TICH PHAN SUY RONG

TÝch réng ph©n suy TÝch ph©n suy réng víÝ cận vô hạn + A A (1*) f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx *) NÕu∃ lim ∫ f ( x )dx = I( hu h¹n)⇒ TPSRhéitơ A → +∞ a A →+∞ a a *) Ngc lại, tích phân suy rộng phân kỳ b (2*) b ∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx B→ −∞ −∞ +∞ (3*) ∫ B a f ( x)dx = −∞ ∫ f ( x )dx + −∞ +∞ ∫ a a f ( x)dx = lim B →−∞ A ∫ f ( x)dx + lim ∫ f ( x)dx A→+∞ B a *) TPSR (3*) hội tụ hai TPSR (1*) (2*) héi tô y y f(x) O a f(x) A x B a O A x VÝ dô 8.3 Tính tích phân suy rộng sau A A dx d (ln x )   I( A ) = ∫ = = − ∫2 ln x  ln x  x ln x e e 1) I = A e2  1 = −  ln A  +∞ dx ∫2 x ln3 x e  1 I = lim I(A) = lim  − =  A → +∞ A → +∞ ln A   2) I = +∞ dx ∫2 x + x − A dx dx A d ( x − 1) A d ( x + 2)  x − I( A ) = ∫ =∫ = ∫ −∫  = ln x + x − ( x − )( x + ) ( x − ) ( x + ) 2 2  x+2 A I= A 2 −1  A −1  A −1 lim ln − ln = ln + ln lim = ln  A → +∞ A → +∞ 2+2 A+2  A+2 +∞ A dx dx dx I= ∫ = lim ∫ + lim ∫ B → − ∞ A → + ∞ −∞ x + x + B x + 2x + x + 2x + A d( x + 1) d( x + 1) I = lim ∫ + lim B→ −∞ ( x + 1) + 2 A → + ∞ ∫ ( x + 1) + 2 B 0 x + 1  x + 1 A    = lim  arctg  B  + Alim  arctg 0  B→ − ∞ → + ∞       1 B + 1 A + 1 1 1 1 = arctg − lim  arctg + lim  arctg − arctg   B → − ∞ A → + ∞ 2   2 2 2  π π π = −  −  + =  2 2 +∞ dx XÐt sù héi tơ cđa tÝch ph©n suy ,a>0 ∫a xréng α +∞ A dx dx *) NÕuα = 1⇒ ∫ = lim ∫ = lim ln x A → + ∞ A→ +∞ a x a x A a = lim ln A − ln a = +∞ ⇒ TP phan kú A→ +∞ dx x1−α *) NÕuα ≠ ⇒ I ( A) = ∫ α = x 1−α a A A a A1−α a1−α = − 1−α 1−α a1−α ⇒ lim I ( A) = + lim A1−α A→ +∞ α − 1 − α A→ +∞  a 1−α  lim I(A ) =  α − A→ +∞ + ∞  − α < ⇔ α > 1, − α > ⇔ α < +∞ dx ∫a x α α > héitô α ≤ phan kú  TÝch ph©n suy rộng hàm không giới nội b b * *) ∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx ε →0 a b *) NÕu ∃ lim ε →+0 a b * *) ∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx ς →0 a b 3**) ∫ f ( x)dx = I ( h u h¹n) ⇒ TPSR héi tụ a *) Ngợc lại, tích phân suy rộng phân kú a +ς c c −ε b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = lim ∫ a b −ε a ε →0 c b f ( x) dx + lim ς →0 a ∫ f ( x) dx c +ς *) TPSR (3**) hội tụ hai TPSR (1**) (2**) héi tô y y x O a (b-ε) b O a (c-ε) c (c+η) b x VÝ dô 8.4 Tính tích phân suy rộng sau e dx x ln x 1) I = ∫ e e dx d ln x ∀ ε > 0, ∃ I(ε) = ∫ = ∫ = ln x 1+ ε x ln x 1+ ε ln x e 1+ ε = − ln(1 + ε) I = lim I(ε) = − lim ln(1 + ε) = ε →0 ε →0 2) I = ∫ 1− x −1 ∫0 ∫ −1 dx 1− x2 dx − x2 = lim 1−ε ε →0 = lim η→0 dx ∫ −1+ η ∫0 ∫ −1 −1 − x2 +∫ dx 1− x2 π = lim arcsin x 0−1+η = lim[ − arcsin(−1 + η)] = π 1− x2 − x2 