Hệ phương trình vô tỷ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– HOÀNG THỊ HUỆ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HÓA, 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— HỒNG THỊ HUỆ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8460113 Người hướng dẫn khoa học: TS Hồng Nam THANH HĨA, 2020 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 1033/QĐ-ĐHHĐ ngày 20 tháng năm 2020 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Chức danh Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan công tác hội đồng GS TS Đặng Quang Á Viện HLKH&CNVN Chủ tịch GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Trường Đại học Hồng Đức Phản biện TS Hoàng Văn Thi Sở GD&ĐT Thanh Hóa TS Lê Xuân Dũng Trường Đại học Hồng Đức Ủy viên TS Đỗ Văn Lợi Trường Đại học Hồng Đức Thư ký Phản biện Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày 15 tháng năm 2020 (ký, ghi rõ họ tên) TS Hồng Nam * Có thể tham khảo luận văn Thư viện trường Bộ mơn Giải tích PPDH Tốn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Hồng Thị Huệ i LỜI CẢM ƠN Tơi xin tỏ lịng biết ơn gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Hoàng Nam, người trực tiếp hướng dẫn luận văn, tận tình bảo hướng dẫn tơi nghiên cứu, tiếp cận thực tế, tìm kiếm tài liệu, giải vấn đề, nhờ tơi hồn thành luận văn thạc sỹ Ngồi ra, q trình học tập, nghiên cứu thực đề tài tơi cịn nhận nhiều quan tâm, góp ý, giúp đỡ hỗ trợ quý báu thầy cô khoa Khoa học Tự nhiên, môn Tốn giải tích q thầy phịng Quản lý đào tạo sau đại học, trường ĐH Hồng Đức truyền đạt cho tơi kiến thức bổ ích suốt hai năm học vừa qua Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến BGH, bạn bè đồng nghiệp trường THPT Tĩnh Gia tạo điều kiện, giúp đỡ, động viên trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc gia đình người thân gia đình hỗ trợ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian theo học khóa thạc sỹ trường đại học Hồng Đức anh, chị em học viên khóa nhiệt tình tham gia góp ý, trả lời vấn nghiên cứu cho đề tài Thanh Hóa, tháng 06 năm 2020 Hoàng Thị Huệ ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu Chương Hệ phương trình hệ phương trình chứa thức 1.1 Căn thức 1.1.1 Định nghĩa thức 1.1.2 Căn bậc hai 1.1.3 Căn bậc n 1.2 Phương trình chứa thức 1.3 Hệ phương trình 1.3.1 Khái niệm hệ phương trình 1.3.2 Một số hệ phương trình 1.3.3 Hệ phương trình tương đương 1.3.4 Hệ phương trình chứa Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình chứa thức 2.1 11 Phương pháp 11 2.1.1 Cách giải 11 2.1.2 Một số điểm cần lưu ý 2.1.3 Một số ví dụ minh họa 12 iii 12 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Phương pháp phân tích thành nhân tử 18 2.2.1 Cách giải 18 2.2.2 Một số điểm cần lưu ý 2.2.3 Một số ví dụ minh