Một số vấn đề về cân bằng tiệm cân của phương trình vi phân

MỤC LỤC Trang Mục lục……………………………………………………………………….1 Lời mở đầu……………………………………………………………… ….2 Chƣơng Kiến thức chuẩn bị………………………………………….… 1.1 Không gian định chuẩn, khơng gian Banach, khơng gian Hilbert… 1.2 Tốn tử tuyến tính tốn tử tuyến tính bị chặn……………… … 1.3 Nghiệm phương trình vi phân tuyến tính …………………… Chƣơng Cân tiệm cận phƣơng trình vi phân ………….… 16 2.1 Cân tiệm cận phương trình vi phân………………….….16 khơng gian Banach 2.2 Cân tiệm cận phương trình vi phân………………….….27 tuyến tính khơng gian Hilbert 2.3 Cân tiệm cận phương trình vi phân…………………… 33 tuyến tính không gian ℝ n Kết luận………………………………………………………………… 35 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… … 36 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Nghiên cứu tính cân tiệm cận nghiệm phương trình vi phân không gian Banach, Hilbert hướng nghiờn cu quan trng ca lý thuyết ph-ơng trình vi ph©n Vấn đề nhiều tác giả quan tâm như: A.Wintner; L.Cezari; Nguyễn Thế Hoàn; Nguyễn Minh Mẫn; Nguyễn Sinh Bảy, Trên sở tham khảo tài liệu lý thuyết phương trình vi phân lý thuyết ổn định tác giả Hoàng Hữu Đường [3], Nguyễn Thế Hồn, Nguyễn Minh Mẫn [5], Ph¹m Ngäc Béi [2],…dưới hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội, tác giả chọn đề tài nghiên cứu "Một số vấn đề cân tiệm cận phương trình vi phân" Nội dung đề tài thể hai chương sau: Chương chúng tơi trình bày số khái niệm số định lý giải tích hàm sử dụng chương Chương nội dung luận văn Trong chương chúng tơi trình bày phần sau: Trong mục 2.1, chúng tơi trình bày khái niệm chứng minh tính chất cân tiệm cận phương trình vi phân khơng gian Banach Trong mục 2.2, chúng tơi trình bày khái niệm chứng minh tính chất cân tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Hilbert Trong mục 2.3, chúng tơi trình tính chất cân tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính khơng gian ℝ n Các kết luận văn trình bày tài liệu tham khảo (chủ yếu tài liệu tham khảo [2], [3], [5], kết viết dạng gợi ý tài liệu tham khảo ) Tác giả tập hợp, chứng minh chi tiết kết tậ p hợp vấn đề theo hệ thống phù hợp với chủ đề chọn Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Vinh, đặc biệt PGS.TS Đinh Huy Hoàng, PGS.TS Tạ Khắc Cư, PGS.TS Trần Văn Ân thầy cô giáo khoa Sau Đại hc tr-ờng Đại học Vinh, cỏc thy cụ Phũng Quản lý Khoa học - Sau Đại học trường Đại học Vinh, bạn học viên Cao học 15 Giải tích quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn đến Sở giáo dục đào tạo Nghệ An, Phßng giáo dục Nam Đàn trng thcs H-ng Thái Nghĩa đồng nghiệp quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả tham gia khóa học