b phng trỡnh : xa x a xb x b = x a x a x b x b ax bx a+ x b+ x Bi Gii v bin lun theo a, b phng trỡnh : + = + a+ x b+ x ax bx Phng trỡnh cú giỏ tr tuyt ủi Dng f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x) PP Gii: Phng trỡnh tng ủng f ( x) = g ( x) Dng f ( x) = g ( x) PP Gii: f ( x ) = g ( x) g ( x) Cỏch 1: Phng trỡnh tng ủng f ( x) = g ( x) g ( x) f ( x ) = g ( x) f ( x) Cỏch 2: Phng trỡnh tng ủng f ( x) = g ( x) f ( x) Vn ủ l ch, cỏch 1, ta phi gii bt phng trỡnh g ( x) ; cỏch 2, ta phi gii bt phng trỡnh f ( x) Tu thuc vo bc ca f(x) hay g(x) ủ la chn thớch hp Dng Nhiu giỏ tr tuyt ủi Ta phỏ giỏ tr tuyt ủi theo ủnh ngha, v gii phng trỡnh trờn tng Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh VD Gii phng trỡnh x + x 2 x + = 10 HD x = x = ; x = x = 3; x + = x = - 2x 3-x - 4x - x + 10 2x x 2x + VT 2 - 2x 3-x 4x + - 7x - 2x - 3-x 4x + - 3x - 2x - x-3 4x + - x - 10 i) x : x + 10 = x = - : Tho 3 2 3i) x : - 3x - = x = : Khụng tho 4i) x > : - x - 10 = x = - 11: Khụng tho ii) < x < : - 7x - = x = : Tho Phng trỡnh cú cn thc Dng f ( x) = g ( x) Bin ủi tng ủng f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x) ("hay" ủõy f ( x) (hay g(x) 0) cú ngha l s thay th, la chn mt hai, la chn bt phng trỡnh ủn gin hn) Dng f ( x) = g ( x) Bin ủi tng ủng f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x) g ( x) Dng Nhiu cn thc khụng thuc cỏc dng trờn Bỡnh phng hai v nhiu ln theo nguyờn tc: A 0, B : A B A2 B A 0, B : A B A2 B Ngoi phng phỏp bin ủi tng ủng núi trờn, cỏc phng trỡnh chuyn v bc nht cú th gii bng cỏch bin ủi v tớch,ủt n ph hay s dng cỏc phng phỏp khỏc (Xem Phng trỡnh khụng mu mc) (XBang) VD Gii phng trỡnh: x + x + = HD Cỏch 1(Bin ủi tng ủng): x+ x +1 = Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s x +1 = x matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh x + = (1 x) x + = x + x x + x x x = x x x x = x = + x x x = x = 1, x = x = x x ( ) Cỏch 2(Bin ủi tng ủng): x+ x +1 = x + x + = x +1 1 x +1 + x + = x +1 Cỏch 3(Bin ủi v dng tớch): x+ x + = x ( x + 1) + x + x +1 = ( x+ x +1 )( x ) x+ y )( y x = x +1 +1 = Cỏch 4(t n ph): t y= y = x + yx= x + y x +1 x = y ( ) II PHNG TRèNH ax2 + bx + c = Cỏc bc gii v bin lun i) a = 0: Phng trỡnh tr thnh: bx + c = b = = c : Mi x l nghim b = c : Vụ nghim b : Phng trỡnh tr thnh phng trỡnh bc nht, cú nghim nht: x = c b ii) a 0: Phng trỡnh ủó cho gi l phng trỡnh bc hai = b 4ac, ' = b ac < ( ' < 0): Phng trỡnh vụ nghim = ( ' = 0): Phng trỡnh cú hai nghim bng x= b 2a > ( ' > 0): Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit: b ' b x1,2 = = 2a a * Nhn xột: Phng trỡnh ax2 + bx + c = cú hn hai nghim v ch mi x l nghim, v ch a = b = c = Du cỏc nghim ca phng trỡnh ax2 + bx + c = ( a 0) Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh c b ,S= a a P < 0: Phng trỡnh cú hai nghim x1 < < x2 t P = < x1 x2 x1 x2 < P > < x1 x2 P > , S > x1 x2 < P > S < *** Chỳ ý: i) P = x1 = 0, x2 = S P < x1 < < x2 ; S > x1 < x2 ii) P < x1 < < x2 S < x1 > x2 S = x1 = x2 3i) 4i) Cỏc du hiu cn, nhiu rt cn cho vic xột du cỏc nghim: i S < : Nu phng trỡnh cú nghim thỡ cú ớt nht mt nghim õm i S > : Nu phng trỡnh cú nghim thỡ cú