Phần thứ TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10 TỪ NĂM 2010 – 2016 A- PHẦN ĐỀ ĐỀ SỐ 01 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) x+ y = m−2 2 x + y + x + y = −m + Cho hệ phương trình (trong m tham số x y ẩn) a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A = xy + ( x + y ) + 2011 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lớn −3 x − ( 3m + 1) x + 6m − = Câu (1,5 điểm) x + y − xy = Giải hệ phương trình 2 x + + y + = Câu (1 điểm) Chứng minh x, y số thực dương (1+ x) + (1+ y) ≥ 1 + xy Câu (3,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 1; ) B ( 4;3) Tìm tọa độ điểm M trục hoành cho ·AMB = 450 Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Các đường thẳng AH, BH, CH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C) Hãy viết phương trình cạnh AC tam giác ABC; biết 17 D ( 2;1) , E ( 3; ) , F ; ÷ 5 Cho tam giác ABC, có a = BC , b = CA , c = AB Gọi I, p tâm đường tròn nội tiếp, nửa chu vi tam giác ABC Chứng minh IA2 IB IC + + = c ( p − a) a ( p − b) b ( p − c) ĐỀ SỐ 02 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ THPT chuyên, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4,0 điểm) xy + y + 3x − y = Giải hệ phương trình x + xy − = Giải phương trình 18 x + 16 + x + x − = x + x − + x + x + Câu (1,0 điểm) Tìm tất ba số hữu tỷ dương ( m; n; p ) cho số m + p+ 1 ; n+ ; np pm số nguyên mn Câu (2,0 điểm) a 2012 b2012 c 2012 Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn 2010 + 2010 + 2010 < 2011 Chứng minh b c a tồn số tự nhiên n cho a n +3 b n +3 c n+3 2011 a n + b n + c n + + + ≤ + + n + n b n +1 c n +1 a n +1 2010 b n c a Cho a, b, c số thực dương Chứng minh với số tự nhiên m ta có bất đẳng thức: a m + b m + c m +3 a m + b m + c m + + + ≥ m + m + m b m +1 c m+1 a m+1 b c a Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt điểm H Tiếp tuyến B, C đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt điểm T, đường thẳng TD EF cắt điểm S Gọi X, Y giao điểm đường thẳng EF với đường thẳng TB, TC; M trung điểm cạnh BC Chứng minh H, M tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF ∆XTY Chứng minh đường thẳng SH qua trung điểm đoạn thẳng BC Câu (1,0 điểm) Kí hiệu ¥ tập hợp số tự nhiên Giả sử f : ¥ → ¥ hàm số thỏa mãn điều kiện f ( 1) > f ( m2 + 2n ) = f ( m ) + f ( n ) với m, n ∈ ¥ Tính giá trị f ( ) f ( 2011) ĐỀ SỐ 03 (Đề thi HSG lớp 10, Hà Tĩnh, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 Giải phương trình: ( x − ) = x − − x + Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + 2b + 5c = Chứng minh phương trình ax + bx + c = có nghiệm Câu x − xy + x + y = Giải hệ phương trình: 2 x − x y + 3x + y = Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A ( 1;3) , B ( −5; −3) Xác định tọa độ điểm M uuur uuur đường thẳng d: x − y + = cho 2MA + MB đạt giá trị nhỏ Câu Tam giác ABC có góc thỏa mãn hệ thức: cot A + cot C = α cot B Xác định góc hai đường trung tuyến AA1 CC1 tam giác ABC α = Tìm giá trị lớn góc B α = Câu 1 + + = a b2 c Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 P= + + 2 2 5a + 2ab + 2b 5b + 2bc + 2c 5c + 2ca + 2a Ba số dương a, b, c thỏa mãn: ĐỀ SỐ 04 (Đề thi HSG lớp 10, TP Đà Nẵng, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (1,5 điểm) x x − 10 − x 10 + x Cho nửa khoảng A = ( a; a + 1] , B = [ b; b + ) Đặt C = A ∪ B Với điều kiện số thực a b C đoạn? Tính độ dại đoạn C Xác định tính chẵn – lẻ hàm số y = Câu (2,0 điểm) Tìm m để phương trình x − = m − m + có bốn nghiệm phân biệt Giải biện luận (theo tham số m) bất phương trình: ( m − 1) x + < m + x−2 Câu (2,5 điểm) Giải phương trình x − x + = x