200 câu hỏi trắc nghiệm nguyên hàm tích phân và ứng dụng có đáp án

III Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [a b và có đạo hàm liên tục tr

++

sin ax b+ x=- a ax b+ +C

ò

Câu 1 Hàm số f x có nguyên hàm trên ( ) K nếu:

A f x xác định trên ( ) K B f x có giá trị lớn nhất trên ( ) K

C f x có giá trị nhỏ nhất trên ( ) K D. f x liên tục trên ( ) K

Câu 2 Mệnh đề nào sau đây sai?

A Nếu F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên ( ) (a b và ; ) C là hằng số thì òf x x( )d =F x( )+C

B Mọi hàm số liên tục trên (a b đều có nguyên hàm trên ; ) (a b ; )

C. F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên ( ) (a b; )Û F x/( )=f x( ), " Îx (a b; ).

D ( òf x x( )d )/ =f x( )

Câu 3 Xét hai khẳng định sau:

(I) Mọi hàm số f x liên tục trên đoạn ( ) [a b đều có đạo hàm trên đoạn đó.; ]

(II) Mọi hàm số f x liên tục trên đoạn ( ) [a b đều có nguyên hàm trên đoạn đó.; ]

Trong hai khẳng định trên:

A Chỉ có (I) đúng B. Chỉ có (II) đúng

C Cả hai đều đúng D Cả hai đều sai.

Câu 4 Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên đoạn ( ) [a b nếu:; ]

A Với mọi xÎ (a b; ), ta có F x/( )=f x( ) .

B Với mọi xÎ (a b; ), ta có f x/( )=F x( ).

C Với mọi xÎ [a b; ], ta có F x/( )=f x( ) .

D. Với mọi xÎ (a b; ), ta có F x/( )=f x( ) , ngoài ra F a/( )+ =f a( ) và F b/( )- =f b( ).

Câu 5 Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên khoảng D, câu nào là sai?

(I)F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu " Îx D F x: '( )=f x( ) .

(II) Nếu f liên tục trên D thì f có nguyên hàm trên D

(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số

A. Không có câu nào sai B Câu (I) sai.

C Câu (II) sai D Câu (III) sai.

Câu 6 Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên khoảng ( ) (a b Giả sử ; ) G x cũng là một nguyên hàm của ( ) f x trên( )

khoảng (a b Khi đó:; )

A F x( )=G x( ) trên khoảng (a b ; )

B. G x( )=F x( )- C trên khoảng (a b , với ; ) C là hằng số

C F x( )=G x( )+ với mọi C x thuộc giao của hai miền xác định, C là hằng số

D Cả ba câu trên đều sai.

Câu 7 Xét hai câu sau:

(I) ò (f x( )+g x( ) )dx=òf x x( )d +òg x x( )d =F x( )+G x( )+C,

trong đó F x và ( ) G x tương ứng là nguyên hàm của ( ) f x g x ( ), ( )

(II) Mỗi nguyên hàm của a f x là tích của ( ) a với một nguyên hàm của f x ( )

Trong hai câu trên:

A Chỉ có (I) đúng B Chỉ có (II) đúng.

C. Cả hai câu đều đúng D Cả hai câu đều sai.

Câu 8 Các khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 10 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x thì mọi nguyên hàm của ( ) f x đều có dạng ( ) F x( )+ (C C là hằng số)

C F x( )= +1 tanx là một nguyên hàm của hàm số f x( )= +1 tan2x.

D F x( )= -5 cosx là một nguyên hàm của hàm số f x( )=sinx.

Câu 11 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Câu 14 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x ( ) 2sin  x

A  2sin xdx  2cos x C  B  2sin xdx  sin2 x C 

C  2sin xdx  sin 2 x C  D  2sin xdx  2 cos x C 

Câu 15 Một nguyên hàm của hàm số ( ) ( )

3 2

12

x

535

x

F x = -

C ( ) ( )

5320175

x

5315

x

F x = - -

Câu 18 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x ( )  ex 2 x thỏa mãn 3

(0) 2

2x

I = + + C

C. I =221x+ C D

1 2

Câu 27 Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?

A f x( )=sin2x và g x( )=cos2x. B f x( )=tan2x và ( ) 12 2

A F x ( ) cos  x  sin x  3 B F x ( )  cos x  sin x  3

C F x ( )  cos x  sin x  1 D F x ( )  cos x  sin x  1

Câu 40 Giả sử F x là nguyên hàm của hàm số ( ) f x( )=4x- Đồ thị của hàm số 1 F x và ( ) f x cắt nhau tại một điểm trên( )

trục tung Tọa độ các điểm chung của hai đồ thị hàm số trên là:

æ ö÷

ç ÷

ç ÷

çè ø.

Loại  TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

1 Phương pháp đổi biến số

Nếu òf x x( )d =F x( )+C thì òf u x u x xéë( )ùû '( )d =F u xéë( )ùû+C

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I =òf x x( )d , trong đó ta có thể phân tích f x( )=g u x u x( ( ) ) '( ) thì ta thực hiện phép đổi

biến số t u x= ( ), suy ra dt u x x= '( )d

Khi đó ta được nguyên hàm: òg t t G t( )d = ( )+ =C G u xéë( )ùû+C

Chú ý: Sau khi tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t u x= ( ).

Câu 34 Câu nào sau đây sai?

e x x

ò theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:

A t e= lnx B. t=ln x C t=x D t 1

x

=

Câu 43 F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) y xe= x2

Hàm số nào sau đây không phải là F x :( )

A. ( ) 1 2

22

x

52

Câu 46 F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) y e= sinxcosx

Nếu F p = thì ( ) 5 òesinxcos dx x bằng:

Câu 48 Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số:

(I) òtan dx x=- ln cos( x)+C

(II) 3cos sin d 1 3cos

Loại  TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [a b và có đạo hàm liên tục trên đoạn ; ] [a b ; ]

Khi đó: òu v uvd = - òv ud ( )*

Để tính nguyên hàm òf x x( )d bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1 Chọn u v, sao cho f x x u v( )d = d (chú ý  dv v x x= '( )d )

Sau đó tính v=òdv và du u x= '.d

Bước 2 Thay vào công thức ( )* và tính òv ud

Chú ý Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân òv ud dễ tính hơn òu vd Ta thườnggặp các dạng sau

íï =ê ú

ïï ë ûî

d xd

x u

ï =ïî

ï =ïî

Câu 50 Để tính òx2cos dx x theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

d cos d

u x

ìï =ïí

ï =

cos

v x x

ì =ïï

íï =

2cos

d d

ìï =ïí

ï =ïî

Câu 51 Kết quả của I =òxe x xd là:

Câu 60 Để tìm nguyên hàm của f x( )=sin4xcos4x thì nên:

A Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t=sinx

B Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t=cosx.

C. Biến đổi lượng giác 2 2 sin 22 1 cos4

sin cos

x x= = - rồi tính

D Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt u=sin , d4x v=cos d4x x.

Loại  ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN

2 Tính chất

Trong ba công thức trên:

A Chỉ có (I) sai B. Chỉ có (II) sai

C Chỉ có (I) và (II) sai D Cả ba đều đúng.

Câu 63 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

C /( )

2

11

II Hàm số F x đạt cực tiểu tại ( ) x = 3

III Hàm số F x đạt cực đại tại ( ) x = 3

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ I B Chỉ II C. I và II D I và III.

Câu 68 Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây:

ò là /( ) 1 ( )

01

x

x e x

x x+

ò được viết ở dạng lna

b với , a b là các số tự nhiên và ước chung lớn nhất của , a b bằng 1

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A 3a b- <12 B a+2b=13 C a b- >2 D a2+b2=41

Câu 87 Tính tích phân

2

2 1

- . C 5

52

+ Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu tiên bằng bao

nhiêu ? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

A 18,82 m B. 11,81m C 4,06m D 7,28m.

Câu 93 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động theo quy luật 1 3 2

6 2

s  t  t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó Hỏi trong khoảng

thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu ?

A 24 (m/s) B 108 (m/s) C 18 (m/s) D 64 (m/s)

Câu 94 Bạn Nam ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới và vận tốc chuyển động của máy bay là v t( )=3t2+5 m/ s( ) Quãng đường

máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là :

A 36m B 252m C 1134m D. 966m

Câu 95 (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm

đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t( )=- 5t+10(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc

bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ?

Câu 96 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động theo quy luật 1 3 2

6 3

s  t  t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó Hỏi trong khoảng

thời gian 9 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu ?

=+ Vận tốc ban đầu của vật là 6m/ s Vậntốc của vật sau 10 giây là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

Câu 99 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ

thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu

chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) với trục đối xứng song song

với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính

quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó

A. 264.334 con B 257.167 con C 258.959 con D 253.584 con.

Câu 101 Gọi h t( ) (cm) là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây Biết rằng ( ) 13

5

h t = t+ và lúc đầu bồnkhông có nước Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

A 2,33 cm B 5,06 cm C. 2,66 cm D 3,33 cm.

Câu 102 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h)

phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol với đỉnh 1

;8 2

I    

  và trục đối

xứng song song với trục tung như hình bên Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng

thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy

Câu 104 Khẳng định nào sau đây đúng ?

A Nếu w t là tốc độ tăng trưởng cân nặng/năm của một đứa trẻ, thì '( ) ( )

10

5' d

r t t

ò biểu thị số lượng thùng dầu tiêu thụ từ ngày 1 tháng 1 năm 2000 đến ngày

1 tháng 1 năm 2017

D. Cả A, B, C đều đúng

Câu 105 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ

thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu

chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với

trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng đường

s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 106 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho

nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả cho nhân viên trong cả năm đó tăngthêm 15% so với năm trước Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong

Câu 107 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Một vật chuyển động

trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian

t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh

(2;9)

I và trục đối xứng song song với trục tung như

hình bên Tính quãng đường s mà vật di chuyển được

Loại  TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 1

1 Phương pháp đổi biến số

a) Phương pháp đổi biến số loại 1

Giả sử cần tính ( )d

b

a

I =òf x x ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Đặt x u t= ( ) (với u t là hàm có đạo hàm liên tục trên ( ) [a b , ; ] f u téë( )ùû xác định trên [a b và ; ] u( )a =a u, ( )b = )b

và xác định a b, .

Bước 2 Thay vào, ta có: I f u t u t t( ) '( )d g t t G t( )d ( ) G( ) G( )

b a

x a t t

x a t t

p p p

t

p p

p p

d4

x I

p

0d

1d3

x

=+

t I

1d

p

p

b) Phương pháp đổi biến số loại 2

Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau:

ï = Þ =ïî

Bước 2 Thay vào ta có ( ) ( )

f x e x =

b

f x a

f x e x

b

f x a

A Chỉ I B Chỉ II C Chỉ III D Cả I, II và III

Câu 117 Cho f x là hàm số lẻ và liên tục trên ( ) [- a a; ] Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

- C 52

529

-

Câu 121 Cho

2 2 1

I =ò u u C

3 3 2 0

23

1d

d1

d1

t t I

t

=+

2

3 22 2

d1

t t I

t

=-

3 2 2

d1

t t I

t

=+

Câu 124 Kết quả của tích phân

2

3 1

d1

x I

d ln1

2

ln 2.2

I

d 3

I = òt t C

2 3 1

29

f t t

ò , với t=lnx+2 Khi đó f t là hàm nào trong các hàm số sau?( )

A f t( ) 2 12

t t

= - B f t( ) 12 2

t t

=- + C f t( ) 2 12

t t

= + D f t( ) 2 12

t t

I =òt t C

3 1 0

23

Câu 136 Tìm a biết

1

d ln2

x x

e x ae e I

ae b e

-+

++

ò với a b, là các số nguyên dương

x

p

=ò ta chọn cách đặt nào sau đây cho phù hợp?

A Đặt t e= sinx B. Đặt t=sinx C Đặt t=cosx D Đặt t e= x

Câu 138 Cho tích phân 2 2

0sin cos d

d

f t t

ò , với t=sin2x Khi đó f t là hàm nào trong các hàm số sau?( )

dcos 3tan 1

1

4

2 1 d3

I n

=

1.2

I n

sincos d

ax

ax

f x ax x e

d axd

ax u

I =ò x - x x được viết ở dạng I =aln3- b với , a b là các số nguyên Khi đó a b

-nhận giá trị nào sau đây?

x x x m

- D.0 D 1

2.

Câu 160 Cho tích phân 2 sin

0sin2 xd

p

=ò Một học sinh giải như sau:

Bước 1: Đặt t=sinxÞ dt=cos dx x Đổi cận

1

0

2 d 1

Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A Bài giải trên sai từ Bước 1 B Bài giải trên sai từ Bước 2.

C Bài giải trên hoàn toàn đúng D Bài giải trên sai từ Bước 3.

x

p

=ò Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

(I) I+ =J e p (II) I - J =K (III) 1

5

e K

ò với nÎ ¥ Giá trị của I0+ là:I1

Bài toán 1 Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên đoạn [a b Khi đó diện tích ; ] S của hình phẳng ( )D

giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f x( ) ; trục hoành Ox (y = ) và hai đường thẳng 0 x a x b= ; = là

www.thuvienhoclieu.Com

y=f(x) y

x O

3-2

y x

=+ , trục hoành, đường thẳng x =0 và đường thẳng x =4là:

2 18

e

2 12

Câu 178 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( )P y x: = 2- 2x+ , tiếp tuyến với nó tại điểm 2 M(3;5) và trục Oy là giá

trị nào sau đây?

A S =4 B S =27 C.S =9 D.S =12

Câu 179 Cho hàm số y x= 2- 2x+ có đồ thị 2 ( )C Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm có hoành độ bằng 3 có đồ thị

D Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )C , đường thẳng V và trục tung Giá trị củaSlà:

Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng ( )P và ( )Q vuông góc với trục Ox lần lượt tại x a x b a b= , = ( < Một mặt phẳng)

bất kì vuông góc với Ox tại điểm x a x b( £ £ ) cắt C theo một thiết diện có diện tích S x Giả sử ( ) S x là hàm liên tục trên( )

đoạn [a b Khi đó thể tích của vật thể ; ] C giới hạn bởi hai mặt phẳng ( )P và ( )Q được tính theo công thức ( ) d

b

a

b) Tính thể tích vậy tròn xoay

Bài toán 1 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi

quay miền D được giới hạn bởi các đường

( ); 0

y=f x y= ; x a= ; x b= quanh trục Ox

được tính theo công thức

Câu 190 Hình phẳng C giới hạn bởi các đường y x= 2+ , trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 y x= 2+ tại điểm 1 (1;2)

, khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng:

Câu 192 (TRÍCH ĐỀ THPT QG 2017) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2 sin  x, trục hoành và các

đường thẳng x  0, x   Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?

Câu 196 Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các parabol y= -4 x2 và y= +2 x2 quay quanh trục

Ox là kết quả nào sau đây?

Câu 200 Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x, y=- + , x 2 y = quay quanh trục0

Oy, có giá trị là kêt quả nào sau đây?

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC

Loại  HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ 1

Loại  TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 5

Loại  TÌM HỌ NGUYÊN HÀM = PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 7

Loại  ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN 9

Loại  TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 1 14

Loại  TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 2 15

Loại  TÍNH TÍCH PHÂN = PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 19

Loại  TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 20

Loại  TÍNH THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY 23