Cuc tri hinh hoc toa do khong gian

3 Giải tốn cực trị hình học phương pháp tọa độ: Phương pháp chung: Ta thực theo bước sau: + Thiết lập hệ tọa độ thích hợp, từ suy tọa độ điểm cần thiết + Thiết lập biểu thức điều kiện (nếu có) Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm cần tìm cực trị + Lựa chọn phương pháp tìm cực trị, thông thường là: - Phương pháp tam thức bậc hai - Sử dụng bất đăng thức - Sử dụng đạo hàm CÁC VÍ DỤ: 1) Cho góc tam diện Oxyz, Ox, Oy, Oz lấy điểm A, B, C a/ Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC) theo OA = a, OB = b, OC = c b/ Giả sử A cố dịnh B, C thay đổi thỏa mãn OA = OB + OC Hãy xác định vị trí B C cho thể tích tứ diện OABC lớn HD: + Chọn hệ trục Oxyz, đó: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) + PT (ABC): x y z + + =1 a b c abc b c + c a + a 2b 2 , d(O, (ABC)) = 2 + VOABC = 1 b+c a3 abc ≤ a. =  6   24 Do Max(VOABC) = a3 24 (Theo bđt côsi) đạt b = c = a a 2) Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = , SC vng góc với mp(ABC), tam giác ABC vng A, điêm M thuộc SA, N thuộc BC cho AM = CN = a (0 < t < 2a) a/ Tính độ dài đoạn MN Tìm giá trị t để đoạn MN ngắn b/ Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung BC SA HD: + Chọn hệ trục tọa độ Cxxyz với B thuộc Cx, S thuộc Cz, đó: A(a; a; 0), B(2a; 0; 0), C(0; 0; 0), S(0; 0; + Phương trình SA: suy M ) x = a − u   y = a − u , u ∈ [ 0; a ]  z = u ( a − u; a − u ; u ) + Vì AM = t suy u = t Khi M 3t − 4at + 2a ≥ a/ MN2 = a  1 t 2 a − ;a − ;    2   2a a 2a ⇒ MinMN = ⇔t= 3 b/ Khi đoạn MN ngắn vng góc chung SA BC  2a 2a a   2a , N  ;0;0  M  ; ;     3 Lúc MN SA =  MN BC = , tức Mn đoạn 3) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1, cạnh a Trên cạnh AA1 kéo dài phía A1 lấy điểm M cạnh BC kéo dài phía C lấy điểm N cho MN cắt cạnh C1D1 Tính giá trị nhỏ độ dài đoạn MN HD: + Chọn hệ trục tọa độ Axyz B thuộc Ax, D thuộc Ay A thuộc Az, đó: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), A1(0; 0; a), C1(a; a; a) + AA1: x = x = a    y = 0, u ∈ ( a;+∞ ) ⇒ M (0;0; u ); BC :  y = v, v ∈ ( a;+∞ ) ⇒ N (a; v;0) z = u z =   ⇔ + Vì MN cắt C1D1 nên MD1 // NC1 v − av + a v−a a a−u av = ⇔u= a−v a v−a Khi MN = u + v - a = , suy MinMN = 3a v = 2a điểm I C1D1 (Dùng phương pháp đạo hàm) ⇒ u = 2a MN qua trung