CÔNG THỨC ĐƯỜNG TRÒN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 CƠNG THỨC ĐƯỜNG TRỊN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL Phương trình đường trịn Phương tích của điểm với đường tròn Cách 1: Tìm phương tích của điểm M với đường tròn (C) Cho đường trịn có tâm I  a; b  bán kính R : Công thức tính phương tích của điểm M  x0 ; y0  với (C): 2 + Phương trình tổng quát của đường tròn: x  y  2ax  2by  c  : x2  y  2ax  2by  c  là: PM / C   x02  y02  2ax0  2by0  c  Tâm I  a;b  Với  Nếu PM/  C  : Điểm A nằm đường tròn 2 A2  R  a  b  c A1 Nếu : Điểm A nằm đường tròn P  2 M/  C + Phương trình chính tắc của đường tròn:  x  a    y  b   R I Nếu PM/  C  : Điểm A nằm đường tròn + Phương trình tham số của đường tròn:  x  a  R.sin t ; t   0;2  Phương trình tham số dạng lượng giác:  A3 Nói một cách đơn giản:  y  b  R.cos t Ta thay tọa đợ điểm A vào phương trình đường tròn, nếu được kết quả 2Rt  dương A nằm ngoài, = A nằm và âm A nằm  x  a   t2 Cách 2:  Phương trình tham số dạng đại sớ:  ;t R Tính khoảng cách từ điểm M đến tâm I của đường tròn so sánh với R  y  b  R 1  t  Nếu MI  R  điểm M nằm ngồi đường trịn   t2 Nếu MI  R  điểm M nằm đường tròn Điều kiện để x2  y  2ax  2by  c  phương trình đường tròn Nếu MI  R  điểm M nằm đường tròn 2 Chú ý: a b c 0 - Nếu A nằm đường tròn thì mọi đường thẳng qua A đều cắt đường tròn Tìm điểm cố định mà họ đường tròn qua tại điểm Đưa phương trình đường tròn về dạng: m f  x; y   g  x; y   1 Gọi - Nếu A nằm đường tròn thì tồn tại nhất một đường thẳng qua A  f  x; y    x  tiếp xúc (C)  M M  x; y  điểm cố định  1 đúng với mọi m   Nếu A nằm đường tròn thì có đường thẳng qua A tiếp xúc với (C)  g  x; y    y  Lập phương trình đường trịn biết tâm bán kính Phương trình đường trịn biết tâm I  a; b  và qua điểm A Tâm I  a; b  bán kính R   C  : ( x  a)2  ( y  b)2  R2 Lập phương trình đường tròn biết tâm tiếp xúc với đường thẳng Tâm I  a; b  bán kính R  d ( I ,  ) nên (C) : ( x  a)2  ( y  b)2  R2 Chú ý: Nếu đường tròn tâm I  a; b  tiếp xúc Ox thì R  b , tiếp xúc Oy thì R  a Tính bán kính R  IA nên (C) : ( x  a)2  ( y  b)2  R2 Nếu đường tròn đồng thời tiếp xúc với trục Ox Oy a  b  a  b C  :  x  a  Đường tròn qua điểm có tâm tḥc đường thẳng Cách 1: Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB Xác định tâm I giao điểm của d  bán kính R  IA Cách 2: Gọi phương trình đường tròn là: x2  y  2ax  2by  c  Thay tọa độ điểm A B vào phương trình đường tròn, kết hợp với đường thẳng d để giải hệ tìm a, b, c Lập phương trình đường tròn đường kính AB AB  x  xB y A  y B  ; + Tìm tọa đợ tâm I trung điểm AB  I  A  R  AI  2   Biết được tọa độ tâm I  a; b  bán kính R ta dùng công thức:   y  b  R2 A d I(a;b) B LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 LỚP TỐN THẦY THÀNH NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN 0975.705.122 LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 CƠNG THỨC ĐƯỜNG