Vinh, tháng 12 năm 2009 Nguyễn Đình Nghĩa CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUÈN VÀ KHÔNG GIAN BANACH 1.1.1 Định nghĩa Một tập hợp L gọi không gian định chuẩn thực (phức) 1) L khơng gian tuyến tính trường số thực (phức) 2) Với vectơ x  L xác định số thực không âm x , gọi chuẩn x, có tính chất sau a) x  x = 0, với x  L ; b)  x   x , với x  L ,   K (K = ℝ hay K= ℂ); c) x  y  x  y , với x, y  L 1.1.2 Chú ý Hàm  ( x, y)  x  y không gian định chuẩn L xác định metric để L không gian metric 1.1.3 Định nghĩa Cho L không gian định chuẩn, dãy  xn   L gọi dãy Cauchy n,lim m xn  xm  1.1.4 Định nghĩa Một không gian định chuẩn L gọi kh«ng gian Banach L đầy đủ theo metric  ( x, y)  x  y 1.1.5 Định nghĩa Một dạng Hermite khơng gian tuyến tính L hàm  : L  L  K thỏa mãn điều kiện 1)  ( x1  x2 , y)   ( x1 , y)   ( x2 , y) ; 2)  ( x, y1  y2 )   ( x, y1 )   ( x, y2 ) ; 3)  (x, y)   ( x, y) ;  4)  ( x, y)    ( x, y) ; 5)  ( x, y)   ( y, x) Mỗi dạng Hermite xác định dương không gian tuyến tính L gọi tích vơ hướng Khơng gian tuyến tính L với tích vơ hướng L gọi không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert 1.2 TỐN TỬ TUYẾN TÍNH VÀ TỐN TỬ TUỸN TÍNH BỊ CHẶN 1.2.1 Định nghĩa Cho B B không gian Banach Một ánh xạ A: B  B gọi toán tử tuyến tính A(ax +by)= aAx +bAy với số a, b  K với x, y  B 1.2.2 Chú ý 1) Một toán tử tuyến tính liên tục liên tục 2) Tính liên tục tương đương với tính bị chặn tốn tử A, nghĩa có số hữu hạn  Ax  A  sup    Ax  sup  Ax 2   x  B1 , x      x  B1 , x  (1.1) 1.2.3 Nhận xét 1) Tập hợp tất tốn tử bị chỈn A: B  B ký hiệu bëi [ B ,B ] Tập không gian Banach với chuẩn (1.1) với phép cộng toán tử, phép nhân toán tử với số định nghĩa sau (A+ B)x = Ax + Bx,(aA)x = a(Ax), với x  B , a  K Tập hợp tất tốn tử tuyến tính bị chặn từ khơng gian B vào ký hiệu [ B ] 2) Hai không gian Banach B B gọi đẳng cấu tồn ánh xạ - f liên tục cho f 1 liên tục 1.2.4 Định lý (Banach) Giả sử toán tử A  [ B ,B ] ánh xạ một từ không gian Banach B lên không gian Banach B Khi tốn tử ngược A1 tuyến tính bị chặn A 1[ B ,B ] không gian B B đẳng cấu 1.2.5 Hệ Giả sử cho khơng gian tuyến tính L hai chuẩn x x cho ứng với hai không gian Banach B B có bất đẳng thức x  c1 x ( x  L ) với c số dương Khi tồn dương c cho x  c2 x chuẩn x x tương đương 1.2.6 Định lý (nguyên lý bị chặn đÒu) Giả sử U tập hợp toán tử [ B ,B ] Nếu với x B1 sup Ax A U   , (1.2) U bị chặn, nghĩa sup  A A U   , (1.3) 1.2.7 Nhận xét Định lý dãy toán  An   [ B ,B ], n=1,2,…hội tụ phần tử x  B , đẳng thức Ax  lim An x xác định tốn tử tuyến tính liên tục A  [ B ,B ] n 1.2.8 Định nghĩa Cho B không gian Banach phức Một phần tử  mặt phẳng phức gọi phần tử quy tốn tử A  [ B ] [ B ] chứa toán tử R  ( A  )1 1.2.9.