Phương trình và hệ phương trình vô tỷ

Tài liệu này tổng hợp những kiến thức hay nhất để giải phương trình và hệ phương trình vô tỷ. Tập hợp được những dạng bài toán phương trình và hệ phương trình vô tỷ cơ bản và nâng cao . Tập hợp được những dạng bài toán phương trình và hệ phương trình vô tỷ cơ bản và nâng cao

CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC A PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ PHƯƠNG PHÁP NÂNG LUỸ THỪA ĐỂ KHỬ CĂN  A ≥ 0( B ≥ 0) A= B⇔ A = B Dạng : Phương trình B ≥ A=B⇔  A = B Tổng quát: Dạng 2: Phương trình Dạng 3: Phương trình B ≥ A=B⇔ 2k A = B 2k A ≥  +) A + B = C ⇔ B ≥   A + B + AB = C A + B = C ⇔ A + B + 3 A.B +) ( (chuyển dạng 2) ) A+ B =C (1) ta sử dụng phép : A + B = C ta phương trình HỆ QUẢ: A + B + A.B.C = C (2) 3 Dạng 4: A = B ⇔ A = B3 ; k +1 A = B ⇔ A = B k +1 Chú ý: - Phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) - Phép bình phương vế phương trình mà khơng có điều kiện cho vế không âm phép biến đổi hệ Sau tìm nghiệm ta phải thử lại Giải phương trình sau: 1) x2 − 4x + = x + 2) x2 − 2x + = − x 2 3) ( x − 3) x − = x − 4) 3x − x + = x − 5) x − 3x + − − x = 6) 8) − 1− x = − x 9) 7) 3x − 3x − = 3 10) x + + x + = x + 11 11) 3x − x + = x − x + + x − = 5x x +1 + x + + x + = 12) x −1 − x − = x − 15) x + − − x = − 2x 13) x + − − x = 2x − 14) x − − 3x − − x − = 16) y − 14 − 12 − y = 17) 3x2 + 6x + 16+ x2 + 2x = x2 + 2x + 18) x + 3x + + x + x + = x + x + 19) x + = x + − (20) x + + x + = x + x +  Nhận xét : Nếu phương trình : f ( x) + g ( x) = h ( x) + k ( x) đổi phương trình dạng Mà có : f ( x) − h( x) = k ( x) − g ( x) f ( x) + h ( x) = g ( x) + k ( x) , ta biến sau bình phương ,giải phương trình hệ x +1 + x + = x2 − x + + x + (21) x + 3  Nhận xét : Nếu phương trình : f ( x) + g ( x) = h ( x) + k ( x) f ( x) − h( x) = k ( x) − g ( x) Mà có : f ( x ) h ( x ) = k ( x ) g ( x ) sau bình phương, giải phương trình hệ ta biến đổi PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Các phương trình có dạng : ∗ α A.B + β A.B + γ = , đặt t = A.B ⇒ A.B = t ∗ α f ( x) + β f ( x) + γ = , đặt t = f ( x) ⇒ f ( x) = t x−b x−b α ( x − a )( x − b) + β ( x − a ) +γ = t = ( x − a) ⇒ ( x − a )( x − b) = t x−a x−a ∗ đặt Chú ý: ∗ Nếu khơng có điều kiện cho t, sau tìm x phải thử lại Bài Giải phương trình sau: 1) ( x + 1)( x + 4) = x + x + 28 2) ( x − 3) + x − 22 = x − x + 5) − (4 − x)( + x) = x − x − 12 2 4) x − x + = x − x + Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm? a) 3) x( x + 5) = x + x − − (4 + x )(6 − x) = x − x − 12 6) − x + x + ( − x )( x + 1) = m − b) − x + x + (3 − x)( x + 1) = m − (1 + x)(3 − x) = x − x + + m Bài Cho phương trình: a Giải phương trình m = 12 b Tìm m để phương trình có nghiệm? x+1 (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) =m x−3 Bài Cho phương trình: (Đ3) a Giải phương trình với m = -3 b Tìm m để phương trình có nghiệm? Dạng 2: Các phương trình có dạng: A ± B± ( Bài Giải phương trình sau: 1+ x − x2 = x + 1− x a) (QGHN-HVNH’00) ) A ± B +C= Đặt t = A ± B b) x + + x + = 3x + 2 x + x + - 2 c) (AN’01) x + + x − + 49x + x − 42 = 181 − 14 x x+ 4+ x− = x + x2 − 16− x+ e) x = 2x + +4 2x (Đ36) z − + z + + ( z − 1)( z + 3) = − z d) x+ g) (TN- KA, B ‘01) x = 2x + −7 2x i) x − + x − = x − + x − x + (KTQS‘01) + x + − x − (1 + x )( − x ) = a Bài Cho phương trình: (ĐHKTQD - 1998) a Giải phương trình a = b Tìm a để phương trình cho có nghiệm.? + x + − x − ( + x )( − x ) = m (Đ59) Bài Cho phương trình: a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình có nghiệm? x + + − x − ( x + 1)(3 − x) = m (m-tham số) (ĐHSP Vinh 2000) Bài Cho phương trình: a Giải phương trình m = b Tìm để phương trình cho có nghiệm + x + − x − ( + x )( − x ) = a Bài Tìm a để PT sau có nghiệm: Tất tập 2, 3, 4, ta sáng tạo thêm câu hỏi tập sau: a) Tìm a để phương trình cho có nghiệm nhất? (ĐK cần đủ) b) Tìm a để phương trình cho vơ nghiệm? h) Dạng 3: Đặt ẩn phụ ẩn ban đầu (Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn ) (  Từ phương trình tích )( x +1 −1 ) x +1 − x + = ( 2x + − x )( ) 2x + − x + = , Khai triển rút gọn ta phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ sau Bài Giải phương trình : ) ( x2 + − x2 + x = + x2 + t = t − ( + x ) t − + 3x = ⇔  t = x − Giải: Đặt t = x + , ta có : ( x + 1) x − x + = x + Bài Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi phương trình trở thnh : ( Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có ∆ chẵn : t = x − x + 3, t ≥ x + 1) t = x + ⇔ x + − ( x + 1) t = t = x − x + − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔  t = x − Từ phương trình đơn giản : ( 1− x − 1+ x )( ) 1− x − + 1+ x = , khai triển ta pt sau Bài Giải phương trình sau : x + − = x + − x + − x Giải: Nhận xét : đặt t = − x , pttt: + x = x + 2t + t + x (1) Ta rút x = − t thay vào pt: ( ) 3t − + + x t + ( Nhưng khơng có may mắn để giải phương trình theo t có dạng bình phương Muốn đạt mục đích ta phải tách 3x theo Cụ thể sau : 3x = − ( − x ) + ( + x ) ( ) + x −1 = ( ∆ = + 1+ x ) ( 1− x , 1+ x ) ) − 48 ( ) x +1 −1 không thay vào pt (1) ta được: Bài Giải phương trình: 2 x + + − x = x + 16 Giải ( x + ) + 16 ( − x ) + 16 ( − x ) = x + 16 Bình phương vế phương trình: Ta đặt : t = ( − x2 ) ≥ Ta được: x − 16t − 32 + x = x = α ( − x ) + ( + 2α ) x − 8α ∆ Ta phải tách cho t có dạng phương Nhận xét : Thơng thường ta cần nhóm cho hết hệ số tự đạt mục đích Bài tập đề nghị: Giải phương trình sau x−1 1 2x + − 1− − x − = 2 x x x 1) ( x − 1) x + = x + x + 2) 3) x + x + 12 x + = 36 2 4) 1+ x − 2x = 4x − − 2x + Một số dạng khác ( 1) 9( x + 1) = ( x + ) − x + 4) 10 x + = 3( x − x + ) ) 2 5) + x − = x + − x + − x 6) 2(1 − x ) x + x − = x − x − 2) 5) x − 3x + = − x4 + x2 +1 x − x2 −1 + x + x2 −1 = 3) x − = x + 3x − 6x 12 x 12 x − − 24 =0 x−2 x−2 6) x − x+ 7) x x −1 = 35 12 x x +1 −2 =3 x 9) x + (Đ141) 3x 1− x + x 3x = − ⇔ = −1 2 2 1− x 1− x − x − x 8) 4x = 2x + − + x 10) ( ) Dạng 4: Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến : 2  Chúng ta biết cách giải phương trình: u + α uv + β v = (1) cách u u  ÷ + α  ÷+ β = v Xét v ≠ phương trình trở thành :  v  v = thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1)  a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x )  α u + β v = mu + nv Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vơ tỉ nhận phương trình vơ tỉ theo dạng a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) a) Phương trình dạng :  P ( x ) = A ( x ) B ( x )  Q ( x) = α P ( x) Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Như phương trình giải phương pháp  Xuất phát từ đẳng thức : x + = ( x + 1) ( x − x + 1) x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( )( ) x4 + = x2 − 2x + x2 + 2x + x + = ( x − x + 1) ( x2 + x + 1) Hãy tạo phương trình vơ tỉ dạng ví dụ như: x − 2 x + = x4 + Để có phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai at + bt − c = giải “ nghiệm đẹp” Bài Giải phương trình : Giải: Đặt u = ( x + ) = x3 + x + 1, v = x − x + 2( u + v Phương trình trở thành : Bài Giải phương trình : x2 − 3x + = − )  u = 