ớt nht mt nghim dng VD Tỡm tt c cỏc giỏ tr m cho phng trỡnh sau cú khụng ớt hn nghim õm phõn bit: x + mx3 + x + mx + = HD Thy x = khụng tho phng trỡnh Chia hai v ca phng trỡnh cho x : 1 1 x + mx + + m + = x + + m x + + = x x x x t x + = X x Xx + = x x + = X 2, X x (1) tr thnh X + mX = (1) (2) (3) (3) cú hai nghim trỏi du vi mi m Vi X thỡ (2) cú hai nghim cựng du, nờn ủ cú nghim õm thỡ X < Suy X < -2 Túm li phng trỡnh (3) phi cú hai nghim X < < < X Nu ủc dựng ủnh lý ủo v du ca tam thc bc hai thỡ cn v ủ l: Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh f (2) < 2m < m > 2 f ( X ) = X + mX Nhng chng trỡnh hin hnh khụng cú ủnh lý ủo v du ca tam thc bc hai, nờn: Cỏch 1: t X + = Y Y < 0: X + mX = (Y 2)2 + m(Y 2) = Y + (m 4)Y + 2m = Phng trỡnh ny cú hai nghim trỏi du ch - 2m < m > X Cỏch 2: X + mX = m = X 2 X X + X X t f ( X ) = f '( X ) = = < 0, X X X2 X2 x - -2 + f '(X) - - + f(X) - 3 - Thy phng trỡnh cú nghim X < - ch m > So sỏnh nghim ca phng trỡnh ax2 + bx + c = ( a 0) vi mt s thc khỏc khụng 3.1 Nu dựng ủnh lý ủo v du ca tam thc bc hai t f(x) = ax2 + bx + c = ( a 0) af( )0 x1 x2 < af( )>0 < x1 x2 ; S > af( )>0 x1 x2 < S < ***Mt s ủiu kin cn v ủ v nghim ca f(x) = ax2 + bx + c = ( a 0) 3.1.1 f(x) cú nghim thuc [ ; ] : Cn v ủ ủ f(x) cú ủỳng nghim thuc [ ; ] l mt ủiu kin: Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh f ( ) f ( ) < f ( ) = S [ ; ] f ( ) = S [ ; ] Cn v ủ ủ f(x) cú ủỳng nghim thuc [ ; ] = b 2a [ ; ] > af ( ) af ( ) : S < < f ( ) f ( ) af ( ) af ( ) S Nu khụng cn phi tỏch bch nh th thỡ cn v ủ ủ f(x) cú nghim thuc [ ; ] : 3.1.2 f(x) cú nghim thuc ( ; ) : Cn v ủ ủ f(x) cú ủỳng nghim thuc ( ; ) l mt bn ủiu kin: f ( ) f ( ) < f ( ) = S ( ; ) f ( ) = S ( ; ) Cn v ủ ủ f(x) cú ủỳng nghim thuc ( ; ) l : = b 2a ( ; ) > af ( ) > af ( ) > < S < 3.1.3 f(x) cú nghim thuc ( ; + ) : Cn v ủ ủ f(x) cú ủỳng nghim thuc ( ; + ) l mt ba ủiu kin: af ( ) < Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s f ( ) = S > = b 2a > matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Cn v ủ ủ f(x) cú ủỳng nghim thuc ( ; + ) : > af ( ) > S < < 3.1.4 f(x) cú nghim thuc [ ; +) : Cn v ủ ủ f(x) cú ủỳng nghim thuc [ ; +) l mt ba ủiu kin: af ( ) < f ( ) = S < Cn v ủ ủ f(x) cú ủỳng nghim thuc [ ; +) : = b 2a > af ( ) S < < 3.1.5 f(x) cú nghim thuc ( ; ) : Cn v ủ ủ f(x) cú ủỳng nghim thuc ( ; ) l mt ba ủiu kin: af ( ) < f ( ) = S < Cn v ủ ủ f(x) cú ủỳng nghim thuc ( ; ) : = b 2a < > af ( ) > S < 3.1.6 f(x) cú nghim thuc (; ] : Cn v ủ ủ f(x) cú ủỳng nghim thuc (; ] l mt ba ủiu kin: af ( ) < f ( ) = S > Cn v ủ ủ f(x) cú ủỳng nghim thuc (; ] : Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s = b 2a > af ( ) S < matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh 3.2 Nu khụng dựng ủnh lý ủo v du ca tam thc bc hai Phng phỏp tt nht l kho sỏt s bin thiờn ca hm s (xem VD phn trờn) Nu ch so sỏnh nghim vi mt s thc khỏc khụng thỡ cú th ủt y=x- VD Tỡm a ủ phng trỡnh sau cú hn nghim thuc 0; : (1 a) tan x 2 + + 3a = cos x 2 + + 3a = (1 a) + + 3a = cos x cos x cos x (1 a) + 4a = (1) cos x cos x t = X X (1; +) cos x (2) (1) (1 a) X X + 4a = HD (1 a) tan x Phng trỡnh ủó cho