Định nghĩa Tập hợp tất phần tử qui tốn tử A gọi giải thức toán tử A, kí hiệu  (A) 1.2.10 Định nghĩa Phần bù  ( A) gọi phổ toán tử A, kí hiệu  (A) 1.2.11 Nhận xét 1) Tập hợp  ( A) mở 2) Phổ  (A) tập ln khác rỗng, đóng nằm hình trịn   A Một cách xác phổ  (A) nằm phần hình trịn bán kính r  lim n An n  1.2.12 Định nghĩa (¸nh xạ co) Giả sử M tập đóng khơng gian Banach B Giả sử S tốn tử (khơng thiết tuyến tính ) ánh xạ M vào S gọi ánh xạ co tồn q < cho với x, y  , Sx  Sy  q x y (1.4) 1.2.13 Định lý ([7]) Giả sử S, M đối tượng nói Định nghĩa 1.2.12 giả sử toán tử S n toán tử co với n số tự nhiên, n  Khi đó, M tồn điểm bất động x toán tử S : S  x 1.3 NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUỸN TÍNH 1.3.1 Các khái niệm mở đầu Đầu tiên ta xây dựng toán tử giải U (t , ) , mà nhờ ta giải phương trình vi phân tuyến tính Ta xét phương trình vi phân tuyến tính khoảng hữu hạn hay vơ hạn J dx  A(t )x  f (t ), (t  J ) dt (1.5) với hàm toán tử biến thiên A(t) hàm vectơ f (t ) phụ thuộc vào tham số thực t Để đơn giản mặt lý thuyết xét phương trình có hệ số đo mạnh khả tích theo nghĩa Bochner Sau số định nghĩa (xem[9]) 1.3.1.1 Định nghĩa Một hàm vectơ x(t ) khoảng hữu hạn hay vô hạn J   a, b với giá trị không gian Banach B gọi có giá trị đếm lấy J   a, b khơng lớn số đếm x k  (k  1, ) tập Ek  t x(t )  xk  (k  1, ) đo Lebesgue 1.3.1.2 Định nghĩa Một hàm có giá trị đếm khả tích Bochner  a, b hàm số x(t ) khả tích Lebesgue  a, b Tích phân Bochner hàm có giá trị đếm được xác định công thức b  a k 1  x(t )dt   xk mEk , mEk độ đo Lebesgue tập Ek 1.3.1.3 Định nghĩa Một hàm liên tục x(t ) gọi đo mạnh  a, b giới hạn dãy hội tụ hầu khắp nơi hàm xn (t ) có giá trị đếm đoạn Nếu hàm x(t ) đo mạnh  a, b hàm x(t ) đo theo nghĩa Lebesgue 1.3.1.4 Định nghĩa Nếu hàm x(t ) đo mạnh  a, b x(t ) khả tích  a, b , hàm x(t ) gọi khả tích theo nghĩa Bochner (hay khả tích mạnh)  a, b Hàm x(t ) khả tính theo nghĩa Bochner  a, b x(t ) giới hạn hầu khắp nơi dãy hàm xn (t ) có giá trị đếm b giới hạn lim  xn (t )dt , giới hạn không phụ n  cho tồn a b thuộc vào việc chọn dãy hàm xn (t ) Khi ta gọi lim  xn ( )dt tích n  a b phân theo nghĩa Bochner hàm x(t ) viết ()  x(t )dt (hay đơn a giản b  x(t )dt ) a 1.3.1.5 Chú ý 1) Các tính chất tích phân Bochner hồn tồn tương tự tính chất tích phân Lebesgue (tính tuyến tính, đếm được, cộng tính ) 2) Nếu x(t ) khả tích Bochner hệ thức t  t lim t  t  x( )  x(t ) d  t với hầu hết tất giá trị t   a, b trường hợp đặc biệt, hàm t y ( t )   x( )d , (*) a liên tục khả vi hầu khắp nơi  a, b  Từ sau ta gọi hàm y(t ) biểu diễn dạng (*) khả vi