họa 19 19 Phương pháp nhân liên hợp 25 2.3.1 Cách giải 25 2.3.2 Một số điểm cần lưu ý 2.3.3 Một số ví dụ minh họa 26 26 Phương pháp qui hệ phương trình đối xứng loại 31 2.4.1 Cách giải 31 2.4.2 Một số điểm cần lưu ý 2.4.3 Một số ví dụ minh họa 32 31 Phương pháp qui hệ phương trình đối xứng loại 35 2.5.1 Cách giải 35 2.5.2 Một số điểm cần lưu ý 2.5.3 Một số ví dụ minh họa 36 36 Phương pháp qui hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp 40 2.6.1 Cách giải 40 2.6.2 Một số điểm cần lưu ý 2.6.3 Một số ví dụ minh họa 40 40 Phương pháp đặt ẩn phụ 45 2.7.1 Cách giải 45 2.7.2 Một số điểm cần lưu ý 2.7.3 Một số ví dụ minh họa 46 45 Phương pháp đánh giá 54 2.8.1 Cách giải 54 2.8.2 Một số điểm cần lưu ý 2.8.3 Một số ví dụ minh họa 55 54 Phương pháp hàm số 63 2.9.1 Cách giải 63 2.9.2 Một số điểm cần lưu ý iv 63 2.9.3 Một số ví dụ minh họa 63 2.10 Lượng giác hóa 69 2.10.1 Cách giải 69 2.10.2 Một số điểm cần lưu ý 69 2.10.3 Một số ví dụ minh họa 70 2.11 Một số hệ phương trình chứa thức có ba ẩn số 75 2.11.1 Cách giải 75 2.11.2 Một số điểm cần lưu ý 75 2.11.3 Một số ví dụ minh họa 76 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80 v MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Hệ phương trình chứa thức phần kiến thức quan trọng chương trình tốn phổ thơng, xuất nhiều kỳ thi, kỳ thi chọn học sinh giỏi tốn, kỳ thi ơlimpic tốn Hệ phương trình chứa đa dạng khó, phương pháp giải chúng khơng trình bày sách giáo khoa phổ thông, nên giải hệ phương trình, học sinh thường lúng túng hay vấp phải sai lầm khơng nắm vững phương pháp quy tắc biến đổi Vì tác giả chọn đề tài “Hệ phương trình vơ tỷ” làm luận văn thạc sỹ, nghiên cứu phân loại hệ phương trình chứa thức đưa phương pháp giải chúng, giúp học sinh phổ thông hệ thống kiến thức hệ phương trình chứa thức Qua đó, giúp học sinh phát triển tính tư sáng tạo, rèn luyện khả nhìn nhận, phán đốn xác, phân tích, tổng hợp giải tốn nói chung giải phương trình vơ tỷ nói riêng, tạo nên đam mê học toán cho học sinh Mục tiêu nghiên cứu • Nghiên cứu phương pháp giải hệ phương trình vơ tỷ • Nghiên cứu giải hệ phương trình vơ tỷ nhiều cách khác Đối tượng, phạm vi nghiên cứu • Hệ phương trình vơ tỷ • Một số dạng hệ phương trình vơ tỷ chương trình phổ thơng Nội dung nghiên cứu • Nghiên cứu hệ phương phương trình, hệ phương trình vơ tỷ • Nghiên cứu phương pháp giải hệ phương trình vơ tỷ Phương pháp nghiên cứu • Phân tích • Tổng hợp hệ thống hóa lý thuyết để nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa có liên quan đến hệ phương trình vô tỷ Ý nghĩa luận văn Luận văn góp phần hệ thống hóa cách giải hệ phương trình vô tỷ thường gặp Trường THPT Cấu trúc nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương • Chương Hệ phương trình hệ phương trình