*Nếu gặp sinfxthì đặt u=fx Hoặccosfx... 2Tính các tích phân:.[r]
(1)CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A) NGUYÊN HÀM DẠNG I:Chứng minh F(x) là một1,nguyên 1, dx x C du uhàm C.của f(x) 1)Chứng minh F(x) là nguyên hàm f(x): 1 x 1 u 2x 2, x dx C , 2, u dux C , 2 1 1 a)F(x)= tan4x+3x-5 ; f(x)=4tan5x+4tan3x+3 b)F(x)=ln( x ) ; f(x)= ( x 4)( x 3) dx du 2)Định 3, mđểhàm ln xsố F(x)=mx C , x 30.+(3m+2)x2 -4x+3 là nguyên 3, hàmcủa ln uhàm Csố , u f(x)=3x u x 2 +10x-4 x x u 3)Tìm a;b;c để F(x) là nguyên hàm f(x) với:F(x)=(ax +bx+c)e ; f(x)=(x-3)ex x x u u 4, e dx e CDẠNG 4, e du eđiều C.kiện cho sẳn II:Tìm nguyên hàm F(x) f(x) thỏa 5, a x dx ax C , a 1 ln a 5, a u du au C , a 1 ln a (2) 1)Tìm nguyên hàm F(x) f(x) biết rằng: x3 3x 3x a)f(x)=cos3x.cos5x F( )=1 b)f(x)= x x F(1)= 2)Cho F(x)=2x+sin2x ; f(x)=4cos x c)f(x)=sin2x.cosx F( )= b) Tìm nguyên hàm G(x) f(x) biết G( )=0 a)CMR F(x) là nguyên hàm f(x) x x x ( x 3).e dx b) Dựa vào câu a hãy tính ‘ 3)Cho hàm số f(x)=x.e -e a)Tính f (x) 4) Cho hàm số f(x)=x.sinx+x2 Tìm f’ (x) từ đó suy nguyên hàm hàm số:g(x)=x.cosx biết Rằng nguyên hàm này triệt tiêu x= DẠNGIII :Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x) x4 2x2 x 2x x 3x x2 x 1 1)Tìm họ nguyên hàm các hàm số: a)f(x)= b)f(x)= x c)f(x)= x x x 3x x e)f(x)= x d)f(x)=7 (3 -2) h)f(x)=sin3x.cos5x i) f(x)=cos4 x 2)Tìm họ nguyên hàm các hàm số : cos x sin x và g(x)= sin x cos x a)f(x)= sin x cos x x 2x 3x cos x 2 g)f(x)= cos x.sin x j)f(x)=sin3 x e tan x k)f(x)= cos x ex và x x b)f(x)= e e x 2 dx 3)Tính: a) cot x cos2 x dx e) e3 x x f) f(x)= e x (2e 3e ).dx b) cos x dx f) cos x g ( x) e x e x e x dx 2 c) cos x.sin x 2sin x sin x dx d) 3cot x.dx g) (2 tan x 3).dx h) B) TÍCH PHÂN ĐỊNH NGHĨA: PP đổi biến số loại 2: TÍNH CHẤT: * *Nếu gặp: thì đặt u=f(x) * *Nếu gặp thìđặt u= *Nếu gặp thì đặt u= f(x) *Nếu gặp; ef(x) thì đặt u=f(x) * *Nếu gặp sin(f(x))thì đặt u=f(x) (Hoặccos(f(x))) PP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN sin mx a p( x) cos mx dx e mx DẠNG1: I= b b DẠNG 2: I= a p ( x ).ln(mx).dx u p ( x ) sin mx.dx dv cos mx.dx dx e mx dx PPĐẶT: u ln( mx) PP ĐẶT: dv p ( x).dx (3) 1)Tính các tích phân sau: a) x (1 x ) dx 1 2x x2 dx 1 x g) 1 f) 5 x x 1 dx b) x 1 x dx 1 x c) cos x.dx (TN:99) h) sin d) x.dx i) dx 2x 2 e) dx 8 x (sin x.sin x 6).dx (TN 2001) j) tan x dx sin x dx dx (2 tan x 3).dx 2 sin x cos3 x dx sin x sin x sin x.cos x n) k) l) m) cos x dx o) cos x e x 1 x dx p) 2 5lnx dx x (TN 2011) v) I e 1 e dx x b) 2 x x 1.dx a) 2)Tính các tích phân: ln2 2x dx s) x x dx 3 r) x x x 1 dx x2 5x q) ( x - )e x dx W) (TN 2012) (THPTQG 2015) 5x 0 x2 x 4.dx 2 