SỞ GIÁO DỤC − ĐÀO TẠO ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI TÌNH LỚP 10 Năm học 2006 − 2007 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: (6 điểm) Giải các phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 7 a) 8x 7 4x 3 x 1 2 b) x x x 2 x x 1 1 + + + = = + − − + + Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2 2 x 4 | y | m y 4 | x | m + + = + + = Bài 3: Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh: ( ) ( ) 2 2 2 2 a b c 1 3 a b c 1 6ab+ + + ≤ + + + + Bài 4: Cho ∆ABC và K, L, M lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CA sao cho AK BL CM 1 AB BC CA 3 = = = . Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AKM, BLK, CML bằng nhau. Chứng minh ∆ABC đều. Bài 5: Cho x, y, z ∈ R thoả mãn điều kiện 2 2 2 x y z 0 x y z 6 + + = + + = . Tìm GTLN, GTNN của P = x 3 + y 3 + z 3 P N ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 y 1 y 1 7 . . 2 8 2 2 2 7 y y 56 0 y 2 2 x 8 b) 1 x 1 x 2 x x 1 0 x 1 x x 1 x 2 x x 1 0 Ta x 1 0 x 1 2 3 Bài 1: a) Đặt 8x+7=y, phương trình đã cho trở thành y Phương trình đã cho tương đương với x có: +) + = = = = + = + + + + + = = = ( ) ( ) 2 x 1 x 2 x x 1 0 x 1 y x 2 y 2x 0 y 2,x y y x 1 13 x 2 1 13 V x 2 2 2 2 +) x Đặt x đk:y>0 Phương trình trở thành: y *)Với ta có: x=1 *) Với y =2 ta có: ậy nghiệm của phương trình là: , x = + + + + + = + + = + + + = = = = = = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 B . | y | u 0,| x | v 0. H 4 u m 1 u 4 v m 2 V 2 L 2 ta c 4 u 4 v u v u v u 4 u 4 v u. Khi | x | | y | Ta c 2 2 2 2 2 ài 2: 3điểm Đặt ệ đã cho trở thành: v ới m < 2 hệ vô nghiệm, ta chỉ xét m ấy 1 ó: v v đó ta có |x| = |y| ó: x = = + + = + + = + + = = + + + = = + ( ) ( ) ( ) 2 2 4 | x | m 4 m | x | 4 m 4 m 4 x T 2m x m 2 x m 2 4 Khi m 2 m 2. V 2m 2 2 |x| = |y| 3 x 2m x ừ 4 ta có: m đó: 0 ậy m 2 thì hệ có nghiệm + = + = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 B .B b c 1 c a b a b c 0 a b 1 a b c c 1 0 B µi 3: 3 ®iÓm §T ®· cho t¬ng ®¬ng víi a §T nµy lu«n ®óng nªn B§T ®îc chøng minh + + + − + − + − ≥ ⇔ + + + + − + − ≥ Bài 4: (4 điểm). Gọi bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AKM, BLK, CML là R ta có: KL = 2RsinB, KM = 2RsinA, ML = 2RsinC. Từ đó suy ra ∆ABC đồng dạng với ∆LMK Mặt khác ta có: S AKM = S BLK = S MCL = ABC 2 S 9 ⇒ S KLM = ABC 1 S 3 Nên tỉ số đồng dạng của ∆ABC và ∆LMK là 1 3 Áp dụng định lí cosin cho ∆ABC là có a 2 = b 2 + c 2 − 2bccosA . SỞ GIÁO DỤC − ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TÌNH LỚP 10 Năm học 2006 − 2007 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút. đường tròn ngoại tiếp các tam giác AKM, BLK, CML bằng nhau. Chứng minh ∆ABC đều. Bài 5: Cho x, y, z ∈ R thoả mãn điều kiện 2 2 2 x y z 0 x y z 6 + + =