Bài giảng trọng tâm Toán 10: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Dạng toán 3: Xét vị trí tương đối của điểm, đường thẳng, Elíp và Hypebol Phương pháp thực hiện Bằng việc xét hệ phương trình tạo bởi H và d, khi đó số nghiệm của phương tr×nh b»ng sè gia[r]

chương − phương pháp toạ độ mặt phẳng A KiÕn thøc cÇn nhí I §­êng th¼ng vectơ phương đường thẳng   Định nghĩa 1: Một vectơ a khác gọi là vectơ phương (viết tắt vtcp) đường  th¼ng (d) nÕu gi¸ cña a song song hoÆc trïng víi (d) NhËn xÐt:    Nếu a là vtcp đường thẳng (d) thì vectơ k a với k ≠ là vtpt (d)  a  NÕu a (a1; a2) lµ vtcp cña ®­êng th¼ng (d) th× víi a1 ≠ ta gäi k = lµ hÖ sè a1 gãc cña ®­êng th¼ng (d)  Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết vtcp nó và ®iÓm mµ nã ®i qua phương trình tham số đường thẳng Ta cã kÕt qu¶: x x + a1 t = Qua M (x , y )  (d):  ⇔ (d):  , t ∈  y y0 + a2t  vtcp a(a1 ,a ) = Phương trình (1) với điều kiện a12 + a 22 > gọi là phương trình tham số ®­êng th¼ng Các trường hợp riêng: NÕu a1 = 0, ta ®­îc: x = x (d):  ,t∈  y y0 + a2t =  là đường thẳng có vtcp a (0; a2) đó nó vuông góc với Ox, cắt Ox điểm có hoành độ x0 NÕu a2 = 0, ta ®­îc: x x + a1 t = (d):  ,t∈  y = y  là đường thẳng có vtcp a (a1; 0) đó nó vuông góc với Oy, cắt Oy điểm có tung độ y0 phương trình chính tắc đường thẳng Ta cã kÕt qu¶: x − x0 y − y0 Qua M (x , y )  ⇔ (d): = (d):  a1 a2  vtcp a(a1 ,a ) 337 Từ đó, đường thẳng (d) qua hai điểm M1(x1; y1) và M2(x2; y2), ta có: Qua M1 (x1 , y1 ) x − x1 y − y1 ⇔ (d): = (d):  Qua M (x , y ) x − x1 y − y1 2  vect¬ ph¸p tuyÕn cña ®­êng th¼ng   §Þnh nghÜa 2: Mét vect¬ n kh¸c gäi lµ vect¬ ph¸p tuyÕn (viÕt t¾t vtpt) cña ®­êng  th¼ng (d) nÕu gi¸ cña n vu«ng gãc víi (d) NhËn xÐt:    Nếu n là vtpt đường thẳng (d) thì vectơ k n với k ≠ là vtpt (d)  Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết vtpt nó và ®iÓm mµ nã ®i qua phương trình tổng quát đường thẳng Ta cã kÕt qu¶: Qua M (x , y ) ⇔ (d): A(x − x0) + B(y − y0) = (d):    vtpt n(A, B) Phương trình tổng quát đường thẳng: (d): Ax + By + C = 0, víi A2 + B2 > vµ nã cã:    vtpt n (A; B), vtcp a (B; −A) A  hÖ sè gãc k = − , víi B ≠ B Các trường hợp riêng: NÕu A = 0, ta ®­îc: C (d): By + C = ⇔ (d): y = − B  là đường thẳng có vtpt n (0; B) đó nó vuông góc với C Oy, cắt Oy điểm có tung độ − B Lưu ý: Bản thân trục Ox có phương trình y = NÕu B = 0, ta ®­îc: C (d): Ax + C = ⇔ (d): x = − A  là đường thẳng có vtpt n (A; 0) đó nó vuông góc với C Ox, cắt Ox điểm có hoành độ − A Lưu ý: Bản thân trục Oy có phương trình x = NÕu C = 0, ta ®­îc (d): Ax + By = y n −C/B O x y (d) n O −C/A x y (d) O 338 (d) x  là đường thẳng có vtpt n (A; B) và qua gốc toạ độ O Nếu A2 + B2 = 1, thì (4) gọi là phương trình pháp dạng đường thẳng Lưu ý: Để đưa phương trình tổng quát đường thẳng (d): Ax + By + C = phương trình pháp dạng ta cần chia hai vế phương trình cho đặt: A B C , B0 = vµ C0 = A0 = 2 2 A +B A +B A + B2 A2 + B , Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình (d1): A1x + B1y + C1 = vµ (d2): A2x + B2y + C2 = việc xét hệ phương trình tạo (d1) và (d2), ta có kết quả: A B C a NÕu = ≠ ⇔ (d1) // (d2) A2 C2 B2 B C A b NÕu = = ⇔ (d1) ≡ (d2) B2 C2 A2 A B c NÕu ≠ ⇔ (d1) c¾t (d2) t¹i ®iÓm I A2 B2 trường hợp này đường thẳng qua I có dạng: (3) α(A1x + B1y + C1) + β(A2x + B2y + C2) = 0, víi α2 + β2 > Phương trình (3) gọi là phương trình chùm đường thẳng, điểm I gọi là t©m cña chïm Ta thường dùng phương trình chùm đường thẳng để giải các bài toán dạng: " Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng đã cho và thoả mãn thêm điều kiện K " mà không cần tìm toạ độ giao điểm đó gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng Gäi α = g((d1),(d2)), ≤ α ≤ 900    Gọi a , b theo thứ tự là vtcp (d1), (d2), đó:  | a.b | cosα =   | a |.| b | NhËn xÐt r»ng (d1) ⊥ (d2) ⇔ a1b1 + a2b2 =  Gọi k1, k2 theo thứ tự là hệ số góc (d1), (d2) , đó: k − k2 tgα = + k1 k (4) (5) NhËn xÐt r»ng (d1) ⊥ (d2) ⇔ k1.k2 = −1 339 khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(xM, yM) và đường thẳng (d) có phương trình (d): Ax + By + C = Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) cho bởi: | Ax M + By M + C | d(M, (d)) = A2 + B  Chú ý: Khoảng cách đại số từ M(x , yM) tới đường thẳng (d) định nghĩa: Ax M + By M + C tM = HM = A2 + B M Phương trình đường phân giác §Þnh lý 4: Trong mÆt ph¼ng Oxy, cho hai ®­êng th¼ng (d2): A2x + B2y + C2 = (d1): A1x + B1y + C1 = 0, Khi đó phương trình hai đường phân giác (∆1) và (∆2) các góc tạo (d1) và (d2) lµ: A1 x + B y + C A x + B2y + C2 =± 2 A1 + B A 22 + B 22  Chó ý: NÕu (d ) vµ (d ) kh«ng vu«ng gãc víi th× (d ) t¹o víi (d ) hai gãc 2 nhọn và hai góc tù, đó ta có thể xác đinh phương trình đường phân gi¸c cña gãc nhän hoÆc gãc tï nhê kÕt qu¶ b¶ng sau: DÊu cña Phương trình đường phân Phương trình đường phân   gi¸c cña gãc nhän t¹o bëi gi¸c cña gãc tï t¹o bëi n n (d1), (d2) øng víi (d1), (d2) øng víi t1 = t2 − t1 = − t2 + t1 = t2 t1 = − t2 đó:    n 1(A1, B1), n 2(A2, B2) theo thø tù lµ vtpt cña (d1), (d2)  t1, t2 theo thứ tự là khoảng cách đại số từ M(x, y) tới (d1), (d2) II §­êng trßn phương trình chính tắc đường tròn §Þnh lý 1: Trong mÆt ph¼ng Oxy, ®­êng trßn (C) cã t©m I(a, b) vµ b¸n kÝnh R cã phương trình: (1) (C): (x − a)2 + (y − b)2 = R2 VËy, ta ®­îc: T©m I(a;b) (C):  ⇔ (C): (x − a)2 + (y − b)2 = R2 BkÝnh R  340  Chó ý: Ta cã:  Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình x2 + y2 = R2  Đường tròn đơn vị có phương trình x2 + y2 = phương trình tổng quát đường tròn Định lý 2: Trong mặt phẳng Oxy, đường cong (C) có phương trình (C): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0, víi a2 + b2 − c ≥ (2) là phương trình đường tròn tâm I(a, b) và bán kính R = a + b − c Phương trình tiếp tuyến đường tròn Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình tiếp tuyến (d) điểm M(x0; y0) ®­êng trßn (C): (C): (x − a)2 + (y − b)2 = R2 có phương trình: (5) (d): (x − a)(x0 − a) + (y − b)(y0 − b) = R2  Chó ý: Phương trình (5) gọi là phương trình phân đôi toạ độ theo quy tắc (x − a)2 = (x − a).(x − a) thay b»ng (x − a).(x0 − a) (y − b)2 = (y − b)(y − b) thay b»ng (y − b)(y0 − b) Nếu (C) có phương trình tổng quát: (C): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0, víi a2 + b2 − c ≥ thì tiếp tuyến (d) có phương trình: (d): x.x0 + y.y0 − a(x + x0) − b(y + y0) + c = dùa theo quy t¾c: x2 = x.x thay b»ng x.x0 y2 = y.y thay b»ng y.y0 2ax = a(x + x) thay b»ng a(x + x0) 2by = b(y + y) thay b»ng a(y + y0) Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp tuyến) với đường trßn (C) cã t©m I vµ b¸n kÝnh R vµ chØ khi: d(I, (d)) = R phương tích điểm đường tròn Cho đường tròn (C) có phương trình: (C): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0, víi a2 + b2 − c ≥ Phương tích điểm M(x0, y0) đường tròn (C) xác định bởi: p = x 20 + y 20 − 2ax0 − 2by0 + c M/(C) Tõ gi¸ trÞ vÒ dÊu cña  NÕu p M/(C) p M/(O) ta xác định vị trí điểm M (C) > ⇔ M ë ngoµi ®­êng trßn (C) 341   p NÕu p NÕu M/(C) = ⇔ M ë trªn ®­êng trßn (C) M/(C) < ⇔ M ë ®­êng trßn (C) Trục đẳng phương hai đường tròn Cho hai đường tròn không đồng tâm (C1) và (C2) có phương trình: (C1): x2 + y2 − 2a1x − 2b1y + c1 = 0, víi a12 + b12 − c1 ≥ (C2): x2 + y2 − 2a2x − 2b2y + c2 = 0, víi a 22 + b 22 − c2 ≥ Khi đó tập hợp điểm có cùng phương tích với hai đường tròn (C1) và (C2) là đường thẳng (d), gọi là trục đẳng phương hai đường tròn (C1), (C2) có phương trình: (d): 2(a1 − a2)x + 2(b1 − b2)y − c1 + c2 = III ElÝp phương trình chính tắc elíp §Þnh lý 1: Trong mÆt ph¼ng Oxy, ElÝp (E) cã hai tiªu ®iÓm F1(−c; 0), F2(c; 0) vµ cã tæng hai b¸n kÝnh qua tiªu øng víi điểm tuỳ ý M(x; y)∈(E) là 2a (a > c) có phương trình: (E): x2 y2 + = , víi b2 = a2 − c2 a2 b2 y M F1 x yb O F2 x  Chó ý: §iÓm M(x, y)∈(E) lu«n cã: F1M = a + cx cx vµ F2M = a − a a phương trình tham số elíp Elíp (E) có phương trình chính tắc: x2 y2 + = a2 b2 ®­îc chuyÓn vÒ d¹ng tham sè: x  a = sin t x = a sin t (E):  , t ∈ [0, 2π) ⇔ (E):  , t ∈ [0; 2π) (*) y = b cos t  y = cos t  b Phương trình (*) gọi là phương trình tham số dạng lượng giác Elíp (E) t Ta biết rằng, đặt z = tan thì: 2z − z2 sint = vµ cost = , + z2 + z2 (E): 342 đó (*) có thể viết dạng: 2az  x = + z (E):  , z ∈  y = b(1 − z ) + z2  Phương trình (**) gọi là phương trình tham số dạng đại số (E) h×nh d¹ng cña elÝp y Với Elíp (E) có phương trình: (**) M b B2 x y + = , víi a > b > a b ta xÐt c¸c tÝnh chÊt h×nh häc cña (E) b»ng c¸ch xÐt các tính chất đại số tương ứng phương trình trên (E): A1 −a A2 F1 O −b F2 a x B1 a Phương trình (E) có bậc chẵn x và y nên:  NÕu ®iÓm M(x; y)∈(E) th× c¸c ®iÓm M1( − x; y), M2( − x; − y) vµ M3(x; − y) còng thuéc (E)  (E) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc O làm tâm đối xứng b (E) cắt các trục toạ độ bốn điểm:  (E) ∩ Ox = {A1, A2} có toạ độ là A1(−a; 0), A2(a; 0) và đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn (E) có độ dài 2a  (E) ∩ Oy = {B1, B2} có toạ độ là B1(0; −b); B2(0; b) và đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ (E) có độ dài 2b  Bốn điểm A1, A2, B1, B2 gọi là bốn đỉnh Elíp (E) L­u ý: Hai tiªu ®iÓm cña ElÝp (E) lu«n ë trªn trôc lín c Hình chữ nhật sở: hình chữ nhật có các đỉnh là giao điểm các đường thẳng x = ± a vµ c¸c ®­êng th¼ng y = ±b ®­îc gäi lµ h×nh ch÷ nhËt c¬ së cña (E) VËy Elíp (E) nằm hình chữ nhật có tâm đối xứng O, có các kích thước là 2a, 2b d Tõ M(x; y) ∈ (E) ta ®­îc:  x2  ≤ | x |≤ a  −a ≤ x ≤ a a ⇔  ⇔   | y |≤ b −b ≤ y ≤ b y ≤  b T©m sai cña elÝp Tâm sai Elíp là số thực e tỉ số tiêu cự và độ dài trục lớn Elíp  §èi víi ElÝp (E): x2 y2 c + = , víi a > b th× e = a a b  §èi víi ElÝp (E): c x2 y2 + = , víi a < b th× e = b a b 343  Chó ý: Mọi Elíp có tâm sai nhỏ T©m sai e = suy c = ⇔ a = b Khi đó: x2 y2 x2 y2 ⇔ + = ⇔ x2 + y2 = a2 + = a2 a2 a2 b2 ElÝp trë thµnh ®­êng trßn t©m O, b¸n kÝnh b»ng a IV Hypebol phương trình chính tắc Hypebol §Þnh lý 1: Trong mÆt ph¼ng Oxy, Hypebol (H) cã hai tiªu ®iÓm F1( − c; 0), F2(c; 0) vµ cã hiÖu hai b¸n kÝnh qua tiªu øng víi ®iÓm tuú ý M(x; y) ∈ (H) lµ 2a (a > c) cã phương trình: (H): x2 y2 − = , víi b2 = c2 − a2 a2 b2  Chó ý: §iÓm M(x; y) ∈ (H) lu«n cã: cx cx + a vµ F2M = − a víi x > a a cx cx − a vµ F2M = − + a víi x < b F1M = − a a a F1M = h×nh d¹ng cña Hypebol Với Hypebol (H) có phương trình: y Q B2 P x2 y2 − = A2 F2 x F1 A1 O a2 b2 B1 ta xÐt c¸c tÝnh chÊt h×nh häc cña (H) b»ng c¸ch xÐt R S các tính chất đại số tương ứng phương trình trên c Phương trình (H) có bậc chẵn x và y nên:  NÕu ®iÓm M(x; y) ∈ (H) th× c¸c ®iÓm M1(−x; y), M2(−x; −y) vµ M3(x; −y) còng thuéc (H)  (H) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc O làm tâm đối xứng d (H) cắt các trục toạ độ hai điểm:  (H) ∩ Ox = {A1, A2} có toạ độ là A1(−a; 0), A2(a; 0) và đoạn thẳng A1A2 gọi là trụ c thực (H) có độ dài 2a  (H) không cắt Oy, đặt B1(0; −b); B2(0; b) và đoạn thẳng B1B2 gọi là trục ảo (H) có độ dài 2b  Vậy trục thực Hyperbol là trục đối xứng cắt Hyperbol, trục ảo là trục đối xøng kh«ng c¾t Hyperbol  Bốn điểm A1, A2, B1, B2 gọi là bốn đỉnh Hypebol (H) (H): 344 L­u ý: Hai tiªu ®iÓm cña Hypebol (H) lu«n ë trªn trôc thùc e Hình chữ nhật sở: hình chữ nhật có các đỉnh là giao điểm các đường thẳng x = ±a vµ c¸c ®­êng th¼ng y = ± b ®­îc gäi lµ h×nh ch÷ nhËt c¬ së cña (H) f Tõ M(x; y) ∈ (H) suy ra: x ≥ a x2 ≥ ⇔ |x| ≥ a ⇔  a  x ≤ −a Nh­ vËy Hyperbol (H) lµ tËp hîp cña hai tËp kh«ng giao - TËp cña (H) chøa nh÷ng ®iÓm M(x; y) tho¶ m·n x ≥ a gäi lµ nh¸nh bªn ph¶i cña Hyperbol - TËp cña (H) chøa nh÷ng ®iÓm M(x; y) tho¶ m·n x ≤ −a gäi lµ nh¸nh bªn tr¸i cña Hyperbol - Hai nhánh này đối xứng qua trục ảo và hai nhận trục thực làm trục đối xứng b a Tõ M(x; y) ∈ (H) ⇔ y = ± x − a2 a b - Khi x→ +∞: (H) cã tiÖm cËn y = x a b - Khi x→ −∞: (H) cã tiÖm cËn y = − x a b VËy Hyperbol (H) cã ®­êng tiÖm cËn lµ: y = ± x a b C¸ch dùng Hyperbol (H) - Xác định vị trí các điểm A1(−a; 0) ;A2(a; 0), B1(0; −b), B2(0; b) trên hệ toạ độ - Dùng c¸c ®­êng th¼ng x = ±a vµ y = ±b c¾t t¹i P, Q, R, S - Hình chữ nhật PQRS có kích thước 2a, 2b gọi là hình chữ nhật sở Hyperbol - KÎ hai ®­êng tiÖm cËn lµ hai ®­¬ng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt c¬ së - Dựa trên hai đỉnh A1, A2 và hai đường tiệm cận để vẽ Hyperbol y Hyperbol liªn hîp Định nghĩa Hai Hyperbol có phương trình: x2 y2 x2 y2 (H1): − = vµ (H2): − = −1 a b a b gäi lµ hai Hyperbol liªn hîp B2 F1 A1 O A2 F2 x B1  Chó ý: Hai Hyperbol liªn hîp: - Cã chung c¸c ®­îng tiÖm cËn vµ h×nh ch÷ nhËt c¬ së - Có các tiêu điểm và đỉnh khác Trục thực Hyperbol này là trục ảo Hyperbol và ngược lại 345 T©m sai cña Hypebol Tâm sai Hypebol là số thực e tỉ số tiêu cự và độ dài trục thực Hypebol c x2 y2  §èi víi Hypebol (H): − = th× e = a a b c x2 y2  §èi víi Hypebol (H): − = −1 th× e = b a b  Chú ý: Mọi Hypebol có tâm sai lớn V Parabol phương trình chính tắc Parabol p §Þnh lý 1: Trong mÆt ph¼ng Oxy, Parabol (P) cã hai tiªu ®iÓm F( ; 0) vµ ®­êng p chuẩn (d): x = − có phương trình (P): y2 = 2px  Chó ý: §iÓm M(x; y) ∈ (P) lu«n cã FM = x + 2p h×nh d¹ng cña Parabol Với Parabol (P) có phương trình: (P): y2 = 2px, víi p > (d) C¸c thuéc tÝnh cña (P) gåm:  §Ønh O(0; 0), −p/2 p  Tiªu ®iÓm F ( ; 0), p  §­êng chuÈn (d): x = − ,  Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị bên phải Ox  y O (P) p/2 x Chú ý: Ngoài dạng chính tắc y2 = 2px, người ta cung coi các dạng phương trình sau là phương trình chính tắc Parabol: (P): y2 = − 2px, (P): x2 = ± 2py VI Ba ®­êng c«nÝc §Þnh nghÜa: §­êng chuÈn cña ElÝp (Hyperbol) øng víi tiªu ®iÓm Fi (i = 1,2) lµ đường thẳng (∆i) (i = 1, 2) vuông góc với trục đối xứng chứa các tiêu điểm nằm cùng phía với Fi trục đối xứng còn lại và cách tâm Elíp (Hyperbol) a đoạn với e là tâm sai và a là độ dài nửa trục lớn (trục thực) e 346 x2 y2 + = víi a > b, ta cã: a2 b2  øng víi tiªu ®iÓm F1(−c; 0) lµ ®­êng chuÈn y (∆1) (∆2) a B2b (∆1): x = − e x A1 A2  øng víi tiªu ®iÓm F2(c; 0) lµ ®­êng chuÈn −a/e −a F1 O F2 a a/e a B1 (∆2): x = e b Với Hyperbol (H) có phương trình: x2 y2 (H): − = 1, a b (∆1) y ta cã: (∆2) a  øng víi F1(−c; 0) lµ ®­êng chuÈn (∆1): x = − e −a/e a/e F A2 F2 x A1 O a  øng víi F2(c; 0) lµ ®­êng chuÈn (∆2): x = e p Nh¾c l¹i: Víi Parabol (P): y2 = 2px cã ®­êng chuÈn x = − Đường chuẩn ba đường Conic có tình chất chung sau đây: Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để điểm nằm trên đường Conic là khoảng cách từ điểm đó tới tiêu điểm và đến đường chuẩn tương ứng tâm sai e đường Conic đó Định nghĩa 2: Đường Côníc (C) là tập hợp điểm có tỷ số các khoảng cách từ đó đến điểm cố định và đến đường thẳng cố định không qua điểm cố định ấy, số dương e Hằng số dương e chính là tâm sai đường Côníc (C)  NÕu e < : (C) lµ ElÝp  NÕu e = : (C) lµ Parabol  NÕu e > : (C) lµ Hyperbol a Với Elíp (E) có phương trình (E): B Phương pháp giải các dạng toán liên quan §1 §­êng th¼ng Dạng toán 1: Phương trình đường thẳng Phương pháp thực Phương trình: Ax + By + C = là phương trình đường thẳng và A2 + B2 > 347  Chó ý: §i kÌm víi hä ®­êng th¼ng (d ) thường có thêm các câu hỏi phụ: Câu hỏi 1: Chứng minh họ đường thẳng (dm) luôn qua điểm cố định C©u hái 2: T×m c¸c ®iÓm mµ hä (dm) kh«ng ®i qua Khi đó: a Với câu hỏi 1, ta thực theo các bước: Bước 1: Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định họ (dm), đó: Ax0 + By0 + C = ∀m Bước 2: Nhóm theo bậc m cho các hệ số ⇒ (x0, y0) Bước 3: Kết luận b Với câu hỏi 2, ta thực theo các bước: Bước 1: Giả sử M(x, y) là điểm mà họ (dm) không qua, đó: Ax + By + C = v« nghiÖm m Bước 2: Thiết lập điều kiện vô nghiệm ⇒ (x, y) ë ®©y cÇn nhí l¹i: a =  Phương trình am + b = vô nghiệm m ⇔  b ≠  Phương trình am2 + bm + c = (a ≠ 0) vô nghiệm m ⇔ ∆m <  Phương trình acosm + bsinm = c vô nghiệm m ⇔ a2 + b2 < c2 Bước 3: Kết luận m Thí dụ Tìm điều kiện m để phương trình sau là phương trình đường thẳng: mx + (m2 − 2m)y − =  Gi¶i Phương trình trên là phương trình đường thẳng và khi: A2 + B2 > ⇔ m2 + (m2 − 2m)2 > ⇔ m2(m2 − 4m + 5)2 > ⇔ m ≠ Vậy, với m ≠ phương trình đã cho là phương trình đường thẳng Thí dụ Cho phương trình mx + (m − 2)y − m = (1) a Chứng minh với m phương trình (1) là phương trình mét ®­êng th¼ng, gäi lµ hä (dm) b Tìm điểm cố định mà họ (dm) luôn qua  Gi¶i a Ta cã: A2 + B2 = m2 + (m − 2)2 = 2m2 − 4m + = 2(m − 1)2 + > 0, ∀m Vậy với m phương trình đã cho là phương trình đường thẳng b Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định mà họ (dm) luôn qua ⇔ mx0 + (m − 2)y0 − m = 0, ∀m ⇔ m(x0 + y0 − 1) − 2y0 = 0, ∀m x =  x + y0 − = ⇔  ⇔   y0 = −2y = Vậy họ (dm) luôn qua điểm cố định M(1; 0) 348 ThÝ dô T×m tËp hîp c¸c ®iÓm cña mÆt ph¼ng kh«ng thuéc bÊt cø ®­êng th¼ng nµo cña hä ®­êng th¼ng (dm): (m + 1)x − y + m2 − m =  Gi¶i Gäi M(x; y) lµ ®iÓm mµ hä (dm) kh«ng ®i qua ⇔ (m + 1)x − y + m2 − m = v« nghiÖm m ⇔ m2 + m(x − 1) + x − y = v« nghiÖm m ⇔ ∆m < ⇔ (x − 1)2 − 4(x − y) < ⇔ x2 − 6x + 4y + < VËy, tËp hîp c¸c ®iÓm M(x; y) tho¶ m·n x2 − 6x + 4y + < kh«ng thuéc bÊt cø ®­êng th¼ng nµo cña hä (dm) Dạng toán 2: Lập phương trình đường thẳng Phương pháp thực Ta sö dông c¸c kÕt qu¶: §­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm: Qua M (x , y ) x − x1 y − y1 ⇔ (d): = (d):  x − x1 y − y1 Qua M (x , y ) L­u ý:  Nếu M1(a, 0) và M2(0, b) với a, b ≠ thì phương trình (M1M2) xác định x y phương trình đoạn chắn (M1M2): + = a b  §­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm M0(x0, y0) lu«n cã d¹ng: (d): A(x − x0) + B(y − y0) = 0, víi A2 + B2 > §­êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm vµ biÕt vtcp: Qua M (x , y ) x − x0 y − y0 ⇔ (d): = (d):  a1 a2 vtcp a(a , a ) x = x + a t , t ∈ R hoÆc (d):  y = y + a t L­u ý: §­êng th¼ng (d) cã vtcp a (a1, a2) lu«n cã d¹ng: (d): a2x − a1y + C = §­êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm vµ biÕt vtpt: Qua M (x , y ) ⇔ (d): A(x − x0) + B(y − y0) = (d):  vtpt n(A, B )  L­u ý: §­êng th¼ng (d) cã vtpt n (n1, n2) lu«n cã d¹ng: (d): n1x + n2y + C = §­êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm vµ biÕt hÖ sè gãc k: Qua M (x , y ) ⇔ (d): y = k(x − x0) + y0 (d):  hsg k 349 L­u ý: §­êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc k lu«n cã d¹ng: (d): y = kx + m = Đường thẳng (d)//(∆): Ax + By + C = có phương trình: (d): Ax + By + D = Đường thẳng (d)⊥(∆): Ax + By + C = có phương trình: (d): Bx − Ay + D =  Chú ý: Trong nhiều trường hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng a Phương trình chùm đường thẳng b Phương pháp quỹ tích để xác phương trình đường thẳng Thí dụ Lập phương trình tham số đường thẳng (d) trường hợp sau: a (d) ®i qua ®iÓm M(2, 1) vµ cã vtcp a (3, 4) b (d) ®i qua ®iÓm M(−2, 3) vµ cã vtpt n (5, 1)  Gi¶i a Ta cã ngay: Qua M(2, 1) x = + 3t (d):  ⇔ (d):  , t ∈ R vtcp a(3, 4) y = + t b Ta cã: Qua M(−2, 3) Qua M(−2, 3) x = −2 + t ⇔ (d):  ⇔ (d):  , t ∈ R (d):  vtpt n(5, 1) vtcp a(1, − 5) y = − t Thí dụ Lập phương trình tổng quát đường thẳng (d) trường hợp sau: a (d) ®i qua ®iÓm M(−5, −8) vµ cã hÖ sè gãc k= −3 b (d) ®i qua hai ®iÓm A(2, 1) vµ B(−4, 5) c (d) ®i qua ®iÓm M(4, 0) vµ ®iÓm N(0, −1)  Gi¶i a Ta cã ngay: Qua M(−5, − 8) ⇔ (d): y = −3(x + 5) − ⇔ (d): 3x + y + 23 = (d):  hsg k = −3 b Ta cã: Qua A(2, 1) y −1 x−2 ⇔ (d): = ⇔ (d): 2x + 3y − = (d):  −4−2 −1 Qua B(−4 ,5) c Sử dụng phương trình đoạn chắn ta có: Qua M(4, 0) x y ⇔ (MN): + = ⇔ (MN): x − 4y − = (MN):  −1 Qua N (0, − 1) 350  Chú ý: Với câu b) chúng ta có thể tìm phương trình tổng quát đường thẳng (d) việc sử dụng phương trình tham số từ vtcp AB (−6, 4) suy vtpt n (2, 3) cña ®­êng th¼ng (d) ThÝ dô Cho ∆ABC, biÕt A(1, 4), B(3, −1), C(6, 2) a Lập phương trình tổng quát các đường thẳng AB, BC, CA b Lập phương trình tổng quát đường cao AH và trung tuyến AM  Gi¶i a Ta có: Qua A(1, 4) y−4 x −1 ⇔ (AB): = ⇔ (AB): 5x + 2y − 13 = (AB):  −1 −1− Qua B(3, − 1) Tương tự, ta nhân (BC): x − y − 4=0 và (CA): 2x+5y − 22=0 b Ta có: Qua A(1, 4) Qua A (AH):  ⇔ (AH):  vtpt n(1, 1) AH ⊥ BC ⇔ (AH): x − + y − = ⇔ (AH): x + y − = Qua A Qua A(1, 4) (AM):  ⇔ (AM):  Qua M(9 / 2,1/ 2) Qua M lµ trung diÓm BC ⇔ (AM): y−4 x −1 = ⇔ (AM): x + y − = −4 −1 2 ThÝ dô Cho ∆ABC, biÕt trung ®iÓm c¸c c¹nh lµ M(2; 1), N(5; 3), P(3; −4) a Lập phương trình các cạnh ∆ABC b Lập phương trình các đường trung trực ∆ABC  Gi¶i a Ta cã: B  Phương trình cạnh AB xác định bởi: qua P(3; − 4) qua P P  ⇔ (AB):  (AB):  AB // MN vtcp MN(3;2)   A x −3 y+4 N = ⇔ (AB): 2x − 3y − 18 = ⇔ (AB): Tương tự (BC), (AC) b Gäi c¸c ®­êng trung trùc kÎ tõ M, N, P theo thø tù lµ (dM), (dN), (dP)  Phương trình (dM) xác định bởi: qua M qua M(2;1)  ⇔ (dM):   (dM):   vtpt PN(2;7) (d M ) ⊥ PN M C 351 ⇔ (dM): 2(x − 2) + 7(y − 1) = ⇔ (dM): 2x + 7y − 11 = Tương tự (dN), (dP) Thí dụ Lập phương trình đường thẳng (d1) đối xứng với đường thẳng (d) qua (∆), biÕt: (d): x + 2y − 13 = vµ (∆): 2x − y − =  Gi¶i Với đểm M(x, y)∈(d1) ⇒ tồn điểm M0(x0, y0)∈(d) cho: trung ®iÓm I cña MM thuéc(∆)   MM ⊥ (∆)  x 0= (4x + 3y − 1)  x + x y + y0  − −1 =  2 ⇔ ⇔ 2  y = (−3x + 4y + 2) 1.(x − x ) + 2.(y − y ) =  Thay (I) vào phương trình (d), ta được: (4x + 3y − 1) + (−3x + 4y + 2) − 13 = ⇔ 2x − 11y + 62 = 5 Đó chính là phương trình đường thẳng (d1) (I) Thí dụ Thiết lập phương trình các đường phân giác các góc ∆ABC có ba cạnh tạo các phương trình : 3x − 4y = 0, 4x − 3y = 0, 5x + 12y − 63 =  Gi¶i Giả sử ba phương trình trên các cạnh AB, BC, AC  : Trước tiên: a Phương trình đường phân giác góc A  Tọa độ B là nghiệm hệ phương trình: x = 3x − 4y = ⇔  ⇒ B(0; 0)  y = 4x − 3y =  Tọa độ C là nghiệm hệ phương trình: x = 4x − 3y = ⇔  ⇒ C(3; 4)  y = 5x + 12y − 63 =  cña ∆ABC Gäi (dA) lµ ®­êng ph©n gi¸c cña gãc A Khi đó, điểm M(x, y)∈(dA)  M vµ B cïng phÝa víi (AC)  ⇔  M vµ C cïng phÝa víi (AB) ⇔ d(M,(AB)) = d(M,(AC))  352 (5x + 12y − 63)(−63) > (3x − 4y)(3.3 − 4.4) > | 5x + 12y − 63 | | 3x − 4y | = 52 + 12 32 + 5x + 12y − 63 <  ⇔ 3x − 4y < ⇔ 14x − 112y + 315 = 5(5x + 12y − 63)= 13(3x − 4y)  Đó chính là phương trình tổng quát đường thẳng (dA)   Tương tự: Với phương trình dường phân giác góc B,C ThÝ dô Cho ®iÓm M(2; 1) §­êng th¼ng (d) lu«n ®i qua M c¾t Ox, Oy theo thø tù A(a; 0), B(0; b) với a, b > Lập phương trình đường thẳng (d) cho: a DiÖn tÝch ∆OAB nhá nhÊt b OA + OB nhá nhÊt c  Gi¶i 1 + nhá nhÊt OB2 OA Tõ gi¶ thiÕt, ta ®­îc (d): x y + = a b + = b a a Ta cã, diÖn tÝch ∆OAB ®­îc cho bëi: ab S = OA.OB = 2 Tõ (1) suy 2 1= + ≥2 = ⇔ ab ≥ ⇔ S ≥ a b a b ab Vậy SMin = 1, đạt khi: a = 1 = = ⇔  a b b = V× M∈(d) nªn (1) Khi đó phương trình đường thẳng (d): x + 2y − = b Tõ (1), ta ®­îc : 2b a= ⇒ ®iÒu kiÖn b > b −1 Khi đó: 2b +b= +b+2 OA + OB = b −1 b −1 2 +b−1+3≥2 = (b − 1) + = 2 + b −1 b −1 Vậy (OA + OB)Min = 2 + 3, đạt khi: a= + 2 =b−1⇔  b −1 b = + 353 Khi đó phương trình đường thẳng (d): (1 + )x + (2 + )y − − = c Ta cã: 1 1 + = + OB2 OA a b NhËn xÐt r»ng: 1 1 1 (22 + 12)( + ) ≥ ( + )2 = ⇒ + ≥ b a b a b a 1 + )Min = , đạt khi: VËy ( OA OB2 2   + = a = ⇔ a b   2a = b b = Khi đó phương trình đường thẳng (d): 2x + y − = Dạng toán 3: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp thực Nếu hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình tổng quát: (d1): A1x + B1y + C1 = 0, (d2): A2x + B2y + C2 = để xét vị trí tương đối hai đường thẳng (d1), (d2), ta sử dụng kết quả: B A C a NÕu = ≠ ⇔ (d1) // (d2) C2 A2 B2 B A C b NÕu = = ⇔ (d1) ≡ (d2) A2 B2 C2 B A c NÕu ≠ ⇔ (d1) c¾t (d2) B2 A2 Các trường hợp khác thì việc xét hệ phương trình tạo hai đường thẳng (d1) và (d2), đó số nghiệm hệ phương trình cho phép kết luận vị trí tương đối hai đường thẳng Thí dụ Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng (d1) và (d2) sau đây: a (d1): 4x − 10y + = vµ (d2): x + y + = x = + t b (d1): 12x − 6y + 10 = vµ (d2):  , t ∈ R y = + t x = −6 + 5t c (d1): 8x + 10y − 12 = vµ (d2):  , t ∈ R y = − t  Gi¶i a Ta cã thÓ lùa chän mét hai c¸ch sau: 354 Cách 1: Xét hệ phương trình tạo phương trình (d1) và (d2), ta có : 4 x − 10 y + = 3 ⇔ x = vµ y = − ⇒ (d1) ∩ (d2) = {M( , − )}  2 2 x + y + = − 10 ≠ ⇒ (d1) vµ (d2) c¾t 1 b Bằng cách thay phương trình tham số (d2) và (d1), ta được: 12(5 + t) − 6(3 + 2t) + 10 = ⇔ 52 = 0, m©u thuÉn VËy, ta kÕt luËn (d1) // (d2) c Bằng cách thay phương trình tham số (d2) và (d1), ta được: 8( −6 + 5t) + 10(6 − 4t) − 12 = ⇔ = 0, luôn đúng VËy, ta kÕt luËn (d1) ≡ (d2) C¸ch 2: NhËn xÐt r»ng Thí dụ Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:  x = + 3t x = −2 t (d1):  , (d2):  ,t1, t2 ∈ R y = + t y = −3t a Xác định giao điểm (d1) và (d2) b TÝnh cosin gãc nhän t¹o bëi (d1) vµ (d2)  Gi¶i a Xét hệ phương trình tạo (d1) và (d2):  − t = + 3t t = ⇔ 1  t = −1  − 3t = + t VËy (d1) c¾t (d2) t¹i A(−2, −3)     b Gäi a , a theo thø tù lµ vtcp cña (d1) vµ (d2), ta cã a (−2, −3), a (1, 2) Khi đó, cosin góc nhọn α tạo (d1) và (d2) cho bởi:   | a a | | −2.1 − 3.2 | = cosα =  2 = 2 2 | a | | a | 65 (−2) + (−3) +  Chú ý: Việc xét vị trí tương đối hai đường thẳng có phương trình tổng qu¸t sÏ gîi ý cho chóng ta gi¶i bµi to¸n: " H·y biÖn luËn gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc F = (A1x + B1y + C1)2 + (A2x + B2y + C2)2 " Ta thực theo các bước sau: Bước 1: Xét hai đường thẳng (d1): A1x + B1y + C1 = vµ (d2): A2x + B2y + C2 = Bước 2: Vậy giá trị nhỏ F tuỳ thuộc vào vị trí tương đối (d1) và (d2) Xét hệ phương trình tạo (d1) và (d2) có dạng: A x + B y = − C  A x + B y = − C Xác định các giá trị D, Dx, Dy 355 Bước 3: BiÖn luËn: Dy Dx vµ y = D D Khi đó (d1) cắt (d2) đó minF = 0, đạt Dy D x = x vµ y = D D A B C b NÕu D = Dx = Dy = ⇔ = = A2 B2 C2 Khi đó (d1) ≡ (d2) đó minF = 0, đạt ∀M(x, y) ∈ (d1) c NÕu D = A1 B1 C1  = ≠ D x ≠ ⇔ A2 B2 C2 D ≠  y Khi đó thì (d1) // (d2) đó đặt t = A1x + B1y + C1, ta được: ∆ F = t2 + (kt + m)2 = (k2 + 1)t2 + 2mkt + m2 ≥ − 4a mk ∆ Vậy minF = − , đạt t = − 4a k +1 a NÕu D ≠ 0, hÖ cã nghiÖm nhÊt x = ThÝ dô H·y biÖn luËn theo a gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: F = (2x + y − 2)2 + (4x + ay − 1)2  Gi¶i   XÐt hai ®­êng th¼ng (d1): 2x + y − = vµ (d2): 4x + ay − = Vậy giá trị nhỏ F tuỳ thuộc vào vị trí tương đối (d1) và (d2) Xét hệ phương trình tạo (d1) và (d2) có dạng:  2x + y =  4x + ay = Ta cã: 2 2 D= = 2a − 4, Dx = = 2a − 1, Dy = = −6 a a NÕu D ≠ ⇔ 2a − ≠ ⇔ a ≠ 2a − −3 HÖ cã nghiÖm nhÊt x = vµ y = ⇒ (d1) cắt (d2) đó minF = 2a − a−2 NÕu D = ⇔ 2a − = ⇔ a = Víi a = 2, suy Dx = ≠ 0, hÖ v« nghiÖm Khi đó (d1) // (d2) đó F = (2x + y − 2)2 + (4x + 2y − 1)2 9 §Æt t = 2x + y − 2, ta ®­îc F = t2 + (t + 3)2 = 2t2 + 6t + = 2(x + ) + ≥ 2 356 , đạt khi: 3 t = − ⇔ 2x + y − = − ⇔ 4x + 2y − = 2 KÕt luËn: 2a − −3 vµ y =  Với a ≠ 2, minF = 0, đạt x = 2a − a−2  Với a = 2, minF = , đạt x, y thoả mãn 4x + 2y − = VËy minF = D¹ng to¸n 4: §iÓm vµ ®­êng th¼ng Phương pháp thực §Ó t×m ®iÓm M thuéc ®­êng th¼ng (d) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn K, ta lùa chän mét hai hướng sau: Hướng 1: Tận dụng phương trình đường thẳng (d) cho trước Cách 1: Nếu đường thẳng (d) cho dạng tham số : x = x + a t , t∈ R (d):  y = y + a t Bước 1: Lấy điểm M ∈ (d), suy M(x0 + a1t, y0 + a2t) Bước 2: Dựa vào điều kiện K xác định t Cách 2: Nếu đường thẳng (d) cho dạng tổng quát: (d): Ax + By + C = 0, víi A2 + B2 > Bước 1: Lấy điểm M(xM, yM) ∈ (d), suy AxM + ByM + C = Bước 2: Sử dụng điều kiện K thiết lập thêm phương trình cho xM và yM Từ đó tìm toạ độ M Lưu ý: Khi đó có thể chuyển phương trình (d) dạng tham số để sử dụng cách Hướng 2: Sử dụng điều kiện K khẳng định M thuộc đường (L), đó (d) ∩ (L) = {M} Thí dụ Cho đường thẳng (d) có phương trình: x = + t (d):  , t ∈ R y = + t T×m ®iÓm M thuéc (d) vµ c¸ch ®iÓm A(0, 1) mét kho¶ng b»ng  Gi¶i Vì M huộc (d) nên M(2 + 2t, + t) Khi đó: = AM = (2 + t ) + (2 + t ) ⇔ 5t2 + 12t − 17 = ⇔ t1 = vµ t2 = −   Víi t1 = 1, suy ®iÓm M1(4, 4) 17 24 Víi t2 = − , suy ®iÓm M2(− , − ) 5 17 357 VËy, tån t¹i hai ®iÓm M1(4, 4) vµ M2(− 24 , − ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi 5 Thí dụ Cho đường thẳng (d) có phương trình: (d): x − 2y + 15 = T×m trªn ®­êng th¼ng ®iÓm M(xM, yM) cho x 2M + y 2M nhá nhÊt  Gi¶i C¸ch 1: V× M(xM, yM) ∈ (d), suy xM − 2yM + 15 = ⇔ xM = 2yM − 15, đó: x 2M + y 2M = (2yM − 15)2 + y 2M = y 2M − 60yM + 225 = 5(yM − 6)2 + 45 ≥ 45 Vậy, ta ( x 2M + y 2M )Min = 45 đạt khi: yM = ⇒ M(−3, 6) Cách 2: Chuyển phương trình (d) dạng tham số: x = t − 15 , t ∈ R (d):  y = t §iÓm M ∈ (d), suy M(2t − 15, t) Khi đó: x 2M + y 2M = (2t − 15)2 + t2 = 5t2 − 60t + 225 = 5(t − 6)2 + 45 ≥ 45 Vậy ( x 2M + y 2M )Min = 45 đạt khi: t = ⇒ M( − 3, 6) Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxli Ta cã: xM − 2yM + 15 = ⇔ 15 = 2yM − xM Bunhiac« pxki ≤ (4 + 1)(y 2M + x 2M ) ⇔ x 2M + y 2M ≥ 45 Vậy ( x 2M + y 2M )Min = 45 đạt khi: ( d) yM = − 2xM ⇒ M( − 3, 6) Thí dụ Cho hai điểm A(1; 2), B(2; 5) và đường thẳng (d) có phương trình: (d): x − 2y − = T×m trªn ®­êng th¼ng (d) ®iÓm M cho: a (MA + MB) nhá nhÊt b |MA − MB| lín nhÊt 358  Gi¶i a Chuyển phương trình đường thẳng (d) dạng tham số:  x= 2t + (d):  t∈R y = t Vì M∈(d) nên M(2t + ; t) Khi đó ta có: MA + MB = = (2t + 1)2 + (t − 2)2 + 5t + + 4t + (t − 5)2 5t − 10t + 25 = ( t − 1) [ t2 +1 + +4] XÐt c¸c ®iÓm A1(0; −1); B1(1; 2) vµ M1(t; 0) Khi đó: MA + MB = (M1A1 + M1B1) V× M1 ch¹y trªn trôc hoµnh vµ A1, B1 n»m vÒ hai phÝa cña Ox nªn (MA + MB)min ⇔ ( M1A1 + M1B1)min ⇔ M1 = (A1B1) ∩ Ox ⇔ M1( ; 0) ⇔ M( ; ) 3 b Tương tự câu a) ta có: |MA − MB| = (2t + 1)2 + (t − 2)2 + 4t + (t − 5)2 = 5t + + 5t − 10t + 25 = XÐt c¸c ®iÓm A2(0; 1); B2(1; 2) vµ M2(t; 0) Khi đó: [ t2 +1 + ( t − 1) +4] |MA − MB| = |M2A2 − M2B2| V× M2 ch¹y trªn trôc hoµnh vµ A2, B2 n»m vÒ mét phÝa cña Ox nªn |MA − MB|max ⇔ |M2A2 − M2B2|max ⇔ M2 = (A2B2) ∩ Ox ⇔ M2(−1, 0) ⇔ M(0; −1) §2 §­êng trßn Dạng toán 1: Phương trình đường tròn Phương pháp chung Ta thực theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu dạng: (C): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = (1) Bước 2: Để (1) là phương trình đường tròn điều kiện là: a2 + b2 − c ≥ 359 Bước 3: Khi đó (C) có thuộc tính: T©m I(a;b)  2 BkÝnh R = a + b − c ThÝ dô T×m t©m vµ b¸n kÝnh cña c¸c ®­êng trßn sau: a x2 + y2 − 2x − 2y − = b 16x2 + 16y2 + 16x − 8y − 11 =  Gi¶i a Viết lại phương trình dạng: (x − 1)2 + (y − 1)2 = suy t©m I(1, 1) vµ b¸n kÝnh R = b Viết lại phương trình dạng: 11 1 x2 + y2 + x − y − = ⇔ (x + )2 + (y − )2 = 16 2 1 suy t©m I(− , ) vµ b¸n kÝnh R = ThÝ dô Cho hä ®­êng cong: (Cm): x2 + y2 − 2mx − 2(m + 1)y + 2m − = a Chứng minh với m luôn có (Cm) là phương trình ®­êng trßn b T×m tËp hîp t©m c¸c ®­êng trßn (Cm) c T×m ®­êng trßn cã b¸n kÝnh nhá nhÊt hä (Cm) d Tìm các điểm cố định mà đường tròn họ (Cm) qua e Chøng minh r»ng (Cm) lu«n c¾t Oy t¹i ®iÓm ph©n biÖt  Gi¶i a Ta cã: a2 + b2 − c = m2 + (m + 1)2 − 2m + = 2m2 + ≥ 0, luôn đúng Vậy, với ∀m phương trình đã cho là phương tr×nh cña mét ®­êng trßn, cã: T©m I m (m, m + 1)  R 2m + = B¸n kÝnh b Ta cã: x = m Im:  y= m + Khö m tõ hÖ (I), ta ®­îc: x − y + = VËy, t©m Im cña hä (Cm) thuéc ®­êng th¼ng (d): x − y + = 360 (I) c Ta cã: R2 = 2m2 + ≥ Vậy Rmin = , đạt m = VËy hä (Cm) ®­êng trßn (C0) cã b¸n kÝnh nhá nhÊt b»ng d Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định họ (Cm), ta được: x 20 + y 20 − 2mx0 − 2(m + 1)y0 + 2m − = 0, ∀m ⇔ ( − 2x0 − 2y0 + 2)m + x 20 + y 20 − 2y0 − = 0, ∀m −2x − 2y + = y = − x ⇔  ⇔  2 0 x + y − 2y − = x + (1 − x ) − 2(1 − x ) − =  M (1, 0) y = − x ⇔  ⇒   M (−1,2) x = ±1 Vậy, các đường tròn họ (Cm) luôn qua điểm cố định M1, M2 e Xét hệ phương trình tạo (Cm) và Oy: x + y − 2mx − 2(m + 1)y + 2m − =  x = ⇒ y2 − 2(m + 1)y + 2m − = (1) Ta cã: ∆’(1) = (m + 1)2 − 2m + = m2 + > 0, ∀m đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt y1,2 = ± Oy t¹i ®iÓm ph©n biÖt A(0,  m + ) vµ B(0, − m + , tøc lµ (Cm) lu«n c¾t m + ) Chú ý: Chúng ta đã biết khái niệm phương tích điểm đường tròn, đó chọn điểm C(0, 1) ∈ Oy và p C/(C) = − 2(m + 1) + 2m − = − < ⇔ C ë ®­êng trßn (C) VËy (Cm) lu«n c¾t Oy t¹i ®iÓm ph©n biÖt Thí dụ Cho họ đường cong có phương trình: (Cm): x2 + y2 − 2x − 4my + 4m = (1) a Tìm m để (Cm) là họ đường tròn b Chøng minh r»ng c¸c ®­êng trßn cña hä (Cm) lu«n tiÕp xóc víi điểm cố định  Gi¶i a Ta cã: a2 + b2 − c = + 4m2 − 4m = (2m − 1)2 ≥ 0, ∀m Vậy, với giá trị m phương trình (1) là phương trình đường tròn, cã t©m Im(1, 2m) vµ b¸n kÝnh R = |2m − 1| b Ta cã thÓ lùa chän mét hai c¸ch sau: 361 Cách 1: Với m1 và m2 (m1≠ m2), xét hệ phương trình tạo ( Cm ), ( Cm ):  x + y − 2x − 4m1 y + 4m1 = (1) (I)  2 (2)  x + y − 2x − 4m y + 4m = LÊy (1) − (2) ⇒ y = 1, thay vµo (1), ta ®­îc: x2 − 2x + = (*) Phương trình (*) có nghiệm kép x0 = ∀m Vậy, các đường tròn họ (Cm) luôn tiếp xúc với điểm cố định M(1; 1) Cách 2: Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định mà họ (Cm) luôn qua ⇔ x2 + y2 − 2x − 4my + 4m = , ∀m ⇔ 4m(−y + 1) + x2 + y2 − 2x = , ∀m − y + = x = ⇔  ⇔ M(1; −1) ⇔  2 y =  x + y − 2x = Nhận xét tâm Im họ (Cm) luôn thuộc đường thẳng (d) cố định qua điểm M cố định Vậy, các đường tròn họ (Cm) luôn tiếp xúc với điểm cố định M(1; 1) 2  NhËn xÐt: Như để "Chứng minh các đường tròn họ (Cm) luôn tiếp xúc với điểm cố định." ta cã thÓ lùa chän mét hai c¸ch: Cách 1: Thực theo các bước: Bước 1: Với m1 và m2 (m1 ≠ m2), xét ( C m ) cã t©m I1 vµ b¸n kÝnh R1 ( C m ) cã t©m I2 vµ b¸n kÝnh R2 Bước 2: Suy ra: I I = R + R   I I =| R − R | KÕt luËn: c¸c ®­êng trßn cña hä (Cm) lu«n tiÕp xóc víi t¹i mét điểm cố định M(x0; y0) là nghiệm kép (*) Cách 2: Thực theo các bước: Bước 1: Tìm điểm cố định M(x0, y0) mà đường tròn họ (Cm) luôn qua Bước 2: Nhận xét rằng: tâm Im họ (Cm) luôn thuộc đường thẳng (d) cố định qua M Bước 3: Kết luận: các đường tròn họ (Cm) luôn tiếp xúc với điểm cố định M(x0; y0) NÕu sö dông c¸ch chóng ta còng cã thÓ tr¶ lêi ®­îc c©u hái " C¸c ®­êng trßn cña họ (Cm) luôn tiếp xúc với đường thẳng (∆) cố định điểm cố định " Thật đó (Cm) luôn tiếp xúc với đường thẳng (∆) qua M và vuông góc với ®­êng th¼ng (d) Bước 3: 362 Dạng toán 2: Lập phương trình đường tròn thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp thực Gọi (C) là đường tròn thoả mãn điều kiện đầu bài Chúng ta lựa chọn phương tr×nh d¹ng tæng qu¸t hoÆc d¹ng chÝnh t¾c  Muốn có phương trình dạng tổng quát, ta lập hệ phương trình với ba ẩn a, b, c, ®iÒu kiÖn a2 + b2 − c ≥ • Muốn có phương trình dạng chính tắc, ta lập hệ phương trình với ba ẩn a, b, R, ®iÒu kiÖn R ≥  Chó ý: Cần phải cân nhắc giả thiết bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phương tr×nh thÝch hîp Trong nhiều trường hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phương pháp quỹ tích để xác phương trình đường tròn Thí dụ Lập phương trình đường tròn (C) các trường hợp sau: a (C) cã t©m I(−2, 3) vµ ®i qua ®iÓm M(2, −3) b (C) cã t©m I(−1, 2) vµ tiÕp xóc víi (d): x − 2y + = c (C) cã ®­êng kÝnh AB víi A(1, 1) vµ B(7, 5)  Gi¶i a V× M thuéc (C) nªn: R = IM = (2 + 2) + (−3 − 3) = 52 Khi đó, đường tròn (C) với tâm I(−2, 3) và bán kính R = 52 có phương trình: (C): (x + 2)2 + (y − 3)2 = 52 b V× (C) tiÕp xóc víi (d) nªn: | 1.(−1) − 2.2 + | = R = d(I, (d)) = 2 + (−2) Khi đó, đường tròn (C) với tâm I(−1, 2) và bán kính R = có phương trình: c §­êng trßn (C) cã ®­êng kÝnh AB, suy ra:  T©m I lµ trung ®iÓm AB nªn I(4, 3) AB =  B¸n kÝnh R = (7 − 1) + (5 − 1) = 13 2 Từ đó, suy phương trình đường tròn (C) có dạng: (C): (x − 4)2 + (y − 3)2 = 13 (C): (x + 1)2 + (y − 2)2 =  Chú ý: Để lập lập phương trình đường tròn qua ba điểm A, B, C (đường tròn ngoại tiếp ∆ABC) ta cân nhắc lựa chọn hai hướng sau: 363 Hướng 1: Tổng quát, ta thực theo các bước: Bước 1: Giả sử đường tròn (C) có phương trình: (C): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0, víi a2 + b2 − c ≥ (1) Bước 2: Từ điều kiện A, B, C thuộc (C), ta hệ phương trình với ba ẩn a, b, c Thay a, b, c vào (1) ta phương trình (C) Hướng 2: Dựa trên dạng đặc biệt ∆ABC, tức là: NÕu ∆ABC vu«ng t¹i A, th×: tam I la trung diÓm BC  (C):  BC R = 2 Nếu ∆ABC đều, cạnh a, thì: tam I la tam ∆ABC  (C):  a R =   Thí dụ Lập phương trình đường tròn (C) qua ba điểm A, B, C, biết A(1, 2), B(5, 2) vµ C(1, −3)  Gi¶i Ta cã thÓ lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Gi¶ sö ®­êng trßn (C) ngo¹i tiÕp ∆ABC cã d¹ng: (C): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0, víi a2 + b2 − c ≥ §iÓm A, B, C∈(C), ta ®­îc: 2a + b − c = a =   10a + b − c = 29 ⇔ b = −1/ , tho¶ m·n ®iÒu kiÖn c = −1 2a − b − c = 10   Vậy phương trình đường tròn (C): x2 + y2 − 6x + y − = C¸ch 2: NhËn xÐt r»ng AB ⊥ AC ⇔ ∆ABC vu«ng t¹i A Do đó:  tam I(3, − ) tam I la trung diem BC    (C):  ⇔ (C):  BC R = R = 41  41 ⇔ (C): (x − 3)2 + (y + )2 = Thí dụ Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(5, 6) và tiếp xúc với đường x−2 y th¼ng (d): = 364  Gi¶i Ta cã thÓ gi¶i b»ng hai c¸ch sau: Cách 1: Chuyển phương trình (d) dạng tham số, ta được: x = + t , t ∈ R (d):   y = 3t §­êng trßn (C) cã: tam I(5,6) ⇔ (C): (x − 5)2 + (y − 6)2 = R2 (C):  bkinh R Thay x, y từ phương trình tham số (d) vào (C), ta được: 25t2 − 60t + 45 − R2 = (C) tiếp xúc với (d) ⇔ phương trình (2) có nghiệm kép ⇔ ∆' = ⇔ R2 = (khi đó ta t = ) Vậy phương trình đường tròn (C): (x − 5) + (y − 6)2 = Cách 2: Chuyển phương trình (d) dạng tổng quát, ta được: (d): 3x − 4y − = Gäi R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn (C) (C) tiÕp xóc víi (d) vµ chØ khi: | 3.5 − 4.6 − | = R = d(I, (d)) = + 16 Vậy, phương trình đường tròn (C): (x − 5)2 + (y − 6)2 = (1) (2) Thí dụ Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục toạ độ và qua ®iÓm M(2, 1)  Gi¶i Gi¶ sö ®­êng trßn (C) cã t©m I(a, b) vµ b¸n kÝnh R §­êng trßn (C) tiÕp xóc víi hai trục toạ độ Ox, Oy ⇔ a = b = R Trường hợp 1: Nếu a = b thì: (C): (x − a)2 + (y − a)2 = a2 §iÓm M ∈ (C) suy ra: a = (2 − a)2+(1 − a)2 = a2 ⇔ a2 − 6a + = ⇔  a =  Víi a = 1, suy b = 1, R = 1, ta ®­îc (C1): (x − 1)2 + (y − 1)2 =  Víi a = 5, suy b = 5, R = 5, ta ®­îc (C2): (x − 5)2 + (y − 5)2 = 25 Trường hợp 2: Nếu a = −b thì: (C): (x − a)2 + (y + a)2 = a2 §iÓm M ∈ (C) suy ra: (2 − a)2 + (1 + a)2 = a2 ⇔ a2 − 4a + = v« nghiÖm VËy, tån t¹i hai ®­êng trßn (C1) vµ (C2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi 365  Chó ý: NÕu gi¶ thiÕt cho (C) tiÕp xóc víi (d): Ax + By + C = t¹i ®iÓm M(x , y0), ta cã ®­îc c¸c ®iÒu kiÖn sau: a Tâm I thuộc đường thẳng (∆) có phương trình cho bởi: x = x + At qua M(x , y ) ⇔ (∆):  , t∈R (∆):  vtcp n(A, B ) y = y + Bt ⇒ I(x0 + At, y0 + Bt) b (C) tiÕp xóc víi (d) vµ chØ IM = R Thí dụ Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (d): x − y − = t¹i ®iÓm M(3; 1) vµ t©m I thuéc ®­êng th¼ng (d1): 2x − y − =  Gi¶i V× (C) tiÕp xóc víi (d) t¹i ®iÓm M, suy t©m I cña (C) thuéc ®­êng th¼ng (∆) cã phương trình cho bởi: qua M(3,1)  (∆):  ⇔ (∆): x + y − =  vtpt n(1,1) Khi đó I = (d1) ∩ (∆), toạ độ điểm I là nghiệm hệ phương trình: x + y − = ⇔ I(2, 2)  2x − y − = (C) tiÕp xóc víi (d) vµ chØ IM = R ⇔ R2 = IM2 = Vậy phương trình đường tròn (C): (x − 2)2 + (y − 2)2 = Dạng toán 3: Vị trí tương đối điểm, đường thẳng và đường tròn Phương pháp thực Để xét vị trí tương đối điểm với đường tròn, ta thực theo các bước: Bước 1: Xác định phương tích M đường tròn (C) là pM/(C) Bước 2: Kết luận:  NÕu pM/(C) < ⇔ M n»m ®­êng trßn   p NÕu p NÕu M/(C) = ⇔ M n»m trªn ®­êng trßn M/(C) > ⇔ M n»m ngoµi ®­êng trßn  Chó ý: Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: Nếu M nằm (C) ⇒ không tồn tiếp tuyến (C) qua M đó đường thẳng qua M cắt (C) điểm phân biệt  Nếu M nằm trên (C) ⇒ tồn tiếp tuyến (C) qua M (phương trình tiếp tuyến có phương pháp phân đôi toạ độ)  NÕu M n»m ngoµi (C) ⇒ tån t¹i hai tiÕp tuyÕn cña (C) ®i qua M  366 Để xét vị trí tương đối đường thẳng với đường tròn, ta lựa chọn hai c¸ch sau: C¸ch 1: TÝnh kho¶ng c¸ch h tõ I tíi (d), råi so s¸nh víi b¸n kÝnh R cña ®­êng trßn, ta ®­îc:  NÕu h > R ⇔ (d)∩(C) = {∅}  NÕu h = R ⇔ (d) tiÕp xóc víi (C)  NÕu h < R ⇔ (d) c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B Cách 2: Xét hệ phương trình tạo (C) và (d), đó số nghiệm phương tr×nh b»ng sè giao ®iÓm cña (d) vµ (C) Để xét vị trí tương đối hai đường tròn, ta lựa chọn hai cách sau: C¸ch 1: TÝnh kho¶ng c¸ch I1I2 (I1, I2 lµ hai t©m cña hai ®­êng trßn), råi so s¸nh víi tæng vµ hiÖu hai b¸n kÝnh R1, R2 cña hai ®­êng trßn, ta ®­îc:  NÕu I1I2 > R1 + R2 ⇔ (C1) vµ (C2) kh«ng c¾t vµ ë ngoµi  NÕu I1I2 < |R1 − R2| ⇔ (C1) vµ (C2) kh«ng c¾t vµ nång  NÕu I1I2 = R1 + R2 ⇔ (C1) vµ (C2) tiÕp xóc ngoµi víi  NÕu I1I2 = |R1 − R2| ⇔ (C1) vµ (C2) tiÕp xóc víi  NÕu |R1 − R2| < I1I2 < R1 + R2 ⇔ (C1) vµ (C2) c¾t t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Phương pháp này thường sử dụng để xác định số nghiệm bài toán tiÕp tuyÕn chung cña hai ®­êng trßn (C1) vµ (C2) Cách 2: Xét hệ phương trình tạo (C1) và (C2), đó số nghiệm phương tr×nh b»ng sè giao ®iÓm cña (C1) vµ (C2) NhËn xÐt quan träng: Bằng việc xét vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn chúng ta có thể ứng dụng để giải các hệ đại số, dạng: D¹ng 1: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ: x + y − 2a(m)x − b(m)x + c(m) =  Ax + By + C = D¹ng 2: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ: x + y − 2a(m)x − b(m)x + c(m) ≥  Ax + By + C ≥ Bằng việc xét vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn chúng ta có thể ứng dụng để giải các hệ đại số, dạng: D¹ng 1: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ: x + y − 2a (m)x − b (m)x + c (m) =  x + y − 2a (m)x − b (m)x + c (m) = D¹ng 2: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ: x + y − 2a (m)x − b (m)x + c (m) ≤  x + y − 2a (m)x − b (m)x + c (m) ≤ 367 Thí dụ Cho điểm M(6; 2) và đường tròn (C) có phương trình: (C): x2 + y2 − 2x − 2y + = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho: a AB = b AB =  Gi¶i §­êng trßn (C) cã t©m I(1; 1) vµ b¸n kÝnh R = a Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I lªn AB, ta cã: AB 2 IH2 = IA2 − AH2 = R2 − = − = ⇔ IH = 4 2 §­êng th¼ng (d) ®i qua M cã d¹ng: I (d): A(x − 6) + B(y − 2) = M ⇔ (d): Ax + By − 6A − 2B = B H A §­êng th¼ng (d) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi vµ chØ khi: | A + B − 6A − 2B | = ⇔ 50A2 + 10AB + B2 = (1) d(I, (d)) = IH ⇔ 2 A +B A ta t×m ®­îc mèi liªn hÖ gi÷a A vµ B B Từ đó, thấy tồn hai đường thẳng (d1), (d2) thoả mãn điều kiện đầu bài b V× (d) ®i qua M vµ c¾t ®­êng trßn (C) t¹i hai ®iÓm A, B cho: AB = = 2R qua M(6;2) x −1 y −1 ⇔ (d2):  ⇔ (d): = ⇔ (d): x − 5y + = −1 −1 qua tam I(1;1) Giải phương trình (1) cách đặt t = Thí dụ Cho đường thẳng (d) và đường tròn (C) có phương trình: (d): x + y − = vµ (C): x2 + y2 − = a Chøng tá r»ng (d) c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B b Lập phương trình đường tròn qua hai điểm A, B và tiếp xúc với ®­êng th¼ng (∆): 2x − y − =  Gi¶i a §­êng trßn (C) cã t©m O(0, 0) vµ b¸n kÝnh R = Ta cã: | −1 | = <R d(O, (d)) = 1+1 VËy (d) c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B b §­êng trßn (S) ®i qua c¸c giao ®iÓm cña (d) vµ (C), cã d¹ng (S): x2 + y2 − + m(x + y − 1) = ⇔ (S): x2 + y2 + mx + my − − m = m m suy t©m I(− , − ) 2 368 (1) (S) tiÕp xóc víi (∆) m m )+ −2| m2 2 ⇔ d(I, (∆)) = R ⇔ = + m +1 ⇔ m = − +1 2 Thay m = − vµo (1) ta ®­îc (S): x2 + y2 − x − y − = 3 3 | 2(− ThÝ dô Cho hai ®­êng trßn (C1): x2 + y2 − 2x + 4y − = 0, (C2): x2 + y2 + 2x − 2y − 14 = a Chøng minh r»ng hai ®­êng trßn (C1) vµ (C2) c¾t b Viết phương trình đường tròn qua giao điểm (C1), (C2) và qua ®iÓm M(3, 0)  Gi¶i a Ta cã :  §­êng trßn (C1) cã t©m I1(1, −2) vµ b¸n kÝnh R1 =  §­êng trßn (C2) cã t©m I2( − 1, 1) vµ b¸n kÝnh R2 = Ta cã: I1I2 = (1 + 1) + (−2 − 1) = 13 , |R1 − R2| = < I1I2 < = R1 + R2 ⇔ (C1)∩(C2) = {A, B} b §­êng trßn (S) ®i qua c¸c giao ®iÓm cña (C1) vµ (C2), cã d¹ng: (S): λ(x2 + y2 + 2x − 2y − 14) + µ(x2 + y2 − 2x + 4y − 4) = ⇔ (S): (λ + µ)x2 + (λ + µ)y2 − 2(µ − λ)x − 2(λ − 2µ)y − 14λ − 4µ = §iÓm M(3, 0)∈(S) 9(λ + µ) − 3(µ − λ) − 14λ − 4µ = ⇔ λ = µ Thay λ = µ vµo (1) ta ®­îc (S): x2 + y2 + y − = (1) Thí dụ Cho hệ phương trình: x + y − x =  x + ay − a = a Tìm a để hệ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt b Gọi (x1, y1), (x2, y2) là các nghiệm hệ đã cho Chứng minh (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 ≤  Gi¶i Viết lại hệ dạng:  (1) (x − ) + y =  x + ay − a = (2 ) 369  Phương trình (1) là đường tròn (C) có tâm I( 1 , 0), b¸n kÝnh R = 2  Phương trình (2) là đường thằng (d) a VËy hÖ cã hai nghiÖm ph©n biÖt ⇔ (d) c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt −a ⇔ d(I, d) < R ⇔ < ⇔0<a< 2 1+ a b Víi < a < , (d)∩(C) = {A, B} có toạ độ là A(x1, y1), B(x2, y2) Ta cã: AB ≤ 2R ⇔ AB2 ≤ 4R2 ⇔ (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 ≤ 1, ®pcm Dạng toán 4: Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) (tâm I(a, b) b¸n kÝnh R) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn K Phương pháp thực Ta cã thÓ lùa chän mét hai c¸ch sau: Cách 1: Ta thực theo các bước: Bước 1: Dựa trên điều kiện K ta giả sử đường thẳng (d) có phương trình: (d): Ax + By + C = Bước 2: (d) là tiếp tuyến (C) ⇔ d(I, (d)) = R Bước 3: Kết luận tiếp tuyến (d)  Chú ý: Điều kiện K thường gặp: Tiếp tuyến qua điểm M cho trước, đó: a NÕu M(x0, y0)∈(C) (tøc lµ p M/(C) = 0), ta cã ngay: qua M(x , y ) (d):  vtpt IM(x − a, y − b ) ⇔ (d): (x0 − a)(x − x0) + (y0 − b)(y − y0) = ⇔ (d): (x0 − a)(x − a) + (y0 − b)(y − b) = R2 − Phân đôi toạ độ b NÕu M(x0, y0) ∉ (C) (tøc lµ p M/(C) ≠ 0), ta gi¶ sö: (d): A(x − x0) + B(y − y0) = ⇔ (d): Ax + By − Ax0 − By0 = Tiếp tuyến song song với đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0, đó: (d): Ax + By + D = Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0, đó: (d): Bx − Ay + D = 370 Tiếp tuyến có hệ số góc k, đó: (d): y = kx + m ⇔ (d): kx − y + m = Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng (∆) góc α, đó ta linh hoạt sử dụng hai c«ng thøc:    | a.b | cosα =   , víi a , b theo thø tù lµ vtcp cña (d), (∆) | a |.