Quan sát màn hình máy tính ta thấy ứng với đáp án C cho kết quả 0 nên ta chọn đáp án C.. Tích phân dạng đặc biệt- Thầy Huỳnh Văn Quy 28.. 5 Tích phân dạng đặc biệt- Thầy Huỳnh Văn Quy![r]
(1)1 Nguyên hàm hàm hữu tỉ-Thầy Lê Anh Dũng
1.1 Phương pháp bấm máy
1.2 Các ví dụ
2 Nguyên hàm hàm hữu tỉ-Thầy Dương Bùi Đức
2.1 Cơ sở lí thuyết giải nguyên hàm hữu tỷ
2.2 Thực phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II
3 Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm 12
4 Nguyên hàm dạng cho f (x) F (a) Tính F (b) - Thầy Học Tốn 20
5 Tích phân dạng đặc biệt- Thầy Huỳnh Văn Quy 28
6 Tích phân hàm hữu tỉ- Thầy Triệu Minh Hà 36
7 Tích phân hàm lượng giác- Thầy Nguyễn Hữu Nhanh Tiến 41
8 Đổi biến chứa ex - Thầy Nguyễn Vân Trường 47
9 Tích Phân Casio liên quan đến ln x - Thầy Nguyễn Tài Tuệ 52
10 Tích phân phần - Thầy Trần Hiếu 58
(2)Nguyên hàm hàm hữu tỉ-Thầy Lê Anh Dũng
1 Nguyên hàm hàm hữu tỉ-Thầy Lê Anh Dũng
1.1 PHƯƠNG PHÁP BẤM MÁY Phương pháp tìm nguyên hàm Như biết, nếu:
Z
f (x)dx = F (x) + C ta có ngay: F0(x) = f (x) hay nói f (x) − F0(x) = 0, ∀x
Từ ta có cách để tính nguyên hàm máy tính casio sau: Ta nhập vào máy sau: f (X) − d
dx(F (X)) |x=X, F (X) đáp án đề để bấm d
dx(F (X)) |x=X ta bấm tổ hợp phím sau: qy
Sau nhập xong bấm = để lưu biểu thức vừa nhập Tiếp tục bấm r để tính toán với số giá trị khác Nếu kết sấp xỉ chọn đáp án
Lưu ý: dùng chế độ fix - để dò đáp án cách bấm: qw69 Xác định nguyên hàm hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x0) = C
Cú pháp máy casio:
F (X) − C −
X
Z
x0
f (X)dx
Trong đó: x0 C số cho trước
Chú ý: Cần chuyển đơn vị từ DEG sang RAD cách bấm: qw4
1.2 CÁC VÍ DỤ
Câu Tìm ngun hàm hàm số f (x) = x√1 + x2. A
2
Ä
x2√1 + x2ä+ C. B.
3
Ä
x2√1 + x2ä3+ C. C
3
Ä√
1 + x2ä3
+ C D
3
Ä
x2√1 + x2ä
+ C
Lời giải Chọn đáp án C
Phân tích: Theo định nghĩa nguyên hàm ta có:
R
f (x) dx = F (x) + C, suy F0(x) = f (x) Thao tác bấm máy sau:
Nhập vào hình d dxF (X)
x=X − f (x), với F (X) kết
Tiếp tục bấmr cho X giá trị tùy ý thuộc tập xác định Nếu kết chọn Giả sử ta thử đáp án A
Bấm máy:
qy1a2$(Q)ds1+Q )d$)$Q)$pQ)s1+ Q)dr5=
Kết quả:
Làm tương tự với đáp án lại Câu Nguyên hàm
Z x2−
x(x2+ 1)dx A ln
x −
1 x2
t +
√ + t2
+ C =
1 2ln
Ä
x2+√1 + x4ä+ C.
