Dinh ly vi et

Chuyên đề 4: Hệ thức Vi-ét ứng dụng I.Lí thuyết 1.Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn: Phương trình bậc hai ẩn x phương trình có dạng: ax2  bx  c  1 Trong đó, a,b,c số cho trước a  Cơng thức nghiệm phương trình (1):   Biệt thức   b  4ac (  '  b'  ac với b = 2b') + Nếu   (hoặc '  ): Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1  b     hay 2a  x2  b    b '   '   hay x2    2a  a  x1  b '   '  ;   a  + Nếu   (hoặc  '  ): Phương trình (1) có kép (nghiệm nhất) b  x1  x2   hay 2a  b'  x1  x2   a  + Nếu   (hoặc  '  ): Phương trình (1) vơ nghiệm Hệ thức Vi-ét: Nếu x , x hai nghiệm phương trình (1) thì: b  S  x1  x2    a   P  x x  c  a   S  x1  x2 Đảo lại: Nếu hai số x1 , x2 thỏa mãn:  x1 , x2 nghiệm phương trình:  P  x1.x2 x  S x  P  Các hệ thức liên hệ hai nghiệm thường vận dụng để giải toán: 2 1) x1  x2   x1  x2   x1.x2 3 2) x1  x2   x1  x2   3x1 x2  x1  x2  Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang  4 2 3) x1  x2  x1  x2 4) x1  x2    x1  x2   x12 x22    x  x   x1  x2   x1.x2 2  x1.x2   x12 x22 x1 x2 x12  x22 ( x1  x2 )  x1.x2    5) x2 x1 x1.x2 x1.x2 1 x12  x22  x1  x2   x1.x2 6)   2  x1 x2 x1 x2  x1.x2  7)  x1  x2    x1  x2   x1.x2 2 II.Bài tập Dạng 1: Tìm điều kiện tham số (m) thỗ mãn điều kiện nghiệm phương trình Cho phương trình:  m  3 x  2mx  m   (1); m tham số Nhận xét: Xác định hệ số a  m  3; b  2m; c  m  VD1: Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Ta có: Nếu m = p/trình (1) trở thành: -6x + = có nghiệm x  Nếu m  phương trình (1) phương trình bậc hai Phương trình (1) có nghiệm  '   (-m) - (m - 3).(m + 2)   m +   m  -6 Vậy phương trình (1) có nghiệm với m  -6 VD2: Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Ta có Nếu m = phương trình (1) p/trình bậc -6x + = có nghiệm x = Nếu m  phương trình (1) phương trình bậc hai Phương trình (1) có nghiệm  ' =  m + =  m = -6 Vậy phương trình (1) có nghiệm m = m = -6 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang VD3: Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  m    '   m   m   m    m  6  Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m  m > -6 VD4: Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm kép Phương trình (1) có nghiệm kép  m    '  m   m     m    m  6  m = -6 Vậy với m = -6 phương trình (1) có nghiệm kép VD5: Tìm giá trị m để phương trình (1) vơ nghiệm Ta có: Nếu m = p/trình (1) trở thành -6x + = có nghiệm x = Nếu m  phương trình (1) phương trình bậc hai phương trình (1) vơ nghiệm  m    '   m   m    m   m  6  m < -6 Vậy phương trình (1) vô nghiệm m  m < -6 VD6: Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = -2 Thay x = -2 vào phương trình (1) ta (m - 3) (-2) - 2m(-2) - + =  4m -12 + 4m =  8m = 12  m = Vậy với m = 3 phương trình (1) có nghiệm x = -2 Bài tập áp dụng có lời giải: Bài 1: Tìm m để phương trình x2   m  1 x  m2  3m   vơ nghiệm Hướng Dẫn: Phương trình cho vơ nghiệm   '    m  1  m  3m    m2  2m   m  3m    m    m  Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Vậy với m  phương trình cho vơ nghiệm Bài 2: Cho phương trình : x2   