De HSG Toan 8

Câu II4 điểm: 1, Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2,Cho biểu thức:.. Tìm x  N để biểu thức trên là số nguyên tố Câu III3 điểm:.[r]

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG MÔN TOÁN Năm học 2014 – 2015 Câu I(6 điểm): 2x  2x   P     x  12 x  13 x  x  20 x   21  x  x 1 :  4x2  4x  1, Cho biểu thức: a, Rút gọn b, Tính giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên 2,Giải phương trình: x  17 x  21 x    4 1997 1993 1008 Câu II(4 điểm): 1, Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2,Cho biểu thức: x  xy  y 7 ( x  8)  36 Tìm x  N để biểu thức trên là số nguyên tố Câu III(3 điểm): Tìm giá trị nhỏ của: 1 A   a b c Biết a,b,c >0 và: a + b + c =1 Câu IV(6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’ cắt H a, CHứng minh ∆AB’C’ ~∆ABC b, Tính tổng: HA ' HB ' HC '   AA ' BB ' CC ' c, AI là phân giác góc BAC, IM, IN thứ tự là phân giác góc AIC và góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM  AB  BC  CA 2 2 d, ∆ABC nào thì biểu thức: AA '  BB '  CC ' Đạt giá trị nhỏ Câu V(1 điểm): Xác đinh các số nguyên a và b để đa thức: x  x  x  ax  b chia hết cho đa thức: x  x  PHÒNG GD& ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC Năm học 2014 - 2015 TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG Môn thi : Toán - Lớp Câu I(6 điểm) 1,(4 điểm): x  12 x  (2 x  1)(2 x  5) 13x  x  20 ( x  4)(5  x) 21  x  x (3  x)(7  x) x  x  (2 x  1)(2 x  3) P a, 3 x  ; x  ; x  ; x  ; x 4 2 Tập xác đinh: 2x  1  2x  2x  Z x   Z P  Z Ta có: , Để thì: => (2 x  5)  Ư(2) Ư(2)={±1;±2} => 2x-5 = -1x=2 (tm) 2x-5 = 1x=3 (tm) 2x-5 = -2x=3/2 (loại) 2x-5 = 2x=7/2 (loại) Vậy để P  Z thì x={2;3} 2,(2 điểm): Tính đúng x = 2014 CâuII( điểm): 1,(2 điểm): ( x  y )(2 x  y ) 7 7.1 (  7).(  1) x  xy  y 7  x  y 7   2 x  y 1  x 20   y 13  x  y 1  x     2 x  y 7  y   x  y   x  20    2 x  y   y  13  x  y   x 4    2 x  y   y 5 Vậy phương trình có các cặp nghiệm: (20;13); (-4;-5); (-20;-13); (4;5) 2,(2 điểm): ( x  8)2  36 ( x  10  x)( x  10  x) 2 Để ( x  8)  36 là số nguyên tố thì: ( x  10  x) 1 x  x  0 ( x  3) 0  x 3  tm  Câu III(3 điểm): a a b b c c  1 1     (a  b  c) 1         b c a c a b a b c a b b c a c 3              b a   c b   c a  (sử dụng bất đẳng thức côsi)  A 3    9 Vậy A = a=b=c=1/3 Câu IV(6 điểm) a,∆ AB’C’~∆ABC (T.H.2) b, Tính theo tỉ số diện tích tam giác => HA ' HB ' HC '   1 AA ' BB ' CC ' c, Áp dụng tính chất đường phân giác vào các tam giác: ABC; AIB; AIC => BI AN CM AB AI IC AB IC   1 IC NB MA AC BI AI AC IB d, Vẽ Cx vuông góc CC’ CM: góc BAD vuông, CD=AC, AD=2CC’ Ta có: BD BC  CD AB  AD BD2  AB  AD  BC  CD  BAD vuông A nên: ∆  AB  4CC '2  BC  AC  2  4CC '2  BC  AC   AB 2 Tương tự ta có: 4AA '2  AB  AC   BC   AA '2  BB '2  CC '2   AB  BC  AC    AB  BC  AC  AA '2  BB '2  CC '2 4 Đẳng thức xảy ∆ABC Câu V(1 điểm): Ta có: Để A(x)=B(x)(x  1)  (a  3) x  b  A( x)B( x) thì: a  0   b     a 3  b  và BB '2  AB  BC   AC