x + y + x + y = Giải hệ phương trình x − y + x + y = Câu (3,0 điểm) · Cho tam giác ABC có AB = c , AC = b BAC = 600 Các điểm M, N xác định uuuu r uuur uuur uuu r MC = −2MB NB = −2 NA Tìm hệ thức liên hệ b c để AM CN vng góc với Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA AB tam giác đó, lấy điểm A', B' C' Gọi S a , Sb , S c S tương ứng diện tích tam giác AB'C', BC'A', CA'B' ABC S Dấu đẳng thức xảy nào? Chứng minh bất đẳng thức S a + Sb + Sc ≤ Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R ( R > , R khơng đổi) Gọi A B điểm di động trục hoành trục tung cho đường thẳng AB ln tiếp xúc với đường trịn Hãy xác định tọa độ điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ ĐỀ SỐ 05 (Đề thi HSG lớp 10, Bạc Liêu, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) Hãy tìm tất số để thêm vào tích sau ta số chia hết cho 2011 A = ( 20112 − 1) 2010 20102011 Câu (4 điểm) x −1 Tìm tất hàm số f(x) xác định ¡ thỏa mãn f ( x ) + f ÷ = x + , với x ≠ 0, x x ≠ Câu (4 điểm) Giải phương trình: x + x − 67 + 4 x + = Câu (4 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a3 b3 c3 + + = a + ab + b b + bc + c c + ca + a Tìm giá trị lớn biểu thức S = a + b + c Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (C) có tâm O bán kính R Chứng minh: M ∈ ( C ) ⇔ MA2 + MB + MC = BC ĐỀ SỐ 06 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên, năm học 2011 – 2012) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: x2 + x + + x2 − x + = ( x∈¡ ) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m tham số): x − ( m − 1) x − m3 + ( m + 1) = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 3 sau: P = x1 + x2 + x1 x2 ( 3x1 + 3x2 + ) Câu x + x y − xy + xy − y = Giải hệ phương trình: x + y − xy ( x − 1) = Câu ( x, y ∈ ¡ ) ( Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn điều kiện: x + + x nhỏ P = x + y )( y+ ) + y = 2012 Tìm giá trị Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N, P điểm đối xứng O qua đường thẳng BC, trực uuu r CA, uuur AB; uuurH làuuu r tâm tam giác ABC L trọng tâm tam giác MNP Chứng minh OA + OB + OC = OH ba điểm O, H, L thẳng hàng Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn điểm M nằm bên tứ giác cho ·MAB = MAC · · · = MCD = MDA = ϕ Chứng minh đẳng thức sau: AB + BC + CD + DA2 , α số đo góc hai đường thẳng AC BD AC.BD.sin α Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm 7 5 13 M ( 1; −5) , N ; ÷, P − ; ÷ (M, N, P khơng trùng với đỉnh ∆ABC ) Tìm tọa độ 2 2 2 đỉnh A, B, C biết đường thẳng AB qua điểm Q ( −1;1) điểm A có hồnh độ dương cot ϕ = ĐỀ SỐ 07 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ chuyên, năm học 2011 – 2012) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (6,0 điểm) a) Giải phương trình sau ¡ : x + 12 x x + = 27 ( x + 1) ; ≥ x−2 b) Giải bất phương trình sau: x −5 −3 Câu (3,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho hai số n + 26 n − 11 lập phương hai số nguyên dương Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC điểm K thuộc cạnh BC cho KB = KC , L hình chiếu B AK, · · F trung điểm BC, biết rẳng KAB Chứng minh FL vng góc với AC = KAC Câu (4,0 điểm) Cho A tập hợp gồm phần tử, tìm số lớn tập gồm phần tử A cho giao tập tập tập hợp gồm phần tử Câu (4,0 điểm) Cho số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức: 2 ( x + 1) ( y + 1) + ( y + 1) ( z + 1) + ( z + 1) ( x + 1) ≥ x + y + z + 3 z x2 + 3 x2 y + 3 y2 z2 +1 ĐỀ SỐ 08 (Đề thi HSG lớp 10, Duyên hải Đồng Bắc Bộ, năm học 2011 – 2012) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4,0 điểm) x3 − y − y = Giải hệ phương trình sau: x + y = x − y Câu (4,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh bất đẳng thức: x2 y2 z2 + + ≥ x3 + y3 + z3 + Câu (4,0 điểm) Trên cạnh BC, CA, AB phía ngồi tam giác ABC ta dựng hình vng BCMN, ACPQ, ABEF Gọi G trọng tâm tam giác ABC Kí hiệu A giao điểm AG FQ; B giao điểm BG NE; C1 giao điểm CG MP Ta xác định điểm A 2, B2, C2 cho AGC2F, BGA2N, CGB2P hình bình hành Chứng minh đường thẳng qua A 2, B2, C2 tương ứng vuông góc với B1C1, C1A1, A1B1 đồng quy Câu (4,0 điểm) Giả sử m, n số tự nhiên thỏa mãn: 4m3 + m = 12n3 + n Chứng minh m − n lập phương số nguyên Câu (4,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tập hợp M điểm có tọa độ ( x; y ) với x, y ∈ ¡ * x ≤ 12 ; y ≤ 12 Mỗi điểm M tô ba màu: màu đỏ, màu trắng màu xanh Chứng minh tồn hình chữ nhạt có cạnh song song với trục tọa độ mà tất đỉnh thuộc M tơ màu ĐỀ SỐ 09 (Đề thi HSG lớp 10, Hà Tĩnh, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu a) Giải bất phương trình: x − x + ≥ ( − x ) x − x5 + xy = y10 + y b) Giải hệ phương trình: x + + y + = Câu Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm: x − m = y ( x + my ) x − y = xy Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I ( 2; ) đường thẳng d1 : x − y − = , d : x + y − = Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I cho (C) cắt d1 A, B cắt d C, D thỏa mãn AB + CD + 16 = AB.CD Câu Cho tam giác ABC có AB = c , BC = a , CA = b Trung tuyến CM vng góc với phân giác CM b = − Tính cos A AL AL c Cho a, b ∈ ¡ thỏa mãn: ( + a ) ( + b ) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 16 + a + + b Câu Cho f ( x ) = x − ax + b với a, b ∈ ¢ thỏa mãn điều kiện: Tồn số nguyên m, n, p đôi phân biệt ≤ m, n, p ≤ cho: f ( m ) = f ( n ) = f ( p ) = Tìm tất số ( a, b ) ĐỀ SỐ 10 (Đề thi HSG lớp 10, Bắc Giang, năm học 2012 – 2013) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = x − ( m − 1) x + m Tìm m để bất phương trình f ( x ≥ ) nhận x thuộc ¡ nghiệm Tìm m để phương trìn f ( x ) = có hai nghiệm x1 , x2 lớn Câu (4 điểm) Giải phương trình: x − + x − = x − x + + , x + x y − y = x y + xy − x Giải hệ phương trình: x − + y − = x + y − ( x∈¡ ) ( x, y ∈ ¡ ) Câu (4 điểm) Giải bất phương trình: x − + x + ≥ x3 + x − , ( x ∈ ¡ ) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x A = cos x − sin x + 2sin x ( sin x + cos x ) − ( sin x + cos x ) Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC Chứng minh với G trọng tâm tam giác ABC ta có uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r GA.GB + GB.GC + GC GA = − ( AB + BC + CA2 ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A ( 1; ) Đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình: x + y + = Tìm tọa độ B C, biết AB = AC Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn ( C1 ) : ( x − 1) + ( y − 3) = ( C2 ) : ( x − ) + ( y + 2) = 2 Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A ( 1;0 ) , đồng thời ∆ cắt đường tròn ( C1 ) ( C2 ) M, N (M, N không trùng A) cho AM = AN Câu (2 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a b c + + ≤ a + b + c b + c + a c + a2 + b ... + 2a Ba số dương a, b, c thỏa mãn: ĐỀ SỐ 04 (Đề thi HSG lớp 10, TP Đà Nẵng, năm học 2 010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (1,5 điểm) x x − 10 − x 10 + x Cho nửa khoảng A = ( a; a + 1]... nhỏ ĐỀ SỐ 05 (Đề thi HSG lớp 10, Bạc Liêu, năm học 2 010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) Hãy tìm tất số để thêm vào tích sau ta số chia hết cho 2011 A = ( 20112 − 1) 2 010 2 0102 011...ĐỀ SỐ 02 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ THPT chuyên, năm học 2 010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4,0 điểm) xy + y