m  1 x  m  Tìm m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm lại Hướng Dẫn: Thay nghiệm x  vào phương trình ta được: 22   m  1.2  m    2m   m   3m   m  x  1 Thay m  vào phương trình ta được: x  x     x  Vậy với m  phương trình cho có nghiệm 2, nghiệm lại x  1 Bài 3: Cho x1 , x2 hai nghiệm phươngtrình x  3x   Hãy lập phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm 2x1   x2  2x2   x1 2 Hướng Dẫn: Phương trình x  3x   có nghiệm x1 , x2 ( gt ) nên áp dụng định lý Viet ta có:  x1  x2    x1 x2  Xét tổng tích sau: 2 P   x1   x2    x2   x1    x1 x2  x13  x23   x1 x2      x1 x2   x13  x23    x1 x2   x1 x2   x1  x2   3x1 x2  x1  x2     x1 x2     4.1  33  3.1.3  12  31 S  x1   x2   x2   x1    x1  x2    x12  x22  2   x1  x2    x1  x2   x1 x2   2.3  32  2.1  1   Ta có: S   1   P  124  2x1   x2  2x2   x1  hai nghiệm phương trình 2 X  SX  P   X  X  31  Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Bài 4: Cho phương trình x  mx  2m2  3m   (với m tham số) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Hướng Dẫn: Phương trình x  mx  2m2  3m   có a   0, b  m, c  2m2  3m  Ta có:   b  4ac   m   4.1 2m  3m    9m  12m    3m    2 Vì  3m    0, m   3m     0m hay   0m nên phương trình cho 2 ln có hai nghiệm phân biệt với m Bài 5: Cho phương trình x2   m  2 x   (1) với m tham số a)Giải phương trình (1) với m  b)Chứng minh với giá trị m phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Hướng Dẫn: a)Với m  , ta có 1 trở thành x  x    '    phương trình có hai nghiệm x1  1  7, x2  1  b)Ta có ac  6  nên với giá trị m phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt Bài 6: Cho phương trình bậc hai:  2m  1 x   m   x  5m   với m tham số, m  a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 b) Tính theo m giá trị S  x  x ; P  x x 12 Hướng Dẫn:  ' 2 a)    m     2m  1 5m    9m  9m  18  9 m  m  2  9  m  1 m   Phương trình có hai nghiệm phân biệt '    m  1 m     1  m  Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang  Vậy với 1  m  ; m  , phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 m  4 c 5m  b) Áp dụng định lí Vi-ét ta có S   b   ; P=  a 2m  a 2m 1 Bài 7: Cho phương trình x2  6x  m  (với m tham số) Tìm tất giá trị m đểphương trình cho có hai nghiệm phân biệt Hướng Dẫn: Ta có:  '   m   m Đểphương trình cho có hai nghiệm phân biệt  m   m  Bài 8: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1) + m – = (1) a)Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối Hướng Dẫn: a)x2 – 2(m – 1) + m – = (1)  '  [  (m 1)]2  (m  3)  m2  2m   m   m2  3m  3 7  m2  2m  ( )2   (m  )2   0m 2 4 Vậy phương trình (1) có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Theo chứng minh câu a ta có phương trình (1) có nghiệm phân biệt với giá trị m Theo định lý Viet ta có: x1 + x2= 2(m-1) Mà x1;x2 nghiệm đối nên: x1+x2=2(m-1)=0m=1 Vậy m =1 phương trình (1) có nghiệm đối Bài 9: Tìm tham số m để phương trình: x2 + 2(m + 1)x + 2m2 + 2m +1 = vô nghiệm Hướng Dẫn: Phương trình: x2 + 2(m + 1)x + 2m2 + 2m + = (a = 1; b = 2(m +1) ; c = 2m2 + 2m + ∆’ = (m +1)2 - 2m2 – 2m – = m2 + 2m + – 2m2 – 2m – = -m2 ≤ với m Vậy phương trình vơ nghiệm m ≠ Bài 10: Tìm giá trị m để phương trình x  2(m  1) x  m2   có nghiệm kép Tìm nghiệm kép Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Hướng Dẫn:  '  (m 1)  (m2  3)  2m  Phương trình có nghiệm kép   '  2m    m  2 Nghiệm kép : x1  x2  m  Vậy m  - phương trình có nghiệm kép x1  x2  1 2 Bài 11:Cho phương trình ẩn x: x  2mx  m  m   (với m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép với m vừa tìm Hướng Dẫn: Cho phương trình ẩn x x  2mx  m  m   (với m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép với m vừa tìm  '  m  m  m  = m-1 Phương trình có nghiệm kép   ' =0 m-1=0 m=1 Nghiệm kép : x1  x2  1 Bài 12: Cho phương trình x  2(m  1) x  2m  m  (m tham số) a)Giải phương trình m = b)Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Hướng Dẫn: a) Khi m = phương trình trở thành: x2 + 4x – = ’ = 22 +1 = >0 => Phương trình có nghiệm phân biệt: x1  2  5; x  2  b) Ta có:  '  2m  2m   2m  2m  1  2m  2m  2 1  2(m  )  2(m  )  0m 2 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang  m   (VN ) Nếu:  '    m    Do ’ 0,  m Vậy p/trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Bài 13: Cho phương trình bậc 2: x  (2m  1) x  m2  (1) a)Giải phương trình với m = b)Với giá trị m phương trình (2) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép Hướng Dẫn: Cho phương trình bậc 2: x  (2m  1) x  m2  0(1) a)Giải phương trình với m = 1: Thay m = ta có PT: x  x     (3)2   PT có nghiệm x1  3 3 ; x2  2 b)Với giá trị phương trình (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép   (2m  1)2  4m2  4m2  4m   4m2  4m  Phương trình (1) có nghiệm kép  0  m   Với m   b 2m  1   phương trình có nghiệm x   2a Bài 14: Cho phương trình bậc hai: x  2(m  1) x  m2  0(1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Hướng Dẫn: x  2(m  1) x  m2  0(1) Phương trình (1) có nghiệm   '   [  (m  1)]2  m   m  2m   m   2m    m  1 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Vậy m  1 pt (1) có nghiệm Bài 15: Cho phương trình: –3x2 + 2x + m = với m tham số a)Giải phương trình m = b)Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Hướng Dẫn: a)Với m = ta có phương trình: 3 x  x    (1  x)(3 x  1)  x     x  1  Vậy tập nghiệm phương trình cho { 1 ;1} b)Phương trình có hai nghiệm phân biệt  '  12  (3).m    3m   m  1 Dạng 2: Tìm giá trị tham số (m) để phương trình có nghiệm thoã mãn hệ thức cho trước VD1: Cho phương trình: x  x    có hai nghiệm x1; x Tính giá trị biểu thức: x1  x 3 Hướng Dẫn: Ta có:     2     2  1  Phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x  1 Theo hệ thức Vi-ét:     x1.x  2    Ta có: x13  x   x1  x   3x1x  x1  x    1  2   1 3  x13  x 23  7  VD2: Cho phương trình x   m  1 x  m  (1) (với m tham số) Tìm m để PT có hai nghiệm x1 , x cho: x12  x 2  x1x  13 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Hướng Dẫn: Ý 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm Ta có   8m  Để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 8m    m   (*) Ý 2: Sử dụng định lí Vi-ét để tìm tổng tích nghiệm Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình (1)  x1  x  2  m  1 Theo định lí Vi-ét:   x1.x  m Ý Biến đổi biểu thức nghiệm phương trình x12  x 2  x1x  13   x1  x   3x1x  13   2  m  1   3m  13  m2  8m    2 Giải phương trình (2) tìm hai nghiệ m: m1  1; m2  9 Đối chiếu điều kiện (*) Vậy m=1 VD3: Cho phương trình x   m  1 x  2m  (1) (với m tham số) Chứng minh PT ln ln có hai nghiệm x1 , x , tìm tất giá trị m cho: x12  x1  x   2m Hướng Dẫn: Chia toán thành ý Ý 1: Chứng minh phương trình có hai nghiệm Ta có   4m2  Vì m2  0, m  4m2  0, m  4m2   0, m Suy   m Do PT (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt, với giá trị m Ý 2: Sử dụng định lí Vi-ét để tìm tổng tích nghiệm Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình (1)   x  x   m  1 Theo định lí Vi-ét:    x1.x  2m Ý Biến đổi biểu thức nghiệm phương trình x12  x1  x   2m Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 b)Tìm tất giá trị m để phương trình 1 có hai nghiệm x1 , x2 cho biểu thức S   x1  x2   x1 x2 đạt giá trị lớn Hướng Dẫn: a)Ta có m  phương trình (1) thành x  x   (*) Phương trình có dạng a  b  c  nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là: x1  1; x2  4 Vậy m  S  4; 1 b) Phương trình có nghiệm     25   m     m  17  x  x  5 Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:   x1 x2  m  S   x1  x2   x1 x2  x12  x22  x1 x2   x1  x2   x1 x2   5    m    4m  17 Vì m  17 17  4m  17   17  34 4 Vậy MaxS  34  m  17 Bài 5: Chứng minh phương trình x   m  1 x  2m  ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x12  x22 Hướng Dẫn: Ta có  '   m  1   2m    m  2m   2m   m  4m    m     0m 2 nên phương trình cho ln có hai nghiệm với m  x  x  2(m  1) Theo định lý Vi-et ta có:   x1 x2  2m  Theo đề ta có : A  x12  x22   x1  x2   x1 x2  A   m     m    m  8m   m   4m2  12m  12   4m2  12m      2m    Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 118 Ta có:  2m  3  0m  A   2m  3   3m  A  2 Dấu "  " xảy  2m    m  Vậy Amin   m  3 Bài 6: Cho phương trình bậc hai x  x  m  với m tham số a) Tìm m để phương trình có nghiệm x  2 Tính nghiệm cịn lại ứng với m vừa tìm b) Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm giá trị nhỏ A  x12  x22  3x1 x2 Hướng Dẫn: a) Khi phương trình có nghiệm x  2 ta có: (2)  3.(2)  m   m  10  x  2 x   Phương trình: x  x  10    Vậy với m  10 phương trình có nghiệm x  2; x  b) x  3x  m  (1)    3  4m   4m Để phương trình có nghiệm     4m   m   x1  x2  Khi m  Áp dụng Vi-ét    x1 x2  m A  x12  x22  x1 x2  ( x1  x2 )  x1 x2  32  5m   5m Có m   5m  Vậy Min A   45 9   5m   A 4 9 m 4 Bài 7: Cho phương trình x  2(m  2)x  m2  3m   (1) (m tham số) a) Giải phương trình (1) m  Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 119 b) Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1;x cho biểu thức A  2018  3x1x2  x12  x22 đạt giá trị nhỏ Hướng Dẫn: a)Với m  phương trình (1) là: x  x  10x  16   (x  2)(x  8)    x  S  2;8 b)Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  '   (m 2)2  m2  3m    m    m  6 Với m  6 , áp dụng định lý Vi-et ta có: Ta có: A  2018  3x1x2  x12  x22  2018  3x1x  (x1  x )2  2x1x   