Hi vọng Đề thi học sinh giỏi VMO môn Toán cấp tỉnh năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Hà Nam sẽ cung cấp những kiến thức bổ ích cho các em trong quá trình học tập nâng cao kiến thức trước khi bước vào kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh sắp tới. Mời các em cùng tham khảo.
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MƠN TỐN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi 22/09/2021 Thời gian làm :180 phút Tên : Trương Quang An Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 2033 x Bài (4,0 điểm) Cho dãy số ( xn ) thỏa mãn x x 11x 8, n * n n1 n a) Chứng minh dãy số ( xn ) dãy số tăng Tính lim un k 1 x 10 k n b) Với số nguyên dương n, đặt un Bài (5,0 điểm) Cho hàm số f : * thỏa mãn f ( x f ( y) x f ( y), x, y * a) Chứng minh f ( x ) x, x * b) Tìm tất hàm số thỏa mãn điều kiện nêu Bài (6,0 điểm)Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O), có AB, AC Tiếp tuyến B C, đường tròn (O) cắt P Gọi M, N trung điểm CA, CB.Đường thẳng qua P song song với AO cắt OM ,ON K L a) Gọi J trực tâm tam giác OKL Chứng minh đường thẳng AP qua trung điểm OJ b) Gọi S giao điểm thứ hai khác A đường tròn (O) S Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác SMN tiếp xúc với đường tròn (O) Bài (5,0 điểm) Với X tập hợp số thực, kí hiệu S(X) tổng phần tử thuộc tập hợp X Một tập hợp A gồm sốnguyên dương gọi tập hợp “nguyên tố” với tập B khác rỗng tập hợp A gcd (S(A); S(B)) =1 ước chung lớn hai số tự nhiên a b, a) Tìm tập hợp “nguyên tố” gồm phần tử b) Tìm tất số nguyên dương n cho với n tồn a,bđể tập hợp A (a b)2 ,(a 2b)2 , ,(a nb)2 tập hợp nguyên tố Bổ đề Cho tam giác ABC có trung điểm AC,AB M,N Gọi đường thẳng qua A song song BC cắt (O) P AD đường cao tam giác ABC PD cắt lại (O) S khác P Khi đó: (SMN) tiếp xúc (O) Bài ảo v :)) f(y) < chọn x= -f(y) tồn a>0 để f(a)=0 Cho y=a f(x)=x , mâu thuẫn :)) suy f(y) >= Suy f(x+f(y))= x+f(y) Bài hình giải sau: (Thực ta làm thẳng với tam giác OKL, để phục vụ cho việc định nghĩa điểm dùng ý b, làm tam giác ABC Ở đây, OKL ABC đồng dạng nghịch, dựng ảnh mà tương ứng thôi.) Gọi H, Q, W, T, Y trực tâm ABC, giao tiếp tuyến A (O) với BC, trung điểm BC, OJ AH Cấu hình (OKL, J, P, T) (ABC, H, Q, Y) đồng dạng nghịch Để AP qua T, ta cần AP ảnh QY qua phép đồng dạng kể Thật vậy: WY//OA vng AQ nên Y trực tâm AQW Có (QY, QA) = (AW, AO) = (AH, AP) = (PO, PA) Hoàn tất ý a Gọi X trung điểm AQ AP vuông OQ nên OAT AQO đồng dạng thuận Gấp đôi cạnh OT chia đôi cạnh AQ ta OAJ AXO đồng dạng thuận nên OX vuông AJ Suy XS = XA kết hợp việc X thuộc MN có điều phải chứng minh ... Bổ đề Cho tam giác ABC có trung điểm AC,AB M,N Gọi đường thẳng qua A song song BC cắt (O) P AD đường... cao tam giác ABC PD cắt lại (O) S khác P Khi đó: (SMN) tiếp xúc (O) Bài ảo v :)) f(y) < chọn x= -f(y) tồn a>0 để f(a)=0 Cho y=a f(x)=x , mâu thuẫn :)) suy f(y) >= Suy f(x+f(y))= x+f(y) Bài hình