XS c3 MTK ULTS 3

ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP CHƯƠNG : MẪU THỐNG KÊ VÀ ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ (PHẦN 3) Giảng viên: ThS Nguyễn Xuân Quý Email: quynx2705@gmail.com ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP NỘI DUNG CHÍNH Ước lượng cho tỉ lệ • Ước lượng điểm (ước lượng khơng chệch) • Ước lượng khoảng (đối xứng) Ước lượng cho phương sai • Ước lượng điểm (ước lượng không chệch) • Ước lượng khoảng ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP III ƯỚC LƯỢNG CHO MỘT TỈ LỆ (XÁC SUẤT) Ước lượng điểm cho tỉ lệ p Nhắc lại Ước lượng điểm hay cịn gọi ước lượng khơng chệch cho nA tỉ lệ p tổng thể tỉ lệ f = mẫu thống kê n ThS Nguyễn Xuân Quý VD TOÁN CAO CẤP Đo đường kính 100 chi tiết máy sản xuất, kết cho dạng khoảng (a, b] sau: Đường kính (mm) 19, 80 − 19, 85 19, 85 − 19, 90 19, 90 − 19, 95 19, 95 − 20, 00 Số chi tiết 15 28 Đường kính (mm) 20, 00 − 20, 05 20, 05 − 20, 10 20, 10 − 20, 15 20, 15 − 20, 20 Số chi tiết 23 14 Theo qui định, chi tiết có đường kính phạm vi (19, 90mm; 20, 00mm] đạt tiêu chuẩn Hãy ước lượng điểm cho tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn máy Đáp số: f = 43/100 = 43% ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Ước lượng khoảng cho tỉ lệ p − Giả sử ta nghiên cứu tổng thể (N phần tử), có M phần tử mang dấu hiệu cần nghiên cứu − Từ tổng thể lấy mẫu cỡ n, gọi X số phần tử mang M dấu hiệu nghiên cứu X ∼ B(n, p) với p = mà ta khơng N thể tính tốn trực tiếp X − Từ mẫu trên, dựa vào tỉ lệ f = mẫu ta ước n lượng giá trị p ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Theo Định lý Giới hạn trung tâm thống kê Z= f −p √ ∼ N(0, 1) f (1 − f )/ n n lớn ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Định lý (khoảng tin cậy cho p cỡ mẫu lớn) Nếu f tỉ lệ thành công mẫu ngẫu nhiên có cỡ mẫu n khoảng tin cậy (1 − α)100% cho tham số p f − zα/2 f (1 − f ) n < p < f + zα/2 f (1 − f ) , n α zα/2 giá trị z sinh diện tích bên phải α Chú ý: zα/2 = uγ với γ = − ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD Điều tra ngẫu nhiên 500 gia đình có tivi thành phố Hamilton (Canada), thấy có 340 gia đình thuê bao chương trình HBO Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ gia đình thuê bao chương trình HBO số gia đình có tivi thành phố ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Giải − Đặt p tỷ lệ cần ước lượng − Từ giả thiết: x = 340, n = 500, α = 0, 05 − Đây toán ước lượng cho tỷ lệ, cỡ mẫu lớn x 340 − Ước lượng điểm cho p f = = = 0, 68 n 500 f (1 − f ) − Khoảng tin cậy 95% cho p p = f ∓ zα/2 n − Tra bảng zα/2 = 1, 96 Thay số: 0, 68 − 1, 96 0, 68.0, 32 500 < p < 0, 68 + 1, 96 hay 0, 64 < p < 0, 72 0, 68.0, 32 500 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Định lý (về cỡ mẫu toán ước lượng tỉ lệ) Nếu dùng f làm ƯL điểm cho p, với độ tin cậy (1 − α)100%, để sai số không vượt ε cỡ mẫu tối thiểu cần dùng là: z2 f.(1 − f ) n= α/2 ε2 VD Sử dụng VD trên, với độ tin cậy 95%: a) Tìm sai số dùng f làm ước lượng điểm cho p? b) Muốn sai số không vượt 0, 02 cỡ mẫu tối thiểu phải dùng bao nhiêu? 10 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD Gieo thử 400 hạt giống thấy 20 hạt không nảy mầm a) Tỉ lệ hạt giống không nảy mầm với độ tin cậy 90%? Trong trường hợp sai số bao nhiêu? b) Để sai số ước lượng thấp 1% số lượng hạt gieo thử (độ tin cậy 90%)? 12 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Giải a) − Đặt p tỷ lệ cần ước lượng − Từ giả thiết: x = 20, n = 400, α = 0, 05 − Đây toán ước lượng cho tỷ lệ, cỡ mẫu lớn 20 x − Ước lượng điểm cho p f = = = 0, 05 n 400 f (1 − f ) − Khoảng tin cậy 95% cho p p = f ∓ zα/2 n − Tra bảng zα/2 = u0,95 = 1, 645 Thay số: 0, 05 − 1, 645 0, 05.0, 95 400 < p < 0, 05 + 1, 645 hay 0, 032 < p < 0, 068 13 0, 05.0, 95 400 ThS Nguyễn Xuân Quý b) Để ε = zα/2 TOÁN CAO CẤP f (1 − f ) n z2 f.