Đang tải... (xem toàn văn)
Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN của hàng năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu, bài toán về tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp[r]
(1)Phần I: Mở đầu I/Đặt vấn đề
Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN hàng năm toán tích phân khơng thể thiếu, tốn tích phân tốn khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất , phương pháp tính tích phân
Chun đề hy vọng góp phần giúp em học sinh hiểu sâu tránh sai lầm thường mắc phải giải tốn tích phân
II/ Phương pháp
- Đưa hệ thống lí thuyết, hệ thống phương pháp giải
- Bài tập ứng với dạng toán, lỗi thường mắc phải học sinh Phần II: Nội dung
I/ sở khoa học 1/Nguyên hàm:
Đn: Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) =f(x) với x thuộc K
Kí hiệu:
( ) ( )
f x dx F x C
Nhận xét: bắt đầu học nguyên hàm em học sinh thường hay lúng túng hay bị nhầm với đạo hàm Để tránh bị nhầm em nên nhớ : “ để tính f x dx( ) ta cần tìm hàm số cho đạo hàm f(x)”
T/c: tính chất sau suy trực tiếp từ định nghĩa a) (f x dx( ) ) 'f x( )
b) kf x dx k f x dx( ) ( )
c) f x( )g x dx( ) f x dx( ) g x dx( ) 2 Tích phân:
ĐN: Ta có cơng thức Niu tơn – Laipnitz
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x dx F x F b F a
(2)Tính chất 1:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
Tính chất 2:
( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx
với k thuộc R
Tính chất 3:
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Tính chất 4:
( ) ( ) ( )
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx
A) phương pháp tính nguyên hàm, tích phân.
Việc tính nguyên hàm hàm số không đơn giản chút Do mà đưa phương pháp có tính đườn lối Nó dẫn dắt từ đạo hàm hàm hợp đạo hàm hai hàm
Đó phương pháp sử dụng nguyên hàm bản, phương pháp đổi biến số, phương pháp tính Tích phân phần
I/ Tính tích phân việc sử dụng nguyên hàm bản:
Bằng việc sử dụng nguyên hàm hàm số sơ cấp xác định được ngun hàm từ tính giá trị tích phân
1 kdx kx C
1
1
x
x dx C
((R, 1)
ln dx
x C
x
4 ln
x
x a
a dx C
a
x x
e dx e C
6 arctanx+C dx
x
( đặt x= tant/2)
7
arcsinx+C
dx x
(3)9 cosx dx= sinx + C Bài tập 1: Tính tích phân sau
a) I=
2
(x 2x1)dx
b) I=
1 1
x
e dx
Giải:
a) I =
4
2
1
1 2 1
4 4
x
x x
b) I=
1
3
1
( ) 3
x
e
e e
Bài tập 2: Tính tích phân sau
I =
2
2
) (x
dx
Giải
Hàm số y = ( 1)2
1
x không xác định x= -1 2;2 suy hàm số không liên tục trên 2;2 tích phân khơng tồn tại.
* y: nhiều học sinh thường mắc sai lầm sau: I =
2
2
) (x
dx
=
2
2
) (
) (
x x d
=-
1
x
2
=-3
1
-1 = -3
4
* Nguyên nhân sai lầm :
Hàm số y = ( 1)2
1
x không xác định x= -1 2;2 suy hàm số không liên tục trên 2;2 nên không sử dụng công thức newtơn – leibnitz cách giải trên.
* Chú ý học sinh:
Khi tính
dx x f
b
a
) (
cần ý xem hàm số y=f(x) có liên tục a;b khơng? có áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho cịn khơng kết luận tích phân khơng tồn
(4)Tính tích phân sau:
1/
4
) (x
dx
2/
dx x
x
1
2
2 1)
(
3/
dx x
2
4
cos
4/
dx x
x e x x
1
3 3.
