Chứng minh vị trí này diện tích Δ MAB là lớn nhất 2/ Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua trục Ox.. Khi N là giao điểm của AB’ với trục hoành ...[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ 29: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ SỰ TƯƠNG QUAN GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG,ĐƯỜNG THẲNG VỚI PARABOL I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN: -Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a≠ 0) Khi b = ⇒ y = ax :Đồ thị là đường thẳng qua gốc toạ độ (0;0) và điểm M(1;a) Khi b ≠ 0: Cần xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị -Viết phương trình đường thẳng: Viết dạng tổng quát đường thẳng y = ax + b ( a ≠ ) (d) D ựa vào liệu bài toán lập hai pt có chứa ẩn a và b Giải pt tìm a và b thay giá trị vừa tìm vào pt đường thẳng (d) -Tìm toạ độ giao điểm hai đường thẳng y = ax + b (d) ;y = a’x+ b’ (d’) Lập pt hoành độ giao điểm (d) và (d’) :ax + b = a’x+ b’ Giải pt tìm nghiệm x (x=x0) Kết luận (x0; y0) là toạ độ giao điểm hai dường thẳng Lưu ý : Chứng minh ba đường thẳng đồng quy : Tìm toạ độ giao điểm hai ba đường thẳng , sau đó thay toạ độ này vào pt còn lại Nếu hai vế thì ba đường thẳng đồng quy Định tham số m để ba đường thẳng đồng quy: tương tự trên thay toạ độ giao điểm vào pt còn lại ta pt theo tham số m Giải pt này giá trị m cần tìm Các công thức thường gặp : Độ dài đoạn thẳng AB = ( xB x A ) ( y B y A ) Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB : xI = x A+ x B và yI = y A + yB 2/ Hàm số bậc hai: -Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a≠0) -Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng y = ax + b với đồ thị hàm số y = ax2 Viết phương trình hoành độ giao điểm (d) va ø( P) ax + b= ax2 Giải phương trình bậc hai theo ẩn x II/ BÀI TẬP GIẢI MẪU Bài1: Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho tam giác ABC có cạnh AB: x- 2y +1 = Cạnh AC : 3x – 4y +1 = và I(4;3) là trung điểm BC a) Viết phương trình đường trung tuyến AI b) Viết phương trình cạnh BC ( Thay câu a) bởi: Tìm m để đường thẳng y = mx + phương trình là cạnh AB; AC) Giải đồng qui với hai đường thẳng có (2) ¿ x −2 y+1=0 a) Toạ độ giao điểm A là nghiệm phương trình: x − y +1=0 ¿{ ¿ Giảiû hệ ta A(1;1) Phương trình đường thẳng AI có dạng y = ax + b (d) ¿ a+b=3 A,I (d) nên: a+b=1 ¿{ ¿ Giải hệ ta được: a= ;b= 3 Vậy phương trình đường trung tuyến AI : y = -Tìm m để đường thẳng y = mx + x+ 3 đồng qui với hai đường thẳng có phương trình là cạnh AB; AC: Ta tìm toạ độ giao điểm A hai đường thẳng AB, AC Thay toạ độ giao điểmA(1;1) vào y = mx + ⇒ m= b) Gọi C(m;n) thì B(8-m ; 6-n) ¿ 8=m+ x B Giải thích cách suy toạ độ B: Vì I(4;3) trung điểm BC nên: 6=n+ y B ¿{ ¿ ¿ ¿ −m+2 n −3=0 −m+2 n=3 ⇔ m− n=−1 Vì B,C thuộc AB, AC nên ta có phương trình: m− n+1=0 ¿{ ¿{ ¿ ¿ Giải hệ ta được: m=5 ; n= ⇒ C (5;4) ; B(3;2) Phương trình đường thẳng BC : y = ax +b ¿ a+ b=2 BC thuộc đường thẳng nên: a+b=4 ¿{ ¿ ⇔ ¿ a=1 b=−1 ¿{ ¿ Vậy phương trình BC : y = x – Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho các đường thẳng (d1) :mx – y – = 0; (d2): 3x + my -5 = 1/ Tìm toạ độ giao điểm (d1) và (d2) 2/ Tìm các giá trị m để giao điểm (d1) và (d2) Có toạ độ (x;y) thoả điều kiện x>0; y<0 3/ Ứng với giá trị m nguyên dương tìm câu 2), vẽ đồ thị (d1) ,ø (d2) cùng hệ trục toạ độ (3) Giải 1/ Tìm toạ độ giao điểm (d1) ,ø (d2) là nghiệm phương trình: Từ (1) ⇒ x= 2+ y (3) m ¿ mx − y −2=0 x+my −54=0 ¿{ ¿ m+5 m2+3 2m+5 m− ( ; ) m +3 m +3 Thế (3) vào (2) ta :y= Vậy toạ độ giao điểm : 2/Theo đề : Vậy , −5 < m< ¿ x> y <0 ⇔ m+5 ¿ >0 m +3 m+6 <0 m2 +3 ¿{ ¿ ⇔ −5 m> m< ¿{ 3/ Giá trị m nguyên dương thoả −5 < m< là m =1 Khi m=1 thì (d1) : y = x - (d2) :y =-3x +5 Vẽ (d1) và(d2) trên cùng hệ trục Oxy (Tự vẽ) Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC biết pt đường thẳng qua ba cạnh nó là AB: 2x + 3y -5=0 ; AC :x+7y -19 = ; BC: x-4y + = 1/Tìm toạ độ ba đỉnh A,B,C 2/ Tính diện tích tam giác ABC Giải ¿ x +3 y −5=0 x+7 y −19=0 ⇔ 1/ Tìm toạ độ giao điểm A giải hpt : ¿2 x +7 y=5 x+7 y=19 ⇒ A(− 2; 3) ¿{ ¿ Tương tự :B(1;1) ;C(5;2) 2/Viết pt đường thẳng qua A và vuông góc với BC có dạng y = ax + b (d) (4) (d) vuông góc với BC nên a = -4 A (d )⇒ x A =−2 ; y A =3 Thay a = -4 ;xA = -2 ;yA = vào (d) ta b = -5 Vậy ,(d) : y = -4x -5 Tìm chân đường cao H: H là giao điểm đường thẳng (d) và đường thẳng BC ¿ x + y=−5 x − y =−3 ⇔ −23 ¿ x= 17 y= 17 ¿{ ¿ − 23 H( 17 ; 17 ) yH − y A ¿ Tính chiều cao AH: Aùp dụng công thức tính khoảng cách qua hai điểm ta ( x H − x A ¿2 +¿ ¿ √¿ √ 2057 AH= 17 Khoảng các hai điểm B,C : √ 2+12 =√ 17 1 √ 2057 2057 11 Diện tích tam giác : S = AH BC= (đvdt) = √ 17= 2 17 17 2 −1 x và (d) y = x+2 Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho (P) y = √ 1/ Gọi A ,B là các giao điểm (P) và (d) Tìm điểm M trên cung AB (P) cho diện tích tam giác MAB lớn 2/ Tìm điểm N trên trục hoành cho NA + NB ngắn Giải 1/ Tìm toạ độ giao điểm A,B (P) và (d) : Phương trình hoành độ giao điểm : −1 x= x+2 ⇔ x +2 x − 8=0 Giải ta : x1 = -4 ; x2 = A(-4;4) ;B(2;1) Phương trình đường thẳng (d’) song song (d) có dạng : y = −1 x+ m Ta có : (d’) tiếp xúc (P) ⇔ pt hoành độ giao điểm (d’) và (P) có nghiệm kép : x2 + 2x - 4m = Δ' =1+4 m=0 ⇔m= −1 Chứng minh vị trí này diện tích Δ MAB là lớn 2/ Gọi B’ là điểm đối xứng B qua trục Ox B’(2;-1) Ta có :NA + NB = NA + NB’ AB ' không đổi Vậy , NA + NB ngắn AB’ Khi N là giao điểm AB’ với trục hoành (5) −5 x+ Ta có : AB’ : y = và y = ;0¿ Suy : N( Lưu ý : Cần vẽ hình vào (tự vẽ) Bài : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho (P) :y = -x2 và đường thẳng (d) qua điểm I(0:-1) có hệ số góc k 1/ Viết pt đường thẳng (d) Cm: Với giá trị k đường thẳng (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A và B 2/ Cm :|xA –xB| (xA;xB là hoành độ A và B) 3/ Cm: ΔOAB vuông Giải 1/ Phương trình đường thẳng (d) là : y = kx - Pt hoành độ giao điểm (d) và (P) : x2 + kx – = ¿ Δ=k + >0 ∀ k ∈ R ¿ Nên (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A v2 B −1 2/ Theo định lí Vi-ét : xA.xB =-1 ⇒ xB= x A A 1 Ta có :|xA-xB|=|xA+ x |=|xA|+ | x | A A 3/ Ta có : A(xA; -x ) ; B(xB;- xB ); O(0;0) OA = √ x A + x A OB = √ x B + x B 2 4 y − y A ¿2 ¿ AB = x B − x A ¿2 +¿ ¿ √¿ OA2 + OB2 = (xA2+xB4) + (xB2+xB4) = AB2 Vậy ,tam giác OAB vuông O Cách khác : OA :y = -xA.x OB : y = -xB.x Ta có : Tích hai hệ số góc OA và OB (-xA).(-xB)=-1 Nên OA OB <III> BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN : Cho hàm số y = − x2 ( P) a/ Vẽ (P) b/ Gọi (D) là đường thẳng qua điểm A(0;-4) và có hệ số góc -1 i/ Viết pt đường thẳng (D) ii/ Xác định toạ độ giao điểm B,C (P) và (D) ( B là điểm có hoành độ âm ) (6) ¿ x M + x N =− c/ Gọi M ( D) và N (P) cho y N −3 y M =2 Xác định toạ độ M và N ¿{ ¿ Hướng dẫn a/ Tự giải b/ i/ Phương trình đường thẳng (D) y = -x-4 ii/ B(-2 ;-2) C(4;-8) c/ Đặt t = xM ⇒ y M =−t −4 xN = -t -4 xN = -t-2 −t − ¿ ¿ ⇒ yN = ¿ ¿ Theo đề : -(t-2)2- 3(-t-4) = ⇔ t2 + t -6 = ⇔t 1=−3 ; t 2=2 t1 = -3 :M(-3;-1) ;N(1; −1 ) t2 = :M(2;-6);N(-4;-3) *Phương trình tiếp tuyến Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho (P) :y = x2 a/ Viết pt tiếp tuyến với (P) song song với đường thẳng y = 2x – b/ Gọi M(x0;y0).Tìm liên hệ x0 ,y0 để từ M có thể kẻ hai tiếp tuyến với (P) Giải a/ Hệ số góc tiếp tuyến là Pt tiếp tuyến có dạng y = 2x +b Theo đề bài pt x2 = 2x +b có nghiệm kép ⇔ x − x −b=0 Δ ' =1+b=0 ⇒ b=1 Vậy pt đường thẳng cần tìm có pt y = 2x – b/ Gọi a là hệ số góc tiếp tuyến d qua M thì npt tiếp tuyến có dạng y= ax + b1 M(x0; y0) d ⇔ y 0=ax0 +b ⇔ b1= y −ax Do đó , d :y = ax + y0 - ax0 Theo đề bài thì pt hoành độ giao điểm (P) và d phải có nghiệm kép ⇔ x 2=ax + y −ax có nghiệm kép ⇔ x − ax 0+ ax − y 0=0(1) Rõ ràng số nghiệm pt (1) (ẩn số a) s4 cho biết số tiếp tuyến kẻ từ M đến (P) x ¿2 −4 y Như : Từ M kẻ đuợc tiếp tuyến với (P) >0 ⇔ Δ '=¿ ⇔ x − y >0(2) Hệ thức (2) điểm M phải thuộc miền ngoài (P) Chú ý : Lập luận dựa vào các phép toán đã thực trên ta có thể thêm : M ( P) có đúng tiếp tuyến qua M M ( miền (P)) không có tiếp tuyến qua M Bài tập : Bài 1: Cho (P) y = −1 x và (d) y = mx – 2m - 1/Tìm m cho (D) tiếp xúc với (P) (7) 2/ Chứng tỏ (D) luôn luôn qua điểm cố định A (P) Bài 2:Trong hệ trục toạ độ , gọi (P) và (D) có đồ thị y= −x ;y=x+1 1/ Chứng tỏ (D) tiếp xúc với (P) 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) song song với (D) và cắt (P) diểm có tung độ -4 (8)