theo nghĩa Bochner Tương tự hàm toán tử khả vi theo nghĩa Bochner 1.3.2 Sự tồn nghiệm phƣơng trình vi phân tuyến tính Ta xét phương trình vi phân (1.5) khơng gian Banach B t thuộc khoảng hữu hạn hay vơ hạn J Nghiệm phương trình (1.5) hiểu hàm liên tục x(t ) khả vi theo nghĩa Bochner tháa mãn (1.5) hầu khắp nơi Do đó, theo định nghĩa nghiệm, nghiệm phương trình (1.5) nghiệm phương trình tích phân sau t t t0 t0 x(t )  x0   ( ) x( )d   f ( )d , (1.6) x0  x(t0 ) Từ sau ta xét phương trình (1.5) với giả thiết f (t ) liên tục A(t) liên tục mạnh (nghĩa hàm vectơ A(t) liên tục với x  B , nghiệm phương trình (1.5) khả vi liên tục điểm t  J hệ thức (1.5) tháa mãn khắp nơi J 1.3.2.1 Định lý Với giả thiết A(t ) f (t ) trên, đoạn  a, b  J, phương trình (1.5) có nghiệm Chứng minh Thay cho phương trình (1.3.2) ta xét phương trình tổng quát t x(t )  g (t )   A( ) x( )d (1.7) t0 với hàm vectơ liên tục g (t ) J suy khoảng hữu hạn  a, b  J có nghiệm liên tục Gọi C (B ;  a, b) kí hiệu không gian Banach hàm liên tục  a, b nhận giá trị B chuẩn x  max x  t  Trong không gian t a ,b này, ta xét toán tử t  Sx t  g t   A  x  d , t0 ®ược xác định vế phải phương trình(1.7) Tốn tử tác động C( B ) vào Từ đó, hiển nhiên hàm  Sx  t  liên tục Khơng khó khăn thử lại tính đắn hệ thức 10 n  k 1 t ~ ( SX )(t )  t   A k (t ) X (t )   P ( ) X ( )d ; n x(t )   Ta chứng minh với t đủ lớn, S ánh xạ co  Thật vậy, ~ A(t )  t   với t đủ lớn ta có n ~k A k 1 (t ) X (t )   X (t )   R ,    P ( ) X ( )d  R  Pn ( ) d   R n t t Do (SX )(t )    R   R  R nghĩa S :    Với X (t ), X (t )   , ta có n  A (t )  X (t)  Y (t)   SX  YS  sup k t t0 k 1  sup t t0  p ( )  X (t )  Y (t ) d n  1 X  Y   X  Y   X  Y t :      < với t đủ lớn Vậy S toán tử phản hồi  Do tồn X (t )   cho n ~ X (t )  I   A k (t ) X (t )  k 1   P ( )X ( )d n t Dễ thấy X (t )  I t   Ta chứng minh X(t) nghiệm phương trình (2.4) Thật n n d k [A (t )]X (t )  Pn (t ) x(t ) k 1 dt X (t )   Ak (t ) X (t )  , k 1 n n k 1 k 1   Ak (t ) X (t )  A(t ) X (t )   Ak (t ) X (t ) 22 n n  ~k   ~k   I   A (t ) X (t )   I   A (t ) A(t ) X (t ) k 1 k 1     với t  t t toán tử đủ lớn n I   Ak (t ) nghịch đảo k 1 Vì vậy, X (t )  A(t ) X (t ) Theo định lý 2.1.1.4, ta có điều phải chứng minh cho Pn (t ) Đặt Qn (t )  L Bằng chứng minh tương tự ta thấy tốn tử n  k 1 t ~ ( SX )(t )  I   X (t ) A k (t  ~  X ( )Q ( )d ; n t  t0 co  với t đủ lớn Do tồn X (t )   cho n ~ X (t )  I   X (t ) A k (t )  k 1   X ( )Q n ( )d t Dễ nhận thấy X (t )  I t   X (t ) thoả mãn phương trình X ,   XA(t ) Do X (t ) hội tụ vào I t   , nên X 1 (t ) hội tụ tới I t   Nên tương tự ta suy điều phải chứng minh cho Qn (t ) X 1 (t ) nghiệm