TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA ĐỀ CÁC TỈNH

TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 – 2010) a) Cho x, y, z, a, b, c số dương Chứng minh rằng: b) Từ suy : xyz �3 (a + x)(b + y)(c + z) abc + 3  3  3  3 �2 3 Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011) 1 1 � (  ) a) Cho số dương a b Chứng minh : a  b a b 1    2010 x y z b) Cho số dương x, y, z thỏa mãn P Tìm giá trị lớn biểu thức: 1   2x  y  z x  y  z x  y  2z Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012) � 2 a) Chứng minh với x, y > : x  2y  xy  y  b) Cho số dương a,b,c với abc = Tìm giá trị lớn biểu thức: M 2 a  2b   2 b  2c   c  2a  Bài 4: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   xy , x, y số thực thoả mãn điều kiện: x 2013  y 2013  x1006 y1006 Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014) a b c   � Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: b  c c  a a  b Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y �3 a) Chứng minh xy  y �4 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  3xy y  Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016) 1   2  x  y  z Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn xyz � 64 Chứng minh Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017) 2 Cho m, n số thực thay đổi cho m  n �5 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q  m  n  mn  Hãy ln chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH Bài 9: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018) a) Với 00 thỏa mãn abc=1 Chứng minh Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz   x2   y   z   �xyz x y z Chứng minh rằng: Bài 20: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019) Áp dụng bất đẳng thức Ta có x  y � 2 x  y với số x, y không âm P �  a 3b  b 3c  c a  abc  ab  bc  ca  bca   P  ab  a b2 c  bc  a b2 c  ca  c 2 � ab  bc  ca   a  b  c  � P  ab bc ca   a P  a  b  c 2 b c  a2  �2  ab  bc  ca   a  b  c � � � � � 2 Dấu “=” xảy ra, chẳng hạn  a; b; c    2; 2;0  Vậy GTLN P Bài 21: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 – 2010) a)P = 3x2 + 11y2 – 2xy – 2x + 6y – Ta đưa PT bậc với ẩn x : 3x2 – 2x.(y + 1) + 11y2 + 6y – – P = (1) Để tồn nghiệm x PT (1) phải có:  '  32y  16y  4 3p �0 2 � 1� � 3p  �32y  16y  32�y  � �2  p � 4� 1 1 y  ;x  y  ;x 4 Vậy P nhỏ – 4 Đẳng thức xảy 2 b)Dự đoán dấu = xảy a = b = c = Từ ta áp dụng BĐT Cơ-Si sau: Hãy ln chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH bc c  2b  � a  c  2b 9abc 3a2 Ta có: ; … cộng theo vế biến đổi ta được: bc ca ab �1 1 � a  b  c   � �   � a  c  2b b  a  2c c  b  2a �a b c � 3abc (*) 1 1 1 a  b c  2 2�    6 a b c ab bc ca abc Mặt khác: nên từ (*) ta có: bc ca ab 6abc   �  2 a  c  2b b  a  2c c  b  2a 3abc Dấu = xảy a = b = c = t  min  ,  ,  c)Giả sử > ta có: �x �1 x y z y z � 1 � M  �t.