UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I Bài 1: (1.5 điểm) a. Thực hiện trục căn ở mẫu biểu thức A = 6432 32 +++ + b. Thực hiện tính giá trị của biểu thức B = x x x x 242 22 242 22 −− − + ++ + với x = 2 3 Bài 2: (3.0 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình sau: a. =−− =−−+ 01 0144 22 yx xyyx b. xx xx 1 1 1 −+−= c. =+ =+ 11 1 55 yx yx Bài 3:(3.5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Lấy điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC và điểm H thuộc cạnh BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MBH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác NCH tại P (P ≠ H). a. Chứng minh tứ giác AMPN nội tiếp trong một đường tròn. b. Đường thẳng HP cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMPN tại điểm thứ hai Q. Chứng minh AQ song song với BC. c. Khi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, AH là đường cao của tam giác ABC. HP cắt MN tại I. Chứng minh I là trung điểm của MN. Bài 4:(2.0 điểm) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh: a. p 2 - 1 chia hết cho 6. b. p 4 - 1 chia hết cho 48. UBND HUYỆN QUẾ SƠN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I Bài 1: (1.5 điểm) 21 1 )21)(32( 32 )32(232 32 + = ++ + = +++ + 0,50 12 )21)(21( 21 −= −+ − = 0,25 Thay x vào ta được B = 342 32 342 32 −− − + ++ + 0,25 - Nhân với lượng liên hợp: 3 )342)(32( 3 )342)(32( −+− + − +−+ 0,25 Thực hiện nhân và rút gọn: 3 343323424343323424 −−−−++++−++− 3 3432 3 3432 34344 − + + +−+++−= = 4) 3 32 1(1328 −++ 0,25 . Bài 2: (3.0 điểm) =−− =−−+ 01 0144 22 yx xyyx ⇔ =−− =−− 01 01)2( 2 yx xy ⇔ =−− =+−−− 01 0)12)(12( yx xyxy 0,25 Được: =−− =−− 01 012 yx xy hoặc =−− =−− 01 012( yx xy 0,25 Giải hệ: =−− =−− 01 012 yx xy 0,25 Giải hệ: =−− =+− 01 012( yx xy 0,25 ⇔ x x x x 11 1 −=−− ⇔ x x x x x x 11 12 1 1 2 −=−−−+ 0,25 ⇔ 021 22 =−−+− xxxx ⇔ ( xx − 2 -1) 2 = 0 0,25 ⇔ xx − 2 -1=0. ⇔ x 2 - x - 1 = 0. 0,25 Giải phương trình được x Điều kiện và đối chiếu với điều kiện để kết luận nghiệm. 0,25 Có: x 5 + y 5 = (x+y)(x 4 -x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 + y 4 ) = (x+y)( x 4 + y 4 -xy(x 2 +y 2 ) +x 2 y 2 ) = (x+y)( (x 2 + y 2 ) 2 - 2x 2 y 2 - xy((x+y) 2 -2xy) + x 2 y 2 ) 0,25 = (x+y)(((x +y) 2 -2xy) 2 - 2x 2 y 2 - xy((x+y) 2 -2xy) + x 2 y 2 ) Thay x + y = 1 được : x 5 + y 5 = (1-2xy) 2 -2x 2 y 2 - xy(1-2xy) + x 2 y 2 = 1 - 4xy + 4x 2 y 2 - 2x 2 y 2 - xy + 2x 2 y 2 + x 2 y 2 = 1 - 5xy + 5x 2 y 2 0,25 Đặt t = xy ta được phương trình : 5t 2 - 5t + 1 = 11 ⇔ t 2 - t - 2 = 0 Giải phương trình được : t 1 = -1; t 2 = 2 0,25 Giải các hệ: −= =+ 1 1 xy yx và −= =+ 2 1 xy yx được nghiệm : −+ 2 51 ; 2 51 ; +− 2 51 ; 2 51 0,25 Bài 4: (3.5 điểm) - Tứ giác MBHP nội tiếp ⇒ ∠MPH + ∠MBH = 180 0 - Tứ giác NCHP nội tiếp ⇒ ∠NPH + ∠NCH = 180 0 - Cộng được ∠MPH +∠ NPH + ∠MBH + ∠NCH = 360 0 . - Thay ∠MPH + ∠NPH = 360 0 - ∠MPN và ∠MBH + ∠NCH = 180 0 - ∠MAN vào được: 360 0 - MPN + 180 0 - A = 360 - ⇒ ∠MPN + ∠MAN = 180 0 ⇒ tứ giác AMPN nội tiếp