| b | k − k2 , víi k1, k2 theo thø tù lµ hsg cña (d), (∆) tgα = 1 + k1k Cách 2: Đi tìm tiếp điểm sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải Ta thực theo các bước: Bước 1: Giả sử điểm M(x0, y0) là tiếp điểm, đó: Phương trình tiếp tuyến có dạng: (1) x.x0 + y.y0 − a(x + x0) − b(y + y0) + c = (hoÆc (x − a) (x0 − a) + (y − b)(y0 − b) = R ) §iÓm M∈(C) (2) ⇔ x 20 + y 20 − 2ax0 − 2by0 + c = 2 (hoÆc (x0 − a) + (y0 − b) = R ) Bước 2: Sử dụng điều kiện K giả thiết, ta thiết lập thêm phương trình theo x0, y0 (3) Bước 3: Giải hệ tạo (2), (3) ta toạ độ tiếp điểm M(x0, y0), từ đó thay vào (1) ta phương trình tiếp tuyến cần xác định Thí dụ Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) qua M, biết: a (C): (x − 3)2 + (y − 1)2 = vµ M(2, 3) b (C): x2 + y2 − 2x − 8y − = vµ M(−4, −6)  Gi¶i a NhËn xÐt r»ng: PM /( C ) = ⇔ M ∈ (C) Vậy phương trình tiếp tuyến (d) (C) M có dạng: (d): (x − 3)(2 − 3) + (y − 1)(3 − 1) = ⇔ (d): x − 2y + = b NhËn xÐt r»ng: PM /( C ) >0 ⇔ M ë ngoµi (C) Ta lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: §­êng trßn (C) cã t©m I(1, 4), b¸n kÝnh R = Đường thẳng (d) qua M có phương trình: (d): A(x + 4) + B(y + 6) = ⇔ (d): Ax + By + 4A + 6B = §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) | A + 4B + 4A + 6B | ⇔ d(I, (d)) = R ⇔ =5 A2 + B2 371 B = A + B ⇔ 3B2 + 4AB = ⇔   B = −4A /  Víi B = 0, ta ®­îc tiÕp tuyÕn (d1): A(x + 4) = ⇔ (d1): x + = 4A , ta ®­îc tiÕp tuyÕn  Víi B = − 4A (d2): A(x + 4) − (y + 6) = ⇔ (d2): 3x − 4y − 12 = VËy qua M kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn (d1), (d2) tíi ®­êng trßn (C) Cách 2: Giả sử tiếp điểm là M(x0, y0), đó phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): x.x0 + y.y0 − (x + x0) − 4(y + y0) − = V× M(x0, y0) ∈ (C) nªn: x 02 + y 02 − 2x0 − 8y0 − = §iÓm A( − 4, − 6)∈(d) ⇔ − 4x0 − 6y0 − ( − + x0) − 4( − + y0) − = ⇔ x0 + 2y0 − = Giải hệ phương trình tạo (2), (3) ta được: ⇔ |A + 2B| = (1) (2) (3) x = −4 & y =  x = & y =   Víi M1( − 4, 4), thay vµo (1) ta ®­îc tiÕp tuyÕn (d1): x + = Víi M2(4, 0), thay vµo (1) ta ®­îc tiÕp tuyÕn (d2): 3x − 4y − 12 =  Chó ý: Nh­ vËy nÕu sö dông c¸ch ta cã thÓ tr¶ lêi ®­îc c¸c hái: a Qua M kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn (d1), (d2) tíi ®­êng trßn (C) b Toạ độ các tiếp điểm là M1( − 4, 4), M2(4, 0) c Phương trình đường thẳng qua tiếp điểm suy từ (3), tức là: (M1M2): x + 2y − = Thí dụ Cho đường thẳng (∆) và đường tròn (C) có phương trình: (∆): 3x − 4y + 12 = (C): x2 + y2 − 2x − 6y + = Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn (C) vuông góc với (∆)  Gi¶i §­êng trßn (C) cã t©m I(1, 3), b¸n kÝnh R = Ta cã hai c¸ch gi¶i sau: Cách 1: Tiếp tuyến (d)⊥(∆) có phương trình: (d) : 4x + 3y + c = §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) c = −18 | 4.1 + 3.3 + c | =1⇔  ⇔ d(I, (d)) = R ⇔ 16 + c = −8  372 Víi c1 = −18, ta ®­îc tiÕp tuyÕn (d1): 4x + 3y − 18 =  Víi c2 = − 8, ta ®­îc tiÕp tuyÕn (d2): 4x + 3y − = VËy tån t¹i hai tiÕp tuyÕn (d1), (d2) tíi (C) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi Cách 2: Giả sử tiếp điểm là M(x0, y0), đó phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): x.x0 + y.y0 − (x + x0) − 3(y + y0) + = ⇔ (d): (x0 − 1)x + (y0 − 3)y − x0 − 3y0 + = V× M(x0, y0) ∈ (C) ⇔ x 20 + y 20 − 2x0 − 6y0 + = §­êng th¼ng (d)⊥(∆) vµ chØ khi: 3.(x0 − 1) − 4(y0 − 3) = ⇔ 3x0 − 4y0 + = Giải hệ phương trình tạo (2), (3) ta được: 18  x = & y =  x = & y = 12  5 18 ), thay vµo (1) ta ®­îc tiÕp tuyÕn (d1): 4x + 3y − 18 =  Víi M1( , 5 12  Víi M2( , ), thay vµo (1) ta ®­îc tiÕp tuyÕn (d2): 4x + 3y − = 5 VËy tån t¹i hai tiÕp tuyÕn (d1), (d2) tíi (C) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi (1) (2) (3) Dạng toán 5: Lập phương trình tiếp tuyến chung đường tròn (C1) vµ (C2) Phương pháp thực Ta thực theo các bước: Bước 1: Giả sử (d): Ax + By + C = 0, với A2 + B2>0 là tiếp tuyến chung (C1) vµ (C2) Bước 2: Thiết lập điều kiện tiếp xúc (d) với (C1) và (C2) d(I1, (d)) = R1 & d(I2, (d)) = R2 Bước 3: Kết luận tiếp tuyến chung (d) Thí dụ Cho hai đường tròn (C1) và (C2) có phương trình: (C1): (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1, (C2): (x − 2)2 + (y + 1)2 = Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn trên  Gi¶i §­êng trßn (C1) cã t©m I1(1, 1) vµ b¸n kÝnh R1 = §­êng trßn (C2) cã t©m I2(2, − 1) vµ b¸n kÝnh R2 = Giả sử tiếp tuyến chung (d) có phương trình: (d): Ax + By + C = 0, víi A2 + B2 > (1) 373 Ta cã (d) tiÕp xóc víi (C1) vµ (C2) vµ chØ | A + B + C | =1   2 d( I , (d)) = R  A2 + B2 ⇔  ⇔ | A + B + C |= A + B  | A − B + C |= | A + B + C | d( I , (d)) = R  | 2A − B + C | =  2  A +B C = −3B   2 | A + B − 3B |= A + B | A + B + C |= A + B  ⇔ C = −3B ⇔  C = − (4 A + B )   C = − (4 A + B )  | A + B − (4 A + B ) |= A + B  C = −3B & B = ⇔  C = −3B & A = 3B  Khi đó ta hai tiếp tuyến chung: (d1): Ax = ⇔ (d1): x = 0, 3B x + By − 3B = ⇔ (d2): 3x + 4y − 12 = 0, VËy, tån t¹i hai tiÕp tuyÕn chung (d1), (d2) cña (C1) vµ (C2) (d2): Thí dụ Cho hai đường tròn (C) và (Cm) có phương trình: (C): x2 + y2 = 1, (Cm): x2 + y2 − 2(m + 1)x + 4my = a Chøng minh r»ng cã ®­êng trßn (Cm1), (Cm2) tiÕp xóc víi ®­êng trßn (C) øng víi gi¸ trÞ m1, m2 cña m b Xác định phương trình đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn (Cm1), (Cm2)  Gi¶i a Ta cã: • §­êng trßn (C) cã t©m O(0, 0) vµ b¸n kÝnh R = • §­êng trßn (Cm) cã t©m Im(m + 1, − 2m) vµ b¸n kÝnh Rm = 5m + 2m + NhËn xÐt r»ng: (C) vµ (Cm) tiÕp xóc  m1 = −1 OI = R + R m ⇔  m ⇔  m2 = OI m= | R − R m |  b TiÕp tuyÕn chung cña (C − 1) vµ (C3/5) lµ (d1): 2x + y + − = vµ (d2): 2x + y − − = 374 D¹ng to¸n 6: §iÓm vµ ®­êng trßn Phương pháp thực §Ó t×m ®iÓm M thuéc ®­êng trßn (C): (x − a)2 + (y − b)2 = R2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn K, ta thực theo các bước : Bước 1: Lấy điểm M(x0, y0) ∈ (C), suy ra: (x0 − a)2 + (y0 − b)2 = R2 Bước 2: Dựa vào điều kiện K có thêm điều kiện cho x0, y0 Thí dụ Cho điểm F(4, −2) và đường tròn (C) có phương trình: (C): (x − 3)2 + (y − 2)2 = 5, (∆): x − y − = a Tìm các điểm có toạ độ nguyên thuộc (C) b T×m trªn (C) ®iÓm E cho ∆OEF vu«ng  Gi¶i a Xét phương trình đường tròn (C) với ẩn y là: y2 − 4y + x2 − 6x + = Phương trình có nghiệm ⇔ ∆' ≥ ⇔ − x2 + 6x − ≥ ⇔ x2 − 6x + ≤ ⇔ − ≤ x ≤ + Suy các điểm M(x, y)∈(C) có hoành độ nguyên là: 1, 2, 3, 4, 5, ta có: x y y = y = y = y∉Z  y =  y =  y = VËy tån t¹i ®iÓm M1(1, 3), M2(1, 1), M3(2, 4), M4(2, 0) , M5(4, 4), M6(4, 0) thuéc (C) b ∆OEF vu«ng gåm c¸c kh¶ n¨ng sau: Kh¶ n¨ng 1: ∆OEF vu«ng t¹i O ⇔ E = (dO)∩(C), víi (dO) lµ ®­êng th¼ng qua O vµ vu«ng gãc víi OF Ta cã : qua O ⇔ (d): 2x − y = (d):  vtpt OF(4,−2) Khi đó toạ độ điểm E là nghiệm hệ : E (2,4) (x − 3) + (y − 2) = ⇔   E ( , ) x − y =  5  Kh¶ n¨ng 2: ∆OEF vu«ng t¹i F ⇔ E = (dF)∩(C), víi (dF) lµ ®­êng th¼ng qua F vµ vu«ng gãc víi OF Ta cã : qua F(4 − 2) ⇔ (d): 2x − y − 10 = (d):  vtpt OF(4,−2) 375 Khi đó toạ độ điểm E là nghiệm hệ : (x − 3) + (y − 2) = v« nghiÖm  2 x − y − 10 = Kh¶ n¨ng 3: ∆OEF vu«ng t¹i E ⇔ E = (C1)∩(C), víi (C1) lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh OF Ta cã : (C1): (x − 2)2 + (y + 1)2 = Khi đó toạ độ điểm E là nghiệm hệ : (x − 3) + (y − 2) = (x − 3) + (y − 2) = E (4,0) ⇔ ⇔    2 (x − 2) + (y + 1) = E (1,1)  x + 3y − = Thí dụ Cho hai đường tròn (C) và (Cm) có phương trình: (C): x2 + y2 = 1, (Cm): x2 + y2 − 2mx − 2y + m2 = a Xác định m để (C) và (Cm) tiếp xúc ngoài với b Với m tìm câu a), hãy xác định vị trí điểm A ∈ (C) và B ∈ (Cm) để diện tích ∆OAB lớn và trường hợp đó, tính diÖn tÝch h×nh Êy  Gi¶i Ta cã:  §­êng trßn (C) cã t©m O(0, 0) vµ b¸n kÝnh R =  §­êng trßn (Cm) cã t©m Im(m; 1) vµ b¸n kÝnh Rm = a §Ó (C) vµ (Cm) tiÕp xóc ngoµi víi ®iÒu kiÖn lµ: OIm = R + Rm ⇔ m + = ⇔ m2 + = ⇔ m = ± b Ta cã:     = | OB | sin AOB  S∆OAB = | OA | | OB | sin AOB 2 Từ đó, suy diện tích ∆OAB lớn và khi: OB lín nhÊt O, B, I m th¼ng hµng ⇔    sinAOB = OA ⊥ OB Bạn đọc giải tiếp với m = ± Thí dụ Cho đường tròn (C) có phương trình : (C): x2 + y2 − 4x − 6y + = a Tìm các điểm có toạ độ nguyên thuộc (C) b Xác định toạ độ các đỉnh B, C ∆ABC nội tiếp đường trßn (C), biÕt ®iÓm A(4; 5) 376  Gi¶i a Ta cã thÓ thùc hiÖn theo hai c¸ch sau: Cách 1: Xét phương trình đường tròn (C) với ẩn y và tìm x để phương trình có nghiệm, từ đó suy hoành độ nguyên − Đề nghị bạn đọc tự làm Cách 2: Chuyển phương trình đường tròn dạng tham số:  x = + 2 sin α , α∈[0, 2π) (C):  + 2 cos α  y = Khi đó điểm M∈(C) ⇒ M(2 + 2 sinα, + 2 cosα) π 3π 5π π , , Suy các giá trị góc α để x, y nguyên là: , 4 4 Ta ®­îc M1(0, 1), M2(0, 5), M3(4, 1), M4(4, 5) b Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua tâm I đường tròn (C) ⇒ toạ độ điểm A1(0; 1) §­êng trßn (C1) tho¶ m·n: t©m A1 (0;1) (C1):  ⇔ (C1): x2 + (y − 1)2 = B¸n kÝnh R = 2 Khi đó: (C)∩(C1) = {B, C}, toạ độ B, C là nghiệm hệ: B(1 + 3, − 3)  x + y − 4x − 6y + =  x + (y − 1) = ⇔ ⇒     x + (y − 1) = x + y − = C(1 − 3, + 3) §3 ElÝp Dạng toán 1: Các định các thuộc tính Elíp (E) Phương pháp thực Ta thực theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu Elíp (E) dạng chính tắc x2 y2 y (E): + = b a b B2 Bước 2: Xét các khả năng: Kh¶ n¨ng 1: NÕu a > b, ta ®­îc: A1 F1 O  (E) có trục lớn thuộc Ox, độ dài 2a chøa hai tiªu ®iÓm B1 F1(−c, 0), F2(c, 0) víi c2 = a2 − b2  (E) có trục nhỏ thuộc Oy với độ dài 2b c  T©m sai e = a A2 F2 a x 377 Kh¶ n¨ng 2: NÕu a < b, ta ®­îc:  (E) có trục lớn thuộc Oy, độ dài 2b chøa hai tiªu ®iÓm F1(0, −c), F2(0, c) víi c2 = b2 − a2  (E) có trục nhỏ thuộc Ox với độ dài 2a A1 −a c  T©m sai e = b  Chú ý: Trong trường hợp phương trình (E) có dạng: y b B2 c O − F2 A2 a x F1 −b B1 (x − α) (y − β) = + a2 b2 ta thùc hiÖn phÐp tÞnh tiÕn hÖ trôc Oxy theo vect¬ OI víi I(α, β) thµnh hệ trục IXY với công thức đổi trục: X = x − α x = X + α ⇔   y = Y + β Y = y − β ta ®­îc: X2 Y2 (E): + = b a từ đó, các thuộc tính (E) hệ trục IXY suy các thuéc tÝnh cña (E) hÖ trôc Oxy (E): Thí dụ Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh các elíp có phương trình sau: x2 y2 a b 4x2 + 9y2 = c 4x2 + 9y2 = 36 + =1 25  Gi¶i a Ta có a = và b = 3, suy c = a − b = Từ đó:  Trục lớn thuộc Ox có độ dài 10 chứa hai tiêu điểm F1(−4, 0), F2(4, 0)  Trục nhỏ thuộc Oy có độ dài  Toạ độ đỉnh A1(−5, 0), A2(5, 0), B1(0, −3), B2(0, 3) b Biến đổi phương trình dạng: y2 x2 1 + = ⇒ a = , b = vµ c = a − b = 1/ 1/ Từ đó: 5  Trục lớn thuộc Ox có độ dài chứa hai tiêu điểm F1(− , 0), F2( , 0) 6  Trục nhỏ thuộc Oy có độ dài 1 1  Toạ độ đỉnh A1(− , 0), A2( , 0), B1(0, − ), B2(0, ) 2 378 c Biến đổi phương trình dạng: x2 y2 + = ⇒ a = 3, b = vµ c = Từ đó:    a2 − b2 = Trục lớn thuộc Ox có độ dài chứa hai tiêu điểm F1(− , 0), F2( , 0) Trục nhỏ thuộc Oy có độ dài Toạ độ đỉnh A1(−3, 0), A2(3, 0), B1(0, −2), B2(0, 2) Thí dụ Xác định các đường cong sau: a (E): y = − x2  x = 4sin t π b (E):  , t∈[ , 2π)  y = 2cos t  Gi¶i a Biến đổi phương trình (E) dạng: y ≥ y ≥   ⇔ (E):  x y (E):  = y (9 − x ) + =   9 Vậy, đồ thị (E) là phần phía trên Ox đồ thị Elíp x2 y2 = + b Biến đổi phương trình (E) dạng: x  x vµ y kh«ng dång thíi d­ong sin t = sin2 t + cos2 t =  (E):  (E):  x y ⇔ π =  + cos t = y t∈[ ,2 π )  16  x2 y2 = bỏ phần đồ thị góc phần tư Vậy, đồ thị (E) là đồ thị Elíp + 16 thø nhÊt ThÝ dô T×m t©m sai cña ElÝp biÕt: a Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ góc 600 b Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm góc 600 c Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng chuÈn b»ng lÇn tiªu cù d Khoảng cách hai đỉnh trên hai trục hai lần tiêu cự  Gi¶i B2 a Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: b b 0 tan30 = ⇔ b = c.tan30 O c F2 c suy ra: B1 c c2 c2 c2 = cos2300 e= ⇔e = = 2 = 2 = a c tan 30 + c tan 30 + b +c a 379 ⇔ e = cos300 = b Tõ gi¶ thiÕt, ta cã cot300 = suy ra: b ⇔ b = c.cot300 c c c2 c2 c2 ⇔ e2 = = 2 = 2 = = sin2300 a c co t 30 + c co t 30 + a b +c ⇔ e = sin300 = c Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: 2a 2a = 4c ⇔ = 4ae ⇔ e2 = ⇔ e = e e d Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: B2 A2B2 = 4c ⇔ a + b = 4c ⇔ a2 + b2 = 16c2 b 15c2 ⇔ c2 + b2 + b2 = 16c2 ⇔ b2 = a O A2 suy ra: 2 c 34 c c c e = ⇔ e2 = = 2 = = ⇔e= 2 a 17 15c a b +c + c2 e= Dạng toán 2: Lập phương trình Elíp (E) Phương pháp thực Ta lùa chän mét hai c¸ch sau: Cách 1: Sử dụng phương trình chính tắc Elíp x2 y2 (E): + = a b Từ đó cần tìm a, b (hoặc a2, b2) cách thiết lập hệ hai phương trình với ẩn a, b (hoÆc a2, b2) Cách 2: Sử dụng định nghĩa Nếu biết hai tiêu điểm F1(x1, y1), F2(x2, y2) và độ dài trục lớn 2a thì ta thực theo các bước: Bước 1: Lấy điểm M(x, y)∈(E) Bước 2: Chuyển MF1 + MF2 = 2a (1) thµnh biÓu thøc gi¶i tÝch nhê: (2) MF12 = (x − x ) + (y − y ) (3) MF22 = (x − x ) + (y − y ) Bước 3: Suy MF12 − MF22 MF1 − MF2 = MF1 + MF2 380 (x 12 − x 22 ) + (y 12 − y 22 ) − x(x − x ) − y(y − y ) = (4) 2a Lấy (1) + (4) ta MF1, thay vào (2) ta phương trình (E) Bước 4:  Chó ý: Cần phải cân nhắc giả thiết bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phương trình thích hợp Trong trường hợp không có gì đặc biệt, ta luôn giả sử Elíp (E) có phương trình: x2 y2 (E): + = a b Trong nhiều trường hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phương pháp quỹ tích để xác phương trình Elíp chứng minh tập hợp điểm là Elíp Thí dụ Lập phương trình chính tắc elíp, biết: a Độ dài trục lớn và trục nhỏ là và b §é dµi trôc lín b»ng 10 vµ tiªu cù b»ng c Trục lớn thuộc Oy có độ dài trục lớn 26 và tâm sai e =  Gi¶i a Ta có a = và b = 3, suy phương trình elíp 12 13 x2 y2 + =1 16 b Ta có a = và c = 3, suy b = a − c = nên phương trình elíp x2 y2 + =1 25 16 c Từ giải thiết ta giả sử Elíp (E) có phương trình x2 y2 (E): + = , víi a<b a b  §é dµi trôc lín b»ng 26 ⇔ 2b = 26 ⇔ b = 13 12 c 13 − a = = ⇔ a2 = = 25 b 13 13 Vậy Elíp (E) có phương trình: x2 y2 (E): + =1 25 169  T©m sai e = Thí dụ Lập phương trình chính tắc elíp, biết: a ElÝp ®i qua c¸c ®iÓm M(0, 3) vµ N(3, − 12 ) b ElÝp cã mét tiªu ®iÓm F1(− , 0) vµ ®iÓm M(1, ) n»m trªn elÝp 381  Gi¶i a Giả sử Elíp (E) có phương trình: x2 y2 (E): + = a b  V× M ∈ (E) ⇔ = ⇔ b2 = b 144 12  V× N(3, − ) ∈ (E) ⇔ + = ⇔ a2 = 25 25.9 a x2 y2 Vậy, Elíp (E) có phương trình: + =1 25 b Giả sử Elíp (E) có phương trình: x2 y2 (E): + = a b  V× (E) cã mét tiªu ®iÓm F1(− , 0) nªn : c = ⇔ a2 − b2 = 3  V× M(1, ) ∈ (E) ⇔ + = a 4b Giải hệ phương trình tạo (1) và (2) ta a2 = và b2 = 1, suy ra: x2 y2 (E): + =1 (1) (2) Thí dụ Cho điểm A(3, 3) và đường tròn (C) có phương trình: (C1): (x + 1)2 + y2 = 16 vµ (C2): (x − 1)2 + y2 = Gọi M là tâm đường tròn (C) di động tiếp xúc với (C1), (C2) Tìm quỹ tÝch ®iÓm M, biÕt: a (C) tiÕp xóc víi (C1) vµ tiÕp xóc ngoµi víi (C2) b (C) tiÕp xóc víi c¶ (C1) vµ (C2)  Giải − Bạn đọc tự vẽ hình XÐt ®­êng trßn (C1), (C2), ta ®­îc: Tam O2 (1;0) Tam O1 (−1;0) vµ (C2):  (C1):  Bkinh R = Bkinh R1 = a Gi¶ sö M(x, y) lµ t©m vµ R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn (C) tiÕp xóc víi (C1) vµ tiÕp xóc ngoµi víi (C2), ta ®­îc: MO1 R1 − R = ⇒ MO1 + MO2 = R1 + R2 =  MO2 R2 + R = Vậy tập hợp các điểm M thuộc Elíp (E) nhận O1, O2 làm tiêu điểm và có độ dài trôc lín b»ng 382  Xác định phương trình Elíp (E): Vì O1, O2 thuộc Ox và đối xứng qua O nên phương trình (E) có dạng: x2 y2 (E): + = , víi < b < a a b đó: 2a = ⇔ a = , 2 25 25 21 O O  − 2 = −1= b2 = a2 − c2 = 4   x2 y2 + = 25 / 21/ b Gi¶ sö M(x, y) lµ t©m vµ R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn (C) tiÕp xóc víi c¶ (C1) vµ (C2), ta ®­îc: MO1 R1 − R = ⇒ MO1 + MO2 = R1 − R2 =  MO2 R − R2 = Vậy tập hợp các điểm M thuộc Elíp (E) nhận O1, O2 làm tiêu điểm và có độ dài trôc lín b»ng  Xác định phương trình Elíp (E) Vì O1, O2 thuộc Ox và đối xứng qua O nên phương tr×nh cña (E) cã d¹ng: x2 y2 (E): + = , víi < b < a a b đó: 2a = ⇔ a = , Vậy tập hợp các điểm M thuộc Elíp (E) có phương trình b2 = a2 − c2 =  O1O2  − = −1=    4 Vậy tập hợp các điểm M thuộc Elíp (E) có phương trình x2 y2 + = 9/4 5/4 Dạng toán 3: Vị trí tương đối điểm, đường thẳng và elíp Phương pháp thực Để xác định vị trí tương đối điểm M(xM, yM) với Elíp (E): x2 y2 (E): + = a b Ta thực theo các bước: Bước 1: Xác định phương tích M Elíp (E) là: 2 pM/(E) = xaM2 + ybM2 383 Bước 2: KÕt luËn:    p NÕu p NÕu p NÕu <1 ⇔ M n»m ElÝp M/(E) M/(E) = ⇔ M n»m trªn ElÝp >1 ⇔ M n»m ngoµi ElÝp M/(E)  Chó ý: Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau:  NÕu M n»m (E) ⇒ kh«ng tån t¹i tiÕp tuyÕn cña (E) ®i qua M nh­ng đó đường thẳng qua M cắt (E) điểm phân biệt  NÕu M n»m trªn (E) ⇒ tån t¹i nhÊt tiÕp tuyÕn cña (E) ®i qua M (phương trình tiếp tuyến có phương pháp phân đôi toạ độ)  NÕu M n»m ngoµi (E) ⇒ tån t¹i hai tiÕp tuyÕn cña (E) ®i qua M Bằng việc xét hệ phương trình tạo (E) và (d), đó số nghiệm phương tr×nh b»ng sè giao ®iÓm cña (d) vµ (E) Với hai Elíp (E1) và (E2) có phương trình: x2 y2 x2 y2 (E1): + = vµ (E2): + = a2 b2 a1 b1 NÕu (E1) ∩(E2) = {A, B, C, D} th× a ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt b Phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là đường tròn (C) tâm O bán kính R = OA có phương trình: (C): x2 + y2 = a 12 a 22 (b 12 − b 22 ) + b 12 b 22 (a 22 − a 12 ) a 22 b 12 − a 12 b 22 Thí dụ Cho điểm M(1, 1) và Elíp (E) có phương trình: x2 y2 (E): = + a Chøng minh r»ng mäi ®­êng th¼ng ®i qua M lu«n c¾t (E) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt b Lập phương trình đường thẳng (d) qua M và cắt Elíp trên hai ®iÓm A, B cho MA = MB  Gi¶i a NhËn xÐt r»ng: 1 13 <1 ⇔ M n»m ElÝp + = M/(E) = 36 đó đường thẳng qua M luôn cắt (E) hai điểm phân biệt b Nhận xét đường thẳng (d) không thể song song với Oy, đó giả sử (d) có hÖ sè gãc k, ta ®­îc: y = k(x − 1) + ⇔ (d): y = kx − k + (1) p 384 Toạ độ giao điểm A, B (d) và (E) là nghiệm hệ phương trình : 4 x + y = 36 ⇒ 4x2 + 9(kx − k + 1)2 = 36  y = kx − k + ⇔ (4 + 9k2)x2 − 18k(k − 1)x + 9k2 − 18k − 27 = Phương trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt xA, xB thoả mãn: 18k ( k − 1)  x A + x B = + k  x x = k − 18k − 27  A B + 9k Theo gi¶ thiÕt MA = MB 18k ( k − 1) =2⇔k=− ⇔ xA + xB = 2xM ⇔ + 9k Thay k = − vµo (1), ta ®­îc ®­êng th¼ng (d): 4x + 9y − 13 = (2) Thí dụ Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) và Elíp (E) , biết: x y2 + = x y2 b (d): 2x + y − = vµ (E): + = x y2 c (d): 2x − y = vµ (E): + = a (d): x − y − = vµ (E):  Gi¶i a Xét hệ phương trình tạo (E) và (d): x + 4y = ⇒ 5y2 + 6y + =  x − y − = (*) Phương trình (*) vô nghiệm ⇔ (d)∩(E) = {∅} b Xét hệ phương trình tạo (E) và (d): 9x + 4y = 36 ⇒ 25x2 − 40x + 64 = ⇔ x = ⇒ y =  5 2x + y − = VËy (d) tiÕp xóc víi (E) t¹i ®iÓm M( , ) 5 c Xét hệ phương trình tạo (E) và (d): 4x + y =  M (1,2) x = ⇒ x2 = ⇔  ⇒    x = −1  M (−1, −2) 2x − y = VËy, ta ®­îc (d)∩(E) = {M1, M2} 385 ThÝ dô Cho ®iÓm M(1; − ) vµ ElÝp (E):  Gi¶i x y2 + = Lập phương trình đường th¼ng (d) qua M c¾t (E) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B cho: a M lµ trung ®iÓm AB b AB = 20 Từ đó, lập phương trình đường tròn đường kính AB trường hợp a Nhận xét đường thẳng (d) không thể song song với Oy, đó giả sử (d) có hÖ sè gãc k, ta ®­îc: y = k(x − 1) − ⇔ (d): 2y = 2kx − 2k − (1) Toạ độ giao điểm A, B (d) và (E) là nghiệm hệ phương trình: x + 4y = ⇒ x2 + (2kx − 2k − 1)2 =  2y = 2kx − 2k −  ⇔ (1 + 4k2)x2 − 4k(2k + 1)x + 4k2 + 4k − = Phương trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt xA, xB thoả mãn: 4k(2k + 1)  x A + x B = + 4k  x x = 4k + 4k −  A B + 4k Theo gi¶ thiÕt MA = MB ⇔ xA + xB = 2xM ⇔ (2) 4k(2k + 1) =2⇔k= 2 + 4k vào (1), ta phương trình đường thẳng (d): x − y − = b Vô nghiệm AB lớn độ dài trục chính Thay k =  Chó ý: Víi c©u a) ta cã thÓ sö dông c¸ch gi¶i kh¸c nh­ sau: Lấy A(x0, y0) ∈ (E), và vì B đối xứng với A qua M nên B(2 − x0; −1 − y0) Khi đó: 2 x + 4y = ⇒ toạ độ A, B  x − y = Lập phương trình đường thẳng qua A và B Thí dụ Cho Elíp (E1) và (E2) có phương trình: (E1): x y2 x y2 + = + = vµ (E2): 16 a Chøng minh r»ng (E1) ∩(E2) = {A, B, C, D} vµ ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt b Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD 386  Gi¶i a Tõ h×nh vÏ suy (E1) ∩(E2) = {A, B, C, D} Nhận xét A, B, C, D đối xứng qua O và y AB//CD//Ox, AD//BC//Oy ⇒ ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt b H×nh ch÷ nhËt ABCD néi tiÕp ®­êng trßn (C) t©m O A B b¸n kÝnh R = OA −1 Toạ độ điểm A(xA, yA) là nghiệm hệ phương trình: O −3  432 C −2 D  x A = 55 4x + 9y = 36 92 2 ⇔ ⇒ R = = x + y   A A 11 −4 16  y = 28  x + 16y =  A 55 Vậy, phương trình đường tròn qua A, B, C, D có phương trình: 92 (C): x2 + y2 = 11 x D¹ng to¸n 4: §iÓm vµ elÝp Phương pháp thực Với Elíp (E) có phương trình: x2 y2 (E): + = a b Ta lùa chän mét hai c¸ch sau: Cách 1: Ta thực theo các bước: x 20 y 20 = + a2 b2 Bước 2: Dựa vào điều kiện K có thêm điều kiện cho x0, y0 Từ đó suy toạ độ điểm M Cách 1: Ta thực theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình Elíp dạng tham số: x = a sin t , t∈[0, 2π) (E):  y = b cos t Bước 1: LÊy ®iÓm M(x0, y0)∈(E) ⇒ Bước 2: Bước 3: §iÓm M∈(E) ⇒ M(a.sint, b.cost) Dựa vào điều kiện K có thêm điều kiện cho x0, y0 Từ đó suy toạ độ điểm M  Chú ý: Ta cần lưu ý các trường hợp sau: NÕu ®iÓm ph¶i t×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn vÒ b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm ta sö dông c«ng thức tính bán kính qua tiêu điểm theo toạ độ điểm đó là: cx cx vµ F2M = a − F1M = a + a a 387 Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện góc ta đưa bài toán xét hệ thức lượng tam gi¸c Nếu điểm phải tìm là giao Elíp với đường khác ta xét hệ phương trình tương giao để tìm toạ độ giao điểm x2 y2 + = T×m c¸c ®iÓm M thuéc ElÝp (E) cho: a Có toạ độ nguyên thuộc (E) b Có tổng hai toạ độ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ ThÝ dô Cho ElÝp (E):  Gi¶i x 20 y 20 (1) + = a NhËn xÐt r»ng nÕu ®iÓm M(x0, y0)∈(E) ⇒ M1(−x0, y0), M2(−x0, − y0) vµ M3(x0, −y0) thuộc (E) Do ta cần xác định các điểm M0 có toạ độ nguyên dương Xét phương trình (1) với ẩn y0 : (1) ⇔ y 20 = − x 20 Phương trình có nghiệm ⇔ − x 20 >0 ⇔ < x0 ≤ ⇒ x0 = vµ y0 = ⇒ M0(1, 2) ∈ (E) Tõ M0 suy c¸c ®iÓm M1(−1, 2), M2(−1, −2) vµ M3(1, −2) còng thuéc (E) Vậy (E) có điểm M0, M1, M2, M3 có toạ độ nguyên b Ta cã:  x2 y2   x0 y0   ≤ (2 + 8)  +  = 10 (x0 + y0) =  + 8  8   §iÓm M(x0, y0)∈(E) ⇒ ⇔ − 10 ≤ x0 + y0 ≤ 10 dÊu b»ng x¶y khi: x0 /  10 10 = y = x  , ) M ( y0 /   5 ⇔ ⇒   x0 y0 2 + = 10 10  x0 y0  2 =1 M (− , − )  + 2 VËy, ta ®­îc:  (x0 + y0)Max = 10 , đạt M4  (x0 + y0)Min = − 10 , đạt M5 x2 y2 + = Từ điểm A∈(E) có toạ độ dương, dựng hình a2 b2 ch÷ nhËt ABCD néi tiÕp (E) cã c¸c c¹nh song song víi c¸c trôc to¹ độ Xác định toạ độ A để hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn ThÝ dô Cho ElÝp (E): 388  Gi¶i y Ta cã thÓ thùc hiÖn theo hai c¸ch sau: C¸ch 1: Gi¶ sö A(xA, yA)∈(E) víi xA, yA>0, suy ra: b A 2 yA M xA yA + = N xA O a2 b2 Khi đó: D 2 x y y x SABCD = SOMAN = 4x0y0 = 2ab.2 A A ≤2ab A2 + A2 = 2ab a b b a Vậy Smax = 2ab, đạt khi:  x 2A y 2A  + = a b a b ⇒ A( , )  2 xA = yA b  a Cách 2: Chuyển phương trình Elíp dạng tham số: x = a sin t , t∈[0, 2π) (E):  y = b cos t §iÓm A∈(E) vµ thuéc gãc phÇn t­ thø nhÊt ⇒ M(a.sint, b.cost), t∈(0, Khi đó: SABCD = SOMAN = 4x0y0 = 4a.sint.b.cost = 2absin2t ≤ 2ab Vậy, ta Smax = 2ab, đạt khi: π b a ⇒ A( , ) sin2t = ⇔ t = 2 B x C π ) §4 Hypebol Dạng toán 1: Xác định các thuộc tính Hypebol (H) Phương pháp thực Ta thực theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu Hypebol (H) dạng chính tắc y x2 y2 (H): − = ±1 a b Bước 2: Xét các khả năng: Kh¶ n¨ng 1: NÕu A2 F1 A1 O 2 x y (H): − = a b F2 x 389 ta ®­îc:  (H) có trục thực thuộc Ox, độ dài 2a chứa hai tiêu điểm F1(−c, 0), F2(c, 0) víi c2 = a2 + b2  (H) có trục ảo thuộc Oy với độ dài 2b y c F  T©m sai e = B2 a Kh¶ n¨ng 2: NÕu x2 y2 O (H): − = − B1 a b F1 ta ®­îc:  (H) có trục thực thuộc Oy, độ dài 2b chøa hai tiªu ®iÓm F1(0, − c), F2(0, c) víi c2 = a2 + b2  (H) có trục ảo thuộc Ox với độ dài 2a c  T©m sai e = b x ThÝ dô Cho Hyperbol (H): 9x2 − 16y2 = 144 a Chuyển phương trình (H) dạng chính tắc Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai, các đường tiệm cận (H) b Viết phương trình Hyperbol (H1) liên hợp (H) Tìm các thuộc tÝnh cña (H1) c Viết phương trình chính tắc Elíp (E) có tiêu điểm trùng với tiêu ®iÓm cña (H) vµ ngo¹i tiÕp h×nh ch÷ nhËt c¬ së cña (H)  Gi¶i a Đưa phương trình Hyperbol dạng x2 y2 = ⇒ a = 4, b = vµ c = (H): − 16 Từ đó:  T©m O(0, 0)  Toạ độ các đỉnh A1( − 4, 0), A2(4, 0)  Toạ độ các tiêu điểm F1( − 5, 0), F2(5, 0)  T©m sai e =  Phương trình hai đường tiệm cận là y = ± x b Phương trình Hyperbol (H1) liên hợp (H) có dạng: x2 y2 = − (H1): − 16 Các thuộc tính (H1) và phương trình tham số (H1) bạn dọc tự làm 390 c Giả sử phương trình chính tắc Elíp có dạng: x2 y2 (1) (E): + = , víi a > b a b (2)  Tiªu cù c = ⇔ a2 − b2 = 52  P(4, 3) là đỉnh hình chữ nhật sở (H) Để Elíp (E) ngoại tiếp h×nh ch÷ nhËt c¬ së cña (H) (3) ⇔ P(4, 3)∈(E) ⇔ 9a2 + 16b2 − a2.b2 = 2 Tõ (2), (3) suy a = 40, b = 15 x2 y2 Vậy phương trình chính tắc (E): + = 40 15 Thí dụ Chuyển phương trình Hypebol (H): x2 − 4y2 = −1 dạng chính tắc, từ đó xác định các thuộc tính nó và vẽ hình  Gi¶i Đưa phương trình Hyperbol dạng: x2 y2 = − ⇒ a = 1, b = vµ c = (H): − 1/ 2 Từ đó:  T©m O(0, 0) 1  Toạ độ các đỉnh B1(0, − ), B2(0, ) 2 5  Toạ độ các tiêu điểm F’1(0, − ), F’2(0, ) 2  T©m sai e =  Phương trình hai đường tiệm cận là y = ± x  Chú ý: Trong trường hợp phương trình (H) có dạng: (H): (x − α) (y − β) = ±1 − a2 b2 ta thùc hiÖn phÐp tÞnh tiÕn hÖ trôc Oxy theo vect¬ OI víi I(α, β) thµnh hÖ trôc IXY với công thức đổi trục: X = x − α x = X + α ⇔   Y = y − β y = Y + β ta ®­îc: X2 Y2 − = ±1 b a2 từ đó các thuộc tính (H) hệ trục IXY suy các thuộc tính (H) hÖ trôc Oxy (H): 391 Thí dụ Cho Hyperbol (H) có phương trình: (H): x2 − 4y2 − 2x + 16y + 11 = a §­a Hyperbol (H) vÒ d¹ng chÝnh t¾c b Xác định toạ độ tâm, tiêu điểm F1, F2, các đỉnh A1, A2 và các ®­êng tiÖm cËn cña (H)  Gi¶i Chuyển phương trình (H) dạng: (x − 1)2 (y − 2)2 (H): − = −1  Thực phép tịnh tiến hệ trục toạ độ Oxy theo vectơ OI với I(1, 2) thành hệ trục IXY, với công thức đổi trục: x= X + X= x − ⇔   y= Y + Y= y − Khi đó: X2 Y2 (H): − = −1 Khi đó hệ trục IXY, (H) có các thuộc tính:  T©m I  Trục thực thuộc IY có độ dài chứa tiêu điểm F1(0, − ), F2(0, )  Trục ảo thuộc IX có độ dài  T©m sai e =  Phương trình hai đường tiệm cận: X = ± Y Do đó hệ trục Oxy, (H) có các thuộc tính:  T©m I(1, 2)  (H) có trục thực // Ox có độ dài chứa tiêu điểm F1(1, − + 2), F2(1, + 2)  Trục ảo // Ox có độ dài  T©m sai e =  Phương trình hai đường tiệm cận: (d ) : 2x − y = x − = ± (y − 2) ⇔  (d1 ) : 2x + y − = Dạng toán 2: Lập phương trình Hypebol (H) Phương pháp thực Ta lùa chän mét hai c¸ch sau: 392 Cách 1: Sử dụng phương trình chính tắc Hypebol x2 y2 (H): − = ±1 a b Từ đó cần tìm a, b (hoặc a2, b2) cách thiết lập hệ hai phương trình với ẩn a, b (hoÆc a2, b2) Cách 2: Sử dụng định nghĩa  Chó ý: Cần phải cân nhắc giả thiết bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phương trình thích hợp Trong trường hợp không có gì đặc biệt, ta luôn giả sử Hypebol (H) có phương trình: x2 y2 (H): − = ±1 b a Trong nhiều trường hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phương pháp quỹ tích để xác phương trình Hypebol chứng minh tập hợp điểm là Hypebol, trường hợp này này chúng ta thường thực theo hai bước sau: Bước 1: Chứng minh tập hợp điểm là Hypebol (H) việc hai điểm cố định A, B và M thoả mãn |MA − MB| = 2a − không đổi Bước 2: Lập phương trình chính tắc Hypebol (H) nhận A, B làm tiêu điểm và có độ dài trục thực 2a ThÝ dô Cho ba ®iÓm F1(−4, 0), F2(4, 0) vµ ®iÓm A(2, 0) a Lập phương trình Hyperbol (H) qua A và có tiêu điểm F1, F2 b Tìm toạ độ điểm M trên (H) cho MF2 = 2MF1  Gi¶i a Vì hai tiêu điểm F1 và F2 thuộc Ox và đối xứng qua Oy nên Hypebol (H) có dạng: x2 y2 (1) (H): − = a b - Tiªu cù c = ⇔ a2 + b2 = 42 (2) (3) - §iÓm A(2, 0)∈(H) ⇔ a = - Tõ (2), (3) suy a2 = 4, b2 = 12 x2 y2 Vậy phương trình (H): − = 12 b Gi¶ sö M(x0, y0)∈(H) cho MF2 = 2MF1, ta cã: |MF1 − MF2| = 2a ⇒ MF1 = 2a ⇔ MF12 = 4a2 ⇔ [( − − x0)2 + y 02 ] = 4.16 ⇔ [(4 + x0)2 + y 02 ] = 64 MÆt kh¸c M(x0, y0)∈(H) x 20 y 20 ⇔ − =1 12 Gi¶i hÖ t¹o bëi (4), (5), ta ®­îc M1( − 3, − 15 ), M2( − 3, (4) (5) 15 ) 393 Thí dụ Lập phương trình chính tắc và vẽ hình Hyperbol biết: a §i qua ®iÓm M(2, 2) vµ mçi ®­êng tiÖm cËn t¹o víi Ox mét gãc 600 b Đi qua điểm N( , 2) và hai đường tiệm cận có phương trình y = ± 2x c Hai trục trùng với trục toạ độ và qua điểm A( , −1) và B(4, )  Giải − Bạn đọc tự vẽ hình a Hyperbol (H) cã " mçi ®­êng tiÖm cËn t¹o víi trôc hoµnh mét gãc 300 " Kh«ng mÊt tính tổng quát ta giả sử Hyperbol (H) có phương trình: x2 y2 (H): − = ± (1) a b  §iÓm M(2, 2)∈(H) ⇔ 4b2 − 4a2 = ±a2b2 (2)  TiÖm cËn cña (H) t¹o víi trôc hoµnh mét gãc 300 b ⇔ = tan600 ⇔ b = a (3) a Giải hệ phương trình tạo (2), (3) ta a2 = và b2 = x y2 Vậy phương trình chính tắc Hypebol (H): − = 8/3 b Giả sử Hyperbol (H) có phương trình: x2 y2 =±1 − a2 b2  §iÓm N( , 2)∈(H) ⇔ 2b2 − 4a2 = ±a2b2  Hai đường tiệm cận có phương trình y = ± 2x, suy ra: b ⇔ = ⇔ b = 2a a Giải hệ phương trình tạo (2), (3) ta a2 = và b2 = x2 y2 Vậy phương trình chính tắc Hypebol (H): − = 1 c Giả sử Hyperbol (H) có phương trình: x2 y2 (H): − = ± a b  §iÓm A( , −1)∈(H) ⇔ 6b2 − a2 = ±a2b2 (H):  §iÓm B(4, )∈(H) ⇔ 16b2 − 6a2 = ±a2b2 Giải hệ phương trình tạo (2), (3) ta a = và b2 = Vậy phương trình chính tắc Hypebol (H): 394 x2 y2 − = (1) (2) (3) (1) (2) (3) ThÝ dô Cho ®­êng trßn (C): x2 + y2 = TiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M c¾t Ox t¹i N Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi Ox t¹i N lÊy ®iÓm P cho PN = MN với k > Lập phương trình quỹ tích các điểm P M di động trên (C)  Gi¶i Gi¶ sö P(x, y), ta cã: N(x, 0), PN2 = y2 vµ MN2 = ON2 − OM2 = x2 − Khi đó: x2 y2 − = 27 Vậy quỹ tích các điểm M thuộc Hypebol (H)có phương trình: MN ⇔ PN2 = 3MN2 ⇔ y2 = 3(x2 − 9) ⇔ PN = (H): x2 y2 − = 27 Dạng toán 3: Xét vị trí tương đối điểm, đường thẳng, Elíp và Hypebol Phương pháp thực Bằng việc xét hệ phương trình tạo (H) và (d), đó số nghiệm phương tr×nh b»ng sè giao ®iÓm cña (d) vµ (H) Thí dụ Cho Hyperbol (H) và đường thẳng (d) có phương trình: (H):  Gi¶i x y2 − = vµ (d): x − y − = a Chøng minh r»ng (d) lu«n c¾t (H) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B Tính độ dài AB b Tìm toạ độ điểm C thuộc (H) cho: - ∆ABC cã diÖn tÝch b»ng - ∆ABC c©n t¹i A - ∆ABC vu«ng t¹i A a Xét hệ phương trình tạo (d) và (H):  x2 y2 =  − ⇔ 4 x − y − =  A(−6, −8) ⇒ độ dài AB =  B(2, 0) b LÊy C(x0, y0)∈(H), suy  x 20 y 20 − = (1) Ta cã: S∆ABC = AB.CH ⇔ = 4CH ⇔ CH = 395 MÆt kh¸c: 1 x0 − y0 − 1 ⇔ x0 − y0 − = ±1 2 Giải hệ phương trình tạo (1), (2) − Dành cho bạn đọc  (∆ABC c©n t¹i A): Ta cã thÓ lùa chän mét ba c¸ch sau: Cách 1: (Sử dụng phương trình điều kiện): ∆ABC cân A suy ra: AB = AC ⇔ AB2 = AC2 Giải hệ phương trình tạo (1), (3) − Dành cho bạn đọc Cách 2: (Sử dụng phép đánh giá): ∆ABC cân A suy B, C đối xứng qua Ox ⇒ C − Dành cho bạn đọc  ∆ABC vuông A thực tương tự câu ∆ABC cân A CH = d(C, (d)) ⇔ = (2) (3) Thí dụ Cho Elíp (E) và Hypebol (H) có phương trình: x2 y2 x2 y2 (E): + = vµ (H): − = Lập phương trình đường tròn qua các giao điểm hai Hyperbol  Gi¶i Ta có (E)∩(H) = {A,B,C,D} đối xứng với qua O (bởi (E1) và (E2) nhận O làm tâm đối xứng) VËy ®­êng trßn ®i qua A, B, C, D nhËn O lµm t©m vµ b¸n kÝnh R2 = OA2 = x 2A + y 2A Toạ độ điểm A(xA, yA) là nghiệm hệ phương trình : 4 x + y = 36  x A = / ⇔  ⇒ R2 = x 2A + y 2A =  y = 16 / 4 x − y =  A Vậy, phương trình đường tròn qua A, B, C, D có dạng: (C): x2 + y2 = ThÝ dô Cho Hypebol (H) :  Gi¶i x y2 − = Chøng minh r»ng diÖn tÝch h×nh b×nh 16 hµnh t¹o bëi c¸c tiÖm cËn cña Hyperbol (H) vµ c¸c ®­êng th¼ng kÎ tõ điểm trên (H) song song với các tiệm cận là số Gäi α lµ gãc t¹o bëi ®­êng ®­êng tiÖm y = x víi trôc Ox Ta cã: 24 tan α vµ sin2α = = 25 + tan α 24 25 OP.OQ ⇒ OP.OQ = SOPMQ SOPMQ = OP.OQ.sin2α = 25 24 tanα = 396 MÆt kh¸c: SOPMQ = OQ.h1 = OP.h2 ⇒ S2OPMQ = OP.OQ.h1h2 = 25 144 SOPMQ 24 25 ⇔ SOPMQ = không