�     � t x  y  z � � 3t y  z z x x  y �y  z z  x x  y � �x  y y  z z  x � M Đặt a = x + y; b = y + z; c = z + x ta được: Mmin  t 1 1� 9t 3t   � 3t �  3t   a  b  c � � 2 �a b c � a b c � �x  y  z 3t �� �� t  min  ,  ,  t  min  ,  ,  � � Bài 22: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012) Ta có : (x + y + 1)(x + y ) + x  y 2 = (x + y + 1)(x2 + y2) - ( x + y) + ( x + y ) + x  y = ( x + y )( x2 + y2 ) + (x2 + y2) - ( x + y) + ( x + y ) + x  y = ( x + y ) (x2 + y2 – 1) + (x2 + y2) + ( x + y ) + x  y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương : x + y �2 xy = x2 + y2 �2xy = ( xy = ) Dấu “ = “ xảy � x = y = Dấu “ = “ xảy � x = y = ( x + y ) + x y �4 Dấu “ = “ xảy � (x + y)2 = � x = y = Do : (x + y + 1)(x2 + y2) + x  y �2.(2 – 1) + + = Dấu “ = “ xảy � x = y = Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2014 – 2015) x y z   Từ giả thiết = x + y + z , ta có : P = x  y  z x  y  z x  y  z Đặt a = 2x + y + z ; b = x + 2y + z ; c = x + y +2z � a , b, c > Ta có : a + b + c = 4( x + y + z) = (a – x) = 4(b – y) = 4(c – z) Hãy ln chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH 3a  (b  c) Từ a + b + c = 4(a – x) � x = 3b  (c  a ) 3c  (a  b ) 4 Tương tự : y = ; z= 3a  (b  c) 3b  (c  a ) 3c  ( a  b) 4a 4b 4c Ta có : P = + + �b a � bc ca ab � � � 4P = ( - a ) + ( - b ) + (3 - c ) = - �a b �- �b c � � � �c b �- �c a � � � �a c ��9 – =3 � P �4 Dấu « = » xảy � a = b = c = � x = y = z = 3 Vậy Pmax = � x = y = z = Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017) Áp dụng BĐT Cô si cho số dương x yz, ta có: 1 1  2 x  yz x yz x yz x + yz �2 x yz  x yz 1 1 1 � � 2 z xy y xz z  xy Tương tự, ta có: y  xz 1 1� 1 �   � �   � x  yz y  xz z  xy � x yz y xz z xy � � � (1) Suy ra: 1 yz  xz  xy   y xz z xy = xyz Ta có: x yz (2) Ta có: yz  Thật vậy: (*) �  x  y xz  xy � x + y + z (3) � yz  xz  xy �2 x  y  z   z  x   y  x  �0 (BĐT đúng) Dấu “=” xảy x = y = z 1 x yz 1   �    y xz z xy xyz yz xz xy (4) Từ (2) (3) suy ra: x yz 1 1 �1 1�   � �   � y  xz z  xy �xy yz zx � Từ (1) (4) suy ra: x  yz Bài 25: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017 – 2018) a)Ta có: p + q + r = � r = –p – q Khi đó: apq + bqr + crp = apq – (p + q)(bq + cp) = cp   a  c  b  pq  bq � cp   a  c  b  pq + bq �0 Do đó: apq + bqr + crp �0 (*) 2 a + b + c �2  ab + bc + ca  � - Nếu c = a + b �2ab (vì ) a=b Khi đó: (*) ۳ bq (Bất đẳng thức với b �0) - Nếu c �0 c > (vì c �0) Hãy ln chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH Khi đó: (*) � cp   a  c  b  pq + bq �0 � cp   a  c  b  2  a  c  b pq + 4c q  a  c  b  �2  a  c  b   a  c  b  q � 4bc   a  c  b  q �0 � c� p  pq + � c 4c 4c � � � � 2 2 � a  c  b �  ab + bc + ac    a  b  c  � c� p q � q �0 2c 4c � �  ab + bc + ac   a  b2  c2 q �0 a + b + c2 �2  ab + bc + ca  4c  4c q  bq �0  Ta có: (vì , c > 0) � acb � c� p q ��0 2c � � 2 2 � a  c  b �  ab + bc + ac    a  b  c  c� p q � q �0 2c 4c � � Vậy: (đúng với a,b c > 0) Từ hai trường hợp, ta có được: apq + bqr + crp �0 2 b)Ta có a, b > a.b = 1; mà a + b �2ab  � M   a + b + 1  a + b   �2 � 4 � � a + b + 1  �   a + b   a + b  a+b a+b � a+b� �  a + b  ab      a+b a = b; a, b > � � � a = b 1 � a + b = 4; a.b =   Dấu “=” xảy � Vậy GTNN M a = b = Bài 