2v = 5uv ⇔  u = v  Tìm được: x + x2 + 3 Bài 3: giải phương trình sau : x + x − = x − Giải: Đk: x ≥ Nhận xt : Ta viết α ( x − 1) + β ( x + x + 1) = Đồng thức ta được: ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) + ( x + x + 1) = ( x − 1) ( x2 + x + 1) x= ± 37 v = 9u 3u + 2v = uv ⇔  v = u u = x − ≥ , v = x + x + > , ta được:  Đặt Ta : x = ± Bài Giải phương trình : Giải: ( x + 2) x3 − 3x + − 6x = Nhận xét : Đặt y = x + ta biến pt phương trình bậc x y : x = y x − x + y − x = ⇔ x3 − xy + y = ⇔   x = −2 y Pt có nghiệm : x = 2, x = 2−2 b).Phương trình dạng : α u + β v = mu + nv Phương trình cho dạng thường khó “phát “ dạng , nhưg ta bình phương hai vế đưa dạng 2 Bài giải phương trình : x + x − = Giải: x4 − x2 + u = x  v = x − phương trình trở thành : u + 3v = u − v Ta đặt :  Bài 2.Giải phương trình sau : Giải Đk x≥ (x x + x + x − = 3x + x + 1 Bình phương vế ta có : + x ) ( x − 1) = x + ⇔ (x + x ) ( x − 1) = ( x + x ) − ( x − 1)  1− v u = 2 uv = u − v ⇔  u = x + x  1+  u= v  v = x −   Ta đặt : ta có hệ : 1+ 1+ u= v ⇔ x2 + 2x = ( x − 1) 2 Do u , v ≥ x − 14 x + − x − x − 20 = x + Bài giải phương trình : Giải: Đk x ≥ Chuyển vế bình phương ta được: x2 − 5x + = (x − x − 20 ) ( x + 1) x − x + = α ( x − x − 20 ) + β ( x + 1) α , β Nhận xét : không tồn số để : ta đặt u = x − x − 20  v = x + ( x − x − 20 ) ( x + 1) = ( x + ) ( x − 5) ( x + 1) = ( x + ) ( x − x − 5) Ta viết lại Nhưng may mắn ta có : ( x − x − ) + ( x + ) = ( x − x − 5)( x + 4) phương trình: Đến toán giải 2 Dạng 5: Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích 2  Xuất phát từ số hệ “đại số “ đẹp tạo phương trình vơ tỉ mà giải lại đặt nhiều ẩn phụ tìm mối quan hệ ẩn phụ để đưa hệ Xuất phát từ đẳng thức ( a + b + c) = a + b3 + c3 + 3( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) a3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) ⇔ ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) = , Ta có Từ nhận xét ta tạo phương trình vơ tỉ có chứa bậc ba x + − x2 − x − + x2 − 8x + = 3x + + − x + x − − x − = Bài Giải phương trình : x = − x − x + − x − x + − x − x u = − x  v = − x   w = − x , ta có : Giải :  30 239 u= ⇔x= 60 120 ( u + v ) ( u + w ) = 2 − u = uv + vw + wu   3 − v = uv + vw + wu ⇔ ( u + v ) ( v + w ) = 5 − w2 = uv + vw + wu   ( v + w ) ( u + w ) = 2 Bài Giải phương trình sau : x − + x − x − = x + x + + a =  b =  c =  d = Giải Ta đặt :  , giải hệ ta được: x2 − x + 2 x2 − x − 3x − 2 x2 + 2x + a + b = c + d ⇔ x = −2  2 2 a − b = c − d  , ta có : x2 − x + Bài Giải phương trình sau x2 + 5x + − x − x + = 9x − 1) x + x ( − x ) + ( − x ) = − x + x3 + x ( − x ) 3 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH  Sử dụng đẳng thức u + v = + uv ⇔ ( u − 1) ( v − 1) = au + bv = ab + vu ⇔ ( u − b ) ( v − a ) = ax + b ± cx + d = ( a - c) x + ( b - d ) m A = B ⇔ ( A − B)( A + B ) = 2 a3−b3 ⇔ (a−b)(a2+ab+b2)=0 ⇔ a=b Bài Giải phương trình : pt ⇔ Giải: ( )( x +1 −1 x + + x + = + x + 3x + x = x + −1 = ⇔   x = −1 ) Bi Giải phương trình : x + + Giải: + x = , nghiệm 3 + x ≠ , ta chia hai vế cho x: Bài Giải phương trình: x2 = x + x2 + x  x +1  x +1 + x = 1+ x +1 ⇔  − 1÷ x x   x + + 2x x + = 2x + x2 + 4x + ( ) x −1 = ⇔ x = Giải: dk : x ≥ −1 x = x + −1 = ⇔  x = pt 4x x+3 + =4 x x + Bài Giải phương trình : ( ⇔ x + − 2x )( ) Giải: Đk: x ≥  4x 4x 4x  1+ =2 ⇔ 1 − ÷ = ⇔ x =1 x+3 x+3 x+3  x+3 :  Chia hai vế cho  Dùng đẳng thức k k K −1 K −2 K −3 K −2 + B K −1 ) Biến đổi phương trình dạng : A = B ⇔ ( A − B )( A + A B + A B + + A.B Bài Giải phương trình : Giải: 