UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I Câu 1: (2.0 điểm) Cho hàm số y = x 2 có đồ thị (P). Hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. a. Viết phương trình đường thẳng AB. b. Tìm điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất. Câu 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình a. 20 1 )1x( 1 )2x(x 1 2 = − − − . b. 235x22x5x232x =−−−+−++ Câu 3: (2.0 điểm) Cho ba số y, z, t. Đặt a = y + z + t; b = yz + zt + ty; c = yzt. Chứng minh các phương trình ẩn x sau đều có nghiệm. x 2 + 2ax + 3b = 0 ax 2 - 2bx + 3c = 0 Câu 4: (3.0 điểm) Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M ở ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O) (C, D là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MAB không đi qua tâm O, A nằm giữa M và B. Tia phân giác của góc ACB cắt AB tại E. a. Chứng minh MC = ME. b. Chứng minh DE là phân giác của góc ADB. c. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh IM là phân giác của CID. Câu 5: (1.0 điểm) Cho A(n) = 5 n (5 n +1) - 6 n (3 n + 2 n ). Chứng minh rằng: A(n) chia hết cho 91 với mọi số n nguyên dương. UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I Câu 1: (2.0 điểm) - A, B thuộc đồ thị hàm số y = x 2 nên có toạ độ A(-1;1), B(2;4). - Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b. (*) - Thay toạ độ của A, B vào (*) được: = = ⇔ =+ =+− 2b 1a 4ba2 1ba . Vậy phương trình đường thẳng AB là y = x + 2. - Gọi m là hoành độ của điểm M. Có M(m;m 2 ) và m∈ [-1, 2]. Gọi C, D, N lần lượt là hình chiếu của A, B, M lên trục hoành ta có: NC = m+1; ND = 2-m; CD = 3 - S AMB = S ABCD - (S AMNC + S MBDC ). - Tính được: S ABCD = 2 15 3. 2 41 CD. 2 BDAC = + = + S AMNC = )1m( 2 m1 CN. 2 MNAC 2 + + = + S MBDN = )m2( 2 4m ND. 2 BDMN 2 − + = + - S AMB = − 2 15 )1m( 2 m1 2 + + )m2( 2 4m 2 − + − 2 m4m8m2m1mm15 3223 ++−−−−−− = )2mm( 2 3 2 m3m36 2 2 −−−= −+ = 8 27 ) 2 1 m( 2 3 ) 4 1 2( 2 3 ) 2 1 m( 2 3 22 +−−=−−−−−= 8 27 ≤ . Dấu “=” xảy ra khi 2 1 m = . - Do [ ] 1;2- 2 1 ∈ nên S AMB lớn nhất là 8 27 (đvdt) (Mỗi ý cho 0,25 điểm) A B C N D M Câu 2: (2.0 điểm) a. (1.0 điểm) - 20 1 1x2x 1 x2x 1 22 = +− − − ⇔ - Đặt y = x2x 2 − ( 1y;0y −≠≠ ) được: 020yy)1y(y)y1y(20 20 1 1y 1 y 1 2 =−+⇔+=−+⇔= + − . - Giải được: y 1 = 4; y 2 = -5. - Tìm x với y 1 và y 2 vừa tìm được: x 2 - 2x = - 5 ⇔ x 2 - 2x + 5 = 0. Phương trình vô nghiệm. x 2 - 2x = 4 ⇔ x 2 - 2x - 4 = 0. Phương trình có hai nghiệm 51x;51x 21 −=+= b. (1.0 điểm) - Nhân hai vế với 2 được: 35x224x25x2.2.34x2 =−−−+−++ - ⇔ 35x2215x25x2.2.395x2 =−−+−+−++− ⇔ 3)5x21()35x2( 22 =−−++− - ⇔ 35x2135x2 =−−++− - Có 45x2135x25x2135x2 =−−++−≥−−++− . Vậy phương trình vô nghiệm. ( Trong trường hợp này không cần thử lại hoặc đặt điều kiện). Câu 3: (2.0 điểm) a.