phương trình (2.4) 2.1.2 Cân tiệm cận phƣơng trình phi tuyến Ta xét phương trình sau x ,  f (t , x) (2.10) f : 0,  E  E Cụ thể, ta cần có mệnh đề sau 2.1.2.1 Mệnh đề ([6]) Nếu f : 0, T   E  E toán tử compact tốn tử f : 0, T  D  C (0, T ], E xác định công thức 23 t ( Fx )(t )  x0   f ( , x( )d , t  0, T , x  D toán tử compact, D tập hợp hàm số liên tục x : 0, T   E 2.1.2.2 Định lí ([6]) Cho tốn tử compact f (t , x) thoả mãn điều kiện sau f (t , x)  g (t )h( x ) , (t , x)  0,  E ,   g (t )dt  ; h(u) hàm dương không giảm liên tục cho  du  h(u)  , u>0 u0 Khi phương trình (2.10) có cân tiệm cận Chứng minh Giả sử x(t ) nghiệm (2.10) thoả mãn điều kiện x(t o )  x0 Khi t x(t )  x0   f ( , x( ))d 2.11) t0 nên x(t )  x0  g ( )h( x( ) )d Theo định lí bất đẳng thức tích phân, ta có x(t )  y(t ), y(t) nghiệm toán y ,  g( t) h( y) y(t0 )  x0 (2.12) Từ (2.12) ta có y (t )  x0 t du  g ( )d  h(u ) t0   g ( )d  t0 24 Điều cho thấy y(t ) bị chặn Do đó, x(t )  M với t  t Giả sử t1 , t  thoả mãn đẳng thức t2  g ( )d  t1  h(M ) , x(t1 )  x(t2 )  t2  f ( , x( ))d  t1 t1 t2 t2 t1  g ( )h( x( ) )d  h(M )  g ( )d   Điều có nghĩa tồn lim x(t ) Cho u  E phần tử tuỳ ý t   E Cho x(t ) nghiệm (2.10) hội tụ u t   Khi  u0  x0   f ( , x( ))d (2.13) t0 Từ (2.11), (2.13) ta  x(t )  u   f ( , x( ))d (2.14) t Vậy x(t ) nghiệm phương trình tích phân (2.14) Do đó, cịn phải chứng minh tồn nghiệm phương trình tích phân (2.14) Gọi  tập hợp hàm liên tục x(t ) thoả mãn bất đẳng thức x(t )  R với t  t  0, R đủ lớn Rõ ràng,  đóng, bị chặn lồi Giờ ta xác định ánh xạ F sau  ( Fx)(t )  u0   f ( , x ( ))d ; x   , t  t t với t đủ lớn ®Ĩ  ( Fx )(T )  u   ( , x( ))d t0   u  h( R)  g ( )d t0 Ta chọn R  u t đủ lớn để 25  R  g (t )dt  2h(TR) tu ( Fx)(T )  R Suy F :    Ta chứng minh F toán tử Thật ( Fx )(t )  u    t T  f ( , x( ))d   f ( , x( ))d  (Gx)(t )  ( Hx)(t ) (2.15) T (Gx)(t ) : Xu   f ( , x( ))d , t  t0 t  ( Hx)(t ) : -  f ( , x( ))d T Chọn T t cho    g (t )d  4hR T Ta có  ( Hx)(t )     h( x( ) ) g ( )  h( R) T g ( )d  T Theo Mệnh đề 2.1.2.1, tốn tử G chặt Do đó, dãy {( Gxn )(t )} chứa dãy {( Gxn j )(t )}hội tụ Điều nghĩa tồn số k>0 cho (Gxn j (t )  (Gxn j  p )(t )   ; j  k , p  N Từ (2.15) ta có ( Fxn j )(t ) (Fxn j p )(t )     ; t  t Điều cho thấy F :    tốn tử Theo định lí Schauder, tồn phần tử x  Q x  F (x) tức 26  x(t )  u0   f ( , x( ))d t Dễ dàng nhận thấy x(t ) nghiệm (2.10) tiến tới u t   Định lí chứng minh 2.1.2.3 Hệ ([6]) Nếu toán tử compact f (t , x) thoả mãn điều kiện f (t , x)  g (t ) x , < a  a   g (t )dt < , t0 0 t0 phương trình (2.10) cân tiệm cận 2.1.2.4 Định lý ([6]) Cho toán tử compact f (t , x) thoả mãn điều kiện f (t , x)  f (t , y)  g (t )h( x  y ), x, y  E, t  ,   g (t )dt   hàm không giảm liên tục dương h(u) thoả mãn điều kiện  du  h(u )  , u  uo phương trình (2.10) có cân tiệm cận Chứng minh định lý tương tự chứng minh Định lý 2.1.2.2 2.2 CÂN BẰNG TIỆM CẬN CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG KHƠNG GIAN HILLBER Bây ta xét phương trình (2.1) khơng gian Hillber H Gọi tích vơ hướng khơng gian H S(0,1) hình trịn đơn vị H 27 , 2.2.1 Định nghĩa Ta nói A(t )h L với h S (0,1) tồn số T > cho   A(t )h dt  q < T 2.2.2 Định lý ([5]) Cho điều kiện A(t )  A *(t ) thoả mãn A(t )h L phương trình (2.1) H có cân tiệm cận Chứng minh Cho số u  H , xét hàm số  (t , h)  h0 , h   A( )h0 , h d , t  T , h  H t sup 1 (t , h)  h0  q h0 Do h 1 Vì vậy, 1 (t , h) hàm tuyến tính liên tục H Theo định lý Riesz, tồn H phần tử x1 (t ) cho 1 (t , h)  ( x1 (t ), h) Rõ ràng x(t )  (1  q) h0 Đặt x0 (t )  h0 , ta có x1 x  A(t ) x0 (t )  sup (  A(t ) x0 (t ), h)  t t t t t  A( ) x0  A(t ) x0 (t ) dt  t t  Điều cho thấy x1 (t ) khả vi, x1, (t )  A(t ) x0 (t ) Bây ta xét hàm  (t , h)  h0 , h   A( ) x1 ( ), h d , t  T , h  H t Dễ dàng nhận thấy 28 1 (t , h)  (1  q  q ) h0 Vì  (t., h) hàm tuyến tính liên tục H Do tồn x2 (t )  H cho  (t , h)  x2 (t ), h x2 (t )  (1  q  q ) h0 Ngồi ra, ta có x2  A(t ) x1  sup t h 1 t  t t t    A( ) x0 ( )  A(t ) x1 (t ), h d  t A( ) x1 ( )  A(t ) x1 (t ) d  (2.16) t t  Điều có nghĩa x2 (t ) khả vi x2, (t )  A(t ) x1 (t ) Tiếp tục cách ta xây dựng hàm liên tục tuyến tính  n (t , h)  h0 , h    A( ) x n 1 ( ), h d , t có tính chất sau  n (t , h)  xn (t ), h , xn (t )  (1  q   q n ) h0  h0 1 q x, n (t )  A(t ) xn1 (t ) (2.17) (2.18) Như ta có dãy hàm khả vi xn (t ) Dãy hội tụ [T, +  ] Để chứng minh khẳng định thoả mãn ta cần chứng minh xn (t )  xn1 (t )  h0 q n 29 (2.19) Thật vậy, n = ta có  x1 (t )  x0 (t )  sup x1 (t )  x0 (t ), h  sup  A(t )h x0 ( ) d  h0 q h 1 T h 1 nghĩa công thức (2.19) với n = Giờ ta giả sử (2.19) với n  xn1 (t )  xn (t )  sup  xn1 (t )  xn (t ), h  h 1  sup  h 1 T  xn ( )  xn 1 (t ), A( )h dt  sup   h 1 T xn ( )  xn 1 ( ) A( ) h  h0 q n 1 nghĩa công thức (2.19) với n + Ta đặt xn (t ) x(t) = lim n  thấy khả vi [ T, +  ] Thật x, n (t )  x, n1 (t )  sup  A(t ) xn1 (  A(t ) xn2 ( )h  h 1  sup xn 1 (t )  xn 2 (t ) sup A(t )h = h 1 h 1 = xn1 (t )  xn2 (t ) sup h 1 A(t )h (2.20) Giả sử t  [T, T ] Vì A(t) liên tục mạnh [T, T ], nên theo nguyên lý giới nội tồn c > cho (t )h  c h Với t  [T, T ], h  H Từ (2.19) (2.20) ta rút x, n (t )  x, n1 (t )  c h0 q n1 Điều chứng tỏ dãy xn (t )hội tụ [T, T ] x(t) khả vi Vì x, n (t )  A(t ) xn1 (t ), cho n   ta x, n (t )  A(t ) x(t ) nghĩa x(t) nghiệm (2.1) 30 Bây ta chứng minh x(t)  h0 t   Thật   xn (t )  h0  sup xn (t )  h0 (t ), h  sup h 1 h 1 T xn 1 ( ) A( )h d  h0 1 q q q  t   Vậy xn(t)  h0 t  + Mặt khác xn (t ) hội tụ tới x(t ) nên x(t ) tiến đến h0 t   Tiếp tục ta chứng minh tồn nghiệm (2.1) tiến đến h0 t   Giả sử ngược lại tồn nghiệm khác x(t ) (2.1) tiến đến h0 t   Rõ ràng t x(t )  y (t ), h  x0  y , h   A( ) x( )  A( ) y ( ), h d t0 t = x0  y , h   x( )  y( ), A(h) d t0 x0  y0  Vì t  x(t )  y (t ), h   x0  y0 , h   x( )  y ( ) A( )h d t0 Vì x(t )  y(t )  t   , ta giả sử x( )  y( )  x(t )  y(t )  x0  y0 ,   t Vì (2.21) nên ta có t x(t )  y (t ), h  x0  y , h  x0  y  t0 Cho t   ta x0  y q  x0  y , h Vậy x0  y q  x0  y 31 A( ), h d (2.21) Điều mâu thuẫn Cho x(t ) nghiệm (2.1) t x(t )  sup  1 x( ) A( ) d h t0 Ta đặt t    x( ) A(h) d t0 Tồn dãy hn   S 0,1 cho t    n   x( ) A( )hn d   , t0  n  n   Vì t x(t )  x0   n   x( ) A( )hn d t0 Theo bổ đề Gronwall – Bellman, ta có t x(t )   n  x0 exp  A( )hn d t0 Cho nên x(t )  x0 e   x0 e q < +  Cho t , t  N , N đủ lớn Thì t2  A( ) x( )d t1  sup h 1 t2  A( ) x( )d , h t1 t2  sup  x( ) A( )hn d  t1 Điều nghĩa 32 x0 e q   A( ) x( ) d hội tụ t   t0 Vậy x(t) = x + t  A( ) x( )d có giới hạn hữu hạn t0 Định lý chứng minh 2.2.3 Ghi ([5]) Định lý trường hợp tốn tử khơng tự liên hợp A(t ) với điều kiện A(t )h A* (t )h thuộc L với h  S (0,1) 2.3 CÂN BẰNG TIỆM CẬN CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG KHƠNG GIAN ℝ n A.Wintner chứng minh trường hợp: B = ℝ n phương trình (2.1) có cân tiệm cận   A(t ) A(t ) dt    A(t ) A(t ) dt  , A(t )    A( s )d ( s ) (với giả thiết tích phân t tồn tại) 2.3.1 Định lý ([2]) Nếu phương trình (2.1) có cân tiệm cận   B(t ) d (t ) phương trình (2.2) có cân tiệm cận Chú ý ℝ n hội tụ mạnh hội tụ theo chuẩn [ℝ n ] tương đương Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau Bổ đề Nếu hàm toán tử U(t) ℝ n hội tụ toán tử W ℝ n theo chuẩn , t   W khả nghịch U 1 (t ) bị chặn [0, ) Chứng minh bổ đề Do U(t) hội tụ toán tử W t   , nên với t đủ lớn U (t )  ¦ W + Ta chọn số dương  cho   det W Cũng tính liên tục định thức U(t) hội tụ W t   nên t đủ lớn det U (t )  det W -  33 Từ bất đẳng thức U 1 1  (2 n  1) U U (t )  n 1 (xem [8]) suy với t đủ lớn det U (2 n  1)( W  ) n 1 det W   Vậy U 1 (t ) bị chặn [0, ) Chứng minh định lý Do phương trình (2.1) có cân tiệm cận nên tồn nghiệm V(t) phương trình có tính chất nói Định lý 2.1.1.4 Kí hiệu X(t) tốn tử Cauchy chuẩn hóa phương trình (2.1) Từ cơng thức (2.5) x(t) = X(t), ta suy X(t) hội tụ WV 1 (T ) X (T ) t   Đặt Q = WV 1 (T ) X (T ) , rõ ràng Q khả nghịch nên áp dụng bổ đề tren cho X(t) ta có X (t ) bị chặn Mặt khác