(1 − f ) n= α/2 ε2 < 1% = 0, 01 ≥ 1, 6452.0, 05.0, 95 0, 012 Vậy cần gieo n = hạt 14 = 1285, 36 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD Để ước lượng số cá hồ, người ta bắt 2000 con, đánh dấu thả xuống Vài ngày sau người ta lại bắt lên 400 thấy có 80 đánh dấu Với độ tin cậy 95%, nói số cá hồ khoảng con? 15 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP 2000 Giải − Gọi N số cá hồ ⇒ tỉ lệ cá bị đánh dấu p = N − Giả sử khoảng tin cậy (1 − α)100% cho p p1 < p < p2 2000 2000 khoảng tin cậy (1 − α)100% cho N 215 Số 15 19 23 31 29 21 Thép có độ bền 195 kg/mm2 gọi thép loại A Tìm khoảng tin cậy 98% cho tỉ lệ loại A loại thép 18 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP IV ƯỚC LƯỢNG CHO MỘT PHƯƠNG SAI Ước lượng điểm cho phương sai σ ƯL chệch cho σ phương sai s2 ƯL không chệch cho σ phương sai hiệu chỉnh s 19 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Ước lượng khoảng cho phương sai σ Giả sử (X1, , Xn) mẫu ngẫu nhiên xây dựng từ bnn gốc X ∼ N(µ, σ 2), σ chưa biết Bài tốn đặt ra: Tìm khoảng tin cậy cho σ với độ tin cậy (1 − α) 20 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Phân phối Khi bình phương χ2 Bnn liên tục χ2 gọi phân phối theo qui luật "Khi bình phương" với n bậc  tự có hàm mật độ      x ≤    f (x) =  x n  −1   2 e x x > 0,  n    2 Γ n +∞ tx−1e−t Nếu n ∈ N Γ(n + 1) = n! Γ(x) = Chú ý E χ2 = n, Dχ2 = 2n 21 ThS Nguyễn Xn Q TỐN CAO CẤP − Khi thống kê χ2 = (n − 1)S σ2 ∼ χ2(n − 1) − Từ tìm KTC (1 − α) cho σ (n − 1)s (n − 1)s ; t2 t1 t1, t2 tra bảng phân vị Khi bình phương với (n − 1) bậc tự do: α P χ > t1 = − α P χ > t2 = 2 22 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD Một giống lúa gieo 10 miếng đất thí nghiệm có điều kiện giống nhau, cho sản lượng tính theo đơn vị sau: 25, 28, 20, 27, 25, 23, 24, 26, 27, 25, Biết sản lượng lúa biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(µ, σ 2) Hãy tìm khoảng tin cậy 90% cho σ 23 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Giải − Gọi X "sản lượng giống lúa đó" X ∼ N(µ, σ 2) − Bài toán ước lượng khoảng giá trị cho σ − Từ mẫu cho tính x = 25, s = 2, 24 α α − Với độ tin cậy − α = 0, ⇒ = 0, 05 − = 0, 95 2       t1 = 3, 33 − Tra bảng Khi bình phương (dịng bậc tự do)      t2 = 16, − Vậy KTC cần tìm   2  9.(2, 24) 9.(2, 24)  (n − 1)s (n − 1)s  = (2, 67; 13, 56) ; =  ; t2 t1 16, 3, 33  24 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Sinh viên tự giải: Khối lượng loại sản phẩm có phân phối chuẩn Cân ngẫu nhiên 25 sản phẩm loại thu bảng số liệu: Khối lượng (gam) 29, 29, 30, 30, 30, Số sản phẩm a) Tìm ƯL khơng chệch cho phương sai khối lượng loại sản phẩm b) Với độ tin cậy 98%, tìm khoảng tin cậy cho phương sai khối lượng loại sản phẩm 25 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP BÀI TẬP VỀ NHÀ Mỗi SV sưu tầm tập (gồm Đề Lời giải), gồm: • ước lượng khoảng cho tỉ lệ • toán cỡ mẫu cho tỉ lệ • ước lượng khoảng cho phương sai (Yêu cầu: với độ tin cậy khác nhau) 26 ... t1 = 3, 33 − Tra bảng Khi bình phương (dịng bậc tự do)      t2 = 16, − Vậy KTC cần tìm   2  9.(2, 24) 9.(2, 24)  (n − 1)s (n − 1)s  = (2, 67; 13, 56) ; =  ; t2 t1 16, 3, 33 ... ta tiến hành số quan sát thu kết bảng: Độ bền (95, 115] (115, 135 ] ( 135 , 155] (155, 175] (175, 195] (195, 215] > 215 Số 15 19 23 31 29 21 Thép có độ bền 195 kg/mm2 gọi thép loại A Tìm khoảng tin... Số chi tiết 23 14 Theo qui định, chi tiết có đường kính phạm vi (19, 90mm; 20, 00mm] đạt tiêu chuẩn Hãy ước lượng điểm cho tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn máy Đáp số: f = 43/ 100 = 43% ThS Nguyễn