chứa thức Trong chương trình bày kiến thức hệ phương trình, hệ phương trình chứa thức kiến thức liên quan • Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình chứa thức Trong chương phân loại có hệ thống hệ pương trình chứa thức trình bày phương pháp giải dạng hệ phương trình chứa thức, có ví dụ minh họa BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài tập 2.1.6 Giải hệ phương trình sau   p    y − 4y = x y − x2 + a) (x, y ∈ R)   x + y + py − x =    x x2 − 1
+ (xy + 3) y = x2 + y (x, y ∈ R) b)
  (xy + 3) x + y y + =     √   x− 1+ y = −3 − x x c) (x, y ∈ R)  p   x2 − √y = 11 − (x + 5) (y + 2)    2√7x − 5y − √3y − x = d)   8√3y − x = x2 − y + 56x − 44y − 2.2 (x, y ∈ R) Phương pháp phân tích thành nhân tử 2.2.1 Cách giải Giải hệ phương pháp phân tích thành nhân tử kết hợp hai kỹ sau đây: • Kỹ phân tích, thêm, bớt, nhân liên hợp, nhóm tách số hạng, thành nhân tử • Kỹ giải phương trình hữu tỉ, phân thức, thức • Hoặc qui phương trình dạng giải được, phương trình bậc hai ẩn đó, cịn ẩn lại coi tham số qui phương trình dạng bản, phương trình đẳng cấp, 18 2.2.2 Một số điểm cần lưu ý • Các yếu tố dấu hiệu nhận biết phương trình tách nhân tử: Phương trình có dáng dấp phương bậc hai có Delta số phương sử dụng phép nâng lũy thừa, phương trình bậc ba đốn nghiệm; phương trình đẳng cấp; phương trình xếp hạng tử đồng bậc để nhóm nhân tử, đẳng thức, có nhân tử chung, có tính đối xứng hai biến • Các kỹ giải phương trình cịn lại sau nhóm nhân tử: Sử dụng phép nâng lũy thừa, đặt ẩn phụ, đẳng thức, nhân lượng liên hợp, phương pháp hàm số số đánh giá 2.2.3 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.2.1 Giải hệ phương trình    2p2x2 − y = y − 2x2 + (x, y ∈ R) (2.6)   x3 − 2y = y − 2x Phân tích Hệ khơng khó để nhận biết rằng, phương trình thứ p phương trình bậc hai với biến 2x2 − y Lời giải Điều kiện: 2x2 − y ≥ Phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình  p p 2x2 − y =  2x2 − y + 2x − y − = ⇔  p 2x2 − y = −3 p Với 2x2 − y = ⇔ 2x2 − y = 1, kết hợp với phương trình thứ hai ta thu hệ    2x2 − y =   x3 − 2y = y − 2x 19 Thế = 2x2 − y vào phương trình thứ hai ta phương trình
x3 − 2y = 2x2 − y (y − 2x) ⇔ 5x3 − 2x2 y − 2xy − y = (2.7) Khơng khó để nhận thấy (x, y) = (x, 0) không thỏa hệ Với y 6= ta biến đổi phương trình (2.7) phương trình  2    3 x x x −2 −2 −1=0 y y y #   "  2   x x x ⇔ −1 +3 +1 =0 y y y " #  2   x x ⇔x = y +3 + = vô nghiệm y y Với x = y ta có 2x2 − y = ⇔ x2 = ⇔ x = ±1 ⇒ y = ±1 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ (2.6) (x, y) = {(1; 1) ; (−1; −1)} Ví dụ 2.2.2 Giải hệ phương trình  r
 y +   y2 + x = (4x − 1) x p 
√   y − 7x + 27 + 12 − x = 8x − y (x, y ∈ R) (2.8) Phân tích Với hệ chắn biến đổi giải ta cần quan tâm tới phương trình thứ nhất.Với phương trình ta tấy chứa đại lượng y + Do biến đổi phương trình thứ hệ trở thành phương trình r (y + 3) y2 + + x = 12x x 20 Lời giải Điều kiện: < x ≤ 12 Phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình s y2 + y2 + +2 − 12 = x 2x r y2 + y2 + ⇔ + −6=0 2x 2x ! ! r r 2 y +3 y +3 −2 +3 =0 ⇔ 2x 2x r r y2 + y2 + ⇔ − = + > 0, x ∈ (0; 12] 2x 2x y2 + ⇔ =4 2x ⇔y = 8x − Thay y = 8x − vào phương trình thứ hai hệ ta có phương trình √ x + 24 + √ 12 − x = √ (2.9) x + 24 Ta có x = t3 − 24 Lúc phương trình (2.9) trở thành      6−t≥0 t≤6 p 36 − t = − t ⇔ ⇔    36 − t3 = (6 − t)2  t t2 + t − 12
=       t≤6   √     t=0  x + 24 =  x = −24   t=0      √ ⇔  ⇔ ⇔ ⇔  x = −88   t = −4 x + 24 = −4            t = −4  √     x + 24 = x=3 t=3    t=3 √ Đối chiếu điều kiện ta có x = ⇒ y = ± 21 Vậy nghiệm hệ (2.8) n √   √ o (x, y) = 3; 21 ; 3; − 21 Đặt t = 21 Ví dụ 2.2.3 Giải hệ phương trình    17 (x − y) = 3xy − 2x2 − y   √x + + √10 − y = x2 − 7y + 11 (x, y ∈ R) (2.10) Phân tích Quan sát hệ ta nhận thấy xuất phát từ phương trình thứ Tuy nhiên, phương trình thứ lại có bậc cao biến x bậc biến y bậc Vậy ta đốn phương trình thứ phương trình bậc hai hai ẩn x, y Như vậy, lúc ta tính đến phương án xem phương trình phương trình bậc hai theo biến x y tham số ngược lại với hy vọng phương trình có delta phương    x ≥ −3 Lời giải Điều kiện:   y ≤ 10 Từ phương trình thứ ta biến đổi thành phương trình 2x2 − (3y − 17)x + y − 17y = (2.11) Xem phương trình phương trình bậc hai với biến x y tham số Ta có
∆ = (3y − 17)2 − y − 17y = y + 34y + 289 = (y + 17)2 Do phương trình (2.11) có hai nghiệm phân biệt   3y − 17 + y + 17 x= x=y  ⇔   3y − 17 − y − 17 x= y = 2x + 17 Do x ≥ −3 ⇔ 2x ≥ −6 ⇔ 2x+17 ≥ 11 ⇔ y ≥ 11 (vơ lí) Vậy y = 2x+17 loại Với x = y ta thay vào phương trình thứ hai hệ ta có phương trình √ x+3+ √ 10 − x = x2 − 7x + 11 22 Lúc ta có điều kiện cho phương trình −3 ≤ x ≤ 10 Khi phương trình trở thành √ √ x + − 10 − x = √ √ ⇔5x2 − 35x + 55 − x + − 10 − x =    √ √
 ⇔5 x − 7x + + x + − x + + 16 − x − 10 − x = x2 − 7x + 11 − √ √ Với −3 ≤ x ≤ 10 ta có x + + x + > 0; 16 − x + 10 − x > nên ta có phương trình biến đổi tương đương với phương trình sau x2 − 7x + x2 − 7x + √ √ + =0 x − 7x + + 16 − x + 10 − x x + + x +  
1 √ √ =0 ⇔ x2 − 7x + + + x + + x + 16 − x + 10 − x
⇔x2 − 7x + =  x=1⇒y=1 ⇔ x=6⇒y=6 Vì với nhận xét ta có 5+ 1 √ √ > + x + + x + 16 − x + 10 − x Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ (2.10) (x, y) = {(1; 1) ; (6; 6)} Ví dụ 2.2.4 Giải hệ phương trình    x3 − 3y = x2 y + 5xy √  p √  2 3x + 2y − − = 11y + y (x − y − 1) (x, y ∈ R) (2.12) Phân tích Ta thấy phương trình thứ phương trình đẳng cấp bậc ba với biến x, y 23     x≥0    Lời giải Điều kiện y ≥       x−y ≥1 Do y ≥ nên phương trình thứ hệ biến đổi thành phương trình  3  2     