(0.75 điểm): Phương trình x 2 + 2ax + 3b = 0 (1) - ∆’=a 2 - 3b = (y + z + t) 2 - 3(yz + zt + ty) = y 2 + z 2 + t 2 -yz - zt - ty - = 2 1 [(y-z) 2 + (z-t) 2 + (t-y) 2 ] - ∆’≥ 0 nên (1) luôn có nghiệm. b. (1.25 điểm): Phương trình ax 2 - 2bx + 3c = 0 (2) Xét a = 0: - Nếu b = 0 ⇒ a 2 - 3b = 0 ⇒ 2 1 [(y-z) 2 + (z-t) 2 + (t-y) 2 ] = 0 ⇒ y = z = t = 0 ⇒ c = 0. Lúc đó phương trình (2) có vô số nghiệm. - Nếu b ≠ 0 ⇒ Phương trình (2) có nghiệm duy nhất. Xét a ≠ 0: - ∆’= b 2 -3ac = (yz + zt + ty) 2 - 3(y + z + t)yzt = (yz) 2 + (zt) 2 + (ty) 2 +2z 2 yt + 2y 2 zt + 2t 2 zy - 3y 2 zt- 3z 2 yt - 3t 2 zy = (yz) 2 + (zt) 2 + (ty) 2 - y 2 zt- z 2 yt - t 2 zy - = 2 1 [(yz-zt) 2 +(zt-ty) 2 +(ty-yz) 2 ]. - ∆’≥ 0 nên (2) luôn có nghiệm. Câu 4: (3.0 điểm) a.(1.0 điểm) - Gọi F là giao điểm của CE với (O). Có AF = BF - sđ AEC = sđ 2 BFAC + =sđ 2 FAAC + = sđ 2 CF = sđ MCF - ⇒ ∆ MCE cân tại M nên MC = ME. (Mỗi ý cho 0,25 điểm- Riêng ý 2 cho 0,50 điểm) b.(1.0 điểm) Gọi G là giao điểm của DE với (O). - MD = MC = ME ⇒ ∆MDE cân tại M ⇒ ∠ MDE =∠ MED - sđ MDE = sđ 2 DG = sđ 2 AD + sđ 2 AG . - sđ MED = sđ 2 AD + sđ 2 GB - ⇒ sđ 2 GB = sđ 2 AG ⇒ ∠ ADG = ∠ GDB hay DE là phân giác của góc ADB. c.(1.0 điểm) - I là trung điểm của dây AB ⇒ OI ⊥IM. - MC, MD là tiếp tuyến của (O) nên OC ⊥ CM; OD⊥DM. - ⇒ Các điểm M, C, I, O, D nằm trên đường tròn đường kính MO. - MC = MD ⇒MC = MD ⇒ ∠ CIM = ∠ DIM. Hay IM là phân giác của góc CID. (Mỗi ý của b,c cho 0,25 điểm) Câu 5: (1.0 điểm) - A(n) = 25 n + 5 n - 18 n - 12 n = (25 n - 18 n ) - (12 n - 5 n ) - (25 n - 18 n ); (12 n - 5 n ) đều chia hết cho 7 nên A(n) chia hết cho 7 - A(n) = (25 n - 12 n ) - ( 18 n - 5 n ). - (25 n - 12 n ); ( 18 n - 5 n ) đều chia hết cho 13 nên A(n) chia hết cho 13. - (13,7) = 1 nên A(n) chia hết cho 13.7 = 91. (Mỗi ý cho 0,25 điểm) M C D B A O I E F G UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II Câu 1: (2.0 điểm) a. Cho a, b là các số thực không âm tuỳ ý. Chứng tỏ rằng: )ba(2baba +≤+≤+ . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? b. Cho x, y, u, v là các số thực không âm thay đổi và có tổng bằng 1. - Chứng minh 1vuyx ≥+++ - Hãy tìm giá trị lớn nhất của S = vuyx +++ . Câu 2: (2.0 điểm) Giải các hệ phương trình sau: a . =+− =+− 05xy3x2 0y2xy3x 2 22 b. −= =−++ 2 23 x3xy 0y6x3xyy Câu 3: (2.0 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh DC lấy điểm N sao cho góc MBN bằng 45 0 . Đường chéo AC cắt BM tại E và cắt BN tại F. a. Tính số đo góc ENB. b. Gọi G và H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EBC và EDF. Chứng minh GH song song với MB. Câu 4: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho 2 1 PB PA NA NC MC MB === . Gọi A’ là giao điểm của BN và CP, B’ là giao điểm của CP và AM, C’ là giao điểm của AM và BN. Đường thẳng qua N song song với BC cắt AM tại Q. Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng CP tại D. a. Tính các tỉ số: QC' MC' ; AM AB' ; MC AD . b. Chứng minh: C'B'A B' = . c. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Tính diện tích tam giác A’B’C’ theo S . Câu 5: (1.0 điểm) Chứng minh rằng: Không tồn tại các số nguyên x, y, z để x 3 + y 3 + z 3 = 2008 + x + y + z. UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II Câu 1: (2.0 điểm) a. (1.0 điểm) - 0ab2ab2babababa ≥⇔++≤+⇔+≤+ . - Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0. - 0)ba(0ab2ba)ba(2ab2ba)ba(2ba 2 ≥−⇔≥−+⇔+≤++⇔+≤+ . - Dấu “=” xảy ra khi a = b. b. (1.0 điểm) - S = 11vuyxvuyxvuyx ==+++≥+++≥+++ - S = )vu(2)yx(2vuyx +++≤+++ 24)vuyx(4))vu(2)yx(2(2 ==+++=+++≤ . - Dấu “=” xảy ra khi x = y và u = v và x + y = u + v và x + y + u + v = 1. - 4 1 vuyx ==== thoả. Vậy Max S= 2. (Mỗi ý cho 0,25 điểm) Câu 2: (2.0 điểm) a. (1.0 điểm) - Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn x. Giải phương trình này được yx;y2x 21 == . - Với x = 2y. Thay vào (2) được: 2(2y) 2 - 3.