3−x =x 3+x 3  10 10 −  ⇔x+ ⇔x= ÷ = 3 3  Đk: ≤ x ≤ pt đ cho tương đương : x + 3x + x − = Bài Giải phương trình sau : x + = x − x − Giải: (1+ 3+ x Đk: x ≥ −3 phương trình tương đương : Bài Giải phương trình sau : Giải : pttt ⇔ ( x + − 3x ) x =  x + + = 3x = 9x ⇔  ⇔  x = −5 − 97  x + + = −3x  18 2 + 3 x ( x + ) = x + 3 3x ( x + ) ) = ⇔ x =1 ĐS: x=1 Bài tập đề nghị Giải phương trình sau : x + 10 x + 21 = x + + x + − 1) 2) 3) n 4) 8) x + x + 15 = x + + x + − x2 + 7x + =4 x ( x + 1) + 3n ( x − 1) + 2n x − = (với n ∈ N; n ≥ 2) x+2 5) (ĐHDL ĐĐ’01) x2 − x − − x − + = x + 7) x − x − − ( x − 1) x + x − x = 6) ( x + 2)( x − 1) − x+6 = 4− ( x + 6)( x − 1) + x+2 (1) (HVKT QS - 2001) PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC x − x + + x − x + ≥ x − x + (Đ8) x − 2002 x + 2001 + x − 2003 x + 2002 = x − 2004 x + 2003 x − 3x + + x − x + = x − x + 2 x( x − − x( x + 2) = x 8)(ĐHSPHN2’00) x + x + + x + x + = x + x + (BKHN- 2001) x ( x − 1) + x( x − 2) = x( x + 3) x( x − 1) + x( x − 2) = x( x + 3) x( x − 1) + x( x + 2) = x PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA CĂN VÀ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI x2 − 4x + − x2 − 10x + 50 = x + x −1 + x − x −1 = x+3 2 x + − x −1 + x + − x −1 = x + + 2x − + x − − 2x − = 2 x + x − − x − x − = (HVCNBC’01) x − x + = − x (Đ24) x + = x + + x − 4x − + x + 4x − = x + 15 − x − + x + − x − = PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP 6.1 Nhân lượng liên hợp để xuất nhân tử chung a) Phương pháp x0 phương trình ln đưa A( x ) = A( x ) = Một số phương trình vơ tỉ ta nhẩm nghiệm dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = ta giải phương trình chứng minh ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh giá b) Ví dụ Bài Giải phương trình sau : Giải: ( 3x Ta nhận thấy : A( x ) = vô nghiệm x − x + − x − = ( x − x − 1) − x − 3x + − x + 1) − ( x − x − 3) = −2 ( x − ) −2 x + (x v x − x + + ( x − x + 1) Ta trục thức vế : Dể dàng nhận thấy x=2 nghiệm phương trình = − ) − ( x − 3x + ) = ( x − ) 3x − x − + x − 3x + x + 12 + = x + x + 5 x + 12 − x + = 3x − ≥ ⇔ x ≥ Bài Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : Giải: Để phương trình có nghiệm : Ta nhận thấy : x=2 nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng ( x − ) A ( x ) = , để thực điều ta phải nhóm, tách sau : x + 12 − = 3x − + x + − ⇔ x2 − x + 12 + = 3( x − 2) + x2 − x2 + +   x+2 x +1 ⇔ ( x − 2)  − − 3÷= ⇔ x = 2 x2 + +   x + 12 + x+2 x+2 − − < 0, ∀x > x2 + + Dễ dàng chứng minh : x + 12 + Bài Giải phương trình : x − + x = x3 − Giải :Đk x ≥ Nhận thấy x=3 nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình vơ nghiệm ,   x − − + x − = x3 − − ⇔ ( x − 3) 1 +    ( x − 3) ( x + x + ) = 3 x2 − x3 − + ( ) + x − +  x+3 x+3 1+ =1+ < x + 3x + 2 3 < x2 −1 + x −1 + x −1 +1 + ( ) x3 − + Ta chứng minh : x+3 ) ( Vậy pt có nghiệm x=3 6.2 Đưa “hệ tạm “ a) Phương pháp A + B = C , mà : A − B = α C dây C hàng số ,có thể biểu thức x Ta giải sau :  Nếu phương trình vơ tỉ có dạng A−B =C ⇒ A − B =α A− B , đĩ ta có hệ:  A + B = C ⇒ A = C +α   A − B = α b) Ví dụ 2 Bài Giải phương trình sau : x + x + + x − x + = x + Giải: ( 2x Ta thấy : + x + ) − ( x − x + 1) = ( x + ) x = −4 nghiệm Xét x ≠ −4 Trục thức ta có : 2x + 2x + x + − 2x − x +1 2 = x + ⇒ x2 + x + − x2 − x + = x =  x + x + − x − x + = 2 ⇒ 2x + x + = x + ⇔   2 x =  x + x + + x − x + = x +  Vậy ta có hệ: Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0 v x= x + x + + x − x + = 3x Bài Giải phương trình : ( 2x Ta thấy : + x + 1) − ( x − x + 1) = x + x Ta chia hai vế cho x đặt Bài tập đề nghị Giải phương trình sau : t= x tốn trở nên đơn giản x + 3x + = ( x + 3) x + ( − x) ( − x) = x+ ( − x ) ( 10 − x ) x2 + = x − + x − x − + 3x − = 3x − 2 x − 11x + 21 − 3 x − = (OLYMPIC 30/4-2007) − 10 − x = x − (HSG Toàn Quốc 2002) , không thỏa mãn điều kiện x − + x − 3x − = x + x + + x − x + 2 x + 16 x + 18 + x − = x + x + 15 = 3x − + x + Giải phương trình sau: 1) x( x − 1) + x( x − 2) = x( x + 3) 2) x( x − 1) − x( x + 2) = x 3) 2x + − 2x − = x 4) 21 + x + 21 − x 21 = x 21 + x − 21 − x 3 7− x −3 x −5 = 6− x 7− x +3 x −5 5) 2 2 7) 2x − + x − 3x − = 2x + 2x + + x − x + x2 − 3x + + x2 − 4x + = x2 − 5x + 6) 2 2 8) x − x + − x − = x − x − − x − x + 9) x − 2003 x + 2002 + x − 2004 x + 2003 = x − 2005 x + 2004 PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ Dùng đẳng thức : A =  2 2  Từ đánh giá bình phương : A + B ≥ , phương trình dạng A + B = ⇔  B = Dùng bất đẳng thức A ≥ m   Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức:  B ≤ m dấu ỏ (1) (2) x x dạt nghiệm phương trình A = B x +1 + ≥2 x +1 , dấu + x + − x ≤ Dấu x = 1 − 2008 x + + 2008 x = + 1+ x x +1 x=0 Vậy ta có phương trình: Ta có :  A ≥ f ( x )   B ≤ f ( x )  A = f ( x ) A= B⇔   B = f ( x ) : Đơi số phương trình tạo từ ý tưởng :  Nếu ta đốn trước nghiệm việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều nghiệm vơ tỉ việc đốn nghiệm khơng được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá 2 + x = x+9 x + Bài Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk x ≥ Ta có :  2  + x÷ ≤ 2    x +1   ⇔ Dấu 2 = x +1 ( ) 2     x + x + 1  + ÷  = x+9   x + x +     1 ⇔ x= x +1 4 Bài Giải phương trình : 13 x − x + x + x = 16 Giải: Đk: −1 ≤ x ≤ ( x 13 − x + + x Biến đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( 13 13 − x + 3 + x = 256 ≤ ( 13 + 27 ) ( 13 − 13 x + + x ) = 40 ( 16 − 10 x ) 10 x ( 16 − 10 x Áp dụng bất đẳng thức Côsi: ) ) 2 )  16  ≤  ÷ = 64  2 Phương pháp sử dụng nhiều để giải hệ chứa thức việc sử dụng ẩn phụ Tuỳ theo dạng hệ mà lựa chọn phép đặt ẩn thích hợp B1: Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa B2: Lựa chọn đặt ẩn để biến đổi hệ ban đầu hệ đại số biết cách giải (hệ đối xứng loại I, II hệ đẵng cấp bậc 2) B3: Giải hệ B4: Kết luận 2.Ví dụ: VD1: Giải hệ phương trình: 2   x +y + xy =8    x + y =4 Hướng dẫn giải: Điều kiện: x ≥  y ≥ Đặt  S = x +   P = xy y , điều kiện S , P ≥ S − P ≥ Khi hệ phương trình có dạng:      x + y − xy  − xy + xy =      x + y =4 ( )   ( S − 2P ) − 2P + 2P = ⇔  S = ⇒ P − 32 P + 128 = 8 − P ≥ ⇔ ⇔P =4 P − 32 P + 128 = (8 − P )  Vậy ta được:  S =  x + y =4 ⇔ ⇔x = y =4   xy = P =   Chú ý: Nhiều hệ dạng ban đầu chưa thấy xuất ẩn phụ, trường hợp ta cần sử dụng vài phép biến đổi phù hợp VD2: Giải hệ phương trình:   x +y + x −y =4  2  x +y =128 Hướng dẫn giải: Điều kiện: x + y ≥ y ≥−x ⇔ ⇔−x ≤ y ≤ x ⇒x ≥  x − y ≥ y ≤ x Viết lại hệ phương trình dạng:  x+ y + x −y =4  x+y + x−y =4   ⇔ 1  2 ( x − y ) = 128 ( x + y ) + ( x − y ) = 256  ( x + y)  2 Đặt:  u = x + y , u , v ≥0  v = x − y   Ta được: uv =0 u +v = u +v =  ⇔ ⇔  uv =32 uv (uv −32) u +v = 256 u +v =  u +v =4 u +v =4 ⇔  uv =32 (I) Hoặc uv =0 (II) Giải (I): vô nghiệm Giải (II):   x + y =  u =  x = y =    x − y = v =   ⇔ ⇔ ⇔  x =  u =   x + y =   y = −8     v =   x − y = Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm (8,8) (8,-8) Chú ý: Khi đặt điều kiện để biểu thức phương trình, bất phương trình hệ có nghĩa ta suy cho ẩn từ dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ phương