2018  5(m2  3m 2)  4(m 2)2  m2  m  1992 7967  (m  )2  A 7967 Vậy A đạt giá trị nhỏ m = 1/2 Bài 8: Cho phương trình x  mx  m   ( m tham số) Giả sử x1 ; x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  x1 x2  x  x22  2( x1 x2  1) Hướng Dẫn: Phương trình x  mx  m   có   m2  4(m  1)  m2  4m   (m 2) Phư ơngtr ìnhluôncóhai nghiệm x1; x2 ví i mäi m  x1  x2  m Khi ®ãtheohƯthøcVi et tacã :   x1 x2  m  Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 120 B  x1 x2  x1 x2   2 x  x2  2( x1 x2  1)  x1  x2   x1 x2  x1 x2  2 x1 x2   x1  x2  2 hay B  2(m  1)  2m   m2  m 2 2m  4m   m   m    B   2 1   m 2 m2  m 2 Ta có:  m  2  0; m2    B    B  Vậy Bmin   1  m  2 Bài 9: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  2(m  1) x  2m   ( m tham số ) Tìm giá trị m để A  x1  x2  x1 x2 đạt giá tri nhỏ 2 Hướng Dẫn: Phương trình x  2(m  1) x  2m   có hai hai nghiệm x1 , x2    m  1  2m   m2   (luôn với m )  x1  x2  2m  Áp dụng định lý Viét ta có   x1 x2  2m  Suy A  x12  x22  6x1x2   x1  x2   x1 x2   2m  2   2m     m    40 Do A  40 , hay A đạt giá tri nhỏ m  Bài 10: Cho phương trình: x  (m  2) x  m   (ẩn x , tham số m ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho biểu thức A   x12  x22  x1 x2 đạt giá trị lớn Hướng Dẫn: x  (m  2) x  m   , Có    m  2  4(m  3)  m2  8m  16   m    2 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt    (m  4)2   m  Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 121  x1  x2   m Khi đó, áp dụng Vi-et ta có   x1 x2  m  A   x12  x22  x1 x2   x1 x2  ( x1  x2 )  x1 x2   x1 x2  ( x1  x2 )   6( m  3)  (2  m)   6m  18   4m  m A  m  10m  21  (m2  2.m.5  25  25  21)  (m  5)  Có (m  5)2  0, m  (m  5)2   4, m Dấu đẳng thức xảy m    m  (thỏa điều kiện m  ) Vậy Max A  m  Bài 11: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m - = (1) a)Giải phương trình (1) với m = b)Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (1) Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức : 2 A= x1  x2  x1 x2 Hướng Dẫn: a) Khi m = 1, phương trình (1) trở thành: x2 – = x2=5x=  Vậy m = 1, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1  5; x2   b) Phương trình (1) có ∆’ = [-(m – 1)]2 - 1.(2m – 7) = m2 – 2m +1 – 2m + = m2 – 4m + = (m – 2)2 + > , ∀ m Vậy phương trình ( ) ln có nghiệm phân biệt với m  S  x1  x2  2m  c)Áp dụng hệ thức Vi –ét cho phương trình (1 ):   P  x1.x2  2m  2 Theo đề bài: A  x1  x2  x1 x2  ( x1  x2 )  x1 x2 =(2m – 2)2 – (2m – 7) = 4m2 – 8m + – 2m + = 4m2 – 10m + 11 = ( 2m  ) + 19 19  4 5 A đạt GTNN khi: ( 2m  ) =0 2m  =0m= Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 122 Vậy m= Amin  19 Bài 12: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (1) (m tham số) a)phương trình (1) m = b)Tìm giá trị nhỏ với x1; x2 nghiệm phương trình (1) Hướng Dẫn: a) Khi m = 2, thay m = vào phương trình (1) ta có: x  2(2  1) x  2.2    x  x  x    x  Vậy với m = p/trình cho có nghiệm phân biệt x1 = 0; x2 = b)Phương trình (1) có:  '  (m  1)  1(2m  4)  m  4m   (m  2)   0m  R Vậy với m phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt x1; x2  x1  x2  2(m  1) Theo hệ thức Vi – ét ta có:   x1 x2  2m  P  x12  x12  ( x1  x2 )  x1 x2  [2(m  1)]2  2(2m  4)  4(m  2m  1)  4m   4m  12m  12  (2m  3)   Vậy giá trị nhỏ P 2m – = m  Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 = có hai nghiệm x1 x2 Tìm m để biểu 2 thức C  x1  x2 đạt giá trị nhỏ Hướng Dẫn: Phương trình cho có hai nghiệm Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 123   '  (m  1)  ( m  10)   m  11   m  11 Theo Vi–ét ta có x1 + x2 = 2(m + 1); x1x2 = m2 – 10 Suy ra: C  x12  x2  ( x1  x2 )  x1 x2  4(m  1)  2(m  10)  2m  8m  24  2(m  2)  16  16  C  16 Dấu xảy m = –2 (thỏa mãn) Vậy giá trị nhỏ C 16 m = –2 Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m – = (1), (x ẩn, m tham số) a)Giải phương tình với m = b)Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị 2 m Tìm m để biểu thức P  x1  x2 đạt giá trị nhỏ Hướng Dẫn: x2 – 2(m – 1)x + m – = (1) a)Với m = 2, ta có: (1)⇔x2 – 2x – = ⇔(x – 3)(x + 1) = ⇔x = x = –1 Vậy tập nghiệm phương trình S = {–1;3} b)Phương trình (1) có ∆’ = (m – 1)2 – (m – 5) = (m2 – 2m + 1) – (m – 5) = m2 – 3m + 15  (m  m  )  4 15  (m  )   0m Vậy ∆’ > ∀ m, phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 *Theo định lí Vi–ét,ta có: x1 + x2 = 2(m – 1) x1x2 = m – Ta có: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 124 P  x12  x2  ( x1  x2 )  x1 x2  [2(m  1)]2  2( m  5)  4(m  2m  1)  2m  10  4m  8m   2m  10  4m  10m  14 25 31 31 31  4(m  m  )   4(m  )   16 4 4 Dấu xảy  m  5   m  4 31  m  4 Vậy P đạt giá trị nhỏ Bài 15: Cho phương trình x2  (3m + 1)x + 2m2 + m  = (1) với m tham số a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (1) Tìm m để biểu thức B = x12 + x22  3x1x2 đạt giá trị lớn Hướng Dẫn: Với m tham số, phương trình x2  (3m + 1)x + 2m2 + m  = (1) Có  = [(3m + 1)]2  4.1.( 2m2 + m  1)  9m  6m   8m  4m   m  2m   (m  1)   0m Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b/ Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (1) Ta có x1 + x2 = 3m + 1; x1x2 = 2m2 + m  B  x12  x2  x1 x2  ( x1  x2 )  x1 x2  (3m  1)  5(2m  m  1)  m2  m   (m  m  6) 25 25  ( m  )   4 Dầu “=” xảy  m  1   m  2 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 125 Vậy Bmax  25 m= Bài 16: Cho phương trình x2- 2(m-1)x+m2-3m=0 (x ẩn số, m tham số) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  x12  x2  Hướng Dẫn: Phương trình x2- 2(m-1)x+m2-3m=0 (x ẩn số, m tham số) 1. '  [  (m  1)]3  1.(m2  3m)  m2  2m   m2  3m  m  Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt  '   m1   m  1  x1  x2  2(m  1) 2.Theo Vi-ét:   x1 x2  m  3m B  x12  x2   ( x1  x2 )  x1 x2   [2(m  1)]2  2( m  3m)   4m  8m   2m2  6m   2m  2m  11 21 21  2(m  )   2 => Bmin  21 Dấu “=” xảy m  2 Bài 17: Cho phương trình bậc hai ẩn x m tham số x2 - 4x - m2 = a) Với m phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1; x2 2 b) Tìm m để biểu thức A = | x1  x2 | đạt giá trị nhỏ Hướng Dẫn: a)x2 – 4x – m2 = (*) Với m phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Biệt thức ∆’ = + m2 > ; ∀ m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b)Theo đề ta có x1 + x2 = ; x1x2 = -m2 A | x12  x2 || x1  x2 || x1  x2 | | x1  x2 | A  (x1  x2 )  ( x1  x2 )  x1 x2  42  4(m)  16  4m2  16  16 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 126 Vậy giá trị nhỏ A 16 m = Bài 18: Cho phương trình x  (2m  5) x  2m   (1), với x ẩn, m tham số a) Giải phương trình (1) m   b)Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt x1 , x2 cho biểu thức P  x1  x2 đạt giá trị nhỏ Hướng Dẫn: a)Với m   phương trình (1) trở thành x2  x   Vậy m   x  x   phương trình có hai nghiệm x  x  b) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt    2m  2   2m  1    x1  x2  2m    x x  2m    2 Ta có    2m  5   2m  1  4m  12m  21   2m  3  12  0, m  R Giải điều kiện m   (*) Do P  nên P đạt nhỏ P nhỏ 2 Ta có P   x1  x2   x1 x2  2m   2m     2m     (m   ) , suy P  (m   ) P  m  (thoả mãn (*)) Vậy giá trị nhỏ P m  Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 127 2 Bài 19: Cho phương trình : x  2mx  m   1 , với m tham số a) Giải phương trình 1 m  b) Tìm giá trị m để phương trình 1 có hai nghiệm x1 , x2 cho biểu thức A  x1 x2  x1  x2  đạt giá trị lớn Hướng Dẫn: a) Với m  , ta có x  x    x  b) Phương trình 1 có hai nghiệm x1 , x2  '   2  m  1  x1  x2  m  Theo Vi-et , ta có:  m2   x1.x2    2 Theo đề ta có: A  x1 x2  x1  x2   m2   m    m  3 m   Do 2  m  nên m   , m   25 25   Suy A   m   m  3  m  m     m    2 4  Vậy MaxA  25 m  Bài 20: Tìm giá trị tham số thực m để phương trình: x2 + ( 2m – )x + m2 – = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 cho biểu thức P = ( x1 )2 + ( x2 )2 đạt giá trị nhỏ Hướng Dẫn: Để phương trình: x2 + ( 2m – )x + m2 – = có hai nghiệm phân biệt x1, x2    4m    m  Với m  phương trình có nghiện phân biệt x1, x2 theo hệ thức vi ét Ta có: x1 + x2 = 1-2m ; x1.x2 = m2 – Nên P = ( x1 )2 + ( x2 )2 = (x1 + x2 )2 – 2x1.x2 = ( 1-2m)2 – 2(m2 – 1) = 1-4m+4m2-2m2+2 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 128 =2m2-4m+2+1 = 2( m – )2 +  Đẳng thức xảy  (m  1)   m  (thỏa đk) Pmin = m = < Vậy với m=1 biểu thức P đạt giá trị nhỏ Bài 21: Cho a, b hai số thực tùy ý cho phương trình x  4ax  b   có nghiệm x1 , x2 Tìm GTNN biểu thức: P  ( x1  x2 )  b( x1  x2 )  x1 x2   2b( x1  x2 ) a2 Hướng Dẫn: Điều kiện a  Phương trình cho có nghiệm t     '   a  b   x1 + x2 = -a  Theo hệ thức Vi-et, ta được:  -b + x x =   Ta có: P = (x1 + x2 )2 +b(x1 + x2 ) - 8x1 x2 + 1+ 2b(x1 + x2 ) 1- 2ab = a - ab+ 2b - + a a2 1- 2ab  1 2   1 =  a - ab+b  +  b +  - =  a+b  +  a - b  +  b -  - 4³  a +b  - 4³ - a  2   a 2 a = b  a = b = 1  Đẳng thức xảy b =   a  a = b = -1  a +b =  Vậy MinP= -3 2 Bài 22: Tìm giá trị tham số m để phương trình x  ( 2m  1)x  m   có hai nghiệm x1 ; x2 cho biểu thức P  x12  x22 đạt giá trị nhỏ Hướng Dẫn: Xét phương trình x  (2m  1) x  m2   có   (2m  1)2  4.1.(m2  1)  4m  Để phương trình có hai nghiệm phân biệt    4m    m  Khi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình cho, theo hệ thức Vi-et ta có: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 129  x1  x2   2m  x x  m   Khi đó: x12  x22  ( x1  x2 )2  2x1x2  (1  2m)2  2(m2 1)  2m2  4m   2(m 1)2   Vậy x12  x22 đạt giá trị nhỏ m = (thỏa điều kiện m  ) Vậy giá trị m cần tìm Dạng Tìm hệ thức kiên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số Ví dụ 4.1 Cho phương trình: x2  mx  2m   có hai nghiệm x1 , x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Ý 1: Sử dụng định lí Vi-ét để tìm tổng tích nghiệm Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình (1)  x1  x  m  I  Theo định lí Vi-ét:     x1.x  2m   II  Ý Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Từ phương trình (I): m  x1  x2 thay vào phương trình (II) ta được: x1.x2   x1  x2    x1.x2   x1  x2   Vậy hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: A  x1.x2   x1  x2    B (với A,B số cho trước) Ví dụ 4.2 Cho phương trình: x   2m   x  m   có hai nghiệm x1 , x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Ý 1: Sử dụng định lí Vi-ét để tìm tổng tích nghiệm Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình (1)  x  x   2m    I  Theo định lí Vi-ét:    x1.x  m   II  Ý Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m Từ phương trình (I): m  x1  x2  thay vào phương trình (II) ta được: 2  x  x 5 x1.x2      x1.x2   x1  x2    4    x1.x2   x1  x2   10  x1  x2   25  4   x1  x2   x1 x2  10  x1  x2   21 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 130 x  x2   10  x1  x2   21 Vậy hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: A  x1  x2   10  x1  x2    B (với A,B số cho trước)   Bài tập tự luyện có giải Bài 1: Cho phương trình x  2(m  1) x  2m  (m tham số) 1)Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm dương 3) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Hướng Dẫn: Phương trình x  2(m  1) x  2m  (m tham số) 1)   4m   với m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt 2)Để phương trình có hai nghiệm dương mà ∆ > với m ta phải có: P   2m  m       m   S  2(m  1)  m  1 3)Theo Viet: S = 2m + 2; P = 2m Suy ra: S – P = ⇔ x1 + x2 – x1x2 = hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 2: Chứng minh phương trình x  2(m  1) x  m   ln có hai nghiệm phân biệt x1;x2 biểu thức M  x1 (1  x2 )  x2 (1  x1 ) không phụ thuộc vào m Hướng Dẫn: Phương trình x  2(m  1) x  m   Phương trình có :  '  (m  1)  1.(m  4)  m2  2m   m  m  m  19  (m  )   0m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m  x1  x2  2m  Theo Vi-et ta có:   x1 x2  m  Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 131 M  x1 (1  x2 )  x2 (1  x1 )  x1  x1 x2  x2  x1 x2  x1  x2  x1 x2  2m   2(m  4)  2m   2m   10 =>không phụ thuộc vào m Bài 3: Cho phương trình bậc hai x  2(m  1) x  m   Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phận biệt x1;x2 Tìm hệ thức liên hệ x1;x2 không phụ thuộc vào m Hướng Dẫn: Cho phương trình bậc hai x  2(m  1) x  m   Phương trình có:  '  (m  1)  1.(m  2)  m  2m   m   m2  3m  3 3  (m  )    (m  )   0m 2 Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1;x2 với m Khi đó,theo VI-ét ta có: x1  x2  2m  2; x1 x2  m  x1 x2  m   x1 x2  2m   A  x1  x2  x1 x2  (không phụ thuộc vào m) Vậy hệ thức liên hệ x1;x2 khơng phụ thuộc vào m A  x1  x2  x1 x2 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 132