CỰC TRỊ HÌNH HỌC (HS)

CỰC TRỊ HÌNH HỌC 1- Hướng giải tốn cực trị hình học : a) Khi tìm vị trí hình H miền xác định D cho biểu thức f có giá trị lớn ta phải chứng tỏ : +Với vị trí hình H miền D f ≤ m ( m số ) +Xác định vị trí hình H miền D cho f = m b) Khi tìm vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị nhỏ ta phải chứng tỏ : +Với vị trí hình H miền D f ≥ m ( m số ) +Xác định vị trí hình H miền D để f = m - Cách trình bày lời giải tốn cực trị hình học + Cách1 :Trong hình có tính chất đề bài,chỉ hình chứng minh hình khác có giá trị đại lượng phải tìm cực trị nhỏ ( lớn ) giá trị đại lượng hình + Cách2 :Biến đổi tương đương điều kiện để đại lượng đạt cực trị đại lượng khác đạt cực trị trả lời câu hỏi mà đề yêu cầu S BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài1 : Cho ABC có góc B C nhọn, BC = a, đường cao AH = h Xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M  AB; N  AC; P, Q  BC Xác định vị trí hình chữ nhật MNPQ để có diện tích lớn Giải: Vị trí hình chữ nhật MNPQ hồn tồn xác định ta xác định vị trí MN Đặt MQ = x; MN = y  AK = h - x A AMN ABC MN AK   BC AH y h x a (h  x )   y a h h Gọi S diện tích hình chữ nhật MNPQ thì: a S = xy = x (h - x) h y N h x B (*) a a h2 h2 2 S = (hx - x ) = (hx - x +  ) h h 4 h h2  a  h2  ( x  x  ) =   h 4 a = h K M h2 h  ah a h ah  ( x  )  =  (x  )    h 4 Q H (h2) P C Bồi dưỡng HSG Cực trị HH – V.TTT h h   x  K trung điểm AH hay MN đường dấu "=" xảy x 2 trung bình ABC ah h x Vậy max S = Chú ý: Ta giải cách khác cách áp dụng hệ bất đẳng thức Cauchy Từ (*) ta nhận thấy: a, h số dương nên S lớn x(h - x) lớn Do x > 0, x < h  h - x > 0; hai số dương x h - x có tổng h khơng đổi nên tích x(h - x) lớn khi: x = h - x  x = h Hệ BĐT côsi: *Nếu x ≥ 0, y ≥ mà x + y không đổi x.y đạt Max x = y *Nếu x ≥ 0, y ≥ mà x.y khơng đổi x + y đạt Min x = y Bài2 : Cho  ABC vng cân có cạnh huyền BC = a Gọi D trung điểm AB Điểm E di chuyển cạnh AC Gọi H,K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ D, E đến BC Tính diện tích lớn hình thang DEKH Khi hình thang trở thành hình ? Bài3 : Cho hình vng ABCD cạnh a Xét hình thang có đỉnh cạnh hình vng hai đáy song song với đường chéo hình vng Tìm hình thang có diện tích lớn tính diện tích lớn *Các kiến thức thường dùng giải tốn cực trị hình học 1.Sử dụng quan hệ đường vng góc, đường xiên, hình chiếu, BĐT tam giác Kiến thức cần nhớ: Trong đoạn thẳng nối từ điểm đến đường thẳng, đoạn vng góc với đường thẳng có độ dài ngắn Trong hai đường xiên kẻ từ điểm tới đường thẳng, đường xiên có hình chiếu lớn lớn ngược lại A A C A a K H h.3 H C B h.5 h.4 *) ABC vng A (có thể suy biến thành đoạn thẳng)  AB ≤ BC Dấu “=” xảy  A ≡ C ( h.3 ) *) ( h.4 ) + AH  a  AH ≤ AB Dấu “=” xảy  B ≡ H a b B Bồi dưỡng HSG Cực trị HH – V.TTT + AB < AC  HB < HC *)( h.5 )A,K a; B, H b; a // b ; HK  a  HK ≤ AB Dấu “=” xảy  A ≡ K B ≡ H BĐT tam giác: Với ba điểm A, B, C ta ln có: AB + AC  BC Dấu "=" xảy A thuộc đoạn BC BÀI TẬP Bài1: Trong hình bình hành có hai đường chéo cm cm ,hình có diện tích lớn ? Tính diện tích lớn Bài2: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự điểm E,F,G,H cho AE = BF = CG = DH Xác định vị trí điểm E, F,G,H cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Bài3:Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua trung điểm M AB có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với cắt Ax, By theo thứ tự C D xác định vị trí điểm C,D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Tính diện tích tam giác Bài4 Trên hai cạnh BC, AC tam giác ABC, lấy tương ứng hai điểm M N cho BM = CN Tìm vị trí M để MN có giá trị nhỏ Bài5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Tìm điểm M tam giác cho MA.BC + MB.CA + MC.AB đạt giá trị nhỏ Sử dụng quan hệ đường thẳng đường gấp khúc Kiến thức cần nhớ: Độ dài đường gấp khúc nối hai điểm không nhỏ độ dài đoạn thẳng nối hai điểm Với ba điểm A,B,C ta có : AC +CB ≥ AB AC + CB = AB  C thuộc đoạn thẳng AB BÀI TẬP � điểm A nằm góc Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C Bài1: Cho góc xOy thuộc tia Oy cho OB = OC tổng AB +AC nhỏ Bài2: Cho hình vng ABCD tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình vng (tứ giác MNPQ nội tiếp hình vng ABCD) Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa bậc hai Kiến thức cần nhớ: Các bất đẳng thức lũy thừa bậc hai sử dụng dạng : Bồi dưỡng HSG Cực trị HH – V.TTT A2 ≥ ; A2 ≤ Do với m số , ta có : f =A2 + m ≥ m ; f = m với A = f =  A2 + m ≤ m ; max f = m với A = BÀI TẬP Bài1: Cho hình vng ABCD có cạnh 4cm Trên cạnh AB, BC,CD,DA, lấy theo thứ tự điểm E, F, G, H cho AE = BF = CG = D Tính độ dài AE cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Bài2: Cho tam giác vng ABC có độ dài cạnh góc vng AB = cm, AC = 8cm.M điểm di chuyển cạnh huyền BC.Gọi D E chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC Tính diện tích lớn tứ giác ADME Sử dụng bất đẳng thức Cô-si Kiến thức cần nhớ: Bất đẳng thức Cô-si :Với x ≥ ; y ≥ ta có : xy � xy Dấu “=” xảy x = y Bất đẳng thức Cô-si thường sử dụng dạng sau : + Dạng 1: x  y 2  x  y + Dạng 2:   x  y �  2 � xy  x  y  x  y2 � � xy ; ; Dấu “=” xảy x = y xy  x  y x  y2  x  y � � Dấu “=” xảy x = y + Dạng 3:Với x ≥ ; y ≥ ; x +y khơng đổi xy lớn x = y + Dạng4: Với x ≥ ; y ≥ ; xy khơng đổi x+y nhỏ x = y Bài1:Cho điểm M nằm đoạn thẳng AB Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua M có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với cắt Ax, By theo thứ tự C D Xác định vị trí điểm C,D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Bài 2:Cho ABC , điểm M di động cạnh BC Qua M kẻ đường thẳng song song với AC với AB , chúng cắt AB AC theo thứ tự D E.Xác định vị trí điểm M cho hình bình hành ADME có diện tích lớn Sử dụng tỉ số lượng giác Kiến thức cần nhớ: B c A a b h.26 C Bồi dưỡng HSG Cực trị HH – V.TTT Hệ thức cạnh góc tam giác vng + b = a.sinB = a.cosC + b = c.tgB = c.cotgC BÀI TẬP Bài1: Chứng minh tam giác cân có diện tích tam giác có cạnh đáy nhỏ tam giác có góc đỉnh nhỏ Bài2:Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh BC,CD lấy điểm K,M cho � BK : KC = : 1, CM : MD = : 1.Tìm tỉ số AB : BC để số đo góc KAM ( Cho cơng thức biến đổi tg( x +y )= lớn t gx  t gy )  t gx.t gy Sử dụng bất đẳng thức đường tròn Kiến thức cần nhớ: C D C A H A O B D B O O C B B K h.14 D C A D h.15 A h.16 h.17 1) AB đường kính , CD dây  CD ≤ AB (h.14) 2) OH,OK khoảng cách từ tâm đến dây AB CD : AB ≥ CD  OH ≤ OK (h.15) � �COD � 3) AB,CD cung nhỏ (O) : AB ≥ CD  AOB (h.16) � �CD � 4) AB,CD cung nhỏ (O) : AB ≥ CD  AB (h.17) BÀI TẬP