TRỊN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL Đường trịn có tâm tḥc đường thẳng d giao với đường tròn Đường tròn qua điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng d  C1  ;  C2  mợt góc vng A Viết phương trình đường trung trực d của Bước 1: Tìm tọa đợ tâm I1 ; R1 I ; R2 d đoạn AB dưới dạng tham sớ Suy tọa đợ Bước 2: Gọi đường trịn cần tìm có tâm tâm I theo tham sớ I  a; b  , bán kính R  hệ phương trình ẩn: I R2 R Dùng công thức: I B I   d  I2 I  d ( I , )  IA  t    C  2  II1  R  R1  R  IA R  2  II  R  R2 d Đường tròn qua A tiếp xúc với đường thẳng d B R1 I1 Bước 3: Giải hệ phương trình tìm được Viết phương trình đường trung trực d của a; b; R  phương trình đường tròn đoạn AB Đường tròn biết tâm I  a; b  tiếp xúc với Ox; Oy Viết phương trình đường thẳng  qua B A I vng góc với  Đường trịn tiếp xúc Ox  R  b Phương y Xác định tâm I giao điểm của d  M 2 trình đường tròn:  x  a    y  b   b d Bán kính R  IA Từ viết phương trình B đường trịn biết tâm bán kính I(a;b) Đường tròn tiếp xúc Oy  R  a Phương ' trình đường tròn:  x  a    y  b   a 2 Qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng + Nếu 1 cắt  : Cách 1: Gọi tâm I  a; b  Sử dụng công thức: d ( I , 1 )  d ( I ,  ) để tìm a; b Bán kính R  IA Từ viết đường trịn  d ( I , 1 )  IA Cách 2: Viết phương trình phân giác  d  tạo 1  ( dưới dạng tham số) Suy điểm I   d   tọa độ điểm I dưới dạng tham số Sử dụng công thức d ( I , 1 )  IA  t  tâm I ; R  đường tròn + Nếu 1 / /  : Tính R  d (1 ,  ) ( em sử dụng cơng thức tính khoảng cách đường thẳng song song) d ( I , 1 )  d ( I ,  ) Gọi tâm I  a; b  Sử dụng công thức:  để tìm a; b d ( I , 1 )  R B M B I I A C A C x I(a;b) Đường tròn qua M  x0 ; y0  tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox; Oy + Gọi tâm I  a; b  Đường tròn tiếp xúc hai y trục tọa độ nên a  b  R : + Nếu a  b  phương trình đường tròn là: I(a;b) b a  x  a    y  a   a Thay tọa độ M  x0 ; y0  vào đường tròn để tìm a x + Nếu a  b  phương trình đường tròn là:  x  a    y  a   a Thay tọa độ M  x0 ; y0  vào đường tròn để tìm a 2 TUYỂN TẬP CÁC CƠNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐƯỜNG TRÒN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL GIÁO VIÊN: NGUYỄN CHÍ THÀNH LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 CƠNG THỨC ĐƯỜNG TRỊN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL Đường trịn có tâm nằm mợt đường thẳng tiếp xúc với Đường tròn qua điểm ( Đường tròn ngoại tiếp tam giác) đường thẳng Chuyển đường thẳng (d) về Cách 1: Phương trình của (C) có dạng: A tham sớ suy tọa đợ tam I d x2  y  2ax  2by  c  (*) Lần lượt thay toạ độ của A, B theo tham số Tâm I của (C) B, C vào (*) ta được hệ phương trình Giải hệ phương trình d ( I , 1 )  d ( I ,  ) M ta tìm được a, b, c  phương trình của (C) thoả mãn:  I I  d  IA  IB  I Cách 2: Gọi tâm I  a; b  , dùng cơng thức  để tìm  IA  IC B C C Bán kính R = d ( I , 1 ) I a, b    C   R  IA  IB Cách 3: Viết