Dùng máy tính: Thử đáp án A, bấm: d
dx
Ç
1 2ln(x
2−√1 + x4)
å x=X −
x √
1 + x4
Bấm r3= kết Math ERROR, suy đáp án A sai Sửa biểu thức để thử đáp án B thử với r3= kết −1, 606 · 10−12≈ 0, suy chọn B
Câu Biết F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = x
1 + x2 f (1) =
1
2ln Tính F (2)
A F (2) =
2ln B.F (2) =
1 2ln
5
4 C F (2) = ln D F (2) = ln
(4)Các ví dụ Bấm máy Z X + X2 +
1
2ln bấm = Đối chiếu với kết ta F (2) =
2ln
Câu Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) =
x(x2+ 5), biết F (1) = −
1
10ln +
A F (x) = 10ln
x2
5 + x2 + B F (x) =
1 10ln
x2
5 + x2 − C F (x) = −
10ln x2
5 + x2 + D F (x) = −
1 10ln
x2
5 + x2 − Lời giải Chọn đáp án A
Ta có: f (x) =
x(x2+ 5) =
x2+ − x2
5x(x2+ 5) =
1 5x−
x 5(x2+ 5)
Do đó: R
f (x) dx =
Z dx
5x −
Z d(x2+ 5)
10(x2+ 5) =
1 10ln
x2
x2+ 5 + C
F (1) = −
10ln + ⇔ −
10ln + = 10ln
1
6+ C ⇔ C = Vậy F (x) =
10ln x2
5 + x2 +
Cách dùng máy tính:
Thử đáp án A Nhập vào máy sau:
10ln x2
5 + x2 + −
Ç
−
10ln +
å − X Z 1
X(X2+ 5)dx
Bấm r3= thấy kết
Câu Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = x
4− 1
x6+ 1, biết F (
√
3) = − 2√3ln
A
2√3ln
x2−√3x + 1
x2+√3x + 1 + B −
1 2√3ln
x2−√3x + 1
x2+√3x + 1 − C √1
3ln
x2−√3x + 1
x2+√3x + 1 + D −
1 √
3ln
x2 −√3x + 1
x2+√3x + 1 − Lời giải Chọn đáp án A
f (x) = (x
2− 1)(x2+ 1)
(x2 + 1)(x4− x2+ 1) =
x2 − x4− x2+ 1
Do đó:
Z x2−
x4− x2+ 1dx =
Z −
x2
x2+ x2 −
dx =
Z dÄx +
x
ä Ä
x + x
ä2
− 3dx = 2√3ln
x +x1 −√3 x +x1 +√3 + C =
2√3ln
x2−√3x + 1
x2+√3x + 1 + C
F (√3) = −
2√3 ⇔ C = Do đó: F (x) = 2√3ln
x2−√3x + 1
x2 +√3x + 1 +
Cách dùng máy casio: Nhập
1 2√3ln
X2 −√3X + 1
X2+√3X + 1 + −
Ç
4 − 2√3ln
å − X Z √
X4− 1
X6+ 1dx
bấm r3=, kết 0, suy đáp án A Câu Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) =
x(2x50+ 7), biết F (1) = −
1
(5)A F (x) = 350 ln
x50
2x50+ 7 − B F (x) =
1 350ln
x50
2x50+ 7 + C F (x) =
50ln x50
2x50+ 7 − D F (x) = −
1 50ln
x50
2x50+ 7 − Lời giải Chọn đáp án A
Ta có f (x) = (2x
50+ 7) − 2x50
7x(2x50+ 7) =
1 7x−
2x49
7(2x50+ 7) Suy ra:
Z
f (x) dx =
Z Ç
1 x−
2x49 2x50+ 7
å
dx =
Ç
ln |x| − 50ln(2x
50
+ 7)
å
+ C = 350ln
x50
2x50+ 7 + C
Với F (1) = −
350ln − ⇒ C = −6, nên F (x) = 350ln
x50
2x50+ 7 −
Bấm máy tính: Thử với đáp án A Nhập
1 350ln
X50
2X50+ 7 − −
Ç
−
350ln −
å
−
X
Z
1
1
X(2x50+ 7)dx
(6)Nguyên hàm hàm hữu tỉ-Thầy Dương Bùi Đức
2 Nguyên hàm hàm hữu tỉ-Thầy Dương Bùi Đức
2.1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT GIẢI NGUYÊN HÀM HỮU TỶ I =
Z P (x)
Q(x)dx a) Nếu bậc P (x) ≥ bậc Q(x) ta chia đa thức: T S
M S = Thương + Dư M S b) Nếu bậc P (x) < bậc Q(x):
1) Tìm nghiệm Q(x) = 0: giả sử
x1, x2, , xn nghiệm đơn
x0 nghiệm bội k
ax2+ bx + c bậc hai vơ nghiệm 2) Phân tích P (x)
Q(x) theo tình sau: • Với nghiệm đơn viết dạng B1 x − x1
+ B2 x − x2
+ + Bn x − xn
• Với nghiệm bội x0 (bội k) ta viết dạng
A1
x − x0
+ A2 (x − x0)2
+ + Ak (x − x0)k
• Với tam thức bậc hai ax2+ bx + c ta phân tích dạng Ax + B
ax2+ bx + c
3) Tìm hệ số Ai, Bi phương pháp đồng thức
2.2 THỰC HIỆN PHÉP CHIA ĐA THỨC- SỬ DỤNG MÁY TÍNH VINACAL 570 ES PLUS II Trường hợp nghiệm đơn
Câu (2D3B1) Tìm nguyên hàm biểu thức f (x) = 2x
2− x + 3
x +
A x2− 5x + 13 ln |x + 2| + C B 2x2 − 5x + 13 ln |x + 2| + C
C x2− 13x + ln |x + 2| + C. D. x
2 − 5x + 13 ln |x + 2| + C
Lời giải Chọn đáp án A
• Ta thực phép chia đa thứcq612[dp[+3q) [+2)r100
• Kết quả:
– Thương 195 = 200 − = 2x − – Dư 13
• Nguyên hàm
Z 2x2− x +
x + dx =
Z Ç
2x − + 13 x +
å
dx = x2− 5x + 13 ln |x + 2| + C
Câu (2D3B1) Tính nguyên hàm
Z x −
x + 1dx
A x − ln |x + 1| + C B x − ln |x + 1| + C
C x + ln |x + 1| + C D −x + ln |x + 1| + C
(7)Ta thấy tử số mẫu số có bậc nhau, nhiên tử số nhỏ mẫu số nên thực phép chia ta có kết (sai) sau
• Ta thực phép chia đa thứcq61[p3 q) [+1)r100
• Kết quả:
– Thương = 0x – Dư 97
Muốn thực phép chia trường hợp tử số nhỏ mẫu số, ta phải thêm giá trị vào tử số cho tử số lớn mẫu số (giả sử ta thêm 10)
• Ta thực phép chia đa thứcq6110+[p3q)[+1)r100
• Kết quả:
– Thương
– Dư 6: ta thêm 10 vào tử số nên dư phải bớt 10, tức phần dư phép chia − 10 = −4
• Nguyên hàm
Z x −
x + 1dx =
Z Ç
1 − x +
å
dx = x − ln |x + 1| + C
Chú ý: Trong trường hợp tử số nhỏ mẫu số (cùng bậc), ta thường phải cộng thêm số vào tử số để thực phép chia cho xác, số cần cộng thêm vào tử hiệu mẫu số tử số
Câu (2D3B1) Tính nguyên hàm
Z 2x −
x2+ x − 2dx A
3ln |x − 1| +
3ln |x + 2| + C B
1
3ln |x + 2| +
3ln |x − 1| + C
C
3ln |x − 1| −
3ln |x + 2| + C D −
3ln |x + 2| +
3ln |x + 2| + C
Lời giải Chọn đáp án A
Ta thấy mẫu số có hai nghiệm đơn −2 nên ta phân tích 2x − x2+ x − 2 =
A x − 1+
B x + • Tìm A:
– Ta nhậpa2[p1R[+2r1
– Kết
3 ⇒ A = • Tìm B:
– Ta nhậpa2[p1R[p1rp2
– Kết
3 ⇒ B = Như
Z 2x −
x2+ x − 2dx =
Z Ç
3(x − 1) + 3(x + 2)
å
dx =
3ln |x − 1| +
(8)Thực phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II
Chú ý: Khi tách phân thức trường hợp nghiệm đơn dạng B1 x − x1
+ B2 x − x2
+ + Bn x − xn
, muốn tìm hệ số Bi ta làm sau: nhập biểu thức cần tính nguyên hàm (bỏ biểu thức x − xi)
và sử dụng chức r, thay giá trị xi vào ta tìm Bi
Câu (2D3K1) Tính ngun hàm
Z x2 + x − 4
(x − 1)(x + 2)(x − 3)dx
A
3ln |x − 1| +
15ln |x + 2| +
5ln |x − 3| + C B −1
3ln |x − 1| +
15ln |x + 2| +
5ln |x − 3| + C
C
3ln |x − 1| +
15ln |x + 2| +
5ln |x − 3| + C
D
3ln |x − 1| +
15ln |x + 2| −
5ln |x − 3| + C
Lời giải Chọn đáp án A
a) Thực phép tách x
2+ x − 4
(x − 1)(x + 2)(x − 3) = A x − 1+
B x + +
C x − • Tìm A:
– Ta nhậpa[d+[p4R([+2)([p3)r1
– Kết
3 ⇒ A = • Tìm B:
– Ta nhậpa[d+[p4R([p1)([p3)rp2
– Kết
15 ⇒ B = 15 • Tìm C:
– Ta nhậpa[d+[p4R([p1)([+2)r3
– Kết
5 ⇒ C = b) Vậy
Z x2+ x − 4
(x − 1)(x + 2)(x − 3)dx =
Z Ç
1 3(x − 1) +
2
15(x + 2)+ 5(x − 3)
å
dx =
3ln |x − 1| +
15ln |x + 2| +
5ln |x − 3| + C Câu (2D3B1) Tính nguyên hàm
Z x3− 2x +
x − x2 dx A −x
2
2 − x + ln |x| + C B
x2
2 − x + ln |x| + C
C x
2 + x + ln |x| + C D −
x2
2 − 2x + ln |x| + C
Lời giải Chọn đáp án A
Nhận thấy hệ số x2 (ở mẫu) −1 nên ta phải đảo dấu phân thức để hệ số x2 trở
thành 1, tức −x
3− 2x + 1
x2− x
a) Phép chia đa thứcq61[Dp2[+1q)[dp[)r1000
• Thương 1000
(9)b) Điều chỉnh phép chia đa thức
q612[+[Dp2[+1q)[dp[)r1000 • Thương 1001 ⇒ thương x +
• Dư 1001 ⇒ dư x+1−2x = −x+1 ⇒
Z x3− 2x +
x − x2 dx =
Z Ç
−x − + x − x2− x
å
dx
c) Thực phép tách x − x2− x =
A x − +
B x • Tìm A:
– Ta nhậpa[p1R[r1
– Kết ⇒ A = • Tìm B:
– Ta nhậpa[p1R[p1r0
– Kết ⇒ B = d) Vậy
Z x3− 2x +
x − x2 dx =
Z Ç
−x − + x
å
dx = −x
2
2 − x + ln |x| + C
Chú ý: Trường hợp hệ số bậc cao mẫu số âm ta phải đổi dấu biểu thức mẫu để đảm bảo phép chia đa thức xác
Câu (2D3K1) Tính nguyên hàm
Z x3+ 2x2+ x +
3x2+ 4x + 1 dx A x
2
6 +
2x
9 −
1
2ln |x + 1| + 23
54ln |3x + 1| + C B
x2 +
2x −
1
2ln |x + 1| + 23
54ln |3x + 1| + C
C x
6 − 2x
9 −
2ln |x + 1| + 23
54ln |3x + 1| + C D x2
6 + 2x
9 − ln |x + 1| + 23
54ln |3x + 1| + C
Lời giải Chọn đáp án A
Vì mẫu số bậc hai (ta phải chia hai lần) hệ số x2 nên ta nhân thêm vào tử số để thực phép chia cho đơn giản
a) Phép chia
q619([D+2[d+[+1)q)3[d+4[+1 r1000
• Thương 3001
• Dư 3002008 ⇒ mẫu số bậc hai (bằng với bậc số chia) nên ta phải điều chỉnh phép chia để dư thành bậc
Nhận thấy mẫu số 3004001 nên phần dư thiếu 2000 = 2x ⇒ ta thêm 2x vào tử số
b) Điều chỉnh phép chia đa thức
q619(2[+[D+2[d+[+1)q) 3[d+4[+1)r1000
(10)Thực phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II 10 • Dư 16007 ⇒ dư 16x + − 18x = −2x +
Vì ta nhân vào tử số nên thương dư phép chia x +
2 −
2 9x +
7 c) Thực phép tách −2x +
3x2+ 4x + 1 =
A x + +
B 3x + • Tìm A:
– Ta nhậpap2[+7R3[+1rp1
– Kết −9
2 ⇒ A = − • Tìm B:
– Ta nhậpap2[+7R[+1rpa1R3
– Kết 23
2 ⇒ B = 23
2 d) Vậy
Z x3+ 2x2+ x +
3x2 + 4x + 1 dx =
Z Çx
3 + −
1 2(x + 1)+
23 18(3x + 1)
å dx = x + 2x −
2ln |x + 1| + 23
54ln |3x + 1| + C
Chú ý: Trường hợp hệ số k bậc cao mẫu số khác ta thường phải điều chỉnh cách: nhân tử số với km (trong m bậc mẫu số) để thực phép chia xác
Trường hợp nghiệm bội Chú ý: Nếu tách f (x)
(ax + b)2 = Q(x) +
M (ax + b)2+
N
ax + b việc tìm M giống trường hợp nghiệm đơn, cịn tìm N có số cách sau:
a) N = A
a (cần xem sở lí thuyết) b) Thực phép trừ N =
ñ
f (x) − M
(ax + b)2 − Q(x)
ô
.(ax + b) gán số tùy ý (sao cho mẫu số khác 0)
Câu (2D3B1) Tính nguyên hàm
Z x + 1
(2x + 1)2dx
A −
4(2x + 1) +
4ln |2x + 1| + C B −
1
4(2x + 1) +
2ln |2x + 1| + C
C
4(2x + 1)+
4ln |2x + 1| + C D
2(2x + 1)+
4ln |2x + 1| + C
Lời giải Chọn đáp án A
a) Thực phép tách x + (2x + 1)2 =
A (2x + 1)2 +
B 2x + • Tìm A:
– Ta nhập[+1rpa1R2
– Kết
(11)• Tìm B: – Ta nhập
a[+1pa1R2R(2[+1)dr1000 – Kết
4002 ⇒ B =
4002.2001 = b) Vậy
Z x +
(2x + 1)2dx =
Z Ç
2(2x + 1)2 +
1 2(2x + 1)
å
dx = −
4(2x + 1)+
4ln |2x + 1| + C Câu (2D3K1) Tính nguyên hàm
Z x3+ 3x2
x3− 4x2+ 5x − 2dx A x + 20 ln |x − 2| +
x − − 13 ln |x − 1| + C B x + 20 ln |x − 2| +
x − 1+ 13 ln |x − 1| + C
C x + 20 ln |x − 2| −
x − − 13 ln |x − 1| + C
D x + 10 ln |x − 2| +
x − 1− 13 ln |x − 1| + C
Lời giải Chọn đáp án A
Ta thấy mẫu số có nghiệm (đơn) (kép), x3 + 3x2
x3− 4x2+ 5x − 2 = +
A x − +
B (x − 1)2 +
C x − a) Tìm A:
• Ta nhậpa[D+3[dR([-1)dr2
• Kết 20 ⇒ A = 20 b) Tìm B:
• Ta nhậpa[D+3[dR[-2r1
• Kết −4 ⇒ B = −4 c) Tìm C:
• Ta nhập
a[D+3[dR([-2)([-1)d-1-a20R[-2E+a4R([-1)dr1000 • Kết − 13
999 ⇒ C = −13 d) Vậy
Z x3+ 3x2
x3− 4x2 + 5x − 2dx =
Z Ç
1 + 20 x − 2−
4 (x − 1)2 −
13 x −
å
dx = x + 20 ln |x − 2| +
(12)Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm 12
3 Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm
Câu Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = x√x2+ biết F (0) = 3. A F (x) =
3
»
(1 + x2)3+
3 B F (x) =
»
(1 + x2)3. C F (x) = −1
3
»
(1 + x2)3+ 10
3 D F (x) =
»
(1 + x2)3+8
3
Lời giải Chọn đáp án A Phương pháp chung:
• Bước 1: Nhập F (x) vào máy tính Calc =
• Bước 2: Nhập d
dx(F (x))
x=X
−f (x) Calc giá trị X thuộc miền xác định hàm số (không trùng với giá trị đặc biệt)
Cụ thể sau:
nhấn Calc = Kết thỏa
Nhập tiếp:
Màn hình kết sau:
Chọn đáp án: F (x) =
»
(1 + x2)3+8
3
Câu (2D3B2-10) Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = x (1 + x2)10 biết F (0) =
22
A F (x) =
22(1 + x
2)11. B. F (x) =
11(1 + x
2)11−
22
C F (x) = (1 + x2)11−21
22 D F (x) =
1
22(1 + x
2)11−21
22
Lời giải Chọn đáp án A Nhập vào d
dx
Ç
1
22(1 + x
2)11
å ... bấm = kết quả: −0.549, suy loại đáp án A Tương tự thử lại cho đáp án khác
Câu Hàm số sau nguyên hàm hàm số y = e
2x
ex+ 1?
A F (x) = ex+ ln(ex+ 1) +... ý thuộc tập xác định Nếu kết chọn Giả sử ta thử đáp án A
Bấm máy:
qy1a2$(Q)ds1+Q )d$)$Q)$pQ)s1+ Q)dr5=
Kết quả:
Làm tương tự với đáp án lại Câu Nguyên hàm
... 1)ä x=X −e2X
eX + 1 bấm r2= kết
Câu Cho F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = 4x +
x2+ x + 1 F (−2) = ln 81 Tính
F (2)