x x 3.dx c) x 1.dx d) PP:TÍNH TÍCH PHÂN I)PP ĐỔI BIẾN SỐ (LOẠI 1): Đặt x= (t ) t 2) thì đặt x=asint ( dx t a x dx 2) 2) I= thì đặt x=asint ( dx dx t 2 2) 3) I= a x thì đặt x=atant ( 1) I= a x dx (a là số thực dương) 2)PP ĐỔI BIẾN SỐ (LOẠI:2): Đặt u=f(x) (đã nêu ) 3)PP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: CÁCH ĐẶT( đã nêu) 1)Tính:( PP ĐỔI BIẾN LOẠI 1) dx 2 x dx x2 a) b) a dx a) sin a a b) x.cos x.dx dx sin x f) k) x dx x3 2 b) g) cos (TN1996) l)) x.dx dx cos x c) sin h) e x.dx x 2.x dx d) dx ( a 0) x2 d) dx x.ln x e2 c) a x (a ) 2)Tính: a) 3)Tính( PP ĐỔI BIẾN LOẠI 2) dx 9 x m sin (2 x 3) dx x2 x 1 c) x 3x dx 2x x.cos x.dx e) i) ln( x 1 x)dx 1 dx x2 x.( x 1) j) 2015 x sin x.dx n) x.dx x 1 .dx t) (4) sin sin x.e x 2cos x .dx o) 4)Tính: a) p) x (1 x )6 dx b) tan x.dx e x 1 ln x (1 x )4 dx c) ln ex 0 x dx q) e dx tan x.dx e) cos x f) 5)Tính:( PP Tích phân phần) g) ex .e dx d) cot x.dx h) x 3x dx x w) x x x 2ln x dx x r) (CĐ 2014) x.dx x dx 2 x 2 (KB2014) i) (1- xe x )dx (TN2014) e (1 b) x.ln x.dx a) 1 e) x.dx x x ).ln x.dx f) g) x.cos 3x.dx i) 2x 1 dx x j) e 2x x.e dx (TN 2013) (2 x 1).sin x.dx h) ln x 1 x dx l) (x 1) sin 2xdx i) x.ln( x 3).dx x 1 cos xdx x ln( x 1).dx d) sin x.ln( x 1).dx c) x.sin x.cos x.dx k) m) (KD 2014) x 1 x ln x dx (KA 2013) 6)Tính: x e a) 3x .dx x e cos x.dx b) x.cos c) (x +sin x) cos x dx g) 7)Tính a) x.dx 1 ( ).dx e ln x ln x d) dx sin x 3sin x.cos x 2cos2 x sin(ln x).dx e) dx c) cos x.dx (sin x cos x 3)2 cos xdx 7 cos x 5sin x h) 1 x ).dx ln( x 2014).dx C) DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG PP TÌM : cos( 2 2sin x 3sin x.cos x cos x b) e2 e π/2 f) I = i) cos x.dx (sin x cos x 3) d) (5) 1) LOẠI 1: (H) : LOẠI LOẠI 3: ĐỔI VAI TRÒ x và y CHO NHAU LOẠI : VẼ HÌNH VÀ CHIA NHỎ DIỆN TÍCH Tìm diện tích các hình phẳng giới hạn các đường sau: a)y=2x2-3x+2 ; y=0 ;x=-1 ;x=2 b)y=-x2 ; y=-x-2 c)y= x ; y=7-x d) y=x3 ; x+y=2 ;trục hoành x2 3 ;y ;x x e)y=x2 ;y= f)y=sinx;y=0 ;x= g)y=x+1 ;y=x3 -3x2 +x+1 2) Tính diện tích hình phẳng sau đây : a)(c):y=x2 ;tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ x=1;trục tung x 10 x 12 và x2 b) y= trục ox: y=0 c)y=(x+1)3 và y=3x+1 d) x2 -2x+y=0 và x+y=0 e) y=x3 ;y=1 ; x=8 f)y2 =2x+1 và y=x-1 (TNTHPT 2002) g) y=2x-x2 và ;2x+y=0 h) y x x và y 2x 1.( KA 2014) 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) :y=x2-2x+2;tiếp tuyến với (c) M(3;5) và trục oy 4)Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: a) x.y=4 ;y=0 ;x=a ;x=3a (a là số dương ) b) y=lnx ;y=0 ;x=1 ;x=2 D) THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY PP TÌM: (C ) : y f ( x) ox : y 0 x a LOẠI : (H) : x b (C ) : x g ( y ) oy : x 0 y c LOẠI : (H) : y d LOẠI 3: (H) : (C1 ) : y f ( x) (C ) : y g ( x) x a x b (C1) : x f ( y ) (C 2) : x g ( y ) b quay quanh trục ox thì: V(H)= f ( x).dx quay quanh trục oy thì: V(H) = g ( y ).dy a d c b quay quanh trục ox thì V(H) = f ( x ) g ( x ) dx a (6) 1)Tìm thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng sau quay quanh trục ox ; truc a) y= x ox ;x=0 ;x=2 b)y=x.ex ; x=1 ;y=0 c) y=lnx ;trục ox x=1 ;x=2 d)y=sin2x ;y=0 ;x=0 ;x= e) y x ;y=0 ;x=1 f)y= 2x x ;y=0 2)Tìm thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng sau quay quanh trục oy a)y= x ;y=0 ;x=1 b) y= x trục oy ;y=1 y=2 3) Tìm thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng sau quay quanh trục ox: y 2 x và x2 y2 1 b 4)Tìm thể tích khối tròn xoay sinh hình elip : a ,khi nó quay quanh trục ox y x3 Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y2 = 2x +1 và y = x -1 (TNTHPT năm 2001 – 2002) x − 10 x −12 Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= và trục hoành Ox TN 03 x +2 Bài 3: Cho haøm soá y = x – x2 (C) Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn (C) và các đường y = 0, x =0, x = quay quanh trục ox (TNTHPT năm 2003 – 2004 ) π/2 π/2 sin x dx (TN năm Bài 4: Tính : I = ( x +sin x) cos x dx (TN năm2005 ) Bài 5: Tính : I = 0 − cos x 2006) e lnx x dx Bài 6: Tính J = (TN năm 2007) Bài 7: Tính I Bài 8: Tính I = (TN năm 2009) Các Dạng Toán Thi Đại Học Bài 9: Tính I= e dx x2 (KA 03) 3ln x ln x dx x xsin ex(cosd) 9.0 (KD 05) 12 (KD 04) x 4sin x (KA 06) x ln xdx 13 sin x 4 dx sin x 2(1 sin x cos x) x dx x (KA 04) cos x (KA 05) sin x cos x dx (KB 05) ln sin xdx (KD 06) (KD 03) (TN năm2010) sin x sin x dx 3cos x 11 dx e x 2e x ln e 2x ( x 2)e dx 1 x dx (KB 03) (KB 04) (KB 06) (KD 07) 15b) .dx x ln( x x)dx x x 1 cos 10 2sin x dx sin x 1 (TN năm 2008) 2 x(1 cos x)dx x 1 x (1 x3 )4 dx 14 ( KB 08) ln x x 16 tan x dx cos x x (KD 08) x3 dx (KA 08) 15) dx (cos 17 (ĐHSP 2001) x 1) cos xdx (KA 09) (7) 3 ln x dx dx x ( x 1) e (KD 09 ) 20 18 (KB 09) 19 sin x dx cos x 21 1 cos x dx cos x sin x sin x cot x.dx sin x tan x cot x x.(1 x ) dx dx cos x dx 22 23 24 sin x (ĐHNT 2001) 25 (ĐHKT 2001) x x e e x e x e ln x dx dx (2 x ).ln x.dx x 2.e x.(2 ln x) x 26 (KA 2010) 27 (KB2010) 28 (KD 2010) 2012 29 x s inx ( x 1) cos x dx x sin x cos x (KA 2011) 30/ x sin x dx cos x ln( x 1) dx x ( KA 2012) x x dx (KB 2013) 38) (x 1) sin 2xdx 31/ 1 35) (KB 2011) 4x dx 2x (KD 2011) /4 32/ x3 dx x 3x 33/ ( K B 2012) ( x 1) dx x 1 36) (KD 2013) (KD 2014) 37) (KB2014) (KD 2012) x 1 x2 2 x2 3x 1 dx x x 39) 34/ x(1 sin 2x)dx ln x dx (KA 2013) x 2ln x dx x 40) (CĐ 2014) (8)