26: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018– 2019) 3 Đặt P = a b   b c   c a  suy 3 2P = 2a b   2b c   2c a  = 2a  b  1  b2  b  1  2b  c  1  c2  c  1  2c  a  1  a  a  1 �a  b    b  c    c  a   2 = ab  bc  ca   Q  Khơng tính tổng qt, ta giả sử b �c �a ta có b  a  c   c  b  �0 � abc  b 2c �ab2  bc � ab2  bc2  ca �abc  b 2c  ca ab ab �abc  b c  ca �2abc  b 2c  ca  c  a  b   4c 2 Do Q � a  b a  b �  a  b  c 4.33 � � c    4 � 27 � 2 � 27 27 Do 2P �10 � P �5 Dấu “=” xảy � a + b + c = 3, b �c �a , 2c = a + b, abc = 2abc � b = 0, c = 1, a = Bài 27: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018– 2019) Biến đổi biểu thức P ý đến x  y  ta Hãy chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH     P  2x4  x3 2y   y3 2x   2y4  2x4  2x3y  2y4  2xy3  x3  y3         x  y  x  xy  y   x     2x x  y  2y x  y  x3  y3  x3  y3  x3  y3 3 x y Khi ta có  x2  xy  y2  x  y Dấu xẩy  2    2xy � x  y  xy  xy  y x y    x y     2 1 xy 2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P , đạt Bài 28: ( HSG TĨNH GIA – THANH HÓA NĂM HỌC 2013– 2014) 2 2 2 x  xy  y x  xy  y Ta có : = 4( )+ ( x  2.xy  y ) 3 2 = (x+y) + (x-y) �4 (x+y)2 => x  xy  y � (x+y) 3 2 Tương tự : y  yz  z � (y+z) ; z  zx  x � (z+x) Cộng vế theo vế ta M � (x+y+z) = 2 Vậy M đạt giá trị nhỏ x = y = z = Bài 29: ( HSG TỈNH DAKLAK NĂM HỌC 2012– 2013) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 b �2b nên: a b2(a  1) b2(a  1) ab  b  ( a  1)  � ( a  1)   a  1 2 1 b b 1 2b ۳ a 1 b2 a  1 ab  b b bc  c �b  1 2 Tương tự ta có: 1 c (2) c ca  a �c  1 1 a (3) Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta được: a  b c  a  b  c  ab  bc  ca   �3 2 1 b 1 c 1 a (*) Mặt khác: 3(ab bc � ca  ) a b c a  b  c  ab  bc  ca Hãy ln chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH Nên (*) � a  b c    �3 1 b2 1 c2 1 a2 (đpcm) Dấu "=" xảy a  b  c  Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016– 2017) a) a b2  a  b   � x y x y � a  b2  (x, y >0) � a ( x  y ) b ( x  y)  � a  b  x y a2 y b2 x a2 y b2 x  � a  b  �  2ab  �0 x y x y �a y b x � ��  �0 � � x � y � � (đúng với x, y > 0) a b2  a  b   � x y x  y với x, y > Vậy: b) Ta có: Với x > 0, y > với x + y = x = – y y = – x; x y x y x y      2 1 x 1 y   x    x  (1  y)(1  y) y(1  x) x(1  y) Do x > 0, y > 0, Áp dụng Côssi cho số dương: x y x y  �2 y(1  x) x(1  y) y(1  x) x(1  y) x y 1  �2 2 2 y(1  x) x(1  y) (1  x)(1  y )  x  y  xy  xy �  x  y xy  ��� Do  2.  xy 2 4 xy  xy (1)  2 x y  � 2 Từ (1) (2) suy ra:  x  y Bài 31: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018– 2019) Ta có: a b c b c � �a    �4 �   � b c a �a  b b  c c  a � b c � �a � �b � �c � � a � �  1� �  1� �  1��4 �   � �b � �c � �a � �a  b b  c c  a � Hãy chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH � ab 4a bc 4b ca 4c      �0 b ab c bc a ca  a  b � b(a  b)  b  c  c(b  c )  c  a  a (c  a ) �0 Luôn a, b, c số dương Dấu xẩy a = b = c Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009– 2010) 2 a  b 1  � ab b Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức sau: a (1) 2 a  b 1 �  a  b �1  �  �  ۣ � ab ab b b� �a Thật vậy, ta có: a �1 � 2 2 �   �    �0 � �  ��0 b� a ab b a b � a ab b �a (hiển nhiên) 2 b  c 1  � bc c Tương tự (1), ta có: b (2) 2 c  a 1  � ca a c (3) 2 b  c 2 c  a 1 � 2 a  b �1 2�     �� ab bc ca b c� Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có: � a hay 1 � ab bc ca �1 2�   �� ab  bc  ca b c� �a 2 ab bc ca   �   b c ab bc ca hay a Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2012– 2013) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 b �2b nên: a b2(a  1) b2(a  1) ab  b  ( a  1)  � ( a  1)   a  1 2 1 b b 1 2b ۳ a 1 b2 a  1 ab  b Tương tự ta có: Hãy ln chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH b bc  c �b  1 1 c (2) c ca  a �c  1 1 a (3) Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta được: a  b c  a  b  c  ab  bc  ca   �3 2 1 b 1 c 1 a (*) Mặt khác: Nên (*) 3(ab bc � ca  ) � a b c a  b c  ab  bc  ca a  b c    �3 1 b2 1 c2 1 a2 (đpcm) Dấu "=" xảy a  b  c  Bài 34: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2008– 2009) Áp dụng BĐT Bunhiacopky ta có: P2 = [x2(y + z) + y2(x + z) + z2(y + x)]2 ≤ (x4 + y4 + z4)[(y + z)2 + (x + z)2 + (y + x)2] Mà: (x4 + y4 + z4)[(y + z)2 + (x + z)2 + (y + x)2] = 6[z2 + x2 + y2 + xy + xz + yz] 4 mà: 6[z2 + x2 + y2 + xy + xz + yz] ≤ 12(z2 + x2 + y2) ≤ 12 3(z + x + y ) = 36 P2 ≤ 36 => Pmax = x = y = z = Bài 35: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2010– 2011) � Gọi vế trái bất đẳng thức cần chứng minh P, ta cần chứng minh P Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho số dương, ta có: (1) a3 1 b 1 c a (1  b)(1  c)   �3 (1  b)(1  c) 8 64(1  b)(1  c) a3 1 b 1 c   � a (1  b)(1  c) 8 (2) � b3 1 c 1 a c3 1 a 1 b   � b   � c 8 (3) , (1  a)(1  b) 8 (4) Tương tự, ta có: (1  c)(1  a) Lấy (2) + (3) + (4) theo vế rút gọn áp dụng tiếp bất đẳng thức Cô si, ta được: 1 3 P  � (a  b  c)  � abc P 2 , đpcm (Dấu “=” xảy � a  b  c  ) Bài 36: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012– 2013) Ta có Tương tự , Vậy 2F Hãy ln chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH b3 b3   a  c  c3 c3   a  b  b2 �2 (2) a  b  c2 c2 �2 (3) a  b2  c2 Cộng vế với vế ba bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a3 a3   b  c  b3 b3   a  c   c3 c3   a  b  �1 Dấu “=” xảy a = b = c Bài 44: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2009– 2010) ViÕt l¹i: a �2 a ; 15 b A  (a  )  b  (  ) a 16 16 b b 1 15 15  � b� 16 b ; 16 25 A� , Dấu xảy a=1; b=4, KL Vậy Bài 45: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2013– 2014) Ta có: P �0 2x  y   �x  y   � �x  y   �� �� � x  my   x  my   (6  m) y   � � Xét hệ � � y � � m6 � �x  m  12 + Nếu m �6 hệ có nghiêm � m  Khi Pmin � y � � m6 � �x  m  12  đạt � m   5(t  + Nếu m  6 đặt x  y   t , ta có P  t  (2t  6)  5t  24t  36 12 t Đẳng thức xảy 36 12 Pmin  x  y 1   x ;y0 đạt (có thể chọn Khi ) 2 12 36 36 )  � 5 Bài 46: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG A NĂM HỌC 2010– 2011) 1  � a)Áp dụng bất đẳng thức x y x  y (với x,y > 0) 1 1 1 � (  ) �  Ta có: 