Chú ý: Trong dạng tốn có tốn khó Các bạn thường phải áp dụng phương
pháp hệ số bất đinh để làm Xét dạng sau
( ) p(x)
x, x ( )( ) (x-a)(x-b)(x-c)
p x
d d
x a x b
P(x) đa thức có bậc bé bậc mẫu Khi ta phải thiết lập hệ
phương trình để tìm A,B,C sau:
( ) A
x = x
( )( )
p x B
d d
x a x b x a x b
( ) A
x = x
( )( )( )
p x B C
d d
x a x b x c x a x b x c
II/ Tính tích phân phương pháp đổi biến số:
Giả sử ta cần phải tìm f u du( ) Trong nhiều trường hợp cách thuận lợi ta coi u hàm khả vi theo biến x Như việc tìm f u du( ) đưa việc tìm
( ( )) '( )
f u x u x dx
cách đơn giản hơn. Bài 1: Tính tích phân:
I =
3
5
0
1
x x dx
Giải:
(5)Đổi cận:
1
3 2
x o t
x t Khi
4 2 2
0
7
1 ( 1)
2 848 105
x x xdx t t dt
t t t
Bài :Tính tích phân: I =
01 sinx dx
* Giải:
I =
01 sinx dx =
0
0
4 cos 2 cos x tg x x d x dx
= tg4
tg
* Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan2 x
dx =
2
t dt
;1 sinx
1
=
2 ) ( t t
x
dx
sin
1 =(1 )2
2
t dt
=2(t1)2 d(t+1) =
2
t + c
I =
01 sinx dx = tan x = tan - tan 1
do tan2
khơng xác định nên tích phân không tồn *Nguyên nhân sai lầm:
Đặt t = tan2 x
x0; x = thì tan2
x
khơng có nghĩa
* Chú ý học sinh:
Đối với phương pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục a;b
(6)1/
0 sinx dx
2/
01 cosx dx
Bài 3: Tính dx x a Giải: Đặt 2 dt dx
t x x a
t x a
ln dx dt t C t x a
Bài 4: Tính I =
2 6x 9 x
dx * Sai lầm thường gặp:
I =
2 6x 9 x
dx =
2 2 3 3 4
x dx x d x x
* Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi 3
2
x
x với x 0;4 không tương đương. * Lời giải đúng:
I =
2 6x 9 x dx = 4 3 3 3
3 dx x d x x d x x d x x
=
- 5
2 3 3 x x
* Chú ý học sinh:
f x f x
n n
2
n1,nN
I = b a
n f x n
2 f x dx
b
a
ta phải xét dấu hàm số f(x) trêna;b dùng tính chất tích phân tách I thành tổng phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối
(7)1/ I =
0
2 sin x
dx ;
2/ I =
3
2 2x x x
dx
3/ I =
2
1
2 2 x x
dx
4/ I =
3
6
2 cot 2
x g x
tg
dx
Bài 4: Tính I =
0
1x2 2x dx
* Sai lầm thường gặp:
I =
0
0
1
1
arctan arctan1 arctan 1
d x
x x
* Nguyên nhân sai lầm :
Đáp số tốn không sai Nhưng khái niệm hàm ngược không đưa vào chương trình thpt
* Lời giải đúng:
Đặt x+1 = tant
1 tan
dx t dt
với x=-1 t =
với x = t =
Khi I =
4
4
0
1 tan
tan
t dt
dt t t
* Chú ý học sinh:
(8)vậy gặp tích phân dạng
b
a
dx x2
1
ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx t = cotx
b
a
dx x2
1
đặt x = sint x = cost *Một số tập tương tự:
1/ I =
2 16 dx x x
2/ I =
dx x
x x
0
1 2
3/ I =
0
1 x dx x
Bài 5:
Tính :I =
0
1 x dx x
*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt
dt t
t dx
x x
cos sin
3
3
Đổi cận: với x = t =
với x=
1
t = ?
* Nguyên nhân sai lầm:
Khi gặp tích phân hàm số có chứa 1 x2 thường đặt x = sint tích
phân gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x =
1
khơng tìm xác t = ? * Lời giải đúng:
Đặt t = 1 x2 dt =
xdx tdt dx x x
1
Đổi cận: với x = t = 1; với x =
1
t =
(9)I =
0
1 x dx x = 15 15 15 2 192 15 33 192 15 15 15 1 t t dt t t tdt t
* Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa 1 x2 thường đặt x =
sint gặp tích phân hàm số có chứa 1+x2 đặt x = tant cần ý đến cận
của tích phân cận giá trị lượng giác góc đặc biệt làm theo phương pháp cịn khơng phải nghĩ đếnphương pháp khác
*Một số tập tương tự:
1/ tính I =