đổi D¹ng to¸n 4: §iÓm vµ Hypebol Phương pháp thực Với Hypebol (H) có phương trình: x2 y2 (H): − = a b Ta lùa chän mét hai c¸ch sau: Cách 1: Ta thực theo các bước: Bước 1: Lấy điểm M(x0, y0)∈(H) suy x 20 y 20 = − a2 b2 Bước 2: Dựa vào điều kiện K có thêm điều kiện cho x0, y0 Từ đó suy toạ độ điểm M Cách 1: Ta thực theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình Hypebol dạng tham số: a  π 3π x = } (H):  cos t , t∈[0, 2π)\{ , 2 y = btgt Bước 2: Bước 3: §iÓm M∈(H) ⇒ M(a.sint, b.cost) Dựa vào điều kiện K có thêm điều kiện cho x0, y0 Từ đó suy toạ độ điểm M  Chú ý: Ta cần lưu ý các trường hợp sau: NÕu ®iÓm ph¶i t×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn vÒ b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm ta sö dông c«ng thức tính bán kính qua tiêu điểm theo toạ độ điểm đó là: §iÓm M(x, y)∈(H) lu«n cã: cx cx + a vµ F2M = − a víi x > a F1M = a a cx cx b F1M = − − a vµ F2M = − + a víi x < a a Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện góc ta đưa bài toán xét hệ thức lượng tam gi¸c Nếu điểm phải tìm là giao Hypebol với đường khác ta xét hệ phương trình tương giao để tìm toạ độ giao điểm 397 x2 y2 − = Tìm điểm M trên (H) cho độ dài a2 b2 F1M (tiªu ®iÓm F1( − c, 0)) ng¾n nhÊt, dµi nhÊt ThÝ dô Cho Hyperbol (H):  Gi¶i LÊy M(x0, y0)∈(H), suy ra: x 20 y 20 y 20 2 ⇔ = a (1 + )≥a2 ⇒ |x0|≥a − = x 2 b b a Ta cã: cx ca F1M = | + a|≥| − + a| = | − c + a| = c − a a a Vây, F1MMin = c − a, đạt M≡A1(−a, 0) x2 y2 − = T×m ®iÓm M trªn (H) cho: 16 a Có toạ độ nguyên b Nhìn hai tiêu điểm góc 900 ThÝ dô Cho Hyperbol (H):  Gi¶i a Ta cần tìm các cặp (x, y) nguyên không âm, đó các nghiệm còn lại là (x, −y), (−x, y), (−x, −y) Ta cã: (3x + y )(3x − y ) = 144 9 x − 16 y = 144  x = + ⇔ ⇔ x , y ∈ Z    y = x, y ∈ Z +  3x + y ≥ 3x − y  Vậy có hai điểm trên (H) có toạ độ nguyên là M9( − 4, 0), M10(4, 0) b MF1⊥MF2 ⇒ M thuộc đường tròn (C) đường kính F1F2 = 10 có phương trình: (C): x2 + y2 = 25 Vậy toạ độ điểm M là nghiệm hệ:  x 20 y 20 =1  −  16 x + y =  ta ®­îc bèn ®iÓm: M1( 398 34 34 34 34 9 , ), M2(− , ), M3( , − ), M4(− , − ), 5 5 5 5 §5 Parabol Dạng toán 1: Xác định các thuộc tính Parabol (P) Phương pháp thực Ta thực theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu Parabol (P) dạng chính tắc (P): y2 = ±2px hoÆc (P): x2 = ±2py Bước 2: Xét các khả năng: D¹ng 1: Parabol (P): y2 = 2px (p>0) y (P) (d) C¸c thuéc tÝnh cña (P) gåm:  §Ønh O(0 0), F L p p/2 − p/2  Tiªu ®iÓm F ( , 0), x O p  §­êng chuÈn (d): x = − ,  Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị bên phải Ox D¹ng 2: Parabol (P): y2 = −2px (p>0) y (d) (P) C¸c thuéc tÝnh cña (P) gåm:  §Ønh O(0 0), F L p O − p/2 p/2 x  Tiªu ®iÓm F (− , 0), p  §­êng chuÈn (d): x = ,  Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị bên trái Ox y D¹ng 3: Parabol (P): x2 = 2py (p>0) (P) C¸c thuéc tÝnh cña (P) gåm: F p/2  §Ønh O(0 0), p x O  Tiªu ®iÓm F (0, ), (d) −p/2 L p  §­êng chuÈn (d): y = − ,  Parabol, nhận Oy làm trục đối xứng, đồ thị có hướng lên trên y D¹ng 4: Parabol (P): x2 = − 2py (p>0) C¸c thuéc tÝnh cña (P) gåm: L p/2 (d)  §Ønh O(0 0), O p x  Tiªu ®iÓm F (0, − ), (P) −p/2 F p  §­êng chuÈn (d): y = ,  Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị có hướng xuống 399  Chú ý: Trong trường hợp phương trình (P) có dạng: (P): (y − β)2 = ±2p(x − α) hoÆc (P): (x − α)2 = ±2p(y − β) ta thùc hiÖn phÐp tÞnh tiÕn hÖ trôc Oxy theo vect¬ OI víi I(α, β) thµnh hệ trục IXY với công thức đổi trục: X = x − α x = X + α ⇔   Y = y − β y = Y + β ta ®­îc: (P): Y2 = ±2pX hoÆc (P): X2 = ±2pY từ đó các thuộc tính (P) hệ trục IXY suy các thuộc tÝnh cña (P) hÖ trôc Oxy Thí dụ Chứng tỏ phương trình Ax2 + By = 0, với A, B ≠ là phương trình Parabol có đỉnh O(0, 0), nhận Oy làm trục đối xứng Tìm tiêu điểm và phương trình đường chuẩn Parabol đó  Gi¶i Viết lại phương trình dạng: − B 2p = A B Ax2 = −By ⇔ x2 = − y ⇔ x2 = 2py A đó chính là phương trình Parabol có đỉnh O(0, 0), nhận Oy làm trục đối xứng Parabol đó có: B  Tiªu ®iÓm F(0; p) = (0; − ) 2A B  Phương trình đường chuẩn y = −p ⇔ y = 2A Thí dụ Chuyển phương trình Parabol (P) dạng chính tắc, từ đó xác định các thuéc tÝnh cña nã vµ vÏ h×nh, biÕt (P) : y2 + 2y − 4x − =  Giải − Bạn đọc tự vẽ hình Chuyển phương trình (P) dạng: (P): (y + 1)2 = 4(x + 1)  Thực phép tịnh tiến hệ trục toạ độ Oxy theo vectơ OS với S(−1, −2) thành hệ trục SXY, với công thức đổi trục: x= X − X= x + ⇔   Y= y + y= Y − Khi đó: (P): Y2 = 4X ⇒ p = Khi đó hệ trục SXY, (P) có các thuộc tính:  §Ønh S  Trục đối xứng SX chứa tiêu điểm F(1, 0)  Phương trình đường chuẩn (d): X = −1 400 Do đó, hệ trục Oxy, (P) có các thuộc tính: §Ønh S(−1, −1)  Trục đối xứng là đường thẳng y + = chứa tiêu điểm F(0, −1)  Phương trình đường chuẩn (d): x + = ThÝ dô Cho hä ®­êng cong (Pm) : y2 − 2my − 2mx + m2 = Tìm điều kiện m để (Pm) là phương trình Parabol, đó: a Tìm quĩ tích đỉnh họ (Pm) b T×m quÜ tÝch tiªu ®iÓm cña hä (Pm)  Gi¶i Chuyển phương trình (Pm) dạng: (Pm): (y − m)2 = 2mx Để phương trình trên là phương trình Parabôn điều kiện là m ≠  Thực phép tịnh tiến hệ trục toạ độ Oxy theo vectơ OS với S(0; m) thành hệ trục SXY, với công thức đổi trục: X = x x = X ⇔   Y= y − m  y= Y + m Khi đó: (P): Y2 = 2mX ⇒ p = m Khi đó hệ trục SXY, (Pm) có các thuộc tính:  §Ønh S m  Trục đối xứng SX chứa tiêu điểm F( , 0) m  Phương trình đường chuẩn (d): X = − Do đó hệ trục Oxy, (Pm) có các thuộc tính:  §Ønh S(0; m) m  Trục đối xứng là y − m = chứa tiêu điểm F( ; m) m  Phương trình đường chuẩn (d): x + = a Quĩ tích đỉnh họ (Pm) x = S:  ⇒ x = y = m Vậy quĩ tích đỉnh (Pm) thuộc trục tung b QuÜ tÝch tiªu ®iÓm cña hä (Pm) m  x = F:  ⇒ y = 2x ⇔ 2x − y =  y = m VËy quÜ tÝch tiªu ®iÓm cña (Pm) thuéc ®­êng th¼ng 2x − y = 401 Dạng toán 2: Lập phương trình Parabol (P) Phương pháp thực Ta lùa chän mét hai c¸ch sau: Cách 1: Sử dụng phương trình chính tắc Parabol (P): y2 = 2px hoÆc (P): x2 = 2py Từ đó cần tìm a, b (hoặc a2, b2) cách thiết lập hệ hai phương trình với ẩn a, b (hoÆc a2, b2) Cách 2: Sử dụng định nghĩa Bước 1: Lấy điểm M(x, y)∈(P) có tiêu điểm F và dường chuẩn (d) Bước 2: Chuyển MF = MH thành biểu thức giải tích nhờ: MF2 = (x − xF)2 + (y − yF)2 vµ MH = d(M, (d)) Bước 3: Thu gọn  Chó ý: Cần phải cân nhắc giả thiết bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phương trình thích hợp Trong trường hợp không có gì đặc biệt, ta luôn giả sử Parabol (P) có phương trình: (P): y2 = 2px Trong nhiều trường hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phương pháp quỹ tích để xác phương trình Parabol chứng minh tập hợp điểm là Parabol Thí dụ Viết phương trình Parabol (P) có đỉnh là gốc toạ độ và qua điểm A(2, 2)  Gi¶i Parabol (P) có đỉnh O có phương trình (P): y2 = 2px hoÆc (P): x2 = 2py Trường hợp 1: Nếu phương trình (P): y2 = 2px V× A∈(P), suy = 4p ⇔ p = Khi đó phương trình Parabol (P1): y2 = 2x Trường hợp 2: Nếu phương trình (P): x2 = 2py V× A∈(P), suy = 4p ⇔ p = Khi đó phương trình Parabol (P2): x2 = 2y VËy tån t¹i hai Parabol (P1) vµ (P2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi ThÝ dô Cho ®iÓm F(3, 0) a Lập phương trình Parabol (P) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc toạ độ b Một điểm nằm trên Parabol (P) có hoành độ x = Hãy tính khoảng cách từ điểm đó tới tiêu điểm c Qua I(2, 0) dựng đường thẳng (d) thay đổi luôn cắt Parabol (P) hai ®iÓm A, B Chøng minh r»ng tÝch sè kho¶ng c¸ch tõ A vµ B tíi Ox lµ mét h»ng sè 402  Gi¶i a Parabol (P) có tiêu điểm F(3, 0) và đỉnh O(0, 0) suy ra: (P): y2 = 2px p Ta cã = ⇒ p = Vậy, phương trình Parabol (P): y2 = 12x b Víi ®iÓm M(2, y) ∈ (P) lu«n cã: p FM = x + = + = c §­êng th¼ng (d): a(x − 2) + by = ®i qua I Toạ độ giao điểm A(xA, yA) và B(xB, yB) (P) và (d) là nghiệm hệ: y = 12x  a(x − 2) + by = Phương trình tung độ giao điểm (P) và (d) có dạng: ay2 − 12by + 24a = Từ đó, ta có 12b  y A + y B = a  y y = 24  A B Khoảng cách từ A và B đến trục Ox theo thứ tự là: h1 = |yA|, h2 = |yB| NhËn xÐt tÝch h1.h2 = |yA.yB| = 24 − không đổi (1) Dạng toán 3: Vị trí tương đối điểm, đường thẳng và Parabol Phương pháp thực Xét vị trí tương đối điểm M(x0, y0) với Parabol (P) : y2 = 2px, ta thực theo các bước: Bước 1: Xác định phương tích M Parabol (P) là : PM /( P ) = y − 2px0 Bước 2: Kết luận:  NÕu PM /( P ) <0 ⇔ M n»m Parabol  NÕu PM /( P ) = ⇔ M n»m trªn Parabol  NÕu PM /( P ) >0 ⇔ M n»m ngoµi Parabol  Chó ý: Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau:    M(x, y)∈ miÒn cña (P) ⇒ qua M kh«ng thÓ kÎ ®­îc tiÕp tuyÕn tíi (P) M(x, y)∈ miÒn ngoµi cña (P) ⇒ qua M kÎ ®­îc tiÕp tuyÕn tíi (P) M(x, y) n»m trªn (P) ⇒ qua M kÎ ®­îc mét tiÕp tuyÕn tíi (P) 403 Xét vị trí tương đối đường thẳng với Parabol việc xét hệ phương trình tạo (P) và (d), đó số nghiệm phương trình số giao điểm (d) vµ (P) ThÝ dô Cho Parabol (P): y2 = 4x vµ (d): 2x − y − =  Gi¶i Tìm các điểm M∈(d) để từ đó: a Kh«ng kÎ ®­îc tiÕp tuyÕn nµo tíi (P) b KÎ ®­îc mét tiÕp tuyÕn tíi (P) c KÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn tíi (P) Víi mçi ®iÓm M(x0, y0)∈(d), ta cã: 2x0 − y0 − = ⇔ y0 = 2x0 − PM /( P ) = y 20 − 4x0 = (2x0 − 4)2 − 4x0 = x 20 − 20x0 + 16 a §Ó tõ M kh«ng kÎ ®­îc tiÕp tuyÕn nµo tíi (P) ⇔ PM /( P ) <0 ⇔ x 20 − 20x0 + 16<0 ⇔ 1<x0<4 Vậy, tập hợp các điểm M(x0, y0)∈(d) có hoành độ thoả mãn 1<x0<4 không kẻ ®­îc tiÕp tuyÕn nµo tíi (P) b §Ó tõ M kÎ ®­îc mét tiÕp tuyÕn tíi (P) x =  M (1,−2) ⇔ PM /( P ) = ⇔ x 20 − 20x0 + 16 = ⇔  ⇒   M (4,4) x = Vậy, tồn hai điểm M1(1, − 2) và M2(4, 4) thuộc (d) từ đó kẻ tiếp tuyÕn tíi (P) c §Ó tõ M kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn tíi (P) x < ⇔ PM /( P ) >0 ⇔ x 20 − 20x0 + 16>0 ⇔  x > Vậy, tập hợp các điểm M(x0, y0)∈(d) có hoành độ x0∈( − ∞, 1)∪(4, + ∞) kẻ hai tiÕp tuyÕn tíi (P) Thí dụ Cho Parabol và đường thẳng (d1) có phương trình: (P): y = x2 − 2x + 2, (d1): x − y − = Lập phương trình đường thẳng (d) cùng phương với đường thẳng (d1) và c¾t (P) t¹i ®iÓm ph©n biÖt A, B cho AB =  Gi¶i Đường thẳng (d) cùng phương với đường thẳng (d1) có phương trình: (d): x − y + C = Toạ độ giao điểm A(xA, yA) và B(xB, yB) (P) và (d) là nghiệm hệ: y = x − 2x +  x − y + C = 404 Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) có dạng: (1) x2 − 3x + − C = §Ó (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt ®iÒu kiÖn lµ: ∆ ≥ ⇔ − 4(2 − C) ≥ ⇔ C ≥ − Từ đó, ta có: x A + x B =  x A x B= − C Víi gi¶ thiÕt AB = 4, ta ®­îc: 16 = (xA − xB)2 + (yA − yB)2 = (xA − xB)2 + [(xA + C) − (xB + C)]2 = 2(xA − xB)2 = 2[(xA + xB)2 − 4xAxB] = 2[9 − 4(2 − C)] = 2(1 + 4C) ⇔ + 4C = ⇔ C = Vậy, đường thẳng (d) có phương trình x − y + = ThÝ dô Cho Parabol (P): y2 = 4x Mét ®­êng th¼ng bÊt kú ®i qua tiªu ®iÓm cña (P) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B Chøng minh r»ng tÝch c¸c khoảng cách từ A và B đến trục (P) là đại lượng không đổi  Gi¶i Parabol (P) cã tiªu ®iÓm F(1, 0) §­êng th¼ng (d): ax + by + c = ®i qua F(1, 0) cã d¹ng: (d): ax + by − a = Toạ độ giao điểm A(xA, yA) và B(xB, yB) (P) và (d) là nghiệm hệ: y = x  ax + by − a = Phương trình tung độ giao điểm (P) và (d) có dạng: ay2 + 4by − 4a = Từ đó, ta có (1) 4b  y A + y B = − a  y A y B = −4  Khoảng cách từ A và B đến trục Ox theo thứ tự là: h1 = |yA|, h2 = |yB| NhËn xÐt tÝch h1.h2 = |yA.yB| = Vậy, tích các khoảng cách từ A và B đến trục (P) là đại lượng không đổi 405 Thí dụ Cho Parabol (P) và Elíp (E) có phương trình: x2 y2 (P): y = x2 − 2x vµ (E): + = a Chøng minh r»ng (P) c¾t (E) t¹i bèn ®iÓm ph©n biÖt A, B, C, D b Lập phương trình đường tròn qua các giao điểm đó  Gi¶i a Xét hệ phương trình tạo (P) và (E) y (C) (P C x + y = (I) B  O y = x − x x −3 A ⇒ x2 + 9(x2 − 2x)2 = D ⇔ f(x) = 9x4 − 36x3 + 37x2 − = (1) Ta cã: f(−1) = 73 > 0, f(0) = −9 < 0, f(1) = < 0, f(2) = −77 < 0, f(3) = 81 > Do đó:  f(−1).f(0) < ⇒ phương trình (1) có nghiệm thuộc (−1, 0)  f(0).f(1) < ⇒ phương trình (1) có nghiệm thuộc (0, 1)  f(1).f(2) < ⇒ phương trình (1) có nghiệm thuộc (1, 2)  f(2).f(3) < ⇒ phương trình (1) có nghiệm thuộc (2, 3) Vậy, phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (d)∩(P) = {A, B, C, D} b Tõ hÖ (I), ta ®­îc : x + y = ⇒ 9x2 + 9y2 − 16x − 8y − =  8(x − x) = 8y 161 ) + (y − )2 = 9 81 Nhận xét toạ độ A,B,C,D cùng thoả mãn (*) Vậy, phương trình đường tròn qua A, B, C, D có dạng: 161 (C): (x − )2 + (y − )2 = 9 81 ⇔ (x − D¹ng to¸n 4: §iÓm vµ Parabol Phương pháp thực Với Parabol (P) có phương trình: (P): y2 = 2px ta thực theo các bước: Bước 1: Lấy điểm M(x0, y0)∈(P) ⇒ y 20 = 2px0 Bước 2: Dựa vào điều kiện K có thêm điều kiện cho x0, y0 406 (*)  Chú ý: Ta cần lưu ý các trường hợp sau: NÕu ®iÓm ph¶i t×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn vÒ b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm ta sö dông c«ng thức tính bán kính qua tiêu điểm theo toạ độ điểm đó là: p MF = x0 + 2 Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện góc ta đưa bài toán xét hệ thức lượng tam gi¸c Nếu điểm phải tìm là giao Parabol với đường khác ta xét hệ phương trình tương giao để tìm toạ độ giao điểm Thí dụ Cho Parabol (P): y = x2 Một góc vuông đỉnh O cắt Parabol A1 và A2 H×nh chiÕu cña A1 vµ A2 lªn Ox lµ B1 vµ B2 a Chøng minh r»ng OB1.OB2 = const b Chứng minh A1A2 luôn qua điểm cố định  Gi¶i a Gi¶ sö A1∈(P) ⇒ A1(x0, x 20 ) Khi đó: - B1(x0, 0) ⇒ OB1 = |x0| - Phương trình đường thẳng (OA1): y = xx0 - Theo gi¶ thiÕt OA2⊥OA1 ⇒ phương trình đường thẳng (O A2): y = − y A2 x x0 B2 I O (P) A1 B1 x - Toạ độ A2 là nghiệm hệ phương trình:  y = x x = − x 1   A2:  ⇒ A2(− , ) ⇒ A2:  x0 x0 y = − x x y =   x0 1 - B2(− , 0) ⇒ OB2 = | − | x0 x0 VËy OB1.OB2 = b Ta có:  Phương trình (A1A2) xác định bởi: 1 y− x+ x0 x0 (A1 A2): = 1 x0 + x 20 − x0 x0 ⇔ (A1 A2): x x 30 + (1 − y) x 20 − xx0 = (1) 407  Ta chứng minh A1A2 luôn qua điểm cố định Thật giả sử I(x, y) là điểm cố định họ đường thẳng A1A2 x = x = ⇔ (1) đúng với x0 ⇔  ⇔  ⇔ I(0, 1) 1 − y = y = Vậy (A1A2) luôn qua điểm cố định I(0, 1) §6 Ba ®­êng c«nÝc Thí dụ Biện luận theo m hình dạng đường (C) có phương trình: (C): (m − 1)x2 + my2 = m2 − m  Gi¶i Ta lùa chän mét hai c¸ch sau: Cách 1: Biến đổi phương trình (C) dạng: (x − 1) + y = |x −m| m VËy víi ®iÓm F(1, 0) vµ ®­êng th¼ng (∆): x = m, ta cã nhËn xÐt:  Víi m < 0, th× (C) lµ tËp ∅ m[(x − 1)2 + y2] = (x − m)2 ⇒ Với m = 0, thì (C): x2 = ⇔ (C): x = là phương trình trục Oy Víi: m >  ⇔ m > ⇒ (C) là phương trình Elíp   m <1   Víi: m >  ⇔ < m < ⇒ (C) là phương trình Hypebol   m >1   Víi: m >  ⇔ m = ⇒ (C) là phương trình Parabol điểm (có dạng y2 = 0)  =  m  Cách 2: Ta xét dựa trên các tính chất đại số: a Víi m2 − m = ⇔ m = ∨ m =  Víi m = 0, ta ®­îc: (C): − x2 = ⇔ (C): x = là phương trình trục Oy  Víi m = 1, ta ®­îc: (C): y2 = ⇔ (C): y = là phương trình trục Ox   408 b Víi m2 − m ≠ ⇔ m ≠ ∧ m ≠ 2 (C): x + y = m m −1  Víi: m > ⇔ m > ⇒ (C) là phương trình Elíp  m − >  Víi: m(m − 1) < ⇔ < m < ⇒ (C) là phương trình Hypebol Thí dụ Lập phương trình Côníc (C) có tâm sai e = , tiêu điểm là F(−3; 1) và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là (∆): y + =  Gi¶i Víi M(x, y) ∈ (E) ta cã: (x + 3) + (y − 1) MF =e⇔ = | y + 2| d(M, ∆) 2 ⇔ 4[(x + 3) + (y − 1) ] = (y + 2) ⇔ 4x2 + 3y2 + 24x − 12y + 36 = (x + 3) (y − 2) + = ⇔ Đó chính làphương trình Elíp (E) Thí dụ Lập phương trình Hypebol, biết tiêu điểm F(2, − 3), đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó có phương trình 3x − y + = và tâm sai e =  Gi¶i Víi M(x, y) ∈ (H) ta cã: (x − 2) + (y + 3) MF =e⇔ = ⇔ 7x2 − y2 − 6xy + 26x − 18y − 17 = | 3x − y + | d(M, ∆) 10 Đó chính làphương trình Hypebol (H) Thí dụ Lập phương trình Parabol, biết tiêu điểm F(0, 2), đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó có phương trình 3x − 4y − 12 =  Gi¶i Víi M(x, y) ∈ (P) ta cã: (3x − 4y − 12) MF = ⇔ MF2 = d2(M, (∆)) ⇔ x2 + (y − 2)2 = 25 d(M, ∆) 2 ⇔ 16x + 9y + 24xy + 72x − 196y − 44 = Đó chính là phương trình Parabol (P) 409 C C¸c bµi to¸n chän läc VÝ dô 1:  Gi¶i Cho hình bình hành ABCD, biết tâm I(2; 2) và phương trình cạnh (AB): 2x − y = 0, (AD): 4x − 3y = Lập phương trình các cạnh BC và CD a Cạnh BC đối xứng với AD qua I, ta thực hiện: Với đểm M(x, y) ∈ (AD) ⇒ tồn điểm M1(x1, y1) ∈ (BC) nhận I làm trung ®iÓm, ta ®­îc:  x + x1 =  x= − x1 ⇔  (I)   y + y1 =  y= − y1 Thay (I) vào phương trình (AD), ta được: (1) 4(4 − x1) − 3(4 − y1) = ⇔ 4x1 − 3y1 − = 4x − 3y − = (2) Vậy phương trình (BC): 4x − 3y − = b Cạnh CD đối xứng với AB qua I, ta thực hiện: Lấy điểm O(0, 0) ∈ (AB), gọi O1 là điểm đối xứng với O qua I ⇒ O1(4, 4)  V× (CD) // (AB): 2x − y = ⇒ (CD): 2x − y + C =  V× O1 ∈ (CD) ⇒ C = − Vậy, phương trình đường thẳng (CD): 2x − y − = VÝ dô 2: Cho ∆ABC, biết A(1, 3) và hai trung tuyến có phương trình là: x − 2y + = 0, y − = Lập phương trình các cạnh ∆ABC  Gi¶i Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau: Cách 1: Để có phương trình các cạnh ∆ABC ta xác định toạ độ điểm B, C Gọi A' là điểm đối xứng với A qua trọng tâm G ∆ABC, đó: A 'B //(d1 ) A (d2)  (d1) A 'C //(d )   Suy ra: G C §iÓm B lµ giao ®iÓm cña (A'B) vµ (d2) A' §iÓm C lµ giao ®iÓm cña (A'C) vµ (d1) Vậy ta thực theo các bước sau: Gọi G là trọng tâm ∆ABC, đó toạ độ G là nghiệm hệ:  x − 2y + = ⇒ G(1, 1)  y − =  410 Điểm A' là điểm đối xứng với A qua G, suy A'(1; −1) B  Toạ độ điểm B: Phương trình đường thẳng (A'B) xác định bởi: qua A '(1, −1) qua A ' x −1 y +1  ⇔ (A'B):  ⇔ (A'B): (A'B):  =  vtcp CG(2,1) (A 'B) //(d1 ) ⇔ (A'B): x − 2y − = Điểm {B} = (A'B) ∩ (d2), toạ độ điểm B là nghiệm hệ:  x − 2y − = ⇒ B(5, 1)  y − = Tương tự, ta có toạ độ điểm C( − 3, − 1) Phương trình cạnh AC, xác định bởi: qua A(1,3) x −1 y−3 ⇔ (AC): = ⇔ (AC): x − y + = (AC):  −3 − −1 − qua C(−3, −1)  Tương tự, ta có : (AB): x + 2y − = vµ (BC): x − 4y − = Vậy, phương trình ba cạnh ∆ABC là: (AB): x + 2y − = 0, (BC): x − 4y − = 0, (AC): x − y + = Cách 2: Sử dụng phương trình tham số đường thẳng Gọi (d1): x − 2y + = là trung tuyến đỉnh C, ta có :  x= 2t − A , t ∈ R ⇒ C(2t − 1, t) (d1):  (d2) y = t (d1) G Gọi (d2): y − = là trung tuyến đỉnh B, ta có : C x = u (d2):  , u ∈ R ⇒ B(u, 1) y =   B Gọi G là trọng tâm ∆ABC, đó toạ độ G là nghiệm hệ:  x − 2y + = ⇒ G(1, 1)  y − = Ta cã: 3x G  t = −1 B(5,1) x A + x B + x C = 1 + u + 2t − = ⇔ ⇔ ⇒  3y G 3 + + t = u = C(−3, −1)  yA + yB + yC = Khi đó:  Phương trình cạnh (AB), cho bởi: qua A(1,3) ⇔ (AB): x + 2y − = (AB):  qua B(5,1)  Phương trình cạnh (AB), cho bởi: qua A(1,3) (AC):  ⇔ (AC): x − y + = qua C(−3, −1) 411  Phương trình cạnh (BC), cho bởi: qua B(5,1) (BC):  ⇔ (BC): x − 4y − = qua C(−3, −1) Vậy, phương trình các cạnh ∆ABC là: (AB): x + 2y − = 0, (AC): x − y + = 0, (BC): x − 4y − = VÝ dô 3:  Gi¶i Cho ba đường thẳng (d1), (d2) và (d3) có phương trình: (d1): 3x + 4y − = 0, (d2): 4x + 3y − = 0, (d3): y = Gäi A = (d1)∩(d2), B = (d3)∩(d2), C = (d1)∩(d3)  cña ∆ABC a Lập phương trình đường phân giác góc A b Tính diện tích tam giác, xác định tâm và tính bán kính đường tròn néi tiÕp ∆ABC    c Xác định toạ độ điểm M cho MB + MC = Trước tiên:  Tọa độ A là nghiệm hệ phương trình: 3x + 4y − =  x = −2 ⇔  ⇒ A(−2; 3)  4x + 3y − = y =  Tọa độ B là nghiệm hệ phương trình: 4x + 3y − =  x = 1/ ⇔  ⇒ B( ; 0)  y y = =    Tọa độ C là nghiệm hệ phương trình: 3x + 4y − = x = ⇔  ⇒ C(2; 0)  y = y =  cña ∆ABC a Gäi (dA) lµ ®­êng ph©n gi¸c cña gãc A Khi đó, điểm M(x, y)∈(dA) M vµ B cïng phÝa víi (AC)  ⇔ M vµ C cïng phÝa víi (AB) ⇔ d(M,(AB)) = d(M,(AC))  (3x + 4y − 6)(3 − 6) > (4x + 3y − 1)(4.2 − 1) > | 3x + 4y − | | 4x + 3y − 1| = 32 + 42 42 + 32 3x + 4y − <  ⇔ 4x + 3y − > ⇔ x + y − = −(3x + 4y − 6) = 4x + 3y −  Đó chính là phương trình tổng quát đường thẳng (dA) b DiÖn tÝch ∆ABC ®­îc cho bëi: 1 21 S∆ABC = d(A, BC).BC = 3.(2 − ) = (®vdt) 412 Giả sử I(x; y) là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC, đó: x + y − = I ∈ (d A )  x + y − =  | 3x + 4y − |  =| y | ⇔  d(I, AC) = d(I, BC) ⇔  32 + 42 3x + 4y − =±5y  y >  I y >  ⇔x=y= 1 VËy, ®­êng trßn néi tiÕp ∆ABC cã t©m I( ; ) vµ b¸n kÝnh b»ng 2 c Gi¶ sö M(x; y), tõ hÖ thøc: 1       0 = 3( − x) + (2 − ) = MB + MC = MB + BC ⇔  4 ⇒ M( ; 0) 0 = −3y VÝ dô 4: Cho hai ®iÓmA(0, 2), B(2, − 2) vµ ®­êng th¼ng (d): x − y − = T×m trªn ®­êng th¼ng ®iÓm M trªn (d) cho MA + MB nhá nhÊt  Gi¶i Ta cã nhËn xÐt: tA.tB = (−2 − 1)(2 + − 1) = −9 < ⇒ A, B kh¸c phÝa víi (d) Ta lu«n cã: MA + MB ≥ AB đó (MA + MB)Min = AB đạt khi: A, B, M th¼ng hµng ⇔ {M} = (d) ∩ (AB)  Phương trình đường thẳng (AB) cho bởi: qua A(0, 2) x y−2 (AB):  ⇔ (AB): = ⇔ (AB): 2x + y − = −2 − qua B(2, − 2)  Toạ độ điểmM là nghiệm hệ: 2x + y − = x = ⇔  ⇒ M(1, 0)  x − y − = y = VËy, t¹i ®iÓm M(1, 0) ta ®­îc MA + MB nhá nhÊt Ví dụ 5: Xác định toạ độ đỉnh C ∆ABC, biết A(2; −3), B(3; −2), trọng tâm ∆ABC thuéc ®­êng th¼ng 3x − y − = vµ diÖn tÝch cña ∆ABC b»ng  Gi¶i Ph©n tÝch: Gäi M lµ trung ®iÓm AB, G lµ träng t©m ∆ABC Khi đó    x C − x G = 2(x G − x M )  x = 2(x G − x M ) + x G ⇔  C GC = MG ⇔   y C = 2(y G − y M ) + y G  y C − y G = 2(y G − y M ) Vậy để xác định toạ độ C, ta xác định toạ độ M, G (I) 413 • Toạ độ điểm M cho bởi: xA + xB 2x= 5 M ⇒ M( , − )  yA + yB 2 M 2y= • B(3, −2) C' §iÓm G(x, y)∈(d) ⇒ 3x − y − = (1) Gäi CH lµ ®­êng cao cña ∆ABC h¹ tõ C, ta cã: 3 ⇔ CH = S∆ABC = ⇔ AB.CH = ⇔ CH = AB (d) H M H1 G (3 − 2) + (−2 + 3) Qua G dựng đường thẳng song song với AB cắt CH H1, đó: HH1 MG 1 = ⇔ HH1 = CH = = CH MC 3 Phương trình (AB) cho qua A(2, −3) x−2 y+3 (AB):  ⇔ (AB): ⇔ (AB): x − y − = = − −2 + qua B(3, −2) NhËn xÐt r»ng: | x − y −5| d(G, (AB)) = HH1 ⇔ = ⇔ |x − y − 5| = 1+1 Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: 3x − y − = 3x − y − = G(1, −5)  x = & y = −5  ⇔  x − y − = ⇔  ⇔   G(2, −2) | x − y − |=  x = & y = −2   x − y − =−1  Khi đó: - Víi G(1, − 5) thay vµo (I), ta ®­îc C(−2, −10) - Víi G(2, − 2) thay vµo (I), ta ®­îc C(1, −1) VËy cã hai ®iÓm C tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi VÝ dô 6: C A(2, −3) = (2) Cho hä ®­êng cong: (Cm): x2 + y2 − (m + 6)x − 2(m − 1)y + m + 10 = (1) a Tìm m để (Cm) là họ đường tròn Tìm quĩ tích tâm Im b Chứng minh tồn đường thẳng là trục đẳng phương cho tÊt c¶ c¸c ®­êng trßn (Cm) c Chøng minh r»ng c¸c ®­êng trßn cña hä (Cm) lu«n tiÕp xóc víi điểm cố định  Gi¶i a Ta cã: (m + 6) 5m + (m − 1)2 − m − 10 = ≥ 0, ∀m 4 Vậy, với giá trị m phương trình (1) là phương trình đường tròn, m+6 5|m| ; m − 1) vµ b¸n kÝnh R = cã t©m Im( 2 a + b2 − c = 414 QuÜ tÝch t©m Im: m+6  x = Im:   y= m − (I) Khö m tõ hÖ (I), ta ®­îc (d): 2x − y − = VËy, t©m Im cña hä (Cm) thuéc ®­êng th¼ng (d): 2x − y − = b Giả sử M(x; y) thuộc trục đẳng phương cho tất các đường tròn (Cm) ⇔ PM /(C ) = PM /(C ) , ∀m1, m2 vµ m1 ≠ m2 m1 m2 ⇔ x2 + y2 − (m1 + 6)x − 2(m1 − 1)y + m1 + 10 = = x2 + y2 − (m2 + 6)x − 2(m2 − 1)y + m2 + 10 ⇔ (m1 − m2)(x + 2y − 1) = 0, ∀m1, m2 vµ m1 ≠ m2 ⇔ x + 2y − = Vậy, đường thẳng x + 2y − = là trục đẳng phương cần tìm c Ta cã thÓ lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Víi m1 vµ m2 bÊt kú (m1≠ m2), th×: m +6 | m1 | ( Cm ) cã t©m I1( ; m1 − 1) vµ b¸n kÝnh R1 = 2 m +6 | m2 | ; m2 − 1) vµ b¸n kÝnh R2 = ( Cm ) cã t©m I2( 2 suy ra:  R1 + R | m1 − m |  m1 − m  I1I2 =  = = + − (m m )   2    R1 − R 2 Vậy, các đường tròn họ (Cm) luôn tiếp xúc với điểm cố định M(3; −1) Cách 2: Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà họ (Cm) luôn qua ⇔ x2 + y2 − (m + 6)x − 2(m − 1)y + m + 10 = , ∀m ⇔ m( − x − 2y + 1) + x2 + y2 − 6x + 2y + 10 = , ∀m − x − 2y + = x = ⇔  ⇔  ⇔ M(3, − 1)  y = −1  x + y − 6x + 2y + 10 = Nhận xét tâm Im họ (Cm) luôn thuộc đường thẳng (d) cố định qua M Vậy, các đường tròn họ (Cm) luôn tiếp xúc với điểm cố định M(3; −1) VÝ dô 7: Cho hai ®iÓm A(8; 0); B(0; 6) a Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆OAB b Lập phương trình đường tròn nội tiếp ∆OAB  Gi¶i a Chính là đường tròn đường kính AB, có phương trình (x − 4)2 + (y − 3)2 = 25 b Gi¶ sö ®­êng trßn (C) cã t©m I(a, b) vµ b¸n kÝnh r  vµ ph©n gi¸c cña C¸ch 1: T©m I thuéc ®­êng ph©n gi¸c cña gãc AOB gãc ∠BAO 415  lµ x − y = Phương trình phân giác góc AOB Phương trình cạnh (AB) cho bởi: x y (AB): + = ⇔ 3x + 4y − 24 =  ®­îc cho bëi: Phương trình các đường phân giác góc BAO (∆ ) : 3x − y − 24 = y 3x + 4y − 24 =± ⇔  + 16 (∆ ) : 3x + 9y − 24 =  (∆2) lµ ®­êng ph©n gi¸c cña gãc BAO Khi đó toạ độ tâm I là nghiệm hệ phương trình: x − y = ⇔ I(2, 2)  3x + 9y − 24 = B¸n kÝnh r ®­îc cho bëi r = d(I, OA) = Vậy phương trình (C): (x − 2)2 + (y − 2)2 = C¸ch 2: NhËn xÐt r»ng:  T©m I(a, b) thuéc gãc phÇn t­ thø nhÊt, suy a, b >  (C) tiÕp xóc víi OA, OB, vËy a = b = r Ta cã S∆OAB = p.r đó: S∆OAB = OA.OB = 24 p = (OA + OB + AB) = 12 Thay (2), (3) vµo (1), ta ®­îc r = Vậy, phương trình đường tròn (C): (x − 2)2 + (y − 2)2 = (1) (2) (3) VÝ dô 8: Cho ®iÓm M(6, 2) vµ ®­êng trßn (C): (x − 1)2 + (y − 2)2 = a Chøng tá r»ng ®iÓm M n»m ngoµi (C) b Lập phương trình đường thẳng (d) qua M và cắt đường tròn (C) t¹i hai ®iÓm A, B cho AB = 10  Gi¶i §­êng trßn (C) cã t©m I(1, 2) vµ b¸n kÝnh R = a Ta cã: p I M B = (6 − 1)2 + (2 − 2)2 − = 20>0 ⇔ M n»m ngoµi ®­êng trßn b Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I lªn AB, ta cã: 10 AB2 10 IH2 = IA2 − AH2 = R2 − =5− = ⇔ IH = 4 §­êng th¼ng (d) ®i qua M cã d¹ng: (d): A(x − 6) + B(y − 2) = ⇔ (d): Ax + By − 6A − 2B = M/(C) 416 H A §­êng th¼ng (d) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn dÇu bµi vµ chØ khi: 10 | A + 2B − 6A − 2B | = ⇔ 9A2 = B2 ⇔ A = ±3B d(I, (d)) = IH ⇔ 2 A +B Khi đó:  Víi A = − 3B, ta ®­îc (d1): x − 3y =  Víi A = 3B, ta ®­îc (d2): x + 3y − 12 = VËy, tån t¹i hai ®­êng th¼ng (d1), (d2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi VÝ dô 9: Cho đường tròn (C) có phương trình : (C): x2 + y2 − 4x + 8y − = a Tìm toạ độ tâm và và bán kính (C) b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua điểm A(−1, 0) c Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng (d): 3x − 4y + =  Gi¶i a Ta cã ngay, t©m I(2, −4) vµ b¸n kÝnh R = b Vì A ∈ (C) nên tiếp tuyến có phương trình: x.(−1) + y.0 − 2(x + 1) + 4(y + 0) − = ⇔ 3x − 4y + = c Gäi (∆) lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (C) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi Ta cã hai c¸ch gi¶i sau: Cách 1: Tiếp tuyến (∆) ⊥ (d) nên có phương trình: (∆) : 4x + 3y + c = §­êng th¼ng (∆) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) ®iÒu kiÖn lµ: c = 21 | 4.2 + 3.(−4) + c | d(I, (∆)) = R ⇔ =1⇔  16 + c = −29 Khi đó:  Víi c1 = 21, ta ®­îc tiÕp tuyÕn (∆1): 4x + 3y − 21 =  Víi c2 = −29, ta ®­îc tiÕp tuyÕn (∆2): 4x + 3y + 29 = VËy, tån t¹i hai tiÕp tuyÕn (d1), (d2) tíi (C) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi Cách (Hướng dẫn): Giả sử tiếp điểm là M(x0, y0), đó phương trình tiếp tuyến có dạng: (d): x.x0 + y.y0 − 2(x + x0) + 4(y + y0) − = ⇔ (d): (x0 − 2)x + (y0 + 4)y − 2x0 + 4y0 − = (1) 2 (2) V× M(x0, y0) ∈ (C) nªn x + y0 − 4x0 + 8y0 − = §­êng th¼ng (d) ⊥ (∆) vµ chØ khi: 3.(x0 − 2) − 4(y0 + 4) = ⇔ 3x0 − 4y0 − 22 = (3) Giải hệ phương trình tạo (2), (3) để suy x0 và y0, từ đó suy hai tiếp tuyến (d1), (d2) 417 VÝ dô 10: Cho ®iÓm M(2; 3) vµ ®­êng trßn (C): x2 + y2 − 2x − 6y + = LËp phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho:     a MA = −3 MB b MA = − MB  Gi¶i §­êng trßn (C) cã t©m I(1; 3) vµ b¸n kÝnh R = a Ta thực phép biến đổi:       MA = −3 MB ⇒ MA = BA vµ MB = − BA 4 Khi đó:     BA (− BA ) = − AB2 ⇔ AB2 = 16 ⇔ AB = M/(C) = −3 = MA MB = 16 V× (d) ®i qua M vµ c¾t ®­êng trßn (C) t¹i hai ®iÓm A, B cho: qua M(2;3) x −1 y − ⇔ (d): = ⇔ (d): y − = AB = = 2R ⇔ (d2):  −1 − qua t©m I(1;3) p b Từ điều kiện suy M là trung điểm AB, đó: qua M(2;3)  (d):  ⇔ (d): 1.(x − 2) = ⇔ (d): x − =  vtpt IM(1;0) Ví dụ 11: Cho đường tròn (C): (x − 1)2 + (y − 2)2 = Xác định toạ độ các đỉnh B, C ∆ABC nội tiếp đường tròn (C), biết điểm A(−2, 2)  Gi¶i Ta cã thÓ thùc hiÖn theo ba c¸ch sau: Cách 1: Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua I ⇒ toạ độ điểm A1(4, 2) §­êng trßn (C1) tho¶ m·n:  tam A1 (4, 2) (C1):  ⇔ (C1): (x − 4)2 + (y − 2)2 = bkinh R =  Khi đó: (C)∩(C1) = {B, C}, toạ độ B, C là nghiệm hệ:  3 B( , − ) 2  (x − 1) + (y − 2) = (x − 1) + (y − 2) =  2 ⇔  ⇒   2 (x − 4) + (y − 2) = 6x − 15 = C( , + 3 )  Cách 2: Nhận xét rằng: ∆ABC nội tiếp đường tròn (C) ⇒ tâm I là trọng t©m cña ∆ABC   Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn BC ⇒ AI = IH ⇒ H( , 2) 418 Phương trình cạnh BC cho bởi:  qua H( , 2) ⇔ (BC): x − = (BC):    vtpt AI(3,0)  Khi đó (BC)∩(C) = {B, C}, toạ độ B, C là nghiệm :  3 (x − 1) + (y − 2) = ) B( , −   ⇒   x − = C( , + 3 )   2 Cách 3: Giải sử AB = a, đó: a = ⇔ a2 = 27 AH = §iÓm M(x0, y0)∈(C) cho AM2 = 27, ta cã:  3 (x − 1) + (y − 2) = ) B( , − (x − 1) + (y − 2) =   2 ⇔  ⇒   2 27 (x + 2) + (y − 2) = x = C( , + 3 )   2 2 VÝ dô 12: Cho ®iÓm A(2, 0) vµ ®iÓm M di chuyÓn trªn ®­êng trßn (C) t©m O b¸n kÝnh b»ng Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M lªn Oy a Tính các toạ độ giao điểm P các đường thẳng OM và AH theo   gãc α = ( OA , OM ) b Xác định và vẽ quĩ tích P m thay đổi trên (C)  Gi¶i §­êng trßn (C): x2 + y2 = (1) §iÓm M(a, b)∈(C) ⇔ a2 + b2 = H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M lªn Oy, vËy H(0, b) Phương trình (AH) cho bởi: x y (AH): + = ⇔ (AT): bx + 2y − 2b = b Phương trình OM là (OM): bx − ay = Toạ độ giao điểm P là nghiệm hệ phương trình bx + 2y − 2b =  bx − ay = HÖ cã nghiÖm − ab − 2b ≠ ⇔ b ≠ & a ≠ −2 ⇔ a ≠ ±2 a Ta cã = a OM.cos α = a 2cos α M:  ⇔  = = b 2sin α b OM.sin α y B H P M A O x (I) 419 2cos α 2sin α , ) cos α + cos α + b Xác định và vẽ quĩ tích P M thay đổi trên (C) 2x 2y Tõ hÖ (I), ta ®­îc a = vµ b = 2−x 2−x Thay (2) vào (1) ta phương trình quĩ tích P là y2 = − 4x VËy tËp hîp ®iÓm P thuéc Parabol y2 = − 4x trõ hai ®iÓm A, B ⇔ M(2cosα, 2sinα) & P( (2) VÝ dô 13: Cho hai ®iÓm A(a; 0) vµ B(0; b) víi ab ≠ Gäi (C) lµ ®­êng trßn tiÕp xúc với Ox A và có tâm C với tung độ yC = m (m là tham số) Lấy mäi gi¸ trÞ kh¸c vµ kh¸c a + b2 2b a §­êng th¼ng AB c¾t ®­êng trßn (C) t¹i giao ®iÓm thø hai lµ P X¸c định toạ độ P b Xác định tâm K đường tròn (K) tiếp xúc với Oy B, và qua P c Giả sử (C) ∩ (K) = {P, Q} Chứng minh m thay đổi PQ luôn qua điểm cố định  Gi¶i Đường tròn (C) tiếp xúc với Ox A và có tâm C với tung độ yC = m, suy C(a, m) và bán kính R = CA = m Vậy phương trình đường tròn (C) có dạng: (C): (x − a)2 + (y − m)2 = m2 ⇔ (C): x2 + y2 − 2ax − 2my + a2 = a Xác định toạ độ P Phương trình (AB) có dạng: y x y (AB): + = ⇔ (AB): bx + ay − ab = B K a b Q b Toạ độ giao điểm (AB) và (C) là nghiệm hệ phương trình: C (1) bx + ay − ab = P  2 a m (2) O x (x − a) + (y − m) = Rót x − a tõ (1) thay vµo (2) ta ®­îc: y =  a   2 2 2 2b m  − y  + (y − m) = m ⇔ (a + b )y − 2b my = ⇔  b y=    a + b2 Thay y =  2b m  2b m vµo (1), ®­îc x = a −  2  a + b2  a +b   2b m  2b m Vậy, toạ độ điểm P(a 1 − , )   a +b  a +b b Gi¶ sö ®­êng trßn (K) cã d¹ng: (K): (x − α)2 + (y − β)2 = R2 420 (K) tiÕp xóc víi Oy t¹i B ®iÒu kiÖn lµ: R = α  β =b Khi đó (K) có dạng: (x − α)2 + (y − b)2 = α2 §­êng trßn (K) ®i qua P, suy ra:  2b m  2b m a + b − 2mb 2 (a 1 − − α) + ( − b) = α ⇔ α =  2a a + b2  a +b  a + b − 2mb , b) và phương trình đường tròn (K) có dạng: 2a a + b − 2mb a + b − 2mb ) + (y − b)2 = ( ) (K): (x − 2a 2a a + b − 2mb ⇔ (K): x2 + y2 − x − 2by + b2 = a c Hai đường tròn (C), (K) cắt P, Q, ta có hệ phương trình :  x + y − 2ax − 2my + a =  2  a + b − 2mb x − 2by + b = x + y − a  ⇒ (a2 − b2 + 2mb)x + 2a(m − b)y − a(a2 − b2) = Đó chính là phương trình (PQ) • Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định mà (PQ) luôn qua với m Khi đó: (a2 − b2 + 2mb)x0 + 2a(m − b)y0 − a(a2 − b2) = ∀m ⇔ 2(bx0 + ay0)m + (a2 − b2)x0 − 2aby0 − a(a2 − b2) = ∀m a(a − b ) b(a − b ) bx + ay = ⇔ ⇔ x = vµ y = − 0 2 a + b2 a + b2 (a − b )x − 2aby − a(a − b ) = Đó chính là toạ độ điểm cố định M mà (PQ) luôn qua với ∀m VËy K( VÝ dô 14: Cho hä ElÝp (Em): x2 = 2y − y2 víi < m < m a Đưa phương trình dạng chính tắc, xác định toạ độ tâm, tiêu điểm F1, F2 và các đỉnh A1, A2 Elíp b Tìm quĩ tích các đỉnh A1, A2 Elíp m thay đổi c Tìm quĩ tích các tiêu điểm F1, F2 Elíp m thay đổi  Gi¶i a Chuyển phương trình (Em) dạng: (Em): mx2 + y2 − 2my = ⇔ (Em): mx2 + (y − m)2 = m2 x (y − m) ⇔ (Em): + = m m2 421  Tịnh tiến hệ trục toạ độ Oxy theo vectơ OI với I(0; m) thành hệ trục IXY, với công thức đổi trục: x = X X = x ⇔    y= Y + m Y= y − m Khi đó X2 Y2 (E): + = v× < m < ⇒ m2 < m m m2 Trong hÖ trôc IXY, (E) cã c¸c thuéc tÝnh:  T©m I(0; 0), tiªu ®iÓm F1(− m − m ; 0), F2( m − m ; 0),  đỉnh A1(− m ; 0), A2( m ; 0) Do đó hệ trục Oxy, (Em) có:  T©m I(0; m),  tiªu ®iÓm vµ F1(− m − m ; m), F2( m − m ; m)  đỉnh A1(− m ; m), A2( m ; m) b Quĩ tích các đỉnh A1, A2  Quĩ tích đỉnh A1:  x = − m 0 < y < vµ x < ⇔   x = y  y = m Vậy quĩ tích đỉnh A1 Elíp m thay đổi thuộc phần đồ thị Parabol (P): x2 = y víi < y < vµ x <  Tương tự quĩ tích đỉnh A2 thuộc phần đồ thị Parabol (P): x2 = y víi < y < vµ x > c QuÜ tÝch c¸c tiªu ®iÓm F1, F2  QuÜ tÝch tiªu ®iÓm F1: 0 < y < vµ x <  x = 0 < y < vµ x <  − m − m2 ⇔  ⇔    y = m x = y − y  x + (y − ) =  Vậy quĩ tích tiêu điểm F1 Elíp m thay đổi thuộc đường tròn (C) có tâm 1 C(0; ) b¸n kÝnh R = víi < y < vµ x < 2  Tương tự quĩ tích tiêu điểm F2 thuộc đường tròn (C) có tâm C(0; ) bán kính R = víi < y < vµ x > x2 VÝ dô 15: Cho ElÝp (E): + y2 = T×m c¸c ®iÓm M thuéc ElÝp (E) cho: a Cã b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm nµy b»ng lÇn b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm b M nhìn hai tiêu điểm góc 900 422  Gi¶i §iÓm M(x0, y0)∈(E) suy ra: x 02 + y 02 = 1, cx cx x x vµ MF2 = a − = − MF1 = a + = + a a 2 a Tõ gi¶ thiÕt ta cã:  MF1 = 7MF2   MF2 = 7MF1 (1) (2) ⇔ = (MF1 − 7MF2)(MF2 − 7MF1) = 50MF1.MF2 − 7( MF12 + MF22 ) = 50MF1.MF2 − 7[(MF1 + MF2)2 − 2MF1.MF2] = 50MF1.MF2 − 7(16 − 2MF1.MF2) = 64MF1.MF2 − 112 3x x x = 64(2 + ).(2 − ) − 112 = 64(4 − ) − 112 2 = 144 − 48 x 02 (1) ⇔ x = ± ⇒ y0 = ± VËy tån t¹i bèn ®iÓm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi lµ: 1 1 M1( , ),M2( − , ),M3( , − ) vµ M4(− , − ) 2 2 b Ta cã thÓ lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: XÐt ∆MF1F2, ta cã: F1F22 = MF12 + MF22 − thực tương tự b) Cách 2: Vì M nhìn F1F2 góc vuông đó M thuộc đường tròn (C) đường kính F1F2, đó M là giao điểm đường tròn (C): x2 + y2 = và (E) có toạ độ là nghiÖm cña hÖ:   x2 x= ±    +y = ⇔  4 x + y2 = y = ± 3   VËy tån t¹i bèn ®iÓm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi lµ: 3 6 , ), M10( − , ), M9( 3 3 6 , − ) vµ M12( − , − ) M11( 3 3 Ví dụ 16: Cho điểm A(0; 6) và đường tròn (C): x2 + y2 = 100 Lập phương trình quü tÝch t©m c¸c ®­êng trßn ®i qua A vµ tiÕp xóc víi (C) 423  Gi¶i XÐt ®­êng trßn (C), ta ®­îc: Tam O(0,0) (C):  Bkinh R = 10 Gi¶ sö M, lµ t©m ®­êng trßn qua A vµ tiÕp xóc víi (C), ta ®­îc: MA + MB = MN + MB = BN = 10 Vậy tập hợp các điểm M thuộc Elíp (E) nhận O, A làm tiêu điểm và có độ dài trục lín b»ng 10  Xác định phương trình Elíp (E) Vì O, A thuộc Oy nên phương trình (E) có tâm I(0, 3) có dạng: y x (y − 3) (E): + = , víi < a < b A a b A đó: M 2b = 10 ⇔ b = 5, x −10 O OF   10 a2 = b2 − c2 = 25 −   = 25 − = 16   2 x (y − 3) Do đó (E): + = −10 16 25 2 x (y − 3) VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M thuéc ElÝp (E): + = 16 25 VÝ dô 17: Cho ElÝp (E): x y2 + = T×m c¸c ®iÓm M thuéc ElÝp (E) cho: 25 a Có tổng hai toạ độ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ b MF1 = MF2 Gi¶i a §iÓm M(x0, y0)∈(E) ⇒ Khi đó: x 02 y 02 + = 25  x y2  y   x (x0 + y0) =  +  ≤ (9 + 25)  +  = 34    25  ⇔ − 34 ≤ x0 + y0 ≤ 34 dÊu b»ng x¶y khi: 25  x0 / 3  25  M1 ( ;− ) y0 = x y /5 =   34 34    ⇔  ⇒   2 x y 02   x + y0 = M (− ; − 25 ) + =  25  25  34 34 424 (1) VËy, ta ®­îc:  (x0 + y0)Max = 34 , đạt M1  (x0 + y0)Min = − 34 , đạt M2 b Tõ gi¶ thiÕt ta cã:  MF1 = 3MF2  MF = 3MF  ⇔ = (MF1 − 3MF2)(MF2 − 3MF1) = 10MF1.MF2 − 3( MF12 + MF22 ) = 10MF1.MF2 − 3[(MF1 + MF2)2 − 2MF1.MF2] = 10MF1.MF2 − 3(100 − 2MF1.MF2) = 16MF1.MF2 − 300 4x 4x 16x 02 162 x 02 = 16(5 + ).(5 − ) − 300 = 16(25 − ) − 300 = 100 − 5 25 25 25 ⇔ x0 = ± Vậy tồn bốn điểm thoả mãn điều kiện đầu bài (Bạn đọc tính tiếp) VÝ dô 18: Cho ElÝp (E): x y2 + = , víi < b < a a b2 Gäi A lµ mét giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng y = kx víi (E) TÝnh OA theo a, b, k Gäi A, B lµ hai ®iÓm tuú ý thuéc (E) cho OA⊥OB a Chøng minh r»ng 1 không đổi, từ đó suy đường + OA OB2 thẳng (AB) luôn tiếp xúc với đường tròn cố định b Xác định k để ∆OAB có diện tích lớn nhất, nhỏ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đó  Gi¶i Toạ độ A là nghiệm hệ:  x y2 A1 a b2 k 2a b2  + = ⇒ x 2A = 2 vµ −a y = b a A 2 2 a k +b a k +b  y = kx  Từ đó, suy a b2 k 2a b2 a b (1 + k ) = OA2 = x 2A + y 2A = 2 + a k + b2 a k + b2 a k + b2 y A O H t A2 x a B z + k2 , a k + b2 Giả sử đường thẳng (OA) có phương trình y = kx ⇒ OA = ab ⇒ OA = ab + k2 a k + b2 425 Vì OA ⊥ OB ⇒ (OB) có phương trình: 1+ 1 + k2 k y = − x ⇒ OB = ab = ab 2 + a b k k 2 a +b k c Ta cã: 1 a k + b2 a + b2 k a + b2 = + = + a b (1 + k ) a b2 OA OB2 a b (1 + k ) d Gọi H là hình chiếu vuông góc O lên AB, đó: 1 a + b2 ab = = ⇒ OH = + 2 2 OH OA OB a b a + b2 VËy (AB) lu«n tiÕp xóc víi ®­êng trßn (C) t©m O b¸n kÝnh R = OH cã: a b2 (C): x2 + y2 = a + b2 Ta cã: 1 + k2 + k2 OA.OB = ab 2 ab a k + b2 a + b2 k 2 a b (1 + k ) = (a k + b )(a + b k ) S∆OAB = (1) ∆OAB cã diÖn tÝch nhá nhÊt Ta cã: (a k + b ) + (a + b k ) (a + b )(1 + k ) = 2 1+ k ≥ (2) 2 2 2 (a k + b )(a + b k ) a + b (a k + b )(a + b k ) ≤ ⇒ Thay (2) vµo (1), ®­îc ab ab ⇒ Smin = S∆OAB ≥ 2 a +b a + b2 2 2 2 đạt a k + b = a + b k ⇔ k = ±1 ∆OAB có diện tích lớn − Đề nghị bạn đọc giải VÝ dô 19: Cho Hyperbol (H): x y2 − = Tìm toạ độ điểm M thuộc Hyperbol (H) cho: a Cã b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm nµy b»ng lÇn b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm b Nhìn hai tiêu điểm góc 600 c §é dµi F1M ng¾n nhÊt, dµi nhÊt d Khoảng cách từ M đến đường thẳng (∆): x − y + = đạt giá trị lín nhÊt, nhá nhÊt 426 Hướng dẫn a Ta cã hai tiªu ®iÓm F1(− , 0) vµ F2( , 0) §iÓm M(x0, y0)∈(H) víi x0 > 0, suy ra: x 02 y 02 − = 1, 5x + vµ MF2 = Tõ gi¶ thiÕt ta cã:  MF1 = 2MF2  MF = 2MF  MF1 = 5x − 2 (1) (2) ⇔ = (MF1 − 2MF2)(MF2 − 2MF1) = 5MF1.MF2 − 2( MF12 + MF22 ) = 5MF1.MF2 − 2[(MF1 − MF2)2 + 2MF1.MF2] = 5MF1.MF2 − 2(16 + MF1.MF2) = MF1.MF2 − 32 5x 5x 5x + 2).( − 2) − 32 = − 36 2 12 ⇒ y0 − Dành cho bạn đọc ⇔ x0 = ± =( b XÐt ∆MF1F2, ta cã: F1F22 = MF12 + MF22 − 2MF1.MF2.cos600 = [(MF1 − MF2)2 + MF1.MF2] − MF1.MF2 5x 5x 5x ⇔ 20 = 16 + MF1.MF2 ⇔ = ( + 2).( − 2) = − 4 2 10 ⇒ y0 − Dành cho bạn đọc ⇔ x0 = ± c Tõ (1) suy ra: y2 x 02 = a2(1 + 20 ) ≥ a2 ⇒ |x0| ≥ a b Ta cã: cx ca F1M = | + a| ≥ | − + a| = |−c + a| = c − a a a Vây, ta F1MMin = c − a, đạt M ≡ A1(−a, 0) d Ta cã: x − y0 + d = d(M, (∆)) = ⇔ d = x0 − y0 + 1 áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: d ≥ x0 − y0 − 1 (2) 427 áp dụng bất đẳng thức giả Bunhiacôpsk, ta có: x0 − y0 = 2 y x0 x y2 −  ≥ (22 − 12 )( − ) = 1 (3) Tõ (2) vµ (3), suy ra: −1 d≥ DÊu ' = ' x¶y vµ chØ khi: −4  1 & y1  x1 =  x = −2y 0= 5 ⇔   2 −1   x − y0 = = x = & y   5  Thử lại: dấu xảy M2(x2, y2), đó: (4) −1 đạt điểm M2 Để xác định toạ độ điểm H2 tương ứng, ta thực theo các bước: − Lập phương trình đường thẳng (d2) qua M2 và vuông góc với (d) − Xác định tạo độ giao điểm H2 = (d2)∩(d) x y2 VÝ dô 20: Cho Hypebol (H): − = Gäi (d) lµ ®­êng th¼ng qua O cã hÖ sè Mind = gãc k, (d') lµ ®­êng th¼ng qua O vµ vu«ng gãc víi (d) a Tìm điều kiện k để (d) và (d') cắt (H) b Tính theo k diện tích hình thoi với đỉnh là giao điểm (d), (d') vµ (H) c Xác định k để hình thoi có diện tích nhỏ  Gi¶i a Ta có:  §­êng th¼ng (d) qua O cã hÖ sè gãc k cã d¹ng: y = kx  §­êng th¼ng (d') qua O vµ vu«ng gãc víi (d) cã d¹ng: y = − Toạ độ giao điểm A, C (d) và (H) là nghiệm hệ :  x y2 =  − ⇒ (9 − 4k2)x2 = 36 4  y = kx  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi: − 4k2 > ⇔ |k| < 3/2 Khi đó: 36 36k 2 vµ = x 2A = y A = 4k = 4k 428 x k (1) (2) Toạ độ giao điểm B, D (d') và (H) là nghiệm hệ:  x y2 =  − ⇒ (9k2 − 4)y2 = 36  y = − x  k Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khi: − 4k2 > ⇔ |k| > Khi đó: 36 36k vµ y 2B = x 2B = 9k − 9k − KÕt hîp (2) vµ (4), ta ®­îc:  − <k<−  3 < |k| < ⇔  2 < k <  b NhËn xÐt:  A, C là giao điểm (d) và (H) ⇒ A, C đối xứng qua O  B, D là giao điểm (d) và (H) ⇒ B, D đối xứng qua O  Ngoµi AC⊥BD VËy ABCD lµ h×nh thoi Ta cã: SABCD = 4S∆AOB = .OA.OB = x 2A + y 2A x 2B + y 2B (3) (4) (I) 36k 36 36 36k = + + 2 9k − 9k − = 4k = 4k 72(1 + k ) = (9 − 4k )(9k − 4) c H×nh thoi ABCD cã diÖn tÝch nhá nhÊt 72(1 + k ) nhá nhÊt ⇔ (9 − 4k )(9k − 4) Ta cã: 72(1 + k ) 144 72(1 + k ) ≥ = 2 (9 − 4k )(9k − 4) [(9 − 4k ) + (9k − 4)] 144 VËy, h×nh thoi ABCD cã diÖn tÝch nhá nhÊt b»ng đạt khi: − 4k2 = 9k2 − ⇔ k = ±1 429 Ví dụ 21: Cho Hypebol (H) có phương trình: (H): x y2 − = a b2 a Chứng minh tích các khoảng cách từ M∈(H) đến các tiệm cËn cña nã lµ mét h»ng sè b Tõ ®iÓm M∈(H) kÎ c¸c ®­êng th¼ng song song víi hai tiÖm cËn vµ c¾t chóng t¹i P, Q Chøng minh r»ng diÖn tÝch h×nh b×nh hµnh OPMQ lµ mét h»ng sè  Gi¶i §iÓm M0(x0, y0)∈(H) (d2) y x 02 y 02 2 2 2 P ⇔ 2− = ⇔ b x − a y = a b (1) a b M O Phương trình hai đường tiệm cận (H) là: x Q  bx + ay = b y=± x⇔  (d1) a  bx − ay = a Khoảng cách h1 từ điểm M tới tiệm cận bx + ay = xác định bởi: | bx + ay | h1 = b2 + a Khoảng cách h2 từ điểm M tới tiệm cận bx − ay = xác định bởi: | bx − ay | h2 = b2 + a Do đó: | b x 02 − a y 02 | | bx + ay | | bx − ay | a b2 = = h1.h2 = b2 + a a + b2 b2 + a b2 + a Vậy, tích các khoảng cách từ điểm M Hypebol (H) đến các tiệm cận cña nã lµ mét h»ng sè b b Gäi α lµ gãc t¹o bëi ®­êng ®­êng tiÖm y = x víi trôc Ox Ta cã: a b 2ab 2tgα tgα = vµ sin2α = = a a + b2 + tg α SOPMQ = OP.OQ.sin2α = MÆt kh¸c: 2ab a + b2 OP.OQ ⇒ OP.OQ = SOPMQ a + b2 2ab SOPMQ = OQ.h1 = OP.h2 ⇒ S2OPMQ = OP.OQ.h1h2 = ⇔ SOPMQ = 430 ab không đổi a + b2 a b2 SOPMQ a + b2 2ab VÝ dô 22: Cho Parabol (P): y2 = 2px, p > Chøng minh r»ng ®­êng trßn cã ®­êng kÝnh lµ d©y cung qu¸ tiªu, tiÕp xóc víi ®­êng chuÈn  Gi¶i Phương trình đường thẳng (d) qua F có dạng: (d): 2mx − 2y − mÆt ph¼ng = A1 Toạ độ giao điểm A(xA, yA) và B(xB, yB) (P) và (d) là nghiÖm cña hÖ: J  y = 2px  2mx − 2y − mp = Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) có dạng: B1 (1) 4m2x2 − 4p(m2 + 2)x + m2p2 = Từ đó, ta có :  p(m + 2) x + x = B  A m2   x x = p  A B Phương trình tung độ giao điểm (P) và (d) có dạng: my2 − 2py − mp2 = Từ đó, ta có p/m  y A + y B =   y A y B = p  Phương trình đường tròn (C) đường kính AB: → y A O (P) I F x B (2) → M(x, y)∈(C) ⇔ MA MB = ⇔ x2 + y2 − (xA + xB)x − (yA + yB)y + xAxB + yAyB = Gäi I(xI, yI) lµ t©m cña ®­êng trßn (C), ta cã: xA + xB  p(m + 2)  x = x =   2m ⇔ I:  I:  y = p  y = yA + yB   m Gäi R lµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn (C), ta cã:  p(m + 1)  p(m + 1) 2 ⇔ R = R = x A + x B − ( xAxB + yAyB) =   m2  m  Khoảng cách từ I đến đường chuẩn (∆): x = − 2x I + p = p (P), xác đỉnh bởi: p(m + 2) p(m + 1) = = R + p m2 m2 VËy ®­êng trßn (C) tiÕp xóc víi ®­êng chuÈn (∆) cña (P) 431  Chó ý: Ta có thể chứng minh định nghĩa, thực các bước: Bước 1: Gọi A1, B1 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc A, B lên đường chuẩn cña (P) Gäi I, J theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, A1B1 Bước 2: Ta có: 1 IJ = (AA1 + BB1) = (AF + BF) = AB 2 ⇔ ∆ABJ vu«ng t¹i J ⇔ §­êng trßn ®­êng kÝnh AB tiÕp xóc víi ®­êng chuÈn cña Parabol (P) Đề nghị bạn đọc chứng minh thêm các tính chất sau:   a Tính độ dài FA, FB theo p, α = ( Ox , OM ) với 0≤α≤2π Từ đó chứng tỏ 1 không đổi (d) quay quanh F + FA FB b Chøng minh r»ng FA.FB nhá nhÊt (d) vu«ng gãc víi Ox Ngoài còn có tích các khoảng cách từ A và B đến trục Ox là đại lượng không đổi Ví dụ 23: Cho Parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình: (P): y2 = x vµ (d): x − y − = a Xác định toạ độ giao điểm A, B (d) và (P) b Tìm toạ độ điểm C thuộc (P) cho : - ∆ABC cã diÖn tÝch b»ng - ∆ABC c T×m ®iÓm M trªn cung AB cña Parabol (P) cho tæng diÖn tÝch hai phÇn h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (P) vµ hai d©y cung MA, MB lµ nhá nhÊt  Gi¶i a Toạ độ giao điểm A, B (d) và (P) là nghiệm hệ phương trình:  y2 = x A(1, −1) ⇒  vµ AB =  B(4, 2) x − y − = b Víi C(x, y)∈(P) ⇒ C(y2, y)  ∆ABC cã diÖn tÝch b»ng | x − y −2| 1 = |y2 − y − 2| ⇔ = AB.d(C,(d)) = 2 2 y − y − = C (4, −2)  y = −2 ⇔  ⇒  ⇔ |y2 − y − 2| = ⇔   y − y − =−4 y = C2 (9,3) 432  ∆ABC AC = AB ⇔ AB = BC = CA ⇔  AC = BC 2  y − y + 2y − 16 = 18 = (y − 1) + (y + 1) ⇔  ⇔  2 2 2  y + y − 18 = (y − 1) + (y + 1) = (y − 4) + (y − 2) (y − y + 3)(y + y − 3) − 4y − = 4y + = ⇔  ⇔  v« nghiÖm 0  y + y − = y + y − = Vậy không tồn điểm C thuộc (P) để ∆ABC c Víi M(x0, y0) thuéc cung AB cña (P) nªn:  x = y  (*) −1 ≤ y ≤ Tæng diÖn tÝch hai phÇn h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (P) vµ hai d©y cung MA, MB lµ nhá nhÊt ⇔ ∆MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt ⇔ d(M, (d)) lín nhÊt Ta cã: | x − y0 − | | y 02 − y − | (*) = (y0 + 1)(2 − y0) d(M, (d)) = = 2 C«si ≤  (y + 1) + (2 − y )  =     , đạt 1 y0 + = − y0 ⇔ y0 = ⇒ M( , ) 1 VËy, víi M( , ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi đó Maxd(M, (d)) = VÝ dô 24: Cho Parabol (P): y2 = 2px víi p > §iÓm M kh¸c O ch¹y trªn (P) Gäi A, B theo thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M lªn Ox vµ Oy Chøng minh r»ng: a Đường thẳng qua B vuông góc với OM luôn qua điểm cố định b Đường thẳng qua B vuông góc với AB luôn qua điểm cố định c Đường thẳng AB luôn tiếp xúc với Parabol cố định  Gi¶i §iÓm M∈(P) suy ra: y2 y2 M( , y0), A( , 0) vµ B(0, y0) 2p 2p 433 a §­êng th¼ng (d1) qua B vu«ng gãc víi OM ®­îc cho bëi: qua B(0, y ) y2   y 02 ⇔ (d1): x + y0(y − y0) = (d1):  2p  vtpt OM( 2p , y )  ⇔ (d1): y02 x + 2py0y − 2p y02 = Nhận xét (d1) luôn qua điểm cố định M1(2p, 0) b §­êng th¼ng (d2) qua B vu«ng gãc víi AB ®­îc cho bëi: qua B(0, y ) y   y 02 (d2):  B  vtpt BA( 2p , − y )  ⇔ (d2): y x − y0(y − y0) = 2p M (P) (d2) M2 ⇔ (d2): y02 x − 2py0y + 2p y02 = Nhận xét (d2) luôn qua điểm cố định M2( − 2p, 0) (P1) O M1 A x (d1)  Chó ý: Còng cã thÓ chøng minh b»ng c¸ch: Gọi M2 là đểm đối xứng với M1 qua Oy ⇒ M2( − 2p, 0) NhËn xÐt r»ng BM2⊥AB Vậy đường thẳng qua B vuông góc với AB luôn qua điểm cố định M2 c §­êng th¼ng (AB) ®­îc cho bëi: qua B(0, y ) y − y0 x   y 02 ⇔ (AB): = (AB):  y0 − y0 − y0  vtcp BA( 2p , − y )  2p ⇔ (AB): 2px + y0y − y0 =  Gọi N(x, y) là điểm mà (AB) không qua với y0, đó phương trình 2px + y0y − y02 = 0, vô nghiệm y0 ⇔ phương trình y02 − y0y − 2px = 0, vô nghiệm y0 ⇔ ∆ < ⇔ y2 + 8px <  Ta ®i chøng minh (AB) lu«n tiÕp xóc víi Parabol (P1): y2 = −8px ThËt vËy: − 2AC + pB2 = 2.2p.(− y02 ) + 4p y02 = VËy (AB) lu«n tiÕp xóc víi Parabol (P1): y2 = −8px 434