(2y).y + 5 = 0 ⇔ 8y 2 - 6y 2 + 5 = 0 ⇔ 2y 2 + 5 = 0. PT vô nghiệm. - Với x = y. Thay vào (2) được: 2x 2 - 3x 2 + 5 = 0 ⇔ x 2 = 5 ⇔ 5x;5x 21 −== - Hệ có nghiệm: = = 5y 5x và −= −= 5y 5x b.(1.0 điểm) - Thay xy từ (2) vào (1) được: ⇔ −= =−+−+ 2 23 x3xy 0y6x3)x3(yy ⇔ −= =−+−+ 2 23 x3xy 0y6x3yxy3y - ⇔ −= =−−+− 2 x3xy 0)xy(3)xy)(xy(y ⇔ −= =−+− 2 2 x3xy 0)3xyy)(xy( - Tiếp tục thay, được: −= =−− 2 22 x3xy 0)xy)(xy( ⇔ −= =+− 2 2 x3xy 0)xy()xy( . - ⇔ −= −= −= = 2 2 x3xy yx x3xy yx ⇔ −=− −= −= = 22 22 x3x yx x3x yx ⇔ = = 3x2 yx 2 ⇔ ±= = 2 3 x yx (Mỗi ý cho 0,25 điểm) Câu 3:(2.0 điểm) - ∠ EBN = 45 0 (gt); - ∠ ECN = 45 0 (AC là đường chéo hình vuông). - ⇒ tứ giác BCNE nội tiếp. - ⇒ ∠ENB = ∠ECB = 45 0 . - ⇒ EBCN nội tiếp đường tròn đường kính BN ⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ECB là trung điểm G của BN và EM ⊥ EN. - Tương tự chứng minh được ABFM nội tiếp ⇒ MF ⊥ BN. - ⇒D, M, E, F, N cùng thuộc đường tròn đường kính MN ⇒ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là trung điểm H của MN - HG là đường trung bình của tam giác MNB nên HG song song với BM. (Mỗi ý cho 0,25 điểm) Câu 4:(3.0 điểm) - 2 BC AD 2 1 PB PA BC AD =⇒== - 3 BC2 MC 3 2 BC MC =⇒= 4 3 MC AD =⇒ - 7 3 AM 'AB 4 3 MC AD M'B A'B =⇒== (1) - 3 MC2 QN 3 2 AC AN MC QN =⇒== - 2 MC BM 2 1 MC BM =⇒= - 4 3 3 MC2 : 2 MC QN BM Q'C M'C === - MQ 7 3 M'C 4 3 Q'C M'C =⇒= . Do MQ = 3 AM nên C’M = 7 1 AM. A M B E N CD H G I F C A B M N P D Q C’ A’ B’ - Từ (1) có AB’ = AM 7 3 AM 7 3 AM 7 1 AM'C'BAM 7 3 =−−=⇒ - Vậy B’A =B’C’ - MC= BC 3 2 ⇒ S AMC = S 3 2 . B’M = AM 7 4 ⇒ S CMB’ = 7 4 S AMC = 7 4 . 3 2 S - A’B’= 2 1 B’C ⇒ S A’MB’ = 2 1 S CMB’ = 2 1 . 7 4 . 3 2 S - C’B’ = 4 3 B’M ⇒ S A’B’C’ = 4 3 .S A’MB’ = 4 3 . 2 1 . 7 4 . 3 2 S = 7 1 S (Mỗi ý cho 0,25 điểm) Câu 5: (1.0 điểm) - x 3 + y 3 + z 3 = 2008 + x + y + z ⇔ x 3 -x + y 3 - y + z 3 - z = 2008 - Có x 3 - x = x(x 2 - 1) = (x-1)x(x+1) chia hết cho 3 (Tích của ba số tự nhiên liên tiếp). Tương tự + y 3 - y ; z 3 - z chia hết cho 3 - ⇒ x 3 -x + y 3 - y + z 3 - z chia hết cho 3. - 2008 không chia hết cho 3 nên không tồn tại x, y, z nguyên thoả x 3 + y 3 + z 3 = 2008 + x + y + z. (Mỗi ý cho 0,25 điểm) . hết cho 7 - A(n) = (2 5 n - 12 n ) - ( 18 n - 5 n ). - (2 5 n - 12 n ); ( 18 n - 5 n ) đều chia hết cho 13 nên A(n) chia hết cho 13. - (1 3,7) = 1 nên A(n) chia hết cho 13.7 = 91. (Mỗi ý cho. 0. - 0)ba(0ab2ba)ba(2ab2ba)ba(2ba 2 ≥−⇔≥−+⇔+≤++⇔+≤+ . - Dấu “=” xảy ra khi a = b. b. (1 .0 điểm) - S = 11vuyxvuyxvuyx ==+++≥+++≥+++ - S = )vu(2)yx(2vuyx +++≤+++ 24)vuyx(4))vu(2)yx( 2(2 ==+++=+++≤ . -. CID. (Mỗi ý của b,c cho 0,25 điểm) Câu 5: (1 .0 điểm) - A(n) = 25 n + 5 n - 18 n - 12 n = (2 5 n - 18 n ) - (1 2 n - 5 n ) - (2 5 n - 18 n ); (1 2 n - 5 n ) đều chia hết cho 7 nên A(n) chia