phương trình hai đường trung trực của hai cạnh Giao trung trực tâm I Đường tròn tiếp xúc đường thẳng ( đường trịn nợi tiếp tam giác) R  IA Cách 4: Gọi tâm I  a; b  , M N trung điểm AB AC suy : 1  IM AB  a  I Từ viết phương trình đường trịn    b  R  IA  IN AC  LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 A A C I I Chú ý: Tam giác đều: Tâm I trọng tâm r  B a (a cạnh tam giác đều) Tính tọa x A  xB  xC   x  độ trọng tâm I:   y  y A  yB  yC + Nếu đường thẳng cắt đôi một tại điểm A, B, C thì  toán trở về viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC + Nếu có hai đường thẳng song song với thì bán kính bằng nửa khoảng cách hai đường thẳng song song tọa độ tâm I giao của hai phân giác góc A B Cách viết phương trình đường trịn nợi tiếp: A Phân giác góc B Phân giác ngoài góc A Cách 1: Viết phương trình của hai đường phân giác của hai góc Phương trình phân giác tạo bởi hai đường thẳng tam giác Xác định tâm I giao điểm của hai đường phân giác a1x + b1y + c1 = và a2x + b2y + c2 = là: | a1x + b1y + c1 | | a2x + b2y + c2 | Bán kính R  d ( I , AB) = 2 a1 + b a22 + b22 Cách 2: C B Tính diện tích tam giác ABC từ suy bán kính đường tròn nội Phương tích của A(x0;y0) tới đường thẳng S ax + by + c = là: Phân giác góc A tiếp: r  ; ( với P nửa chu vi) P(A/d)= a.x0 + b.y0 +c =0 P Gọi I  a; b  Khoảng cách từ I  a; b  đến cạnh bằng r từ tìm a,b viết phương trình đường tròn B LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 CƠNG THỨC ĐƯỜNG TRỊN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL Đường tròn đối xứng đường tròn qua điểm Đường tròn đối xứng đường tròn qua đường thẳng Cách 1: Để ý rằng, đường tròn  C1  có tâm I1 C + Gọi M  x; y    C  ; M1  x1 ; y1    C1  bán kính R Ta tìm tâm I1 cho M M1 đối xứng qua E I của đường tròn  C  bằng cách:  x  x  2x E  x  2x E  x1 Ta có:    y1  y  2y E  y  2y E  y1 Thay x, y vào (C) biến đổi ta được  C1  M1 E I H I1 M I1 C1 Cách 2:  x  2x E  x I Tọa đợ tâm I1 của đường trịn  C1  đối xứng với I qua E nên   y1  2y E  y I Từ viết phương trình đường trịn  C1  có tâm I1 bán kính R Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn  Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R Xác định tâm I bán kính R của (C) tính khoảng cách từ I đến d + d ( I , d )  R  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt + d ( I , d )  R  d tiếp xúc với (C) + d ( I , d )  R  d (C) khơng có điểm chung  Cách 2: Toạ đợ giao điểm (nếu có) của d (C) nghiệm của hệ phương trình:  Ax  By  C  (*)  2  x  y  2ax  2by  c  + Hệ (*) có nghiệm  d cắt (C) tại hai điểm phân biệt + Hệ (*) có nghiệm  d tiếp xúc với (C) + Hệ (*) vô nghiệm  d (C) điểm chung Quỹ tích Tập hợp các tâm đường tròn: Để tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C), ta có thể thực sau:  x  f (m )  y  g( m ) a) Tìm giá trị của m để tồn tại tâm I Sau tìm toạ đợ tâm I Giả sử: I  b) Khử m x y ta được phương trình F  x; y   c) Giới hạn: Dựa vào điều