2 x x x x x − −5 −3=0⇔ −3 + = ⇔ x = 3y y y y y y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta có phương trình q  √  p y + 2y − = 11y − + y (2x − 1) q   √ p ⇔2 y + 2y − − = 9y − y (2y − 1) + 2y −  √ 2  √  p p ⇔ y + 2y − − y + 2y − − =  √ √ y + 2y − =  ⇔ √ √ y + 2y − = −2 √ √ Ta nhận thấy y + 2y − = −2 vơ lí √ √ Với y + 2y − = ta có q 11y − + y (2y − 1) = 16 q ⇔6 y (2y − 1) = 17 − 11y    17 − 11y ≥ ⇔   49y − 338y + 289 =  17    y≤     11 ⇔ ⇔y=1⇒x=3 y=1        y = 289 49 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ (2.12) (x, y) = (3; 1) 24 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài tập 2.2.5 Giải hệ phương trình sau    x (x + 21) + y (x − 33) = y + 80
a) (x, y ∈ R) q   √x + + 2√y + 11 = (4y − x + 14)3    x + y + = 2p(2y − x) (x + 4) b) (x, y ∈ R)   x√5x − y + − 5
= 12(y−x) − √y − x3 +4    2y − x = √xy + 2x + 4y + c) (x, y ∈ R) q p   (y − x) + − √3x = (10 − y)    2x3 + (y − 2) x2 + (2y − 3) xy = 5y (y + 1) d) (x, y ∈ R)   (x − 3) √y + − (x − 5) √x + y + = 3y    x√12 − y + py (12 − x2 ) = 12 e) (x, y ∈ R)   x3 − 8x − = 2√y − 2.3 Phương pháp nhân liên hợp 2.3.1 Cách giải • Thường loại hệ phương trình dạng ta thường nhân tử số mẫu số với biểu thức liên hợp mẫu số hai phương trình để xuất thừa số chung qui phương trình tích • Hoặc nhẩm nghiệm hệ phương trình, để dự đốn thừa số tích mà ta phải phân tích, từ xác định biểu thực liên hợp cần phải nhân thêm 25 2.3.2 Một số điểm cần lưu ý Sai lầm thường gặp học sinh: • Khơng đặt điều kiện cho phương trình • Học sinh khơng nhẩm nghiệm nên nhân biểu thức liên hợp để đưa phương trình tích • Khơng biết giải phương trình tích • Rút gọn biểu thức chưa khác khơng làm nghiệm phương trình 2.3.3 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.3.1 Giải hệ phương trình    √2x + y − − √x + 2y − = y − x − (x, y ∈ R) (2.13)   x2 + y − 2xy + 4x − 3y = Lời giải  Điều kiện: 2x + y −  ≥ 0, x + 2y − ≥    2x + y − = x=0 Nếu ⇔ thử lại thấy không thỏa mãn    x + 2y − =  y=1 Vậy 2x + y − 1, x + 2y − có số dương Khi phương trình thứ hệ viết lại dạng x−y+1 √ +x−y+1=0 2x + y − + x + 2y −   √ ⇔ (x − y + 1) √ +1 =0 2x + y − + x + 2y − √ ⇔x − y + = Thay y = x + vào phương trình thứ hai hệ ta x2 + (x + 1)2 − 2x (x + 1) + 4x − (x + 1) = ⇔x − = ⇔ x = 26 Suy ra: y = Vậy hệ (2.13) có nghiệm (x; y) = (2; 3) Ví dụ 2.3.2 (TSĐH Khối B 2014) Giải hệ phương trình    (1 − y) √x − y + x = + (x − y − 1) √y (x, y ∈ R) (2.14)   2y − 3x + 6y + = 2√x − 2y − √4x − 5y − Lời giải Điều kiện: x ≥ 2y ≥ 0, 4x − 5y − ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với √
√ x − y − + x − y + = + (x − y − 1) y x−y−1 √ ⇔ (1 − y) √ + x − y − − (x − y − 1) y = x−y+1   1−y √ +1− y =0 ⇔ (x − y − 1) √ x−y+1   1 + ⇔ (x − y − 1) (1 − y) √ √ =0 x−y+1 1+ y   (1 − y) y=1  x−y−1=0 ⇔ ⇔ y = x − 1−y =0 • TH1 Nếu y = thay vào phương trình thứ hai hệ ta − 3x = ⇔ x = • TH2 Nếu y = x − 1, điều kiện trở thành ≤ x ≤ thay vào phương trình thứ hai hệ ta √ 2x2 − x − = − x    2x2 − x − ≥ ⇔   4x2 − 7
x2 − x − 1
= √ √ 1+ −1 + ⇔x = ⇒y= 2 27 Vậy hệ phương trình (2.14) có nghiệm (x; y) = (3; 1) ; √ √ ! + −1 + ; 2 Ví dụ 2.3.3 Giải hệ phương trình    x − 3√x + = 3√y − − y   px2 + 16 (y − x) + y = 2√xy (x, y ∈ R) Lời giải Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ Phương trình thứ hai hệ tương đương với: q √ x2 + 16 (y − x) − y = ( xy − y) 2y (x − y) x2 + 16 (y − x) − y = √ ⇔p xy + y x2 + 16 (y − x) − y ⇔ (x − y) 2y x − 16 p −√ xy + y x2 + 16 (y − x) − y ! Ta chứng minh x < 16 Thật từ phương trình đầu hệ ta có: p √ x−3 x+3=3 y−5−y   p √ 11 ⇔ y−5− +x−3 x+3+ =0 √ 11 ⇒x − x + + ≤0   11 ⇔ x+ ≤ (x + 3) √ + 10 ⇔−3≤x≤ nên từ phương trình tích ta có x − y − = ⇔ y = x − Thay vào phương trình thứ hai hệ ta phương trình √ √ (x − 2) − x + = x + 11 ⇔ x + = x − 15      x − 15 ≥  x ≥ 15 ⇔ ⇔    x + = (x − 15)2  x2 − 31x + 222 =    x ≥ 15    √  31 − 73 √ √ ⇔ x= 31 + 73 27 + 73   2√  ⇔ x = ⇒ y =    31 + 73 2   x= Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm hệ √ √ ! 31 + 73 27 + 73 (x, y) = ; 2 30 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài tập 2.3.5 Giải hệ phương trình sau:    √x − y + √x − = a)   px2 + y − xy (x − y) + py (x − y) = 2√2 (x − y − 1) với x, y ∈ R    px2 + y + px2 − y = 2y b) (x, y ∈ R)   √x + y √5 =    x2 + y + 2p2x2 − 3xy + 2y = x + y + 2xy (x, y ∈ R) c)   √x + y + √x − y = 3x − 4y +    y + p3y − 2y + 3x2 + = 3x + √7x2 + + d) (x, y ∈ R)   3y − 4x2 − 3y + 3x + = 2.4 Phương pháp qui hệ phương trình đối xứng loại 2.4.1 Cách giải • Qui hệ phương trình đối xứng loại • Đặt ẩn phụ, thơng qua tổng tích để qui phương trình hệ phương trình đơn giản 2.4.2 Một số điểm cần lưu ý • Khi giải hệ phương trình dạng này, học sinh thường qn khơng đặt điều kiện thức bậc chẳn • Sau đặt tổng S tích P , học sinh thường quên điều kiện S ≥ 4P • Khi giải đến bước cuối nhiều học sinh quên tính chất nghiệm phương trình nên kết luận thiếu nghiệm 31 2.4.3 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 2.4.1 [3] Giải hệ phương trình    x √y + y √x = (x, y ∈ R) (2.17)   x2 y + y x = 20 Lời giải Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ Hệ phương trình cho tương đương với  
√   √  √xy  xy x + y + 2√xy
= 36 x+ y =6 ⇔    xy (x + y) = 20  xy (x + y) = 20     √  20 + 2xy xy = 36  xy = ⇔ ⇔    xy (x + y) = 20  xy (x + y) = 20     xy =  x = 1, y = ⇔ ⇔   x+y =5 x = 4, y = Vậy hệ phương trình (2.17) có nghiệm (x; y) = (4; 1) ; (1; 4) Ví dụ 2.4.2 [3] Giải hệ phương trình    px2 + y + √2xy = 8√2   √x + √y = Lời giải Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ 32 (x, y ∈ R) (2.18)