pháp lượng giác hóa mà biết VD3: Giải hệ phương trình:  x + − y =   y + 1− x =1 Hướng dẫn giải: Điều kiện: Đặt:  x = sin α   y = sin β x , y ≤1 − π π ≤ α,β ≤ 2 với Biến đổi phương trình dạng: sin α + cos β = sin α + cos β = sin α + cos β =  ⇔ ⇔  α + β =  sin β + cos α = sin(α + β ) =  α + β = π  VD4: Giải hệ phương trình  x y + y x = 30   x x + y y = 35 Giải Điều kiện :x ≥ ; y ≥  u = x u ≥   v = y v ≥ Đặt  ; uv (u + v) = 30  u + v = 35 Ta hệ  Đặt S=u+v ,P=uv ta có: SP = 30 S = ⇔  S − 3PS = 35 P = Vậy u, v nghiệm khơng âm phương trình: X =2 ⇔ X =3 X2-5X+6=0 u = u = ⇒ ∨ v = v = x = x = ∨  y =  y = Vậy hệ có nghiệm 2( x + y ) = 3(3 x y + xy ) 3  x +3 y =6 VD5: Giải hệ phương trình  Giải y Đặt u= x ,v= ta có hệ 3 2(u + v ) = 3uv(u + v)  u + v = 2(u + v)[(u + v) − 3uv] = 3uv(u + v) ⇔ u + v = 2(36 − 3uv) = 3uv ⇔ u + v = uv = u = u = ⇔ ⇔ ∨ u + v = v = v = u =  a)Với v = ta có 3 x = x = 3 ⇔  y =  y = 64 3 x =  x = 64 u = ⇔    3 y = y = v =  b)với ta có Vậy hệ có nghiệm ( 8; 64 ),( 64 ; ) VD6: Giải biện luận hệ:  m x +1 + y = m +1    x +1 + m y = Hướng dẫn giải: Đặt:   x +1 = u  (u, v > 0)   y =v mu + v = m +1  ux + mv = Khi hệ có dạng:  m 1 D= ÷= m −1  m m+1  Du =  ÷= m + m−  m  m am + 1 Dv =  ÷= m−1   Ta có: a Nếu D ≠ ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ ±1 u= m+2 v= m +1 m + Hệ có nghiệm Vì điều kiện u, v > nên ta có : m + ≥0   m +1 ⇔ m > −1   ≥0   m +1 Khi ta được: 2m +  m+2  x= x + =   ( m + 1)   m +1 ⇔    y= y =   m +1 ( m + 1)   m = D = ⇔ m2 −1 = ⇔  m = −1 b Nếu Với m = ⇒ Du = Dv = , hệ có vơ số nghiệm thoả x +1 + y =2 Với m = −1 ⇒ Du = ≠ , hệ vô nghiệm c.Phương pháp sử dụng hàm số: Phương pháp: B1: Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa B2: Từ hệ ban đầu xác định phương trình hệ theo ẩn ẩn, giải phương trình phương pháp hàm số biết B3: Giải hệ B4: Kết luận 2.Ví dụ: Có lẽ phương pháp chưa học đến nên đề cập sơ lược qua để giới thiệu thêm cho số bạn cần chuyên sâu hệ phương trình vơ tỉ Sau chúng tơi đưa ví dụ để làm rõ phương pháp Đối với số bạn muốn tìm hiểu rõ pp đọc phần tự học cuối sách VD1:Giải hệ phương trình:  x − − y = − x  ( x − 1) = y Hướng dẫn giải: Điều kiện: x −1 ≥ x ≥ ⇔  y ≥ y ≥ Biến đổi hệ có dạng  x − − y = − x ⇒ x − − ( x − 1) = − x3  ( x − 1) = y ⇔ x − = − x3 + x − x + Xét hàm số f ( x) = x + , hàm số đồng biến (1) D = [ 1, +∞ ) Xét hàm số g ( x) = − x + x − x + D = [ 1, +∞ ) Miền xác định Đạo hàm: g '( x) = −3 x + x − < 0, ∀x ∈ D ⇔ hàm số đồng biến D Do phương trình (1): f (t ) = g (t ) Nếu có nghiệm nghiệm x=1 thoả mãn phương trình x=1 y = nghiệm hệ d.Phương pháp sử dụng đố thị: Phương pháp: B1: Bằng phép biến đổi tương đương, phép đặt ẩn phụ, ta biến đổi hệ  f ( x, y , m ) =  g ( x, y, m) = (I) ban đầu dạng đa thức, giả sử có hệ:  B2: Xét đường (C1 ) : f ( x, y, m) = (C2 ) : g ( x, y, m) = hệ trục toạ độ, từ xác định phần đường cong X1 (C1 ) : f ( x, y, m) = (C2 ) : g ( x, y, m) = X2 thỏa mãn B3: Vận dụng kiế thức vị trí tương đối đối tượng ta tìm giá trị tham số thoả mãn điểu kiện K 2.Ví dụ: e.Phương pháp sử dụng điều kiện cần đủ: 1.Phương pháp: Phương pháp điều kiện cần đủ thường tỏ hiệu qua cho lớp dạng toán: Tìm điều kiện tham số để: Dạng 1: Hệ phương trình có nghiệm Dạng 2: Hệ phương trình có nghiệm với giá trị tham số Dạng 3: Hệ phương trình nghiệm với x ∈ D Dạng 4: Hệ phương trình tương đương với phương trình bất phương trình khác Khi ta thực theo bước sau: B 1: Đặt điều kiện để biểu thức hệ phương trònh có nghĩa B 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa việc đánh giá tính đối xứng hệ B 3: KIểm tra điều kiện đủ, bước cần có số kĩ 2.Ví dụ: VD1: Xác định giá trị a cho hệ sau có nghiệm nhất:  x + + y − = a   x + y = 2a + (I) Hướng dẫn giải: Điều kiện cần: ( x , y ) ⇒ ( y0 − 2, x0 + 2) nghiệm hệ phương trình Giả sử hệ có nghiệm 0 x = y0 − Vậy hệ có nghiệm điều kiện cần Khi hệ (I) có dạng:  y0 − + y0 − = a 2 y0 − = a ⇔ ⇒ 2(2a + 3) − = a   y − + y = a + y = a +   a ≥ ⇔ ⇔ a = 2+  4a − = a Vậy a = + điều kiện cần để hệ có nghiệm Điều kiện đủ: a = 2+ , Với hệ (I)    x + + y −1 = +  x + + y −1 = + ⇔   x + y = 2(2 + 6) +   ( x + 1) + ( y − 1) = + có Đặt: u = x + ; u, v ≥  v = y − Ta được: u + v = + u + v = +  ⇔  2 5+2 uv = u + v = +  Suy u,v nghiệm phương trình: 2+ 2+ t − (2 + 6)t + (5 + 6) = ⇔ t0 = ⇔u=v= 2   2+ 6+4  x +1 = x =  ⇔ ⇔   y −1 = +  y = 14 +   nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm a = + VD2: Xác định giá trị a cho hệ sau có nghiệm với b:  x − 2b − − (a − 1)by = x −  ax + by − = Hướng dẫn giải Điều kiện cần: Hệ có nghiệm với b ⇒ có nghiệm với b=0, đó:  x − = x −  x = x = ⇔ ⇔ ⇔ ax − = a = ax − = (I) Vậy s=1 dđều kiện cần để hệ có nghiệm với b Điều kiện đủ: Với a=1, hệ (I) có dạng:  x − ≥  x − 2b − = x −   x = b2 + 2 ⇔  x − 2b − = ( x − 1) ⇔    x + by − =   x + by − = x + by − =  (I) dạng:  x = b + x = b +1 ⇔  b + by = ⇒ nghiệm y = −b Vậy hệ phương trình có nghiệm với b a=1 VD3: Xác định giá trị m để hệ sau có nghiệm:  x − y = m   y − x = 2m (I) Hướng dẫn giải: Điều kiện cần: (x y ) Giả sử hệ có nghiệm 0, suy ra:  x0 ≤ π π  x = sin α ⇒ α , β (− ≤ α , β ≤ ) :   2  y0 = sin β  y0 ≤ tồn hai góc Khi đó:  3m ≤ sin α cos β = m sin(α + β ) = 3m ⇔ ⇒ ⇔ m≤  sin β cos α = 2m sin(α − β ) = − m  − m ≤ (I)  m≤ điều kiện cần để hệ có nghiệm Vậy Điều kiện đủ: m≤ Với  x = sin α π π  α , β (− ≤ α , β ≤ ) 2 Đặt:  y = sin β , với u0 + v0  α =  α + β = u0 ¬  → ⇔ sin(α + β ) = 3m α − β = v0  β = u0 − v0   Hệ (I) có dạng: sin(α − β ) = − m m≤ (*) Điều chứng tỏ hệ có nghiệm m≤ hệ có nghiệm Vậy f.Phương pháp đánh giá: Bằng cách đánh giá tinh tế dựa tính chất bất đẳng thức, ta nhanh chóng nghiệm hệ VD1: Giải hệ phương trình:  x + y − =   y + x − = Hướng dẫn giải: x ≥  Điều kiện:  y ≥ x ≥  Với  y ≥  x + y − ≥  Hệ:  y + x − ≥ Vậy hệ phương trình có nghiệm x=y=1 VD2: Giải hệ:  x − x + + y − y + = 4  x + y + = Hướng dẫn giải: Điều kiện:  x2 − 2x + ≥  x ≥ y − 2y + ≥ ⇔   y ≥ −3 x ≥ y +3 ≥  2  x − x + ≥  x − x + = ( x + 1) + ≥ ⇒  2  y − y + = ( y − 1) + ≥  y − y + ≥ Mà: ⇒ x2 − x + + y2 − y + ≥ Vậy (1) có nghiệm x=y=1 thỏa (2) VD3: Giải hệ:  x − y + y − x = 2(1)  2  x + y − x − y = 2(2) Hướng dẫn giải: Xét (1), sử dụng bất đẵng thức Bunhiacôpxki: = x − y + y − x ≤ (1 + 1)( x − y + y − x ) = Vậy (1) tương đương với: x = y y − x ⇔ x − y = y − x ⇔ ( y )( x + y + 1) = ⇔   y = − x −1 Với x=y, hệ có dạng: x2 − y = x = y x = y 1± ⇔ ⇔ x = y =   2 x + x − x − x = x − x −1 = Với y = − x − , hệ có dạng:  y = −x −1  y = − x −1 ⇔   2  x + (− x − 1) − x − (− x − 1) = x + x = x =  x = −1 ⇔ ∨  y = −1  y = Vậy, Hệ phương trình có cặp nghiệm Bài tập; Bài 1:   x + y = x + y (1)    x − y = x − y −12 (2) Hướng dẫn giải: x ≥ y  Ñk:  x ≥ − y (1) ⇔ ( x + y )6 = ( x + y )6 x = − y ⇔ ( x + y ) = ( x + y ) ⇔ ( x + y ) ( x + y − 1) = ⇔  x + y = Thay x=-y vào phương trình (2),ta : y = -2 ⇒ x = Bài 2:  x   x y +y x =30 x +y y =35 Hướng dẫn giải Điều kiện :x ≥ ; y ≥  u = x u ≥   v = y v ≥ Ñaët  ; uv (u +v) =30  u +v =35 Ta hệ  Đặt S=u+v ,P=uv ta có: Tính S ,P suy u,v.Tính x,y theo u,v ( so sánh với đk) Nghiệm hệ: (4;9), (9;4) Bài 3: 2  2( x + y ) = 3(3 x y + xy ) 3   x + y =6 Hướng dẫn giải: y Đặt u= x ,v= ta có hệ 3 2(u + v ) = 3uv(u + v )  u + v = Tính u,v tính x,y theo u,v vứa tìm Hệ có nghiệm ( 8; 64 ),( 64 ; ) Bài 4: x + y + z =  2 x + y + z =18   x + y + z =4 Hướng dẫn giải: từ pt (1) ⇒ 36=(x+y+z)2 suy xy+ yz +xz =9 từ pt(3) ⇒ 16 = ( x + y + z ) suy xyz= Ta có hệ : x + y + z =   xy + yz + zx =  xyz =  Hệ có nghiệm (1 ;4 ; ); (1;1;4); (4;1;1) Bài 5: 2 2   x +y − x −y = y  2 2  ( x + y )( x − y ) = 144 Hướng dẫn giải: Điều kiện : x ≥ y   x ≤ y   y ≥ Bình phương hai vế pt (1)⇒… 2 thay (2) vào (1) ⇒ x − 24 = y (3) thay (3) vào (2) ta x ⇒ y Vây hệ có nghiệm ( : 0); (−2 3;0); (2 ;4); ( −2 ;4) Bài 6:  x + y − x + y = −1   x + y + x − y = Hướng dẫn giải: x + y ≥  Đk : 3x + y ≥ x+ y ≥0 Đặt u= 3x + y ≥ v= ⇒ x − y = Hpt cho tương đương với hệ: u − v = −1  2 u + 2v − 5u = Giải hệ tìm u,v suy x,y Hệ có nghiệm (1;3) Bài 7:  x + y =   x + + y + = x ≥ dk  y ≥ Hệ tương đương:  x + x + + y + y + = 13  x + x + + y + y + = 13  ⇔ ⇔ 5  x + − x + y + − y =  x+5 + x + y+5 + y =3  u = x + x + (u , v ≥ )  v = y + y + Đặt  247  247 13 + 13 −   3 u = u = u + v = 13    2 ⇔ ∨ 65 ⇔  u + v = 13 uv =    13 − 247  13 + 247    1 3 + = v =  v =    Ta có hệ:  u v 247 13 − Hệ cho vô nghiệm Bài 8:Giải hệ phương trình sau:  x + y + x + y + =   x + + y + = (1)   x ≥ − ; x ≥ − y  y ≥ − ; x + 2y + ≥  Đk:  Hệ <  x + y + x + 2y + =  2 x + y + + ( x + y )( x + y + 2) = 49 ⇔ ⇔  x + y + x + y + = x + + 3x + 2 x + y + + (2 x + 1)(3 y + 1) = 49   x + y x + y + = x + y + (3) Từ (3) ⇒ hệ (1)      ⇔      x + y + x + 2y + = x + y = 2x + x + y + = 3y +1 x + y + x + 2y + = x + y = 3y +1 x + 2y + = 2y +1 trường hợp 1: trường hợp 2: Bài 9:  x + + + y =   − x + y + = (1) Giải: Điều kiện: − ≤ x, y ≤  y = x +   x + y + x + y + =  y = x + ⇔  y + + x + = x = ⇔ y =  x = y +   y + + y + = x ≈  y ≈  x + + − y = ⇔ ( x + − y + 1) + ( − y − − x ) = Hệ (1)  Ta thấy (x;y)=(-1;-1) (x;y)=(2;2) không nghiệm  x +1 + − y =  ⇔ x− y x− y  x +1 + y +1 + x − y + − x = ⇒ heä (1)   x = y ⇔  x + + − y =  x = y ⇔ 3 + ( x + 1)( − x) = x = y  ⇔  x − x + =  + 15  − 15 x = x =   2 ⇔ ∨  y = + 15  y = − 15   2 Hai nghiệm không thỏa điều kiện Vậy hệ cho vô nghiệm Bài 10:  x + 24 y =   x + y = (1) Giải: điều kiện :x ≥ 0, y ≥ 4 1− x  y = ⇔ y = 1− x  hệ (1)   0 ≤ x ≤  1− x  ⇔ y =  1 − x − x =( )   1− x 1− x  (1 + x ) =     phương trình cuối x=1 nghiệm phương trình ≤ x < vế trái (2’) lớn Vậy hệ cho có nghiệm (1;0) Bi 11: 4 + x + − y =    5 x − y = 11 ⇔ −1  x ≥   y ≤ u = + x , u ≥  v = − y , v ≥ Đk: Đặt  u + v = u = u = 1 + x = 16 1 + x = ⇔ ∨ ⇒ ∨   v = v = 5− y =1 u + v = 14   5 − y = 16  Ta có hệ phương trình: x = x = ⇔ ∨ y =   y = −11 Vậy hệ cho có hai nghiệm: ( 3; ), ( ; -11 ) Bi 12:  2x − y+2 + =2  2x −  y+2  x + y = 12  Đk:  x >    y > −2 Đặt 2x − =k >0⇒ y+2 y+2 = 2x − k = ⇔ k − 2k + = ⇔ k = k Ta có : 2x −1 2x − ⇒ =1⇔ = ⇔ x − y = y+2 y+2 2 x − y = x = ⇔  y = Ta có hệ:  x + y = 12 k+ Vậy hệ cho có nghiệm ( ; ) ... Cho phương trình: a Giải phương trình m = 12 b Tìm m để phương trình có nghiệm? x+1 (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3) =m x−3 Bài Cho phương trình: (Đ3) a Giải phương trình với m = -3 b Tìm m để phương trình. .. nghiệm Dạng 2: Hệ phương trình có nghiệm với giá trị tham số Dạng 3: Hệ phương trình nghiệm với x ∈ D Dạng 4: Hệ phương trình tương đương với phương trình bất phương trình khác Khi ta thực theo... Khai triển rút gọn ta phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể