Đề thi học sinh giỏi VMO môn Toán cấp tỉnh năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Phú Thọ

Đề thi học sinh giỏi VMO môn Toán cấp tỉnh năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Phú Thọ dành cho các bạn học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh. Mời các em tham khảo để tổng hợp lại các kiến thức môn học, làm quen với cách thức ra đề thi của tỉnh. Chúc các em ôn tập và rèn luyện thật tốt!

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MƠN TỐN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi 25/09/2021 Thời gian làm :180 phút Tên : Trương Quang An Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Bài 1.(5đ) Cho dãy số ( xn )n0 xác định x0   0;1 , xn1  xn  xn2 , n  nxn  a.Chứng minh nlim  b.Tìm giới hạn nlim  n(1  nxn ) ln n Bài 2.(5đ) Cho số thực dương a,b,c thỏa abc=1chứng minh a b c 1 b c a         2(a  b  c    ) b c a b c a a b c Bài 3.(5đ) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD,BE,CF cắt trực tâm H.Lấy O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M trung điểm đoạn BC.Gọi K giao điểm MH AB,L giao điểm AO với BH.Chứng minh KL qua trung điểm đoạn EF Bài 4.(5đ) Cho a,b,c,d số nguyên dương gcd(a,b)=1.chứng minh gcd(am  bm , an  bn )  agcd( m,n )  bgcd( m,n) gcd(x,y) ước chung lớn hai số nguyên x y Bài 5.(7đ) Cho dãy số  an n0 nguyên có tính chất với số tự nhiên m,đa thức Pm ( x )  am x m  am1 x m1   a1 x  a0 có m nghiệm thực chứng minh am  n  1, n  Bài 6.(7đ) Cho tam giác nhọn ABC D,E,F chân đường cao hạ từ A,B,C.Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF BDF tương ứng I1 , I2 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACI1 , BCI2 O1 , O2 a.Chứng minh điểm A, B, I1 , I2 thuộc đường tròn b.Chứng minh I1 I2 song song O1O2 Bài 7.(6đ) Cho n số ngun dương tìm số hốn vị a1 , a2 , , an dãy 1,2, ,n thỏa a1  2a2   nan