XS c3 MTK ULTS 2

ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP CHƯƠNG : MẪU THỐNG KÊ VÀ ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ (PHẦN 2) Giảng viên: ThS Nguyễn Xuân Quý Email: quynx2705@gmail.com ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP NỘI DUNG CHÍNH Đặt vấn đề Ước lượng điểm Ước lượng khoảng Ước lượng khoảng cho kỳ vọng: • Khi biết σ n ≥ 30 • Khi mẫu nhỏ (n < 30) ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP ĐẶT VẤN ĐỀ − Như biết, lý thuyết suy luận thống kê bao gồm phương pháp đưa kết luận, khái quát tổng thể thông qua việc phân tích thơng tin thu từ mẫu ngẫu nhiên chọn từ tổng thể − Suy luận thống kê chia thành hai mảng chính: ước lượng kiểm định giả thuyết ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP − Để phân biệt hai phần ta xét ví dụ sau đây: Một ứng cử viên tổng thống muốn ước lượng tỉ lệ cử tri ủng hộ ông ta nước cách lấy ý kiến 200 cử tri, chọn ngẫu nhiên độc lập từ nơi khác Tỉ lệ mẫu ủng hộ ông ta làm sở để đưa ước lượng tỉ lệ ủng hộ ông ta nước Các kiến thức phân phối tỉ lệ giúp ta xác định độ xác ước lượng Bài toán toán ước lượng tham số ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Khi ông ta tuyên bố tỉ lệ ủng hộ ông ta nước 65%, vấn đề đặt ứng cử viên đối lập cần tìm hiểu xem lời phát biểu có sở hay không Lúc này, ta không ước lượng tham số mà phải đưa định chấp nhận hay không chấp nhận lời tuyên bố Lại phải dựa vào lý thuyết mẫu số liệu thực nghiệm để đưa định với độ xác xác định Bài tốn toán kiểm định giả thuyết ThS Nguyễn Xuân Quý TỐN CAO CẤP Bài giảng chủ yếu trình bày phương pháp ước lượng truyền thống để ước lượng cho • giá trị trung bình • tỷ lệ • phương sai ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP I CÁC PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG TRUYỀN THỐNG Ước lượng điểm Định nghĩa Ước lượng điểm tham số chung tổng thể η ˆ giá trị đơn θˆ thống kê Θ − Ví dụ: • giá trị x L im ca trung bỡnh tng th ã giỏ trị f = nA n ƯL điểm tỷ lệ p tổng thể ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP ˆ dùng ước lượng tham số tổng thể θ Rất khó để thống kê Θ đạt độ xác tuyệt đối, ta hy vọng θˆ không xa θ Định nghĩa ˆ gọi ước lượng không chệch tham số Thống kê Θ θ thỏa mãn: ˆ = θ E Θ ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP ˆ Θ ˆ hai ước lượng không chệch tham số − Nếu Θ θ, ta chọn thống kê với phương sai nhỏ ˆ ước lượng hiệu Θ ˆ − Khi s2 < s2 ta nói Θ ˆ1 Θ ˆ2 Θ Định nghĩa Xét tất ước lượng không chệch tham số θ, ước lượng có phương sai nhỏ gọi ước lượng hiệu θ ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP 10 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD Thống kê tuổi thọ 256 bóng đèn nhà sản xuất, ta có bảng thống kê: Tuổi thọ (giờ) Số bóng Tuổi thọ (giờ) Số bóng 1000 − 1100 1100 − 1200 10 1200 − 1300 16 1300 − 1400 20 1400 − 1500 36 1500 − 1600 48 1600 − 1700 42 1700 − 1800 32 1800 − 1900 26 1900 − 2000 14 2000 − 2100 Với độ tin cậy 95, 6%, ước lượng tuổi thọ trung bình loại bóng đèn 23 ThS Nguyễn Xn Q TỐN CAO CẤP Giải Gọi X tuổi thọ bóng đèn Bài tốn thuộc dạng ước lượng giá trị trung bình với n = 256 ≥ 30 σ chưa biết Từ mẫu tính x = 1587, s = 226, 83 α = 0, 022 ⇒ uγ = 2, 014 Với độ tin cậy − α = 95, 6% ⇒ Khi s ε = uγ √ = 28, 55 n Suy khoảng tin cậy cần tìm (x − ε; x + ε) = (1558, 95; 1616, 05) 24 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Khi chưa biết σ (và n < 30) Phân phối Student T(n) Bnn liên tục T gọi phân phối theo qui luật Student với n bậc tự có hàm mật độ Γ n2 f (x) = √ π(n − 1).