dx x x
2/tính I =
1 x x2 dx
Bài 6: Tính I =
1 1 dx x x
* Sai lầm thường mắc: I =
1 1 2 2 2 1 1 1 dx x x x x x x
Đặt t = x+
dx x dt
x
12
1
Đổi cận với x = -1 t = -2 ; với x=1 t=2;
I =
2 2 2 t dt = dt t
t 2)
1 ( 2
=(lnt -lnt )
2 2 2 ln t t
= ln 2
(10)* Nguyên nhân sai lầm:
2
2
2
1 1
1
x x
x x
x
sai 1;1 chứa x = nên chia tử mẫu cho x = Nhưng từ sai lầm bạn thấy x=0 khơng thuộc thuộc tập xác định cách làm thật tuyệt vời
* Lời giải đúng:
Xét hàm số F(x) =
1 ln
2
1
2
x x
x x
( áp dụng phương pháp hệ số bất định )
F’(x) =
1 )
1
1 (ln
2
1
4 2
2
x x x
x x x
Do I =
1
1
dx x x
=
1 ln
2
1
2
x x
x x
ln
1
2
2
(11)BÀI TẬP ĐỀ NGHI 1) a)Tính
2 x adx
( tính đạo hàm hàm số f(x)=x x2 a
)
2)
3
3
0
1
x x dx
( đặt tx21)
3)
2
sin 1 os
x x
dx c x
( đặt x= t )
4)
2
1 x dx x
( đặt t =
1
x )
5)
2
a
a x dx
6) a2x dx2
7)
2 tan
dx x
( đặt t=tan x)
8)
2
1 sin os
x dx c x
( đặt t= 1+sin2x ) III, PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN; Từ đẳng thức (uv)’=uv’+u’v
Ta có: uv dx uv' u vdx' cơng thức tính tích phân phần
Để tính tích phân
( )
b
a
I f x dx
ta thực bước sau: Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu dạng
1
( ) ( ) ( )
b b
a a
I f x dxf x f x dx Bước 2: đặt
1
u=f ( ) u'
v'=f ( ) v
{ x {
x
(12)
'
b b a
a
I uv u vdx
Chú y: Khi sử dụng phương pháp tích phân phần để tính tích phân, cần tuân thủ theo nguyên tắc sau :
1 Lựa chọn phép đặt v’ cho v xác định cách dễ dàng
2 Tích phân
'
b
a
vu dx
xác định cách dễ dàng so với I Chúng ta cần nhớ dạng sau :
Dạng :
lnx dx,
I x
cần đặt u= lnx Dạng 2:
( ) x
I p x e dx
với P đa thức Khi ta đặt u= p(x)
Dạng 3: I p x( )sinxdx (hoặc I p x c( ) osxdx) Với P(x) đa thức ta đặt u=P(x)
Dạng 4:
ax
os
I e c xdx
(hoặc
ax
sin
I e xdx
) Khi đặt u= cos ax (hoặc u= sin ax)
Bài 1: a) Tìm
3lnx dx x
b)Tìm
2
sinxdx
x Giải:
a) đặt u= lnx, u’=1/x
v’=
4 3,
4
x x v
Khi ta có
4
3
ln 1 ln
4 4 4
x x x x
I x dx x C
b)Đặt
2, ' 2
' s inx, v=-cosx
u x u x
v
(13)Khi :
2
2
osx-2 xcosxdx osx+2(xsinx- sinxdx) osx+2(xsinx+cosx) +C
I x c x c x c
Chú ý: Thực tế cho thấy tốn tích phân mà chứa hàm như ln, sin, cos, hàm mũ Thì cần nên nghĩ đến phương pháp tích phân phần gặp khó khăn C ó toán mà cần phải sử dụng tích phân phần nhiều lần Chú y tốn sau
Bài 2: Tính
2
os3xdx
x
e c
Giải:
Đặt
2x, ' 2e2x
u e u
v = cos 3x, v’=
sin 3x
2
2x 2x
1
0
sin 3x 2 2
sin 3x dx=
3 3 3 3
e
I e e I
Tính I1 Đặt u e 2x u' 2e 2x
-cos3x sin 3x, v'=
3
v
2 2
2 x 2x x
1
0
0
os3x
sin 3x dx os3x dx
3
c
I e e e c
1 3 I
Do đó:
2
3 3 9
3e 13
e e
I I I
I
(14)Bài tập tương tự: a)Tính
sin(ln x)dx
b)Tính 2x
sin 2xdx
e
Bài 3: Tính
4
sin xdx
Giải: Đặt
2
2
, dt=dx x=o t=o
x=
4
t x x t t
t
Khi ta có:
4
0
sin xdx 2 sintdtt
Đặt: u = t, u’=1
v = sint, v’= -cos t :
2
2
o
0
sint dt=-tcost ost dt sin 1
t c t
Bài tập đề nghị : Sử dụng phương pháp tích phân phần tính tích phân sau
a)
1
x
0
(x 1)sinx dx b) (x+1)e xd
c)
2
2
0
osx sin dx d) x ln xdx
xc x
e)
2
x (1 )
x
xe d x
( đặt ẩn số phụ t=1+x sau lại tiếp tục chuyển tích phân phần) Phần III : TỔNG KẾT
(15)khó, thực tế với đối tượng học sinh khơng cần phải mang tích chất đánh đố Mục đích chun đề nêu phương pháp có tính chât đường lối, số sai lầm thường gặp Ngồi bạn tìm hiểu số phương pháp PP hệ số bất định, Phương pháp lặp lại hàm