LỚP TỐN THẦY NGƠ LONG QUẢNG OAI Thầy Ngơ Long - Giảng viên toán, 16 năm luyện chấm thi đại học Lớp 8: Sĩ số 36, chỗ Học phí 200k/8 buổi Lịch học: 17h15 thứ 14h00 chủ nhật hàng tuần Lớp 9: Sĩ số 22, hết chỗ Học phí 400k/8 buổi Lịch học: 17h15 thứ 17h15 thứ Lớp 10: Sĩ số 57, chỗ Học phí 200k/8 buổi Lịch học: 17h30 thứ 17h15 chủ nhật hàng tuần Lớp 11: Sĩ số 67, cịn chỗ Học phí 200k/8 buổi Lịch học: 17h30 thứ 07h15 chủ nhật hàng tuần Lớp 12: Sĩ số 74, hết chỗ Học phí 200k/8 buổi Lịch học: 17h30 thứ 09h15 chủ nhật hàng tuần 0988666363 – 14/18 Tây Đằng Học thử tháng, 200k/8 buổi Ưu tiên: Ngô Quyền 160k HỆ THỨC VI – ÉT VÀ ỨNG DỤNG Định lý Vi – ét: Cho phương trình ax2 + bx + c = (a 0) có hai nghiệm x1; x2 thì: −b c ; P = x1 x2 = a a Định lý: Nếu hai số a b có a + b = S ; ab = P a; b nghiệm phương trình: S = x1 + x2 = X − SX + P = (1) Chú ý: Phương trình (1) có nghiệm S − 4P Một số lưu ý: Các biểu thức đối xứng x1; x2 : x12 + x2 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 ( x1 − x2 ) x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) x14 + x2 = ( x12 + x2 ) − ( x1 x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 2 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2 DẠNG TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Câu 1: Cho phương trình: x2 − x + = Tính giá trị biểu thức sau: 1) A = x12 + x2 4) D = 3) C = x1 − x2 2) B = x13 + x23 1 + 2 x1 x2 5) K = x1 + x2 6) x1 − x2 − + x12 x2 Câu 2: Cho phương trình: x2 − x + m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sau tính giá trị biểu thức sau theo m 1) A = x12 + x2 4) D = 3) C = x1 − x2 2) B = x13 + x23 1 + 2 x1 x2 5) K = x1 + x2 6) x1 − x2 − + x12 x2 DẠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH NHẨM NGHIỆM Câu 3: Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 3x2 − x + = c) 1,5x2 − 6x + 4,5 = x − x− =0 Câu 4: Khơng giải phương trình tìm nghiệm phương trình sau: b) x − (2 + 2) x + = d) a) mx2 − 2(m −1) x + m − = c) mx2 − (m2 + m −1) x + m2 −1 = b) (m −1) x2 + (m + 1) x + = d) x2 + 2(m − 3) x + 2m − = Câu 5: Cho phương trình (m − 2) x2 − (2m + 5) x + m + = a) Chứng minh phươn g trình ln có nghiệm khơng phụ thuộc vào m b) Tìm nghiệm phương trình theo tham số m DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH Câu 6: Tìm hai số m; n biết: a) m + n = 15; mn = 36 c) m + n = −12; mn = 20 b) m − n = −2; mn = 80 d) m2 + n2 = 13; mn = Câu 7: Lập phương trình bậc hai biết nghiệm bằng: a) −5 b) + − 5 c) + − d) Câu 8: Cho phương trình x2 + 5x − 3m = a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 b) Với điều kiện m câu a, lập phương trình bậc hai có nghiệm 2 ; x12 x2 DẠNG DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp: Cho phương trình ax2 + bx + c = (a 0) Để xét dấu nghiệm số phương trình ta dựa vào dấu ; P; S ❖ Phương trình có nghiệm trái dấu P ac ❖ Phương trình có nghiệm dương S P ❖ Phương trình có nghiệm âm S P ❖ Phương trình có nghiệm dấu P Câu 9: Cho phương trình: x2 − 2(m −1) x + 2m − = m tham số a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương d) Tìm m để phương trình có hai nghiệmcùng dấu Câu 10: Cho phương trình: (2m −1) x2 − 2x + 4m − = m tham số a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt c) Xác định m để phương trình có nghiệm dương phân biệt DẠNG XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CĨ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Câu 11: Cho phương trình x2 − x + 2m + = ; m tham số a) Tìm m để phương trình có nghiệm −3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn x12 ( x2 + 1) + x2 ( x1 + 1) = 68 d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 − x2 = 15 e) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn x12 = x2 − f) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 khác thỏa mãn: 1 − = x1 x2 g) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x13 + x23 72 Câu 12: Cho phương trình: x2 − (m −1) x − m2 + m − = m tham số a) Giải phương trình m = b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm trái dấu với m c) Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình, tìm m để biểu thức P = x12 + x2 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ Câu 13: Cho