2x+y+z 2x y  z ; y  z 4y 4z Hãy ln chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH 1 1 � (   ) 2x+y+z 2x 4y 4z (1) Suy ra: 1 1 � (   ) Tương tự: x+2y+z 4x 2y 4z (2) 1 1 � (   ) x+y+2z 4x 4y 2z (3) � Từ (1),(2),(3) 1 1 1   � (   ) 2x+y+z x+2y+z x+y+2z x y z � Dấu "=" xảy � x y z 1   �1 2x+y+z x+2y+z x+y+2z 2011 2011 b)Áp dụng bất đẳng thức CôSy cho x ,x 2009 số ta có: x2011  x2011  1 1  1�20112011 (x2 )2011 � 2x2011  2009 �2011x2 2011 Tương tự: 2y  2009 �2011y (2) 2z2011  2009 �2011z2 (3) 2011 Từ (1), (2), (3) (1) 2(x � x2  y2  z2 � y  z )  3.2009 2011 2011 2011 � x2  y2  z2 �3 Giá trị lớn M x = y = z = Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2010– 2011) Tìmgiá trị nhỏ A 4x+3 x2  4x+3 x2  4x+4 A  1 x 1 x2  Ta có: (x  2)2 A  1 �1 x 1 Dấu "=" xảy � x   � x  2 Vậy A  1 x = -2 Bài 48: ( HSG HUYỆN NGHĨA ĐÀN TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2011– 2012) Ta có A = Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: , , Mặt khác ta có: Từ suy ra: Hãy ln chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH suy ra: Vậy: A Bài 49: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015– 2016) a 1 b 1 c 1   �3 Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: b  c  a  Sử dụng bất đẳng thức Cô si b  a  1 b  a  1 a 1 b  ab  a   � a    a 1 2 b 1 2b Ta có: b  (1) b 1 c  bc c 1 a  ca �b   �c   2 2 Tương tự: c  (1) a  (3) a 1 b 1 c 1 a  b  c ab  bc  ca   �  3 2 Từ (1); (2) (3) suy ra: b  c  a  2 3(ab  bc  ca ) � a  b  c   Mặt khác a  b  c �ab  bc  ca hay a 1 b 1 c 1 a  b  c ab  bc  ca   �  3 3  2 Do đó: b  c  a  = a 1 b 1 c 1   �3 Vậy b  c  a  Dấu xảy a = b = c = Bài 50: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016– 2017) P Ta có  a.2 2a  a  b  a  c  a  b  a  c   b.2 b  b  c  b  a   c  c  b  c  a  1  c.2 4 b  c  b  a  4 c  b  c  a  � � 1 � � 1 � �1 �a �   b   c  � � � � � �a  b a  c � �4  b  c  b  a � �4  c  b  c  a � a 15 bc  15 Vậy GTLN P Bài 51: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018– 2019) 1   b c a (1  ) (1  )4 (1  ) a b c Ta có: b c a x  , y  , z  � x, y, z  0, xyz  a b c Đặt: 1 �P   4 (1  x ) (1  y ) (1  z ) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: P 1� 1 � P� �   3� (1  x) (1  y ) (1  z )2 � � Hãy ln chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: 2 � � x �� � �  � xy � � ��  x  � � � �� � y �� 1 x � � x � (1  xy )( x  y ) Tương tự: (1  y )   Từ BĐT ta có: 1  � 2 (1  x ) (1  y )  xy Dấu xảy x = y = 1 1 � 2 (1  z ) Tương tự: (1  z ) (1  1)  z � 1 z y   xy   x  y  1 1 1 z 1   �       2 (1  x) (1  y ) (1  z )  xy  z  z  z 4 3 P � , P  � x  y  z 1� a  b  c 16 16 Ta có: � 16 Vậy giá trị nhỏ P là: Bài 52: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013– 2014) Cho , chứng minh : Sử dụng bất đăng thức Côsi cho số dương ta có: b 9 �2 3 4b Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có: (3) Từ ta có (4) Từ (3) (4) suy (Đpcm) ( Dấu xảy ) Bài 53: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014– 2015) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  ac  bc  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 19a  19b  19c     b2  c2 1 a2 Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có T Hãy ln chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH ab  ac  bc �  a  b  c  �  b2  a  c2  � a  b  c �3 � a  b2  c  �  ab  ac  bc  �3  � �  a  b  c  �9 � a  b  c �3 19a  19b  19c  b c � �a  b  c  � �a    16 �   � 2 � �  � 2 2 1 b 1 c 1 a  b 1 c 1 a2 � �  b  c2  a2 � � a b c a 1 b 1 c 1 A   B   2  b  c  a  b2  c2  a Đặt T Ta lại có: b c � ab bc ca ab bc ac �a a bc  A  a bc�      �    2 � 2  b  c  a  b  c  a 2 2 � � a) A a b c (*) �a  b  c  � a  b  c 3 B  a b  c  3 �   �  b  c2  a � � b)    a  ab  a    b b  bc  b    c c  a 2c  c    a    b2  c2  a2 ab  b2 bc  c a c  a a  b  c    �   b2  c2 1 a2 2 abc B a b c 2 abc ۳ B  2 (**)       Từ (*) (**) ta có: � �a  b  c � � 16 A  3B �16 �  � �a  b  c  � � � 2� � 2� � 35 39 � T �  a b c  33 2 Vậy giá trị nhỏ T 33 Dấu “=” xảy a  b  c  Bài 54: ( THI VÀO LỚP 10 TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016– 2017) P biểu thức đối xứng nên ta dự đốn minP = m a = b = c = Ta tìm m 5 2 2a  ab  2b   a  b   a  b �  a  b 4 Ta có Dấu “=” xảy a = b Tương tự : 5 2  b  c   b  c �  b  c 4 Dấu “=” xảy b = c 5 2 2c  ca  2a   c  a   c  a �  c  a 4 Dấu “=” xảy c = a 2b  bc  2c  Hãy chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH Suy P�  2a  2b  2c    a  b  c  1� � 1�� 1�� 1� � a   b   c  � a  b  c � � � �� �� � 9 9� � 9�� 9�� 9� � � � Lại có 1 � abc � Dấu “=” xảy a = b = c =   a b c  � �P � � � �P  � a  b  c  � Do � Vậy minP = Bài 55: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012– 2013) Ta có a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên: a  b  c �0; b  a  c �0; c  a  b �0 Từ bất đẳng thức ta có: a  (b  c ) � a  b  c  2bc (1) b  (a  c ) � b  a  c  2ac (2) c  ( a  b) � c  a  b  2ab (3) Cộng bất đẳng thức (1), (2) (3) vế theo vế rút gọn ta được: a  b  c  2(ab  bc  ca) (4) Ta có a  b  c  � (a  b  c)  2 � a  b  c  2(ab  bc  ca )  � 2(ab  bc  ca)   (a  b  c ) (5) 2 2 2 Từ (4) (5) suy ra: a  b  c   (a  b  c ) Hay a2  b2  c2  (đpcm) Bài 56: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014– 2015) Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nên ta có bc abc�abc 0 1  � (x, y  0) x y x  y Áp dụng BĐT ta có 1  �  abc bca abcbca b 1  � bc a c  a b c Tương tự, 1  � a b c c  a b a Hãy chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH Cộng vế với vế BĐT ta 1 � � �1 1 � 2�   ��2 �   � �a  b  c b  c  a c  a  b � �a b c � 1 1 1 �   �   a  b  c b  c  a c  a  b a b c (đpcm) Bài 57: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014– 2015) Ta có: ( a  b ) �0 nên a  b �2 ab với a, b dương Từ giả thiết: 12 16 )  ( y  ) �3.6  2.6  2.4 x y P 19 minP = 19 x = 2, y = P  3( x  y )  (3x  38 Nên P �۳ Bài 58: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015– 2016) Ta chứng minh phương pháp phản chứng: Bài toán phát biểu lại Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: ab  bc  ca  Chứng minh rằng: 1   2  2 a b 4 c b 4 a c 4 Thật