cú hn mt nghim thuc 0; phng trỡnh (2) cú hai nghim X (1; +) Cỏch t X - = Y > : (2) tr thnh (1 a)(Y + 1) 2(Y + 1) + 4a = (1 a)Y 2aY + 3a = (3) a 1 a a 4a a + > ' > (3) cú hai nghim dng 3a > P > < a < a >0 S > a Cỏch Khụng phi no cng cú th nhn X = l mt nghim ca (2) Nhng nu nhn ủc thỡ: 2a 2= a a < a 0 a 2a a Vi a thỡ nghim l 2a a > Ta phi cú 2a a Cú th dựng phng phỏp phn bự: Tỡm cỏc giỏ tr tham s ủ phng trỡnh cú nghim thỡ ta tỡm cỏc giỏ tr lm cho phng trỡnh vụ nghim VD Tỡm tt c cỏc giỏ tr m ủ phng trỡnh sau cú nghim: x + x3 + 2mx + x + = Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 10 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Nhn xột rng (1) v (3) cú cựng bit s ' = a Suy a a > 0: Mi phng trỡnh (1) v (3) cú nghim phõn bit, t (2) v (4) ta cú - x - - x vi x nờn h cú ớt nht nghim Suy a > khụng tho a = 0: H (1)&(2) cú nghim (1; 1), h (3)&(4) cú nhim (- 1; - 1) Vy a = tho Cỏch (PP Hỡnh hc) Thy a Trong h to ủ ờ-cỏc Oxy: Xem Pt x + y = 2(1 + a ) , a l Pt ủng trũn (O, R), R = 2(1 + a) Xem (x + y)2 = (x + y - 2)(x + y + 2) = l phng trỡnh hai ủng thng: : x + y - = 0, : x + y + = Hai ủng thng ny ủi xng qua O Pt cú ủỳng hai nghim tip xỳc vi (O, R)( ủú cng tip xỳc vi (O, R)) d(O, ) = R 0+02 = 2(1 + a ) a = x + ay a = VD10 Cho h phng trỡnh 2 x + y x = 1) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca a ủ h cú hai nghim phõn bit 2) Gi hai nghim l (x1 ; y1 ), (x ; y ) l hai nghim Chng minh rng: (x1 - x ) + (y1 - y )2 HD 1) Trong h to ủ ờ-cỏc Oxy: Xem phng trỡnh x + ay - a = l phng trỡnh ủng thng d Xem phng trỡnh x2 + y2 - x = l phng trỡnh ủng trũn I( ; 0), R= H cú hai nghim phõn bit ch ủng thng ct ủng trũn ti hai ủim phõn bit a + a > a + a > 4a a + < a < 1+ a 2) Gi A, B l cỏc giao ủim ca ủng trũn I( ; 0) v ủng thng d Khi ủú A(x1 ; y1 ), B(x ; y ) d(I, d) < R < AB l mt dõy cung ca ủng trũn nờn AB 2R =1 ý rng AB = (x1 - x ) + (y1 - y ) Ta cú ủpcm Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 29 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh VD11 Gii h phng trỡnh: 1981 + x1 + + x2 + + + x1980 = 1980 1980 x + x + + x = 1980 1979 1980 1980 HD t = ( + xi ; xi ) i = 1, 1980 = (i = 1, 2, , 1980), 1980 a i (1) = 1980 i =1 1980 Mt khỏc a =( i ) + x1 + + + x1980 ; x1 + + x1980 i =1 1980 = i =1 ( + x1 + + + x1980 ) + (( x1 + + x1980 ))= = 1980.1981 + 1980.1979 = 1980 (2) T (1)&(2) suy cỏc vộc t (i = 1,1980) cựng phng, cựng hng, cựng ủ di Nh th x1 = x2 = x1980 + x1 = + x2 = = + x1980 = x1 = x2 = x1980 = 1981 1980 1980 VD12 Gii h phng trỡnh: y + xy = x 2 + x y = x (HSPHN - A2000) HD Thy rng x = khụng tho phng trỡnh th hai Chia hai v ca c hai phng trỡnh cho x2, ta cú: y1 y y2 =6 x x + y = + x x + y2 = + y2 = x x x t u = + y, v = uv = y x u 2v = * Bi luyn 82 2 x + y = Bi Gii h phng trỡnh x + + 10 x + y = 10 + y + y 3 y Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s (B ủ thi TS) 30 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Bi Gii h phng trỡnh x2 + a2 = y2 + b2 =(x - b)2 + (y - b)2 (B ủ thi TS) a3 + =0 x y x2 Bi Cho h phng trỡnh x + y a = y2 (HHu - A97) Chng minh h cú nghim nht a > Cũn ủỳng khụng a < ? (2x+y)2 5(4 x y ) + 6(2 x y )2 = Bi Gii h phng trỡnh x + y + x y = (HXD - A97) x + y + xy = 11 Bi Gii h phng trỡnh Bi Gii h phng trỡnh Bi Gii h phng trỡnh Bi Gii h phng trỡnh Bi Gii h phng trỡnh (HQGHN - D2000) 2 x + y + 3( x + y ) = 28 x + y 3x + y = (HSP2HN - A99) 2 3x y x y = x + y + xy = (HSPHN - B2000) 4 2 x + y + x y = 21 2 x + y + xy = (HSP TPh HCM - A2000) 2 x + y + xy = xy + x + y = 11 (HGTVT - A2000) 2 x y + xy = 30 x = y + z ủú logyx , logzy, logxz theo Bi 10 Gii h phng trỡnh xyz = 64 th t ủú lp thnh mt cp s cng Bi 11 Tỡm a ủ h sau cú nghim (HNgoi Ng - D2000) x xy y = (H AN - A2000) 2 2 x + xy + y = a 4a + 4a 12 + 105 x + xy + y = m + Bi 12 Cho h 2 x y + xy = m + 1) Gii h m = - 2) Xỏc ủnh m ủ h cú nghim (H CS - A2000) x x + = 12 Bi 13 Gii h phng trỡnh: y y ( xy ) + xy = Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s (H Cụng on - A2000) 31 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Bi 14 Tỡm tt c cỏc giỏ tr m ủ h sau cú hai nghim phõn bit: x3 = y + x mx 2 y = x + y my (H Vinh - A2000) VI Phng trỡnh v h phng trỡnh khụng mu mc (Xem phng trỡnh khụng mu mc) VII Phng trỡnh lng giỏc (Xem phng trỡnh lng giỏc) VIII Phng trỡnh vụ t a phng trỡnh v dng tớch VD Gii phng trỡnh: x + x + x + = HD Ta cú phng trỡnh ủó cho tng ủng vi ( x + 1) + ( x + 1) + = t (t + 5) + (t + t + 5) = (t + t + 5)(t t + + 1) = t = x + t = x + Gii phng trỡnh trờn tng ca xỏc ủnh VD Gii phng trỡnh: x 3x + + x x + = x x + HD TX: (;1) (4; +) Phng trỡnh ủó cho tng ủng: ( x 1)( x 2) + ( x 1)( x 3) = ( x 1)( x 4) Thy x = 1: Tho phng trỡnh i) Nu x : Phng trỡnh ủó cho tng ủng: ( x 1) ( x + x x ) = x = x + x = x (1) (2) (1) cho x= (loi) (2) vụ nghim vỡ x > x 4, x > x x + x > x ii) nu x < 1: Phng trỡnh ủó cho tng ủng: (1 x)(2 x) + (1 x)(3 x) = (1 x)(4 x) x + x = x (3) x < x, x < x x + x < x (3) vụ nghim vỡ Bin ủi tng ủng cỏc phng trỡnh (xem cỏc phng trỡnh chuyn v phng trỡnh bc nht) Cỏc phng trỡnh vụ t khụng mu mc (Xem phng trỡnh khụng mu mc) 2009 2 VD1 Gii phng trỡnh 2009 (1 + x) + - x + Nhận thấy x = không nghiệm phơng trình Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 2009 (1 - x) = 32 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Do phơng trình đ cho tơng đơng với: + x 2009 - x + + = (1) 1-x 1+x 1+x 1-x 2009 2009 = = t Suy ra: Đặt: 1-x 1+x t 22009 Phơng trình (1) trở thành: 2t + + = 2t + 3t + = t = - t t = -1 + Với t = - 1: 2009 1+x 1+x = = : Phơng trình vô nghiệm 1-x 1-x 2009 + x 1 + x 1 + = = 2009 x = + Với t = - : 2009 1-x 1-x - 22009 VD2 Gii phng trỡnh sau: x + x + 2009 = 2009 1 HD Cỏch x + x + 2009 = 2009 x + x + = x + 2009 x + 2009 + 4 x + = x + 2009 Cỏch 2: t (1) y = x + 2009 y = x + 2009 t pt ủó cho suy : x + y = 2009 T (1) v (2) suy ra: x + y = y x (1) (2) x + x + y y = ( x + y )( x y + 1) = Cỏch 3: pt ủó cho tng ủng: x ( x + 2009) + x + x + 2009 = ( x + x + 2009)( x x + 2009 + 1) = VD3 Gii phng trỡnh: + x = x(1 + x ) HD K: x t x = sin t , t ; 2 Phng trỡnh ủó cho tr thnh : Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 33 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh + cost = sin t (1 + 2cost) 2cos t= t 3t t t 3t = sin t + sin 2t = 2sin cos cos sin = 2 2 (Do t ; ) 2 Suy x = VD4 Gii phng trỡnh: 2x + 2x + + 2x 2x 2x + + 2x = HD K: x < t 2x = cost, t (0; ) Phng trỡnh ủó cho tr thnh: sin + cos = tan + cot 2 2 t t t t t t 2(1 + sin t ) = sin t + sin t = sin + cos = sin t 2 sin t sin t = cost = x = VD6 Tỡm m ủ phng trỡnh: x 13x + m + x = cú ủỳng nghim ( B2007-TK1) HD x 13x + m + x = (1) (1) x 13x + m = x x x 4 x x x = m x 13 x + m = (1 x ) ycbt ủng thng y = m ct phn ủ th f(x) = 4x3 6x2 9x vi x ti ủim f(x) = 4x3 6x2 9x TX: x f'(x) = 12x2 12x = 3(4x2 4x 3) f'(x) = 4x2 4x = x = x = x f' + f /2 /2 C + + + 12 CT T bng bin thiờn ta cú: ycbt m = 3 m < 12 m = m > 12 2 Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 34 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh * Bi luyn Bi Gii v bin lun theo m phng trỡnh: x 2m + x = x Bi Gii v bin lun theo a phng trỡnh: x + x + + x + =0 Bi Gii v bin lun theo m phng trỡnh: x 2mx + + = m Bi Gii v bin lun theo a phng trỡnh: a + x = a a x Bi Gii phng trỡnh: 2(1 - x) x + x = x x (HDc HN - A97) 2 Bi Gii phng trỡnh: (4x - 1) x + = x + x + Bi Tỡm m ủ phng trỡnh sau cú nghim : x - m = x + mx + (HGTVT- A98) 2 Bi Gii phng trỡnh: x 3x + + x 3x + = (HThng Mi - A98) 2 Bi Gii phng trỡnh: x + x + + x x = (HNgoi Thng - A99) Bi 10 Gii phng trỡnh: x + x + x x = (HQuy Nhn - A99) Bi 11 Gii v bin lun theo a phng trỡnh: a + x a x = a x + x(a + x) Bi 12 Gii phng trỡnh: x + +5 = Bi 13 Gii phng trỡnh: x + 2ax a + x 2ax a = 2a x2 Bi 14 Gii phng trỡnh: 3x = x 3x Bi 15 Gii phng trỡnh: x + x = x Bi 16 Gii phng trỡnh: + x x = x + x Bi 17 Gii phng trỡnh: Bi 18 Gii phng trỡnh: (HQGHN - A2000) x( x 1) + x( x + 2) = x (HSP2HN - A2000) a ( x 1) 1 + = (HBKHN - A2000) x +1 x x Mt s phng trỡnh vụ t qua cỏc k thi H t 2005 - 2008 Bi 19 A2008 Tìm giá trị tham số m để phơng trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 2x + 2x + - x + - x = m ( m R ) Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 35 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Bi 20 A2007 Tìm m để phơng ttrình sau có nghiệm thực x - + m x + = x2 - Bi 21 B2007 Chứng minh với giá trị dơng tham số m, phơng trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 + 2x - = m(x - 2) Bi 22 B2007-TK2 Tỡm m ủ phng trỡnh: x + x = m cú nghim Bi 23 D2007-TK1 Tỡm m ủ phng trỡnh: x x + x x + = m cú ủỳng nghim 2x y m = cú nghim Bi 24 D2007-TK2 Tỡm m ủ h phng trỡnh : x + xy = nht Bi 25 B2006 Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + mx + = 2x + Bi 26 D2006 Giải phơng trình 2x - + x - 3x + = (x R ) Bi 27 B2006-TK1 Giải phơng trình: 3x - + x - = 4x - +2 3x - 5x + 2, x R Bi 28 D2006-TK2 Giải phơng trình: x + - x = x - + - x + 8x - 7, x R Bi 29 D2005 Giải phơng trình: x + + x + - x + = (x, y R ) IX H phng trỡnh vụ t Phng phỏp gii Bin ủi v tớch Gii h trờn tng ca xỏc ủnh Bin ủi tng ủng S dng cỏc phng phỏp gii phng trỡnh khụng mu mc t n ph i lp PP hm s d ủoỏn v chng minh khụng cũn nghim Kho sỏt hm s Dựng du hiu cn v ủ Dựng max PP Hỡnh hc Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 36 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh x+y-1 =1 VD1 Gii h phng trỡnh x - y + = 2y - HD H phng trỡnh ủó cho tng ủng: x = - y x = - y x + y = x= 2 