phương trình: x2 − mx − = m tham số a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt x1; x2 với giá trị m b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 2( x1 + x2 ) + x12 + x2 c) Tìm giá trị m cho hai nghiệm phương trình cho số nguyên Câu 14: Cho phương trình: 2x2 + 2(m + 2) x + m2 + 4m − = m tham số a) Xác định m để phương trình có nghiệm b) Chứng minh phương trình có nghiệm x1; x2 x1 + x2 + 3x1 x2 16 Câu 15: Cho phương trình: x2 − (m + 1) x + 2m = m tham số Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2 với x1; x2 độ dài cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền DẠNG TÌM HỆ THỨC GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHƠNG PHỤ THUỘC VÀO THAM SỐ Câu 16: Cho phương trình: (m − 2) x2 − 2(m + 2) x + 2(m −1) = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1; x2 phương trình khơng phụ thuộc vào m Câu 17: Cho phương trình: (m2 + 1) x2 − 2mx + − m2 = (1) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1; x2 phương trình (1) khơng phụ thuộc vào m DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Câu 18: Cho phương trình: (m + 3) x2 − 2(m2 + 3m) x + m3 + 12 = (1) m tham số a) Tìm số ngun m nhỏ cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 b) Tìm số nguyên m lớn cho x12 + x2 số nguyên BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu 1: Không giải phương trình x + x + 12 = Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình, tính: 1) A = x12 + x2 4) D = 1 + 2 x1 x2 2) B = x13 + x23 5) K = x1 + x2 3) C = x1 − x2 6) x1 − x2 − + x2 x1 Câu 2: Cho phương trình x2 + (m2 + 1) x + m = m tham số a) Chứng minh với giá trị m phương trình ln có nghiệm phân biệt x1; x2 b) Tìm tất giá trị m cho x1 − x2 − 55 + = x1 x2 + x2 x1 x1 x2 Câu 3: Dùng hệ thức Vi – ét để nhẩm nghiệm phương trình: a) x2 + 11x + 30 = b) x + ( + 6) x + = Câu 4: Cho phương trình: (m − 4) x2 − 2(m − 2) x + m −1 = a) Tùy theo giá trị m cho biết số nghiệm phương trình b) Xác định m để phương trình có nghiệm x1 = −2 Tính x2 c) Xác định m để phương trình có nghiệm âm d) Giả sử x1; x2 nghiệm phương trình Tìm m để hệ thức sau thỏa mãn: 1 + = x1 x2 e) Xác định m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 − x2 = f) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Câu 5: Cho phương trình: x2 − mx + m −1 = a/ Giải phương trình m = b/ Chứng minh phương trình có nghiệm với m c/ Đặt A = x12 + x22 − x1x2 , Chứng minh: A = m2 − 8m + Tìm GTNN A Câu 6: Cho phương trình: x2 − (m + 2) x − = Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 số nguyên Câu Cho phương trình: x + ( m + 1) x + 2m − m − = (1) Giả sử phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 a/ Tìm giá trị m để x1 , x2 thỏa mãn hệ thức: x13 + x23 = 54 ( x1 + x2 ) b/ Tìm giá trị m để x1 , x2 thỏa mãn hệ thức: 2x1 − x2 = m + x x 2m − c/ Tìm g iá trị m để x1 , x2 thỏa mãn hệ thức: + x2 x1 10 d/ Tìm giá trị m Z để biểu thức (x − x ) B= 2 x1 + x2 +6 có giá trị số ngun e/ Tìm giá trị lớn biểu thức A = x12 + x22 − x1 x2 Câu Tìm giá trị tham số m để phương trình x2 − 4mx + 2m2 −1 = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x12 + 4mx2 + 2m2 − Câu Tìm giá trị m để phương trình x2 − 2x + m − = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn điều kiện: x12 − x2 + x1 x2 = −12 Câu 10 Tìm giá trị a Z để phương trình x + ( + a ) x + a − = có nghiệm nguyên? Câu 11 Tìm giá trị a Z để phương trình x − ( + 2a ) x + 40 − a = có nghiệm nguyên? Câu 12 Tìm giá trị nguyên m sau phương trình ( m − 1) x − ( m + 1) x + ( 2m − 1) = có nghiệm x số hữu tỉ ... b) Xác định m để phương trình có nghiệm x1 = −2 Tính x2 c) Xác định m để phương trình có nghiệm âm d) Giả sử x1; x2 nghiệm phương trình Tìm m để hệ thức sau thỏa mãn: 1 + = x1 x2 e) Xác định m... tham số a) Xác định m để phương trình có nghiệm b) Chứng minh phương trình có nghiệm x1; x2 x1 + x2 + 3x1 x2 16 Câu 15: Cho phương trình: x2 − (m + 1) x + 2m = m tham số Xác định m để phương... trái dấu b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt c) Xác định m để phương trình có nghiệm dương phân biệt DẠNG XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CĨ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO