Hsg t7 cđ15 cực trị hình học

CHUYÊN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HÌNH HỌC CHỦ ĐỀ QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quan hệ đường vng góc đường xiên A Định lý Trong đường xiên đường vuông góc kẻ từ điểm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn a AH ⊥ a  AH  AC , AH  AD D H B (C , D  a ) C Quan hệ đường xiên hình chiếu Định lý Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng đó: A • Đường xiên có hình chiếu lớn lớn AH ⊥ a, HD  HC  AD  AC a • Đường xiên lớn có hình chiếu lớn D AH ⊥ a , AD  AC  HD  HC H B C • Nếu hai đường xiên hai hình chiếu ngược lại, hai hình chiếu A hai đường xiên AB  AC  HB HC H B C II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Bài 1: Cho ABC vuông A Trên cạnh AB, AC lấy điểm M , N a Chứng minh MN  BN  BC b Có thể nói BN có hình chiếu xuống AC AN cịn CM có hình chiếu xuống AC AC nên CM  BN khơng? Lời giải: a) Hình chiếu AM  AB nên đường xiên MN  BN Hình chiếu AN  AC nên đường xiên BN  BC B M Bởi MN  BN  BC b) Khơng M B khác A Trang N C CHUYÊN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Bài Cho ABC có AB  AC Kẻ AH ⊥ BC H , điểm D thuộc đoạn AH So sánh: a DB DC ; b DB AB Lời giải: a) Đường xiên AB  AC nên hình chiếu HB  HC A Hình chiếu HB  HC nên đường xiên DB  DC D b) BA BD có hình chiếu AH DH Mà AH  BH  BA  BD B H C Bài Cho ABC cân A Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BC , điểm D thuộc A cạnh BC ( D H ) Chứng minh AH  AD  AB Lời giải: Ta có AH  AD (quan hệ đường vng góc, đường xiên) Nếu D  HC  HD  HC  AD  AC  AB Nếu D  HB  HD  HB  AD  AB  AC B H D C Bởi AH  AD  AB  góc nhọn Gọi D điểm thuộc cạnh BC , gọi H  C Bài 4: Cho ABC có B K chân đường vng góc kẻ từ B C đến đường thẳng AD So sánh: a BH BD Có BH BD không? b HC BK BD  BC Lời giải: a) Ta có BH BD (đường vng góc ngắn đường xiên) BH BD  H D  AD  BC b) Xét MPQ có BK BH  HK BK2 Xét CHK có CH CK  HK Mà BD  Bài 5: BC nên BH  CK Vậy BK  HC Cho ABC cân A Trên tia đối tia CB lấy điểm D a So sánh AD AB b Vẽ BE  AC DF  AB So sánh BE DF Lời giải: a Kẻ AH  BC H Ta có AB  AC  HB HC Lại có D thuộc tia đối tia CB Vậy HD  HC HB  AD  AB Trang CHUYÊN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HÌNH HỌC b Diện tích S ABC  AH BC ; A Diện tích S ABD  AH BD F E Mà BC  BD Suy S ABC  SABD 2 Lại có: S ABC  AC.BE ; S ABD  AB.DF Suy B H D C 1 AC.BE  AB.DF Mà AB  AC nên BE  DF 2 Bài 6: Cho ABC vuông A, K trung điểm BC , qua K kẻ đường thẳng vng góc với AK , đường thẳng cắt đường thẳng AB, AC D E , Gọi I trung điểm DE a CMR : AI  BC A b Có thể nói DE  BC không? D Lời giải: C a, ADE vng A có đường trung tuyến AI B H K => AIE cân I I  ,C  CAK  ACK cân K  A E 1  900  AH  CK   CAK  mà E 900  A1  C E b, Để so sánh DE với BC ta so sánh IE với CK AI với AK AKI vuông  AI  AK  DE BC K trùng với I hay ABC vuông cân A Bài 7: Cho ABC cân A , góc A tù, cạnh BC lấy điểm D , tia đối tia CB lấy điểm E cho BD CE , tia đối tia CA lấy điểm I cho CI CA a CMR: ABD ICE AB  AC  AD  AE b Từ D E kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AB , AI M N , CMR: BM CN c CMR: Chu vi ABC nhỏ chu vi AMN Lời giải: A a CM: ABD ICE  c.g.c  Ta có : AB  AC  AI , Vì ABD ICE  AD EI Áp dụng BĐT AEI : AE  EI  AI hay AB  AC  AD  AE b CM: BDM CEN  g c.g   BM CN c Vì BM CN  AB  AC  AM  AN (1) có BD CE (gt), BC DE Gọi O giao MN BC Trang M B C D E O N I CHUYÊN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HÌNH HỌC OM  OD    MO  ON  OD  OE  MN  DE  MN  BC (2) ON  OE từ (1) (2) ta có: Chu vi ABC nhỏ chu vi AMN Bài 8: Cho ABC vuông C , kẻ CH vng góc vói AB , cạnh AB , AC lấy tương ứng hai điểm M , N cho BM BC CN CH CMR: a MN ⊥ AC b AC  BC  AB  CH Lời giải: a Có BM BC (gt)  CBM cân B   MCB  ACM 900     MCB   CMB  ACM MCH   CMB  MCH  90    MNC MHC  c.g c   MNC MCH   mà MCH 900  MNC 900 hay MN , AC vng góc với b Ta có: BM BC , CN CH  900 suy AM cạnh lớn AMN có N  MB  MA  CH  BC  NC  BA  CH  BC  CA A M N H B C  540 , cạnh AC lấy điểm D cho ABD  Bài 9: Cho ABC vuông A , góc B 360 ,  BE tia phân giác ABD , đoạn BD lấy điểm F cho BF BA A  a Tính EFD E b BEC cân c FD  AE d BD  AC D F Lời giải:    a Vì ABD 360  DBC 180 , mà phân giác ABD B C     ABE 180 EBD DBC   A 900  EFD   ABE FBE (c.g.c) => F 90  54  C  900  540 36 b ABC vuông A có B       Mà EBC  ABC  ABE  EBC 540  180 36  EBC có EBC ECB 360  EBC cân E   C  (góc ngồi DBC  c EFD vng F có EDF B  EDF 180  360 54   D   FD  EF  AE  1 FED 90  54 360 Vậy EFD có E d Ta có: AC  AE  EC FE  BE Và BD BF  FD , lại có EF  FD chứng minh  1  BE  BF BEF vng F suy BE cạnh huyền Nên BE  BF , AC  BD Trang CHUYÊN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Bài 10: Cho ABC vuông B , phân giác AD , từ D kẻ DH vuông góc với AC  H  AC  , HD AB a b c d e g kéo dài cắt I , CMR: ABD AHD AD trung trực BH DIC cân BH / / IC AD  IC BC  AC  AD  AB Lời giải: a ABD AHD ( cạnh huyền- góc nhọn) b AB  AH ( hai cạnh tương ứng) suy A nằm đường trung trực BH BH HD ( hai cạnh tương ứng) Suy D nằm đường trung trực BH Vậy AD đường trung trực BH c BDI HDC (cạnh góc vng- góc nhọn kề)  DI DC  DIC tam giác cân I B D 2 A C H d Vì BDI HDC (cmt)  BI HC  AI  AC   1800  IAC  ,  ABH cân A  ABH 180  IAC  AIC cân A suy AIC  2  , ABH  Mà AIC hai góc so le BH / / IC  e AIC cân A , có AD tia phân giác IAC suy AD đường trung trực IC g Ta có : AC  AD  AB (AH  HC)  AD AH  AB AC  AD  AB HC AD AB AD AB HC  AD  AH  HC  HD  HC Lại có: BC BD  DC HD  DC  HD  HC DC  HC Bài 11: Cho ABC vuông A , đường phân giác BD , kẻ DE vng góc với BC  E  BC  , tia đối tia AB lấy điểm F cho AF CE , CM: a ABD EBD b BD đường trung trực AE c AD  DC d BA điểm E , D, F thẳng hàng BD  CF F  AD  AF   CF A Lời giải: a ABD EBD ( cạnh huyền- góc nhọn) b  AB BE (hai cạnh tương ứng) suy B thuộc đường trung trực AE Và DA DE ( hai cạnh tương ứng) Trang D B E C CHUYÊN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HÌNH HỌC D thuộc đường trung trực AE Vậy BD đường trung trực AE c Ta có: DEC vuông E  DC  DE mà DE DA  DC DA d Ta có: DAF DEC (hai cạnh