theo giả thiết 1   B(t ) d (t )  Áp dụng Định lý 2.1.2.3 ta suy phương trình (2.2) có cân tiệm cận Định lý chứng minh 34 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Trình bày khái niệm cân tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính, phương trình vi phân tuyến có nhiễu không gian Banach Xây dựng chứng minh Định lý 2.1.1.3, 2.1.1.4, 2.1.1.5, 2.1.1.6 cân phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach Trình bày chứng minh cân tiệm cận phương trình vi phân phi tuyến khơng gian Banach (Định lý 2.1.2.2, 2.1.2.4) Trình bày chứng minh chi tiết Định lý 2.2.2, cân tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Hilbert Trình bày đinh lý cân tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính chứng minh chi tiết Định lý 2.3.1 cân phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu không gian ℝ n 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Ngọc Bội (2007), Bài giảng lý thuyết ổn định Liapunop, NXB Đại học Huế [2] Phạm Ngọc Bội (2006), Về số điều kiện cân tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính, Tạp chí khoa học, Tập 35, số 2A, Trường Đại học Vinh [3] Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà nội [4] Hoàng Hữu Đường (1977), Lý thuyết phương trình vi phân, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [5] Nguyễn Thế Hoàn, Nguyễn Minh Mẫn (2003), On some asymptotic behaviour for solutions of Liner differential equations, Ucrain Math Journal, Vol 55, N 4, 561- 569 [6] Nguyễn Thế Hoàn, Nguyễn Minh Mẫn, Nguyễn Sinh Bảy, On the asymptotic equilirium and asymptotic equivalence of differential equations in Banach space, Ucrain Math Journal, Vol 60, N 5, 626 - 635 [7] Daleckii Ju L., Krein M G (1974), Stability of SoDifferential Equation in Banach space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island [8] W A Coppel (1978), Dichotmies in Stability Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York [9] Хил Э., Филлипc P (1962), Фyнкцuoналый аналuз u пoлyгрyпы, Издательcтвo Инocтранoй Литepaтypы, Mocквa 36 ... 2.2.2, cân tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Hilbert Trình bày đinh lý cân tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính chứng minh chi tiết Định lý 2.3.1 cân phương trình vi phân. .. Ae A t dt 15 Ch-ơng Cân tiệm cận ph-ơng trình vi phân 2.1 Cân tiệm cận ph-ơng trình vi phân không gian banach 2.1.1 Cân tiệm cận ph-ơng trình vi phân tuyến tính Xét phương trình x, (t )  A(t... Bội, tác giả chọn đề tài nghiên cứu "Một số vấn đề cân tiệm cận phương trình vi phân" Nội dung đề tài thể hai chương sau: Chương chúng tơi trình bày số khái niệm số định lý giải tích hàm sử dụng