x - y + = 4y - 8y + - 2y + = 4y - 8y + 4y - 6y = y y y = y x + x + y + + VD2 Gii h phng trỡnh x + x + y + + y + x + y + + x + y = 18 y2 + x + y + - x - y = HD H phng trỡnh ủó cho tng ủng: x + x + y + + x + y = x + + y + = 10 x + y = (x + y) - 2xy + (xy)2 + 9(x + y ) 18 xy + 81 = 82 x + y + 18 + (x + 9)(y + 9) = 100 x + y = x + y = y + x + y + = 10 64 - 2xy + (xy) + 9.64 18 xy + 81 = 82 (xy) + 9.64 18 xy + 81 = + xy x + y = x + y = 2 (xy) + 9.64 18 xy + 81 = 81 + 18xy + (xy) 36xy = 9.64 xy = 16 x = y = x + y = x + y = x + y = 2x + y - = m VD3 Cho h phng trỡnh 2y + x-1=m a) Gii h m = b) Gii v bin lun theo m HD u = x - x = u + Đặt , hệ phơng trình đ cho trở thành: v = y - y = v + 2 (1) 2(u +1) + v = m 2u + v = m - 2 (2) 2(v +1) + u = m 2v + u = m - (3) u v = Suy ra: 2(u v ) (u v) = (4) 2(u + v) = (3') u = v Từ (3) ta có hệ (3") 2u + u - m + = Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 37 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh v = - u v = - u Từ (4) ta có hệ 2u + - u - m + = 4u2 - 2u - 2m + = (4') (4") a) m = 5: u = v u = v = ( u, v ) x = y = Hệ (3)&(3) cho ta 2u + u - = Hệ (4)&(4) cho ta: 1+ 21 u = v = u 4u2 - 2u - = v = 21 1+ 21 x = +1 ( u, v ) 21 +1 y = b) Giải biện luận theo m: Hệ (3)&(3) cho nghiệm (3) có nghiệm không âm Nhng S = - < nên (3) có nghiệm có nghiệm âm Vậy (3) có nghiệm không âm y1 < y2 P m m 2 + 8m 15 + 8m 15 Khi u = v = x = y = + 4 Thấy hệ (4)&(4) có hai nghiệm u1 + u2 = = , mặt khác u + v nên u, v nghiệm (4) Vậy hệ (4)&(4) cho nghiệm (4) có hai nghiệm không âm: ' = 8m - 19 19 Ta phải có: P = - 2m m S = > Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 38 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Suy : 2 + m 19 m 19 + 8m 19 8m 19 x = + 1, y = + , v= u = 4 4 2 8m 19 8m 19 19 19 m m + , v= u= + 1, y = + x = 4 4 KL: i) m < 2: Vô nghiệm + 8m 15 19 ii) m < : x = y = + + 8m 15 19 iii) m : x = y = + 2 + 8m 19 8m 19 x = + 1, y = + 4 2 8m 19 + 8m 19 x = + 1, y = + 4 x y + y x = 30 VD4 Gii h phng trỡnh x x + y y = 35 HD Cỏch x =u0 t , h ủó cho tr thnh : y = v 2 uv(u + v) = 30 uv(u + v) = 30 uv = u v + uv = 30 3 3 u + v = 35 u+v=5 (u + v) - 3uv(u + v) = 35 (u + v) - 90 = 35 u = 3, v = u = 2, v = x = 9, y = x = 4, y = Cỏch Thy rng x = khụng tho t thnh: y = t x , t H ủó cho tr 2 t + t2 t xt x + t x x = 30 x x (t + t ) = 30 = = 3 t t +1 x x + t x x = 35 x x (1 + t ) = 35 + t Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 39 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh VD5 Gii h phng trỡnh: + HD K: x 0, y 0, y + 3x > 12 x =2 y + 3x (VMO - 2006 - 2007) 12 y =6 y + 3x 12 y + 3x = H phng trỡnh ủó cho tng ủng + 12 = y + 3x 12 Nhõn tng v: = y + xy 27 y = y x y + 3x x+ y =1 x = 12 y y x y + 3x y = 3x, y = x x + 2x + 22 - y = y + 2y + VD6 Gii h phng trỡnh: y + 2y + 22 - x = x + 2x + ( Thi HSG 12- QBỡnh - 26/11/2008) HD Hệ phơng trình đ cho: x + 2x + 22 y2 + 2y + 22 - y = y2 + 2y + = x + 2x + x tơng đơng với: (x + ) + - y = (y + ) (y + ) + - x = (x + ) u + 21 ta có: u = x + v = y + Đặt: v - = v2 v + 21 - u - = u2 u-1 - v - = v2 - u2 (1 ) (2 ) Trừ vế (1)&(2): u + 21 u + 21 + Xét hàm số f(t) = v + 21 + u - + u2 = t + 21 + t f '( t ) = t + 21 v + 21 + v - + v2 (3 ) t - + t , t + t - + 2t > , t > f(t) liên tục phải t = Suy f(t) đồng biến [1; + ) (3) f(u) = f(v); u, v [1; + ) u = v Thay vào (1): u + 21 - u - = u2 u2 Thấy u = thoả (4) Xét hàm số: g (u ) = u u + + Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s u + 21 + u -1 = (4) u - 1, u 40 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh u g '(u ) = u + u + 21 > 0, u > u -1 [1; + ) g(u) liên tục phải u = nên đồng biến Suy u = nghiệm (4) Vậy u = v = nghiệm hệ (1)&(2) hay x = y = nghiệm hệ đ cho y x e = 2007 y VD7 Chng minh rng h phng trỡnh cú ủỳng x y e = 2007 x2 nghim tha ủiu kin x > 0, y > HD t: f(t) = et, g ( t ) = t t ;g/ (t) = (t 1) < 0, t > Ta cú f tng trờn v g gim trờn tng khong xỏc ủnh H phng trỡnh (1) f (x ) + g (y ) = 2007 f(x) + g(y) = f(y) + g(x) () f (y ) + g (x ) = 2007 Nu x > y f(x) > f(y) g(y) < g(x) ( do() y > x ( g gim ) vụ lý Tng t y > x cng dn ủn vụ lý x x Do ủú, (1) (2) e + x 2007 = Xột: h(x ) = ex + x = y x x2 2007 (|x| > ) Nu x < thỡ h(x) < e1 2007 < h vụ nghim Khi x > h' (x ) = e x h '' ( x ) = e x + (x ) ( ) = ex x2 1 x ) 2 x = e x + ( 3x (x > )2 h ( x ) = + v lim h(x ) = + , xlim + x 1+ Vy h(x) liờn tc v cú ủ th l ủng cong lừm trờn (1, +) Do ủú ủ chng minh (2) cú nghim dng ta ch cn chng minh tn ti x0 > m h(x0) < Chn x0 = h ( ) = e2 + 2007 < Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 41 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Suy ra: h(x) = cú ủỳng nghim x1 > 1, x2 > *Bi luyn tp: x+y + x-y =m Bi Gii v bin lun theo m h phng trỡnh 2 2 x + y + x - y = m x + y =a Bi Gii v bin lun theo a h phng trỡnh x + y - xy = a 2( x + y )= 3 x y + xy Bi Gii h phng trỡnh x y + xy = x+1+ y+2 =a Bi Tỡm a ủ h phng trỡnh sau cú nghim x + y = 3a ( ) x+1+ y =m Bi Tỡm m ủ h phng trỡnh sau cú nghim y + + x = x - y = 3m Bi Gii v bin lun theo m h phng trỡnh: 2y + xy = (N - A98) x y + = +1 x xy Bi Gii h phng trỡnh: y x xy + y xy = 78 (HH - A99) x y + y x = 30 Bi Gii h phng trỡnh: x x + y y = 35 x+y - x-y =m Bi Gii v bin lun theo m h phng trỡnh: 2 2 x + y + x y = m x + y =a Bi 10 Gii v bin lun theo a h phng trỡnh: x + y - xy = a x + y =a Bi 11 Gii v bin lun theo m phng trỡnh: x + y - xy = a 2 xy + x + y = x - 2y Bi 12 D2008 Giải hệ pt x 2y - y x - = 2x - 2y Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 42 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh 1 x + x + y + y = Bi 13 D2007 Giải hệ pt x + + y3 + = 15m - 10 x3 y3 (Khối D) 2x y m = Bi 14 D2007-TK2 Tỡm m ủ h phng trỡnh : cú nghim x + xy = nht x + y - xy = Bi 15 A2006 Giải h phơng trình (x, y R ) x + + y + = 2x + y +1 x + y = Bi 16 A2005-TK2 Giải hệ phơng trình : 3x + y = 2x + y +1 x + y = Bi 17 B2005-TK1 Giaỷi heọ phửụng trỡnh : 3x + y = Trn Xuõn Bang - GV Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh v H phng trỡnh i s 43 matheducare.com [...]