Bài1: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B cát tuyến chung CBD (B nằm C D) cắt đường tròn (O) (O’) C D Xác định vị trí cát tuyến CBD để ACD có chu vi lớn Bài2: Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường tròn Xác định dây AB qua P � có giá trị lớn cho OAB BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bồi dưỡng HSG Cực trị HH – V.TTT Bài : Cho ABC vuông cân A điểm D,E theo thứ tự di chuyển cạnh AB ,AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D,E cho : a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích lớn Bài : Cho  ABC vng A có BC = a , diện tích S Gọi m trung điểm BC Hai dường thẳng thay đổi qua M vng góc với cắt cạnh AB , AC D ,E Tìm : a) Giá trị nhỏ đoạn thẳng DE b) Giá trị nhỏ diện tích  MDE Bài 3: Cho điểm m di chuyển đoạn thẳng AB Vẽ tam giác đềuAMC BMD phía AB Xác định vị trí M để tổng diện tích hai tam giác tren nhỏ Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC có cạnh a,b,c tương ứng đường cao AH =H Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác ABC cho có diện tích lớn Biết M AB ; N  AC ; P,Q  BC Bài 5: Cho  ABC vuông A Từ điểm I nằm tam giác ta kẻ IM  BC, IN  AC , IK AB Tìm vị trí I cho tổng IM2 +IN2 +IK2 nhỏ Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC Từ điểm I nằm tam giác ta kẻ IM  BC, IN  AC , IK AB Đặt AK =x ; BM = y ; CN = z Tìm vị trí I cho tổng x2 +y2 +z2 nhỏ Bài 7: Cho nửa đường trịn có đường kính AB = 10 cm Một dây CD có độ dài 6cm có hai đầu di chuyển nửa đường tròn Gọi E F theo thứ tự hình chiếu A B CD Tính diện tích lớn tứ giác ABFE Bài 8: Cho hình vng ABCD cạnh a Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm hình vng ) tiếp tuyến với cung cắt BC, CD theo thứ tự M N Tính độ dài nhỏ MN Bài 9: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Qua A vẽ hai tia vng góc với , chúng cắt đường tròn (O) , (O’) B C Xác định vị trí tia để  ABC có diện tích lớn Bài 10: Cho đường trịn (O;R) đường kính BC , A điểm di động đường tròn Vẽ tam giác ABM có A M nằm phía BC Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C xuống MB Gọi D, E , F, G theo thứ tự trung điểm OC, CM, MH, OH Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn Bài 11: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) D điểm thuộc cung BC không chứa A không trùng với B,C Gọi H,I,K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ D đến đường thẳng BC , AC, AB Đặt BC = a , AC = b ,AB = c, DH = x , DI = y , DK = z a) Chứng minh : b c a   y z x Bồi dưỡng HSG Cực trị HH – V.TTT b) Tìm vị trí điểm D để tổng a b c   nhỏ x y z Bài 12: Cho ABC nhọn , điểm M di chuyển cạnh BC Gọi P ,Q hình chiếu M AB , AC Xác định vị trí điểm M để PQ có độ dài nhỏ ... diện tích lớn hình thang DEKH Khi hình thang trở thành hình ? Bài3 : Cho hình vng ABCD cạnh a Xét hình thang có đỉnh cạnh hình vng hai đáy song song với đường chéo hình vng Tìm hình thang có... tích lớn tính diện tích lớn *Các kiến thức thường dùng giải tốn cực trị hình học 1.Sử dụng quan hệ đường vng góc, đường xiên, hình chiếu, BĐT tam giác Kiến thức cần nhớ: Trong đoạn thẳng nối... BC Dấu "=" xảy A thuộc đoạn BC BÀI TẬP Bài1: Trong hình bình hành có hai đường chéo cm cm ,hình có diện tích lớn ? Tính diện tích lớn Bài2: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB,BC ,CD,DA ta lấy theo