trong một đường tròn 0,50 0,25 0,25 - ∠MPH + ∠MBH = 180 0 và ∠MPH + ∠MPQ = 180 0 ⇒ ∠MBH = ∠MPQ. - ∠MPQ + ∠MAQ = 180 0 nên ∠MBH + ∠MAQ = 180 0 ⇒ BC // AQ. (Có thể chứng minh ∠CHN = ∠NPQ = ∠NAQ) 0,50 0,50 - MN là đường trung bình của ∆ABC ⇒ MN//BC ⇒ MN// AQ - ⇒ MAQN là hình thang cân ⇒ AM = QN và AN = QM. - MA = MH (MN đi qua trung điểm AH và vuông góc với AH) - ⇒ MH = MA = QN. - Tương tự: NH = NA = QM. - ⇒ MHNQ là hình bình hành ⇒ I là trung điểm của MN 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 4:(2.0 điểm) A B C H M N P Q I - p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ ⇒ p 2 lẻ ⇒ p 2 - 1 chẵn ⇒ p 2 - 1 chia hết cho 2. - p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 ⇒ p = 3k± 1 - p 2 - 1 = 9k 2 . ± 6k = 3(3k 2 ± 2k) ⇒p 2 - 1 chia hết cho 3. - Do (2,3) = 1 nên p 2 -1 chia hết cho 6. 0,25 0,25 0,25 0,25 - p 4 - 1= (p 2 -1)(p 2 + 1) - p là số lẻ ⇒ p 2 lẻ ⇒ p 2 + 1 chẵn ⇒ p 2 + 1 chia hết cho 2. - p là số lẻ. Đặt p = 2k+1 ⇒ p 2 - 1 = 4k 2 + 4k = 4k(k+1).Do k(k+1) chia hết cho 2 nên p 2 - 1 = 4k(k+1) chia hết cho 8. - Do (3,8) = 1 nên p 2 - 1 chia hết cho 24 ⇒ (p 2 -1)(p 2 + 1) chia hết cho 48. 0,25 0,25 0,25 0,25 UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II Bài 1:(2.0 điểm) a. Chứng minh bất đẳng thức: (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) ≥ (ax + by) 2 . Dấu “=” xảy ra khi nào? b. Cho hai số x, y thỏa 2x + 5y = 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x 2 + y 2 B = 2x 2 + 5y 2 Bài 2: (2.0 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa: cbacba ++ =++ 1111 . a. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có ít nhất hai số đối nhau. b. Chứng minh : 201120112011201120112011 1111 cbacba ++ =++ . Bài 3: (2.5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ AB, AC. BN cắt CM tại Q. a. Chứng minh tam giác NAQ cân. b. MN cắt AB tại K. Chứng minh KQ song song với AC. c. KQ cắt BC tại I, AQ cắt (O) tại P. Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng. Bài 4: (2.0 điểm) a. Cho tam giác ABC. D là điểm thuộc cạnh BC. Đường thẳng qua B song song với AD cắt AC tại E. Đường thẳng qua C song song với AD cắt AB tại F. Xác định vị trí điểm D để CFBE AD . 2 đạt giá trị lớn nhất. b. Đặt a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh BC, AC, AB và x, y, z lần lượt là độ dài ba phân giác AD, BM, CN của tam giác ABC. Chứng minh: cbazyx 111111 ++>++ . Bài 5:(1.5 điểm) Tam giác vuông ABC có số đo các cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Hãy tìm số đo các cạnh. UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II Bài 1:(2.0 điểm) (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) ≥ (ax + by) 2 ⇔ a 2 x 2 + b 2 y 2 + a 2 y 2 + b 2 x 2 ≥ a 2 x 2 + b 2 y 2 + 2abxy ⇔ a 2 y 2 + b 2 x 2 -2abxy ≥ 0 ⇔ (ay - bx) 2 ≥ 0. Bất đẳng thức cuối luôn đúng. 0,50 Dấu ‘=’ xảy ra khi ay = bx. 0,25 Có : (2 2 + 5 2 )(x 2 + y 2 ) ≥ (2x + 5y) 2 = 49 ⇔ 29 49 22 ≥+ yx 0,25 Dấu ‘= ‘ xảy ra khi =+ = 752 52 yx xy ⇔ = = 29 35 29 14 y x Kết luận : A có giá trị nhỏ nhất là 29 49 khi = = 29 35 29 14 y x 0,25 Có : ( )( ) ( ) 2 2222 )5(5)2(2)5()2()5()2( yxyx +≥++ 0,25 ⇔ ( ) ( ) ( ) 49525252( 2 22 =+≥++ yxyx ⇔ ( ) 7 7 49 52( 22 =≥+ yx 0,25 Dấu ‘=’ xảy ra khi =+ = 752 2.55.2 yx yx = = 1 1 y x Kết luận : A có giá trị nhỏ nhất là 7 khi x = y = 1 0,25 Bài 2:(2.0 điểm) abccbaabacbc cbaabc abacbc =++++⇔ ++ = ++ ⇔ ))(( 1 0,25 0 222222 =+++++++⇔ abbaacabccabccbabc 0)()()()( 2 =+++++++⇔ baabbaacbacbabc 0)()()()( 2 =+++++++⇔ baabbaacbacbabc 0))(( 2 =++++⇔ cbcacabba 0)()()(( =++++⇔ cbccbaba 0))()(( =+++⇔ cacbba 0,50 −=⇔=+ −=⇔=+ −=⇔=+ caca cbcb baba 0 0 0 Hay ít nhất hai trong ba số đối nhau. 0,25 Nếu a = -b được: 201120112011201120112011 20112011 20112011 1111 0 11 0 cbacba ba ba ++ =++⇔ =+ =+ 0,75 Tương tự cho trường hợp a = -c; b= -c ta đều có đpcm 0,25 Bài 3: (2.5 điểm) CM và BN là hai phân giác của tam giác ABC nên AQ là phân giác thứ ba. 0,25 Gọi P là giao điểm của AQ và (O), có Q là điểm chính giữa của cung nhỏ BC 0,25 NAQ = sđ(NC + CQ)/2 AQN = sđ(BQ + AN)/2. Do N, Q lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC, CB ⇒ NAQ = AQN ⇒ NAQ cân tại N. 0,25 NAQ cân tại N ⇒ NK là trung trực của AQ (Vì nó là phân giác). 0,25 ⇒ KQA cân ⇒ KQA = KAQ 0,25 KAQ = QAC nên KQA = QAC ⇒ KQ// AC 0,25 - Chứng tỏ được IQC cân tại I ⇒ 0,25 - Chứng tỏ được NQC cân tại N ⇒ 0,25 - Chứng tỏ được QPC cân tại P ⇒ 0,25 - ⇒ I, N, P cùng thuộc trung trực của QC nên chúng thẳng hàng. 0,25 Bài 3: (2.0 điểm) - Có: BC CD BE AD = , CF AD = BC BD 0,25 ⇒ CFBE AD . 2 = BE AD . CF AD = 2 . BC BDCD 0,25 - Do BC không đổi, tổng CD + BD = BC không đổi nên 2 . BC BDCD đạt giá trị lớn 0,25 P A B C M N Q K I B C A E F D nhất khi CD = BD. Hay D là trung điểm của BC và đạt giá trị lớn nhất là 4 1 - Khi AD là phân giác, chứng tỏ được ∆AEB cân tại A ⇒ AE = AB = c 0,25 - Có c cb x BE + = 0,25 - Do BE < AE + AB = 2c nên: c cb x BE x c + => 2 0,25 Chia hai vế cho số dương 2c được: cbbc cb x 2 1 2 1 2 1 += + > 0,25 Tương tự: cay 2 1 2 11 +> và baz 2 1 2 11 +> . Cộng được đpcm. 0,25 Bài 5:(1.5 điểm) Gọi x, y, z là số đo ba cạnh của tam giác. 0 < x ≤ y < z Ta có : ++= =+ )(2 222 zyxxy zyx 0,25 Từ (2) được 2z = xy-2x-2y. Từ (1) được : 4x 2 + 4y 2 = (2z) 2 . Thay 2z vào ta được: 4x 2 + 4y 2 = (xy-2x-2y) 2 0,25 4x 2 + 4y 2 = x 2 y 2 + 4x 2 + 4y 2 - 4x 2 y - 4xy 2 +8xy. xy(xy- 4x - 4y + 8) = 0 x(y- 4) - 4(y-4) = 8 (Do 0 < x ≤ y ) (y-4)(x-4) = 8 0,50 =⇒= −=⇒= =⇒= =⇒= =⇒= =⇒= ⇔ −=− −=− =− =− =− =− 02 43 512 68 86 125 24 14 84 44 24 14 yx yx yx yx yx yx x x x x x x 0,25 Loại các trường hợp không phù hợp với điều kiện được nghiệm : = = = 13 12 5 z y x hoặc = = = 10 8 6 z y x 0,25 . 5y) 2 = 49 ⇔ 29 49 22 ≥+ yx 0,25 Dấu ‘= ‘ xảy ra khi =+ = 752 52 yx xy ⇔ = = 29 35 29 14 y x Kết luận : A có giá trị nhỏ nhất là 29 49 khi = = 29 35 29 14 y x 0,25 Có. 48. 0,25 0,25 0,25 0,25 UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II Bài. UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I Bài