kiện của m a) để giới hạn miền của x y d) Phương trình tập hợp điểm F  x; y   với phần giới hạn c) Tập hợp điểm là đường tròn: Thực tương tự d C C1 - Viết phương trình đường thẳng qua I vng góc với (d) - Tìm tọa đợ chân đường vng góc H H trung điểm II1 từ tìm được tọa đợ I1 viết phương trình  C1  Chú ý: Nếu đường thẳng có dạng x  a y  b ta có thể làm sau: Lấy M  x1 ; y1  thuộc (C) M1  x; y    C1  cho M, M1 đối xứng qua  y  y1  y y  Thay x1 ; y1 vào đường tròn (C) ta x  a suy ra:   x  x1  a  x1  a  x tìm được  C1  Vị trí tương đối hai đường trịn Để biện luận sớ giao điểm của hai đường tròn (C1): x2  y  2a1 x  2b1 y  c1  , (C2): x2  y  2a2 x  2b2 y  c2  ta có thể thực sau:  Cách 1: So sánh độ dài đoạn nới tâm I1 I với bán kính R1 , R2 + R1  R2  I1 I  R1  R2  (C1) cắt (C2) tại điểm + I1 I  R1  R2  (C1) tiếp xúc với (C2) + I1 I  R1  R2  (C1) tiếp xúc với (C2) + I1 I  R1  R2  (C1) (C2) + I1 I  R1  R2  (C1) (C2)  Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C1) (C2) nghiệm của hệ 2   x  y  2a1 x  2b1 y  c1  phương trình:  (*)   x  y  2a2 x  2b2 y  c2  + Hệ (*) có hai nghiệm  (C1) cắt (C2) tại điểm + Hệ (*) có mợt nghiệm  (C1) tiếp xúc với (C2) + Hệ (*) vô nghiệm  (C1) (C2) khơng có điểm chung LỚP TỐN THẦY THÀNH NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN 0975.705.122 LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 CƠNG THỨC ĐƯỜNG TRỊN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL Phương trình tiếp tún của đường trịn Elip d B M M Chuyển phương trình ban đầu của Elíp (E) về dạng tắc (E): y R I I y B2(0;b) I M F2(c;0) B2(0;b) A Tính phương tích của M với đường tròn (C) để kiểm tra M nằm trong, hay đường tròn - Nếu M nằm đường tròn: Không tồn tại tiếp tuyến - Nếu M nằm đường tròn: + Cách M tiếp điểm nên phương trình tiếp tuyến qua M vng góc MI Từ viết được tiếp tún + Cách 2: Sử dụng công thức: Tiếp tuyến với (C ) tại điểm M ( x0 ; y0 )  (C ) có phương trình : (C ) :  x0  a  x  a    y0  b  ( y  b)  R  - Nếu M nằm ngoài: Ta chia các trường hợp + Xét các tiếp tuyến vuông góc Ox có dạng: x  a  R + Xét các tiếp tún khơng vng góc với Ox: Ta viết dạng tổng quát phương trình (d) qua M dạng tham số Dùng điều kiện tiếp xúc d I,d   R để tìm tham số 2b X2 Y2  1 a b2 từ đó, tḥc tính của (E) hệ trục IXY suy tḥc tính của (E) hệ trục Oxy LỚP TỐN THẦY THÀNH NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN 0975.705.122 Ta được: (E): A2(a;0) A1(-a;0) F1(-c;0) F2(c;0) A2(a;0) A1(-a;0) x B1(0;-b) 2a x F1(0;-c) B1(0;-b) Trường hợp a > b Trường hợp a < b Nếu a  b : Độ dài trục lớn: A1 A2  2a ; trục nhỏ: B1 B2  2b ; F1  c,0  , F2  c,0  c a Tiêu cự: F1 F2  2c với c  a  b ; Tâm sai: e   ; đường chuẩn : x   a e x   a ; y   b  Phương trình cạnh cùa hình chữ nhật sở: (Độ dài hai cạnh  Chú ý: Trong trường hợp phương trình của (E) có dạng: ( x   )2 ( y   )2 (E): =  a2 b2 ta thực phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ OI với I(, ) thành hệ X  x  x  X   trục IXY với công thức đổi trục:    Y  y   y  Y   x2 y  1 a b2 2a 2b), diện tích và chu vi HCS sở: S  4ab; *Trục đối xứng: Ox; Oy *Tâm đối xứng: O C  4 a  b yM2  xM2   a b2   c   Điểm M  xM , yM    E    MF1  a  e  xM  a  xM a  c   MF2  a  e  xM  a  a xM Trường hợp 2: a  b  (E) có trục lớn tḥc Oy, đợ dài bằng B1 B2  2b chứa hai tiêu điểm F1  0, c  , F2  0, c  với c  b  a F1 F2  2c    (E) có trục nhỏ thuộc Ox với độ dài bằng A1 A2  2a c Tâm sai e  b LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 x2 y  1 a b2  (H) có trục thực tḥc Ox, đợ dài bằng 2a chứa hai tiêu điểm F1  c,  , F2  c,  với c  a  b  (H) có trục ảo thuộc Oy với độ dài bằng 2b c  Tâm sai e  a Nếu  P :   CƠNG THỨC ĐƯỜNG TRỊN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL x2 y Hypebol   1 a b x2 y Nếu   1 a b y  (H) có trục thực thuộc Oy, độ dài bằng 2b chứa hai tiêu điểm F1  0,  c  , F2  0, c  với c  a  b A1 O A2 F2 x F1  (H) có trục ảo tḥc Ox với đợ dài bằng 2a c  Tâm sai e  b PARABOL  P  : y  2 px HOẶC  P  : x  2 py  P : y  px  p   Đỉnh O  0;0  , p  Tiêu điểm F  ;0  2  p ,  Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị bên phải Ox  P  : x2  py  p   (d) (P) y L F -p/2 p/2 O  Đường chuẩn  d  : x    Đỉnh O  0;0  y   p Tiêu điểm F  0;  ,  2 F p/2 p (d)  Đường chuẩn  d  : y   ,  Parabol, nhận Oy làm trục đối xứng, đồ thị có hướng lên Chú ý: Trong trường hợp phương trình của (P) có dạng: O -p/2 x (P) x L  P : F2 B2 x O B1 F1 y  2 px  p    Đỉnh O  0;0  ,   p  Tiêu điểm F   ;0  ,   p ,  Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị bên trái Ox  P  : x2  2 py  p  0  Đỉnh O(0 0), p   Tiêu điểm F  0;   , 2  p  Đường chuẩn  d  : y  ,  Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị có hướng x́ng dưới  y y (P) F - p/2 Đường chuẩn  d  : x  (d) L O p/ x y L p/2 O (P) F (d) x -p/2 ( y   )2  2 p( x   )  P  : ( x   )2  2 p( y   ) Ta thực phép tịnh tiến hệ trục Oxy X  x  x  X    theo vectơ OI với I(, ) thành hệ trục IXY với công thức đổi trục:  ta được:  P  : Y  2 pX  P  : X  2 pY Y  y   y  Y     từ các thuộc tính của (P) hệ trục IXY suy các thuộc tính của (P) hệ trục Oxy CÁC EM HÃY CHIA SẺ FILE CÔNG THỨC NÀY ĐẾN NHIỀU BẠN HƠN GIÚP THẦY CHÚC CÁC EM HỌC TỐT GIÁO VIÊN: NGUYỄN CHÍ THÀNH LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 ... THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 CƠNG THỨC ĐƯỜNG TRỊN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL Đường trịn có tâm tḥc đường thẳng d giao với đường tròn Đường tròn qua điểm A, B tiếp xúc với đường. .. THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 CƠNG THỨC ĐƯỜNG TRỊN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL Đường trịn có tâm nằm mợt đường thẳng tiếp xúc với Đường tròn qua điểm ( Đường tròn ngoại... trình đường tròn B LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 CƠNG THỨC ĐƯỜNG TRỊN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL Đường