góc vng)   ADE 180  D   ADE 1800  D  , mà D D 2   FDE 180 , hay E , D, F thẳng hàng ABE có AB EB  AF EC  BF BC  BFC cân B   BD đường trung trực  BD  FC BD tia phân giác FBC e Ta có : AD  AF > DF  2(AD+AF)>2DF =DF+DC>FC Bài 12: Cho ABC vuông cân A , lấy điểm M cạnh BC , kẻ MH , MK vng góc với AB , AC , Gọi O giao điểm AM HK a, CMR: AM HK O trung điểm AM HK b Lấy trung điểm D BC , CM : DHK vuông cân D c Điểm M vị trí BC HK có độ dài nhỏ d So sánh HK AB A Lời giải: a Cần chứng minh HM  MK AHM MKA ( cạnh huyền- góc nhọn) HM  AK (hai cạnh tương ứng) AHM HAK (hai cạnh góc vuông) AM HK A H   OA OH , M  K   OM OK 1 1 K H O B 45 M D C b AD  BC AD BD , BHM vuông cân H  45o , B  A  Vì B BH HM  AK  BHD AKD (c.g.c)  D  HDK vuông cân HD KD D c HK  AM để HK đạt GTNN AM đạt GTNN AM  AD suy M trung điểm BC d HK  AM  AB Bài 13: Cho ABC có góc B góc C hai góc nhọn, tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AB , tia đối tia AC lấy điểm E cho AE  AC a CMR: BE CD b Gọi M trung điểm BE , N trung điểm CD , CMR: A, M , N thẳng hàng c Ax tia nằm giữa tia AB AC , gọi H K hình chiếu B C Ax , CMR: BH  CK BC d Xác định vị trí Ax để BH  CK có GTLN Lời giải: Trang CHUYÊN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HÌNH HỌC a ABE ACD (c.g,c) b Chứng minh ABM ADN D E    AM  AN , MAB  NAD   mà BAN  NAD 1800 nên M , A, N thẳng hàng c Gọi I giao BC Ax , ta có : BH BI , CK CI  BH  CK BI  CI BC A M N K C B H d Theo câu c BH  CK BC nên BH  CK lớn BC , hay BH  BI CK CI  H trùng I K trùng I Hay Ax ⊥ BC x Bài 14: Cho O nằm ABC , Gọi E , F , D hình chiếu O AB, BC , CA CMR: A a AE  BF  CP  AP  BE  CF b AB  BC  CA  OA  OB  OC  AB  BC  CA P E Lời giải: O a, Ta có: AE  AO  EO B C F BF OB  FO CP OC  PO  AE  BF  CP  AO  BO  CO    OE  OF  OP  Và AP  AO  OP ; BE BO  OE ; CF CO  OF  AP  BE  CF  AO  BO  CO    OP  OE  FO  Từ suy điều phải chứng minh : Bài 15: Gọi H trực tâm ABC , CMR: a HA  HB  HC  AB  AC A b HA  HB  HC   AB  BC  CA M Lời giải: N H a Kẻ NH / / AC ; MH / / AB ta có: HA  AM  MH  AM  AN (1) BH  AC mà HN / / AC  BH  HN Do đó: BH  BN (2) B Chứng minh tương tự: HC  CM (3) Cộng (1), (2) (3) ta có: HA  HB  HC  AM  AN  BN  CM  AB  AC b Ta có: HA  HB  HC  AB  AC (theo câu a) HA  HB  HC  BC  AC Tương tự ta có: HA  HB  HC  AB  BC Cộng theo vế ta đpcm Trang C CHUYÊN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Bài 16: Cho ABC nhọn có AB  AC , tia AC lấy điểm D cho CD  AB , hai đường trung trực BD AC cắt E a CMR: AEB CED HA  HB  HC  AB  BC b AE phân giác đỉnh A ABC c Gọi M điểm nằm tam giác, xác định vị trí M để biểu thức: MA.BC  MB AC  MC AB đạt giá trị nhỏ Lời giải: c, Kẻ BH CK vng góc với AM , ta có: SMAB  SMAC A AM AM  BD  CE  BC 2 D ( Đường vng góc nhỏ đường xiên) Dấu “=” xảy AM  BC Tương tự AC BM (2) S S  MBC MAB SMBC  SMAC  AB.MC B (1) E (3) Cộng (1), (2) (3) ta được:  SMAB  SMBC  SMAC   BC AM AC.BM AB.MC  MA.BC  MB.CA  MC AB 4.S ABC   2 Vậy MA.BC  MB AC  MC AB 4S ABC Xảy khi: AM  BC , BM  AC , CM  AB Hay M trực tâm ABC Trang C