Vận dụng định lý Vi - et giải một số bài toán số học

VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ VI – ET GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN SỐ HỌC Định lí Vi – et Định lý Vi – et trình bày sách giáo khoa toán – tập Định lý Vi – et cho ta mối quan hệ nghiệm phương trình bậc hai hệ số Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a  ) có hai nghiệm x1 x tổng tích chúng là: S = x1 + x2 = −b c P = x1 x = a a Ngược lại có hai số x1 x thỏa mãn S = x1 + x P = x1 x x1 x hai nghiệm phương trình t − St + P = Điều đáng nói định lý giải tốn, ta không quan tâm tới giá trị x1 x mà cần biết tổng tích chúng, từ có đáng giá cần thiết Ngồi từ định lí Vi – et ta nhận thấy phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm x1 có thêm nghiệm x Một số ví dụ minh họa Trước sâu vào vấn đề nghiên cứu, tơi xin đưa hai ví dụ có áp dụng định lí Vi – et qua trình giải Trong ví dụ thứ phương trình bậc hai ví dụ thứ hai hệ phương trình nghiệm ngun Ví dụ Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm ngun: x2 − mx + m + = Phân tích hướng dẫn giải Phương trình cho ví dụ phương trình bậc hai nên hồn tồn tự nhiên em học sinh nghĩ đến sử dụng biệt thức  định lí Vi – et trình tìm lời giải cho tốn Chú ý toán chưa cho tham số m nhận giá trị nguyên nên giải học sinh dễ gặp sai lầm Ta tìm hiểu hai lời giải sau Lời giải Do phương trình phương trình bậc hai nên để phương trình có nghiệm trước hết ta cần có  = m − ( m + )  Để phương trình cho có nghiệm ngun điều kiện cần  phải số phương, tức tồn số nguyên k cho m − ( m + ) = k Biến đổi tương đương ta m − ( m + ) = k  ( m − + k )( m − − k ) = 12 Do m k số nguyên nên ta tìm m = −2 m = + Với m = −2 ta phương trình x2 + 2x = , ta hai nghiệm nguyên x1 = x = −2 + Với m = ta phương trình x2 − 6x + = , ta hai nghiệm nguyên x1 = x = Đọc toán ta thấy yếu tố số học đó, dạng phương trình nghiệm nguyên bậc hai Tuy nhiên đa phần học sinh tiếp cận có tư tưởng đại số sử dụng công thức nghiệm để giải Nếu m tham số nguyên điều kiện cần để phương trình có nghiệm ngun biệt thức  phải số phương Rõ ràng lời giải cho ta kết đúng, sai lầm mà học sinh gặp phải chưa giải thích m số nguyên mà đưa phương trình  dạng phương trình ước số để tìm m Vậy có cách để giải thích m số nguyên không? Chú ý theo định lí Vi – et ta có x1 + x = m , hai nghiệm số nguyên nên ta m số nguyên Như cần sử dụng định lí Vi – et để giải thích m ngun lời giải khơng cịn có sai lầm Lời giải Chú ý phương trình có hệ số a = nên theo hệ thức Vi – et với x + x = m hai nghiệm x1 ; x ta có  x1 x2 = m + Như cần tìm giá trị nguyên hai nghiệm tìm giá trị m Muốn ta biến đổi hệ thức thành phương trình hai ẩn x1 ; x giải phương trình nghiệm nguyên x + x = m Từ  ta x1 x − ( x1 + x ) =  ( x1 − 1)( x − 1) = x1 x2 = m + Khi x1 − x − ước 3, lại có = 1.3 = −1 ( −3 ) Đến việc tìm hai nghiệm x1 ; x hồn tồn đơn giản qua ta tìm giá trị m m = −2 m = Nhận xét Qua hai cách giải ta có số điều cần lưu ý sau: • Trong hai cách giải ta thấy cách thứ dễ gây sai lầm cho học sinh khơng giải thích tham m số nguyên, tất nhiên biết khai thác chút hệ thức Vi – et sai lầm hồn tồn khắc phục • Trong cách giải thứ hai ta sử dụng hoàn toàn hệ thức Vi – et để tìm nghiệm nguyên phương trình cho mà không cần quan tâm đến giá trị nguyên tham số m Tuy nhiên để u cầu từ hệ thức Vi – et cần khử hết tham số m phương trình nghiệm thu cần phải giải nghiệm ngun • Bài tốn ví dụ khai thác theo tư tưởng hồn tồn số học sau: + Do m có giá trị nguyên nên ta đặt m = y chuyển tốn dạng: Tìm nghiệm ngun phương trình: x2 − xy + y + = Với phương trình nghiệm ngun học sinh giải nhiều cách + Chú ý m nguyên từ phương trình cho ta m ( x − 1) = x + Khi ta viết lại tốn thành: Tìm số nguyên x để x + chia hết cho x − xy + yz + zx = Ví dụ Tìm nghiệm ngun hệ phương trình:  x + y + z = Phân tích hướng dẫn giải Đây hệ phương trình có cấu trúc đặc biệt Do số ẩn nhiều số phương trình nên thơng thường ta nghĩ đến phương pháp đánh giá Do vai trị bình đẳng ẩn nên ta đánh giá ẩn đó, chẳng hạn ẩn z Chú ý xem z tham số x, y ẩn số hệ phương trình hệ đổi xứng hai ẩn dạng Ta viết lại hệ: xy + ( y + x ) z = xy + ( − z ) z = xy = − ( − z ) z    x + y = − z x + y = − z x + y = − z Như theo định lí Vi – et x y hai nghiệm phương trình bậc hai t2 − ( − z) t + − ( − z) z = Trong phương trình bậc hai z đóng vài trị tham số, xác định giá trị z xem tốn giải Ta biết để phương trình có nghiệm   hay ta 3z2 − 10z +    z  Do z nhận giá trị nguyên nên z = z = • Với z = , phương trình trở thành t − 4t + = , đến ta tìm x = y = thỏa mãn • Với z = phương trình trở thành t − 3t + = , đến ta tìm x = 2; y = x = 1; y = thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm ngun ( x; y; z ) = ( 2; 2;1) , (1; 2; ) , ( 2;1; ) Nhận xét Ví dụ tốn nghiệm nguyên việc sử dụng định lí Vi – et giúp ta có lời giải ngắn gọn dễ hiểu Thơng thường với tốn nghiệm ngun ta hay ý đến sử dụng kiến thức số học để giải Tuy nhiên ví dụ việc sử dụng kiến thức số học lại không đem lại hiệu quả, định lí đại số lại cho ta lời giải đẹp Có thể nói hai ví dụ chưa cho học sinh thấy rõ nét ứng dụng định lí Vi – et giải toán số học Vì dù hai dụ nhiều mang tư tưởng đại số qua trình biến đổi thấy xuất rõ phương trình bậc hai Tuy nhiên qua gợi cho em học sinh suy nghĩ phải tốn số học khác áp dụng định lí Vi – et Ta tìm hiểu sâu ứng dụng định lí Vi – et ví dụ sau Ví dụ Tìm số nguyên dương a b ( a  b ) cho phương trình sau có nghiệm số nguyên: x2 − abx + a + b = Phân tích hướng dẫn giải Phương trình cho phương trình bậc hai nên để phương trình có nghiệm trước hết ta cần có  = ( ab ) − ( a + b )  Phương trình có hai tham số a, b nên sử dụng cách thứ ví dụ gây nhiều khó khăn ta biết a, b số nguyên dương Do ý tưởng sử dụng định lí Vi – et để tìm nghiệm nguyên trước khả quan Giả sử phương trình có hai nghiệm ngun x1 ; x ( x1  x ) , theo x + x2 = ab định lí Vi – et ta  x1 x2 = a + b Do a b số nguyên dương nên từ hệ thức ta nhận thấy nghiệm x1 ; x số nguyên dương Việc khử tham số a b hệ thức để tạo phương trình nghiệm ngun giải khơng thể, hướng suy nghĩ việc chia trường hợp giá trị hai nghiệm hai tham số để giải Do thơng tin có từ hệ thức Vi – et có nên ta cần tính đến phương án hạn chế miền giá trị bốn số dương Để ý với hai số lớn tích chúng lớn tổng chúng Do ta nghĩ đến chứng minh bốn số dương không vượt Thật a  2; b  ta có ab  2a; ab  2b nên 2ab  ( a + b ) hay ab  a + b Nếu bốn số dương x1 ; x ; a; b lớn x1 x  x1 + x ab  a + b Khi hệ thức Vi – et xẩy Như bốn số dương x1 ; x ; a; b tồn số khơng vượt Theo giả thiết theo cách chọn hai nghiệm x1 ; x hai x ; b có số khơng lớn Do vai trò hệ thức Vi – et hai số x ; b nên khơng tính tổng qt ta giả sử  x1  Đến ta xét trường hợp x1 x + x2 = ab 1 + x2 = ab • Trường hợp Nếu x1 = , từ   x x = a + b x = a + b   Do ta ab − a − b =  ( a − 1)( b − 1) = Chú ý theo ta lấy a  b nên từ phương trình ta a = 3; b = , ta tìm x = • Trường hợp Nếu x1 = Hồn tồn tương tự ta tìm cặp số ( a; b ) thỏa mãn ( a; b ) = ( 5;1) , ( 2; ) Các cặp số tìm thỏa mãn điều kiện có nghiệm phương trình Nhận xét • Trong ví dụ ngồi việc sử dụng hệ thức Vi – et để giải việc phát bốn số có số khơng vượt điểm mấu chốt để giải toán Chú ý giả thiết toán cho a  b chẳng qua để hạn chế số lượng cặp số ( a; b ) , tốn khơng cho ta hồn tồn giả sử a  b • Từ phương trình cho ta x + a = b ( ax − 1) , xem a y ta phát biểu tốn: + Bài tốn Tìm số ngun dương x, y cho x2 + y chia hết cho xy − + Bài tốn Tìm tất số k dương để phương trình x + y = k ( xy − 1) có nghiệm nguyên dương Ví dụ Tìm tất số tự nhiên a, b, c cho tồn số nguyên dương n, m, k thỏa mãn điều kiện sau: a= m2 + b n2 + c k2 + a ;b = ;c = 2m 2n 2k Phân tích hướng dẫn giải Từ giả thiết toán ta nhận abc  Bài toán chưa cho ta thấy phương trình bậc hai ẩn Tuy nhiên biến đổi hệ thức thành m − 2ma + b = 0; n − 2bn + c = 0; k − 2ck + a = Lúc ta nhận thấy hệ thức có dạng phương trình bậc hai Chú ý tồn số nguyên dương m, n, k thỏa mãn hệ thức, điều đồng nghĩa với phương trình bậc hai có nghiệm nguyên dương m, n, k Như theo định lí Vi – et phương trình có hai nghiệm Gọi m ; m hai nghiệm phương trình m2 − 2ma + b = , n ; n hai nghiệm phương trình n2 − 2bn + c = k1 ; k hai nghiệm phương trình k2 − 2ck + a = m + m = 2a Khi theo định lí Vi – et ta  , m1 m = b n1 + n = 2b k1 + k = 2c ,  n1 n = c k1 k = a Nếu m ; n1 ; k1 số ngun dương từ định lí Vi – et ta suy m ; n ; k số nguyên dương Chú ý với hai số nguyên p,q  ta ln có p + q  pq Do số m1 ; n1 ; k1 ; m ; n ; k lớn ta 2a = m + m  m m = b  2b = n1 + n1  n1 n = c 2c = k + k  k k = a 1  Từ ta ( a + b + c )  a + b + c , điều vơ lí a, b,c  N* Do m1 ; n1 ; k1 ; m ; n ; k có số Giả sử số m = Khi từ m2 − 2ma + b = ta − 2a + b =  b + = 2a Nếu tất số cịn lại lớn ta lại có ( b + c ) = n + n + k + k  n 1n + k k = c + a Từ ta 2b + c = a , điều mâu thuẫn với b + = 2a Do số n1 ; k1 ; n ; k có số Giả sử số n = Khi ta lại − 2b + c = Hoàn toàn tương tự k1  k  ta lại có 2c = k1 + k  k1k1 = a Do ta ( 2b − 1)  b+1  7b  , điều vơ lí Từ suy k = k = nên ta − 2c + a = Như từ kết ta suy (1 − 2a + b ) + (1 − 2b + c ) + (1 − 2c + a ) = Hay ta − ( a + b + c ) = Mà a, b, c số tự nhiên khác nên suy a = b = c = Thử lại ta thấy thỏa mãn Vậy số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu toán a = b = c = Nhận xét: Từ tốn ta có số điểm cần ý sau • Biến đổi giả thiết ta phương trình bậc hai từ giả thiết tốn ta thu phương trình bậc hai có nghiệm • Sử dụng định lý Vi – et để nghiệm phương trình nguyên dương Ngồi từ định lí Vi – et ta chứng minh có số a, b, c nhận giá trị thỏa mãn tốn • Nếu xét tốn với phương trình bậc hai ngồi giá trị mà a, b, c nhận giá trị thỏa mãn tốn Ví dụ Giải phương trình x2 − mx + n = , biết phương trình có hai nghiệm ngun dương phân biệt m, n hai số nguyên tố Phân tích hướng dẫn giải Trong ví dụ thứ năm ta thấy yếu tố đại số nhiều hơn, nhiên dùng công thức nghiệm để xác định nghiệm phương trình gây cho ta nhiều khó khăn phương trình có đến hai tham số Yếu tố tham số m, n số nguyên tố giúp ta có thêm tự tin sử dụng định lí Vi – et để giải toán Gọi x1 ; x nghiệm nguyên dương phương trình cho ( x1  x ) Ta biết số nguyên tố viết thành tích hai số thừa số thừa số Để ý ta lại thấy theo hệ thức Vi – et x1x = n Do tự nhiên ta nghĩ đến sử dụng hệ thức Vi – et giả toán Thật theo định lí Vi – et ta x1 + x = m; x1x = n Do n số nguyên tố nên ta x1 = 1; x = n , ta m = n + Suy m n hai số tự nhiên liên tiếp nên ta n = 2; m = , thử lại ta thấy tỏa mãn yêu caaufbaif toán Nhận xét: Việc sử dụng định lí Vi – et để phát hai nghiệm x1 = 1; x = n giúp ta giải toán cách triệt để Phương trình tốn có hai nghiệm nguyên dương phân biệt điều có nghĩa  = m2 − 4n  , ta khơng cần tìm điều kiện có nghiệm phương trình mà tìm giá trì m, n thử lại vào phương trình để kiểm tra kết Ví dụ Cho phương trình 2x2 + mx + 2n + = (x ẩn số m, n số nguyên) Giả sử phương trình có nghiệm số ngun Chứng minh m + n hợp số Phân tích hướng dẫn giải Để chứng minh m + n hợp số suy nghĩ tự nhiên xây dựng biểu thức m + n theo nghiệm phương trình đề từ phân tích biểu thức nghiệm thành nhân tử Có hai ý tưởng để xây dựng biểu thức m + n áp dụng cơng thức nghiệm để tìm nghiệm phương trình từ tính m + n áp dụng định lí Vi – et Rõ ràng hai ý tưởng việc áp dụng định lí Vi – et giúp ta xây dựng biểu thức nghiệm mà không chứa bậc hai Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình trên, theo hệ thức Vi – et ta x1 + x2 = − m ; x x = n + 2 Khi ta có ( )( m + n = ( 2x1 + 2x ) + ( x1x − ) = 4x12 + 4x 22 x12 + x 22 x12 + 16 = x12 + x 22 + 2 ) Do x1 ; x số nguyên nên x12 + 4; x22 + số nguyên dương lớn Từ ta m + n hợp số Nhận xét: Qua ví dụ ta có số khai thác sau • Xét 2m = a + b; 2n = a − b , từ m + n = a + b2 Từ ta phát biểu lại ví dụ sau: Cho phương trình 4x + ( a + b ) x + ( a − b ) + 16 = (x ẩn số a, b số nguyên) Giả sử phương trình có nghiệm số nguyên Chứng minh a + b2 hợp số • Ta có tốn tương tự tốn ví dụ 6: Giả sử phương trình bậc hai x2 + ax + b + = (với a, b số nguyên b  −1 ) có hai nghiệm số nguyên khác Chứng minh a + b hợp số Ví dụ Giả sử phương trình 2x2 + 2ax + − b = có hai nghiệm nguyên (với a, b tham số) Chứng minh a2 − b2 + số nguyên khơng chia hết cho Phân tích hướng dẫn giải Tương tự ví dụ trên, ta áp dụng định lí Vi – et để giải tốn Phương trình cho có nghiệm nguyên x1 ; x nên theo định lí Vi – et ta có x1 + x = −a , từ suy a số nguyên Như từ phương trình ta b = 2x2 + 2ax + số nguyên lẻ nên a2 − b2 + số nguyên Để chứng minh a2 − b2 + không chia hết cho 3, ta sử dụng phương pháp phản chứng sau Giả sử a2 − b2 + chia hết cho 3, ta a − b + = 3n ( n  Z ) nên a2 = b2 − + 3n Vì b số nguyên lẻ nên b có dạng b = 6m  1; b = 6m + với m nguyên + Trường hợp b = 6m  , ta ( ) a = ( 6m  1) + 3n − = 12m  4m + n − + 2 Do a chia cho dư 2, điều trái với nhận xét nên trường hợp không xẩy + Trường hợp b = 6m + , ta ( ) a = ( 6m + ) + 3n − = 12m + 12m + n + + Vì phương trình cho có hai nghiệm nguyên nên  ' số phương nên ta ( )  ' = a − ( − b ) = 12m + 12m + n + + + ( 6m + − 1) ( ) = 12m + 12m + n + + Ta thấy  ' chia dư nên khơng thể số phương Vậy a2 − b2 + khơng thể chia hết cho Từ ta a2 − b2 + số nguyên khơng thể chia hết cho Nhận xét: Có hai điểm mà học sinh cần ý giải tốn • Để chứng minh a2 − b2 + số nguyên ta cần a b nguyên, với a nguyên ta cần áp dụng hệ thức x1 + x = −a được, nhiên ta lại áp dụng định lý Vi – et để b nguyên được, ta cần đến phương trình cho với x a nhận giá trị ngun • Ngồi phương pháp phản chứng, ta chứng minh a2 − b2 + chia hết cho cách cách khác xét số dư số a b chia cho 3,… Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình sau: ( ) x3 + x2 y + xy + y = x2 + xy + y + Phân tích hướng dẫn giải Lời giải Để ý ta thấy phương trình có tính đối xứng x y nên suy nghĩ tiếp cận phương trình đặt a = x + y, b = xy để đưa phương trình dạng ẩn a, b Chú ý theo định lí Vi – et x y nghiệm phương trình X2 − aX + b = Như cần tìm nghiệm ( a; b ) tốn giải ... vi? ??c sử dụng kiến thức số học lại không đem lại hiệu quả, định lí đại số lại cho ta lời giải đẹp Có thể nói hai ví dụ chưa cho học sinh thấy rõ nét ứng dụng định lí Vi – et giải tốn số học Vì... Ví dụ toán nghiệm nguyên vi? ??c sử dụng định lí Vi – et giúp ta có lời giải ngắn gọn dễ hiểu Thông thường với toán nghiệm nguyên ta hay ý đến sử dụng kiến thức số học để giải Tuy nhiên ví dụ vi? ??c... Ta biết số nguyên tố vi? ??t thành tích hai số thừa số thừa số Để ý ta lại thấy theo hệ thức Vi – et x1x = n Do tự nhiên ta nghĩ đến sử dụng hệ thức Vi – et giả tốn Thật theo định lí Vi – et ta x1