vây: a  b2 �a  b2   � �a  b2   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có (� a  b ) (�a  � a  b a  c2 a  b2 �a  b2  � (a  b2  4)  � �a  �a  � a  bc   2�a  �bc � �a  �a  2�a  �bc  5�a a 6 � Mặt khác ta có (đúng) 2 2 2 Vậy đpcm dấu “ =” xảy a bc  3�bc  8�bc  � �bc  Bài 59: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018– 2019) Chứng minh bất đẳng thức: a b2 c  a  b  c    � *  x y z x yz với a,b,c �R x, y,z  a b2  a  b   �  **  x, y  x y x  y a,b �R Với ta có a y  b x   x  y  �xy  a  b  �  bx  ay  �0 (luôn đúng) Hãy ln chiến thắng (đúng) TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH  a  b  c a b2 c2  a  b  c2   � + � ** y z x y z x yz Áp dụng bất đẳng thức   , ta có : x x  x  yz  2019   x  x  xy  zx  1346   Vì xy  yz  zx  673 nên y  y  zx  2019   z  z  xy  2019   Tương tự : 2 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : x x x   2 x  yz  2019 y  zx  2019 z  xy  2019  x2 y2 z2   x  x  yz  2019  y  y  zx  2019  z  z  xy  2019   x  y  z �3  1 x  y  z  xyz  2019  x  y  z  Ta lại có: x3  y  z  xyz   x  y   xy  x  y   z  3xyz   x  y  z �  3xy  x  y  z   x  y   x  y z  z2 � � �   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx  Nên: x3  y  z  3xyz  2019  x  y  z    x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   3.673. x  y  z    x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx   3. xy  yz  zx   x  y  z    x  y  z �  x2  y  z  xy  yz  zx    xy  yz  zx  � � �   x  y  z  x  y  z Từ  1 ,   2 suy :  x  y  z x x x   �  ( dpcm ) 2 x  yz  2019 y  zx  2019 z  xy  2019  x  y  z   x  y  z  x yz Bài 60: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012) a2  b2 � Áp dụng BĐT ab 2� ĐK: –x y  x  x2 � Ta có � Vậy giá trị lớn y 9/2 x= Bài 61: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 – 2015) Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= Hãy ln chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH A= Ta có: 2(x + y)2 – xy ≥ 2(x + y)2 - = (x + y)2 =>≥(x + y) dấu “=” xảy x = y Tương tự: ≥(y + z) dấu “=” xảy y = z ≥(z + x) dấu “=” xảy z = x A= ≥ (x + y + z) = Vậy minA = 3khi x = y = z = Bài 62: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2008 – 2009) a) Ta có P   x  y3   z  3xyz   x  y   3xy  x  y   z  3xyz � � 3xy x  y   3xyz � �x  y   z3 � � ��  2   x  y  z �  3xy  x  y  z   x  y  z   x  y z� � �   x  y  z �  x  y   z   x  y  z  3xy � � � 2   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx  2 �0  x  y  z � �x  y    y  z    z  x  � � (Do gi¶ thiÕt x + y + z �0 ) 3 3 3 Suy P  x  y z 3xyz x  y  z �3xyz  m  n  2mn   m  n  �0 b) Từ 2 giả thiết suy m  n �2mn  �m  n m2  n m2n m n � 15  m  n  P  � 2  � m2n m  n2 � 16m n m  n � 16m n 2 Do ®ã ¸p dơng B§T a  b �2 ab víi a, b không âm, đấu đẳng thức có a = b, ta cã 15 17 P�   4 17 mn Pmin  , đạt đợc Kết luận: Bi 63: ( HSG TNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009 – 2010) Tríc tiªn ta chứng minh bất đẳng thức: Với a, b, c � R vµ x, y, z > ta cã a b2 c  a  b  c    � x y z x yz (*) a b c   x y z � DÊu “=” x¶y ThËt vËy, víi a, b � R vµ x, y > ta cã a b2  a  b   � x y x y � a 2 y  b x   x  y  �xy  a  b  (**) Hãy chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH �  bx ay (luôn đúng) a b x y Dấu = xảy áp dụng bất ®¼ng thøc (**) ta cã a b2 c2  a  b  c2  a  b  c    �  � x y z x y z x yz a b c  Dấu = xảy x y z áp dụng bất đẳng thức (*) ta có x y z VT    x  yz  2010 y  zx  2010 z  xy  2010  x2 y2 z2   x  x  yz  2010  y  y  zx  2010  z  z  xy  2010   x  y  z �3 x  y  z  xyz  2010  x  y  z  x  x  yz  2010  x  x  xy  zx  1340   Chó ý: = , z  z  xy  2010   Chøng minh: (1) y  y  zx  2010   vµ x  y  z  xyz   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx    x  y  z �  x  y  z    xy  yz  zx  � � �(2) Do ®ã: x  y  z  xyz  2010  x  y  z     x  y  z �  x  y  z    xy  yz  zx   2010 � � �=  x  y  z  (3) Tõ (1) vµ (3) ta suy  x  y  z VT �  x  y  z DÊu “=” x¶y � x = y = z =  x yz 2010 Bài 64: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2012 – 2013) Dự đoán a = b = c tách mẫu để a + c = b + c = 2b Tacó áp dụng BĐT ab ab ab � 1 � �ab ab a�  � �   � �   � (1) a  3b  2c (a  c)  (b  c )  2b �a  c b  c 2b � �a  c b  c � Tư ơng tự bc bc bc � 1 � � bc bc b�  � �   � �   � (2) 2a  b  3c (a  b)  (a  c )  2c �a  c b  c 2b � �a  b b  c � ac ac ac � 1 � � ac ac c�  � �     � (2) � � 3a  2b  c (a  b)  (b  c )  2a �a  b b  c 2a � �a  b b  c � Hãy ln chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH Từ (1) (2) (3) Dấu “=” xảy a = b = c Bài 65: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014) x  y  z �2 x  y  z  Chứng minh được: 2 2 y  z  x �2 y  z  x  , z  x  y �2 z  x  y  Tương tự ta có x  y  z  y  z  x z  x  y   �2 xyz  yz  zx  xy Do ta chứng minh Bất đẳng thức tương đương với Ta có  yz zx xy   �1   yz  yz   zx  zx   xy  xy yz yz �    yz  yz  yz  yz yz  yz   yz   yz       xy   �1 nên   2 yz   1  yz  yz  , dễ có �  yz yz  yz   yz zx � �  yz  yz  yz  zx  zx  zx Vậy nên  , tương tự có  x y �   xy  xy  xy yz zx xy 1   �    yz  yz   zx  zx   xy  xy  xy  yz  zx Do  �a  a  b  c � � 1� �a b � �b c � �c a �  �  �  � �  � �  ��3     b c� �b a � �c b � �a c � Với a, b, c>0 có nên 1   � a b c a  b  c (*) 1   � �1  xy  yz  zx  xy  yz  zx Áp dụng (*) ta có ; x y yz zx xy  yz  zx �    x y z 3 2 (Vì ) yz zx xy   �1  yz  yz   zx  zx   xy  xy  Vậy 2 2 2 2x  y  z 2y  z  x 2z  x2  y   �4 xyz  yz  zx  xy Do ta có x  y  z  Đẳng thức xảy Hãy ln chiến thắng ... 36: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012– 2013) Ta có Tương tự , Vậy 2F Hãy ln chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH Dấu xảy x = y = z = Vậy giá trị nhỏ F ... ĐÀN TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2011– 2012) Ta có A = Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: , , Mặt khác ta có: Từ suy ra: Hãy ln chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH... 2 b)Dự đoán dấu = xảy a = b = c = Từ ta áp dụng BĐT Cơ-Si sau: Hãy ln chiến thắng TÀI LIỆU BDHSG PHẦN BĐT VÀ CỰC TRỊ QUA CÁC ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH bc c  2b  � a  c  2b 9abc 3a2 Ta có: ;