Γ n−1 Chú ý • E [T ] = 0, t2 1+ n−1 − n2 , ∀t n DT = n−2 • Khi n ≥ 30 phân phối T(n) xấp xỉ với N(0, 1) 25 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Chú ý σ2 • Nếu X ∼ N µ, n X−µ Z = √ ∼ N(0, 1) / n ã Nu X N à, n mà chưa biết σ X−µ T= √ ∼ T(n − 1), S/ n với S phương sai mẫu điều chỉnh • Hàm mật độ T ∼ T(n) đối xứng qua Oy xấp xỉ với hàm mật độ f (x) phân phối chuẩn tắc n đủ lớn 26 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Hàm mật độ phân phối Chuẩn phân phối Student với n = 1, 4, 10 27 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Định lý Giả sử x s trung bình độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên chọn từ tổng thể có phân phối chuẩn với σ chưa biết Khi khoảng tin cậy (1 − α)100% cho µ s s x − tγ √ < µ < x + tγ √ , n n tγ giá trị t với n − bậc tự do, sinh diện tích α α α bên phải nó, tức P[T > tγ] = γ=1− 2 28 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD Một mẫu lấy từ tổng thể có phân phối chuẩn với số liệu: 9, 10, 10, 9, 10, 10, 9, Tìm khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình tổng thể 29 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD Một mẫu lấy từ tổng thể có phân phối chuẩn với số liệu: 9, 10, 10, 9, 10, 10, 9, Tìm khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình tổng thể Giải − Đặt X bnn với số liệu cho − Từ giả thiết có n = α = 0, 05 tính x= 7 xi = 10, i=1 s = n−1 (xi − x)2 = 0, 283 i=1 − Bài tốn ƯL cho µ = E[X] chưa biết σ cỡ mẫu n < 30 30 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP α − Từ α = − 0, 95 = 0, 05 ⇒ γ = − = 0, 975 Tra bảng ta tìm t0,975(6) = 2, 447 (số bậc tự 6) − Do khoảng tin cậy 95% cho µ s s x − tγ √ < µ < x + tγ √ n n thay số 0, 283 0, 283 10, − (2, 447) √ < µ < 10, + (2, 447) √ 7 hay 9, 74 < µ < 10, 26 31 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Sinh viên tự giải Điều tra suất lúa 100ha trồng lúa vùng, thu bảng số liệu: Năng suất (tạ/ha) 41 44 45 46 48 52 54 Diện tích (ha) 10 20 30 15 10 10 a) Tìm ƯL khơng chệch suất lúa trung bình b) Những rộng có suất lúa từ 48 tạ/ha trở lên gọi ruộng suất cao Tìm ƯL khơng chệch tỉ lệ diện tích lúa có suất cao vùng c) Với độ tin cậy 95%, ước lượng suất trung bình tồn vùng 32 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Một mẫu ngẫu nhiên gồm tơ loại có mức tiêu thụ xăng (dặm/ga-lông) sau: 18, 18, 19, 10, 19, 20, Hãy ước lượng khoảng tin cậy 90% cho mức tiêu thụ xăng trung bình loại tơ với giả thiết tổng thể có phân phối chuẩn 33 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Thống kê tuổi thọ loại pin ta có bảng thống kê: Tuổi thọ (h) Số pin Tuổi thọ (h) Số pin Tuổi thọ (h) Số pin 1000 − 1100 1100 − 1200 10 1200 − 1300 16 1300 − 1400 20 1400 − 1500 36 1500 − 1600 48 1600 − 1700 40 1700 − 1800 30 1800 − 1900 26 1900 − 2000 14 2000 − 2100 2100 − 2200 a) ƯL tuổi thọ trung bình loại pin với độ tin cậy 95% b) Qui ước pin có tuổi thọ 1700h pin loại I Hãy tìm ước lượng khơng chệch tỉ lệ pin loại I c) Ước lượng tuổi thọ trung bình pin loại I với độ tin cậy γ = 99% 34 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Để xác định trọng lượng trung bình bao bột kho, người ta đem cân ngẫu nhiên 15 bao kho tính x = 39, 8kg s = 0, 144 Hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng trọng lượng trung bình bao bột kho với độ tin cậy 99% 35 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Một giống lúa gieo 10 miếng đất thí nghiệm có điều kiện giống thu sản lượng tính theo đơn vị sau: 25, 28, 20, 27, 25, 23, 24, 26, 27, 25, Biết sản lượng lúa biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(µ, σ 2) Tìm khoảng tin cậy 90% cho µ 36 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP BÀI TẬP VỀ NHÀ Mỗi SV sưu tầm tập (gồm Đề Lời giải), dạng c lng Khong cho trung bỡnh à: ã bit σ • chưa biết σ n > 30 • chưa biết σ n < 30 (Yêu cầu: với độ tin cậy khác nhau) 37 ... kiện giống thu sản lượng tính theo đơn vị sau: 25 , 28 , 20 , 27 , 25 , 23 , 24 , 26 , 27 , 25 , Biết sản lượng lúa biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(µ, σ 2) Tìm khoảng tin cậy 90% cho µ 36 ThS Nguyễn... pin 1000 − 1100 1100 − 120 0 10 120 0 − 1300 16 1300 − 1400 20 1400 − 1500 36 1500 − 1600 48 1600 − 1700 40 1700 − 1800 30 1800 − 1900 26 1900 − 20 00 14 20 00 − 21 00 21 00 − 22 00 a) ƯL tuổi thọ trung... n Do P Z > zα /2 = α /2 ⇒ P Z < −zα /2 = α /2, tức P −zα /2 < Z < zα /2 = − α hay     x−µ   P −zα /2 < √ < zα /2? ?? = − α σ/ n     σ σ Suy P x − zα /2 √ < µ < x + zα /2 √  = − α