1− x2 =∫ dx = lim arcsin x 10−ε = lim arcsin(1 − ε) = dx dx dx ε →0 ε →0 η→0 I= π π π + = π 2 dx 3) I = ∫ cos x  x π = lim ln tg +  ε →0 2 4 π −ε η→0 = lim ε →0 π −ε ∫0 dx cos x π ε = lim ln tg −  = ∞ ⇒ PK ε →0  2 b dx XÐt sù héi tơ cđa tÝch ph©n suy Iréng =∫ , (b > a , α > 0) α ( b − x ) a b −ε dx dx *) α = ⇒ I = ∫ = lim ∫ = lim− ln(b − x ) ab−ε = − lim ε + ln(b − a ) = +∞ ε→ ε→ ε→ a (b − x ) a (b − x ) b b −ε dx dx 1−α *) α ≠ ⇒ ∫ = lim = lim ( b − x ) α ε→ ∫ ( b − x ) α ε→ α − a (b − x ) a b + ∞ (b − a )1−α  I= + lim(ε)1−α =  ( b − a )1−α 1− α α − ε→   1− α b dx ∫a (b − x )α b −ε a − α < ⇔ α > 1, − α > ⇔ α <  héitôkhiα < phan kú khiα ≥  Mét sè ®iỊu kiƯn héi tơ + + ịnh lý 8.2 Hai hàm f(x) g(x) kh¶ tÝch *) NÕu ∫ g ( x )dx héitơ⇒ f ( x )dx hộitụ a đoạn [a, b] vµ cã ≤ f(x) ≤ g(x) ∀x ≥ a a +∞ +∞ a a *) NÕu ∫ f ( x )dx phan kú⇒ ∫ g ( x )dx phankú nh lý 8.3 Hai hµm f(x) vµ g(x) khả tích đoạn [a, b] có lim x →+∞ f ( x) = k ⇔ VCL f ( x ) ∼ k g ( x) (0 < k < +∞) x → +∞ g ( x) ⇒ +∞ ∫ a +∞ f ( x)dx vµ ∫ g ( x ) dxcï ng héi tô, cï ng phan kú a +∞  héitônÕuα > 1 *) Khi x → ∞, f(x)lµ VCB cïng bËcvíi α ⇒ ∫ f ( x )dx  x phankú nÕuα ≤ a b  héitô nÕuα < 1 *) Khi x → (a + 0), f(x)lµ VCL cïng bËcvíi ⇒ ∫ f ( x )dx  ( x − a )α phankú nÕuα ≥ a VÝ dô 8.5 Xét hội tụ tích phân 1) I = +∞ ∫1 suy réng sau dx + x + x2 +∞ dx ∫1 x + cos2 x 2) +∞ 3) ∫ 1 4) ∫ dx x + sin x + 3x 1/ dx dx dx = ∫ + ∫ = I1 + I 2 x (1 − x ) x (1 − x ) / 2 x (1 − x ) 10 Trêng hỵp f(x) cã dÊu bÊt kú +∞ +∞ a a a ) NÕu∫ f ( x ) dx héitô⇒ ∫ f ( x )dx héitơ vµgäilµ héitơtut dèi +∞ b) NÕu∫ f ( x )dx héitô,nhng +∞ +∞ a a ∫ f ( x ) dx phankú⇒ ∫ f (x )dx b¸nhéitơ a VÝ dơ 10.6 XÐt sù héi tơ tích phân suy rộng sau sin x 1)I = ∫ dx x + 2x +∞ 2)I = +∞ ∫ π − sin x x + 2x < , ∀ x ≥ ⇒ I héitơtut dèi 2x +∞ sin xdx ∫1 x Sư dụng phơng pháp tích phân phần + sin xdx d (cos x ) cos x =−∫ =− x x x π cos x x ≤ x +∞ π +∞ cos xdx +∞ cos xdx − ∫ =− ∫ π π x x3 2 , ∀ x ⇒ I héitơtut dèi 11 ... 2 +∞ dx XÐt sù héi tơ cđa tÝch ph©n suy ,a>0 ∫a xréng α +∞ A dx dx *) NÕuα = 1⇒ ∫ = lim ∫ = lim ln x A → + ∞ A→ +∞ a x a x A a = lim ln A − ln a = +∞ ⇒ TP phan kú A→ +∞ dx x1−α *) NÕuα ≠ ⇒ I... lim I(A ) =  α − A→ +∞ + ∞  − α < ⇔ α > 1, − α > ⇔ α < +∞ dx ∫a x α α > héitô α ≤ phan kú  Tích phân suy rộng hàm không giới nội b −ε b * *) ∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx ε →0 a b *) NÕu... ∫ f ( x )dx héitô a đoạn [a, b] có f(x) ≤ g(x) ∀x ≥ a a +∞ +∞ a a *) NÕu ∫ f ( x )dx phan kú⇒ ∫ g ( x )dx phankú nh lý 8.3 Hai hµm f(x) g(x) khả tích đoạn [a, b] vµ cã lim x →+∞ f ( x) = k ⇔