... +∞ + +∞ –12 CT Từ bảng biến thi n ta có: ycbt ⇔ − m = 3 3 ∨ − m < −12 ⇔ m = − ∨ m > 12 2 2 Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 34 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình * Bài tập luyện tập Bài 1 Giải và biện luận theo m phương trình: x 2 − 2m + 2 x 2 − 1 = x 1 2 Bài 2 Giải và biện luận theo a phương trình: x + x +... + y = 10 + y + 1 y 3 3 y Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số (Bộ đề thi TS) 30 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Bài 2 Giải hệ phương trình x2 + a2 = y2 + b2 =(x - b)2 + (y - b)2 (Bộ đề thi TS) a3 7 + − =0 x y x2 Bài 3 Cho hệ phương trình 3 x + 7 y − a = 0 y2 (ðHHuế - A97) Chứng minh hệ có nghiệm... Hệ phương trình ðại số matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình x + 2ay = b 2 ax + (1 − a) y = b Bài 4 Cho hệ phương trình: (2a − 1) x − y = 1 x + (1 + a) y = −1 Giải hệ khi a =0, a = - 1 2 Bài 5 Giải và biện luận theo a, b hệ phương trình: ( a + b) x + ( a − b) y = a (2a − b) x + (2a + b) y = b Bài 6 Giải và biện luận theo a hệ phương trình: 6ax... 12 y = x − 12 x y + xy = 2 xy ( x + y ) = 2 x( x − 12)(2 x − 12) = 2 x − y = 12 Ví dụ 2: Giải và biện luận theo a hệ phương trình Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 18 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình 1 x − 2y + x + 2y = 5 x + 2y = a x − 2 y Thấy ngay hệ đối xứng đối... trình x 2 + 2mx + 4 = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm khơng âm x1 , x2 Khi đó tính theo m: M = x1 + x2 , N = x1 − x2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 sao cho: x14 + x24 ≤ 32 Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 11 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Bài 3 Tìm nghiệm (x; y) sao cho y lớn... phương trình ðại số 16 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình x − y = 0 x − y = 0 x = y x − y = 0 x = y x = y = 2 y − 2 = 0 ⇔ ⇔ x = y = 0 ⇔ x = 4 x − 2 y = 0 y = 2 x = 4 x − y = 0 y = 2 x − 2 y = 0 y − 2 = 0 3 Hệ phương trình đối xứng loại 1 f ( x, y ) = 0 trong đó vai trò của x, y trong từng... = (ðHBKHN - A2000) x +1 x −1 x Một số phương trình vơ tỷ qua các kỳ thi ðH từ 2005 - 2008 Bài 19 A2008 T×m c¸c gi¸ trÞ tham sè m ®Ĩ ph−¬ng tr×nh sau cã ®óng hai nghiƯm thùc ph©n biƯt: 4 2x + 2x + 4 6 - x + 6 - x = m ( m ∈ R ) Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 35 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Bài 20 A2007... 1)] ( x + 1)( y + 1) = 35 (XB) ðặt S = (x + 1) + (y + 1); P =(x +1)(y + 1) hệ phương trình trở thành: Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 17 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình S = 5 x = 3 x = 2 P = 6 => => ∨ 2 P = 6 y = 2 y = 3 S ( S − 3 P ) = 35 x + y + x2 + y 2 = 8 Ví dụ 2: xy ( x +... ( x − y ( x 2 + y 2 + xy ) = m( x − y ) ( x − y ( x 2 + y 2 + xy − m) = 0 ⇔ x + y = 1 x + y = 1 Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 14 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình x − y = 0 1 x= y=− 2 x + y = 1 ⇔ ⇔ 2 2 y = −1 − x x + y + xy − m = 0 x 2 + (−1 − x)2 + x(−1 − x) − m = 0 ... 2 y = 5 + 2 25 − 4a 2 Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình ðại số 2 5 − 25 − 4a = 2a 25 − 4a 25 − 4a 2 2 5 + 25 − 4a = 2a 25 − 4a 25 − 4a 2 19 matheducare.com MATHEDUCARE.COM 5− x − 2 y = 5− x + 2 y = ⇔ 5+ x − 2 y = x + 2 y = 5 + Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình 5− x = 5− 25 − 4a y =