XS c2 BNN QLPP 2

ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP CHƯƠNG : BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT (PHẦN 2) Giảng viên: ThS Nguyễn Xuân Quý Email: quynx2705@gmail.com ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP NỘI DUNG CHÍNH BNN liên tục: • Hàm mật độ • Các số đặc trưng • Một số phân phối liên tục thường gặp Ví dụ Bài tập ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP IV HÀM MẬT ĐỘ CỦA BNN LIÊN TỤC Hàm mật độ bnn liên tục X (kí hiệu: f (x)) đạo hàm bậc hàm phân phối X: f (x) = F (x) Chú ý • Hàm phân phối bnn rời rạc liên tục trái, đồ thị có dạng bậc thang • Hàm phân phối bnn liên tục liên tục R, đồ thị đường liền nét ThS Nguyễn Xn Q TỐN CAO CẤP Tính chất hàm mật độ • f (x) ≥ 0, ∀x +∞ f (x) dx = • −∞ • P[a ≤ X < b] = P[a < X ≤ b] = P[a ≤ X ≤ b] b = P[a < X < b] = f (x) dx = F(b) − F(a) a x • F(x) = f (x) dx −∞ ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Ý nghĩa hàm mật độ Hàm mật độ bnn X điểm x thể mức độ tập trung xác suất điểm đó, vì: f (x) = F (x) F(x + ∆x) − F(x) P(x ≤ X < x + ∆x) = lim = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD Cho hàm phân phối biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng:             F(x) =  ax           a) Tìm a? x ≤ < x ≤ x > b) Tìm hàm mật độ f (x) c) Tìm xác suất để X nhận giá trị khoảng (0, 25; 0, 75) ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Giải a) Vì F(x) liên tục nên F(x) liên tục x = ⇒ a = b) Áp dụng định nghĩa hàm mật độ:       x ≤       f (x) = F (x) =  2x < x ≤           x > c) Ta có P(0, 25 < X < 0, 75) = F(0, 75)−F(0, 25) = (0, 75)2−(0, 25)2 = 0, ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD Cho hàm mật độ biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng:    π π    a cos x x ∈ − ; f (x) =    π π    x − ; 2 a) Tìm a? b) Tìm hàm phân phối F(x) c) Tính P [0 ≤ X ≤ 2] ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Giải a) Theo tính chất hàm mật độ: π +∞ f (x)dx = 1= −∞ − π2 a cos x dx = 2a ⇒ a = b) Áp dụng tính chất: F(x) = x f (x) dx −∞ x π − với x ≤ − ta có F(x) = dx = −∞ π π − với − < x ≤ ta có 2 − π2 x F(x) = f (x) dx = −∞ x dx + − π2 −∞ 1 cos xdx = (sin x + 1) 2 ThS Nguyễn Xuân Quý π − với x > ta có x F(x) = TỐN CAO CẤP f (x) dx = −∞ π − π2 dx + − π2 −∞ Vậy ta có hàm phân bố:            1 F(x) =  (sin x + 1)           x cos xdx + 0dx = π π x ≤ − π π − < x ≤ 2 π x > 1 c) Có P [0 ≤ X ≤ 1] = F (2) − F(0) = − (sin + 1) = 2 10 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP x x − t2 Một số tính chất hàm Φ(x) = f (x) dx = √ e dt 2π−∞ −∞ • Φ(x) hàm tăng • Φ(0) = 0, 5; Φ(+∞) = • Khi x > x t2 Φ(x) = 0, + √ e− dt 2π = 0, + Φ0(x) • Khi x < Φ(x) = − Φ(−x) 25 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Chú ý x t2 e− dt với a, b > − Với hàm Φ0(x) = √ 2π • P[X < −a] = P[X > a] = 0, − Φ0(a) • P[a < X < b] = Φ0(b) − Φ0(a) • P[−a < X < b] = Φ0(b) + Φ0(a) X−a − Nhờ công thức X ∼ N(a, σ ) ⇒ Z = ∼ N(0, 1) ta đưa σ tính theo BNN chuẩn tắc Z 26 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD Cho X ∼ N(300, 502) Tính P[X > 362] Giải X − 300 − Đặt Z = ⇒ Z ∼ N(0, 1) 50 − Khi X = 362 362 − 300 = 1, 24 Z= 50 − Khi P[X > 362] = P[Z > 1, 24] = 0, − Φ0(1, 24) = 0, − 0, 3925 = 0, 1075 27 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD Cho X ∼ N(50, 102) Tính P [45 < X < 62] X − 50 Giải Đặt Z = Z ∼ N(0, 1) 10 Các giá trị z tương ứng với x1 = 45 x2 = 62 45 − 50 z1 = = −0, 10 62 − 50 z2 = = 1, 10 Do P [45 < X < 62] = P [−0, < Z < 1, 2] = Φ0(1, 2) + Φ0(0, 5) = 0, 3849 + 0, 1915 = 0, 5764 28 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD Một người cần mua loại gioăng cao su có độ dày từ 0, 118cm đến 0, 122cm Có hai cửa hàng bán loại gioăng với độ dày biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với đặc trưng cho bảng sau: Độ dày trung bình Độ lệch chuẩn Cửa hàng A 0, 12 0, 001 Cửa hàng B 0, 12 0, 0015 Hỏi người nên mua gioăng cửa hàng nào? 29 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CP Gii Ta cú X N(à; 2) ã EXA = EXB = µ = 0, 12 σXA = 0, 001 • P[0, 118 ≤ XA ≤ 0, 122] = · · · = 0, 9546 • P[0, 118 ≤ XB ≤ 0, 122] = · · · = 0, 817 Vậy người nên mua gioăng hàng A 30 σXB = 0, 0015 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Xấp xỉ chuẩn phân phối nhị thức Nếu X bnn theo pp nhị thức với kỳ vọng µ = np phương sai σ = npq X − np → Z ∼ N(0, 1) n → +∞ √ npq VD 10 Xác suất bình phục bệnh nhân mắc bệnh máu 0, Nếu 100 người mắc bệnh khả có 30 người cứu sống bao nhiêu? 31 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Giải Đặt X BNN số bệnh nhân cứu sống Khi X biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức Do n = 100 đủ lớn, ta có kết xác dùng đường cong chuẩn để xấp xỉ với µ = np = 100.0, = 40, √ σ = npq = √ 100.0, 4.0, = 24 √ Vậy ta xấp xỉ X biến ngẫu nhiên chuẩn N(40; 24) X − 40 Khi Z = √ ∼ N(0, 1) 24 32 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Vậy xác suất để có 30 người cứu sống 100 bệnh nhân     30 − 40  P[X < 30] = P Z < √  24 = P[Z < −2, 05] = P[Z > 2, 05] = 0, − Φ0(2, 05) = ??? 33 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD 11 Một kì thi trắc nghiệm có 80 câu hỏi mà câu có phương án trả lời, có phương án Tính xác suất để sinh viên chọn ngẫu nhiên trả lời từ 25 đến 30 câu hỏi 80 câu hỏi 34 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Giải Xác suất để sinh viên trả lời câu 80 câu hỏi Nếu X số câu trả lời sinh viên X biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức 30 P[25 ≤ X ≤ 30] = P80(x) x=25 Khi đó: µ = np = 80 = 20, √ σ = npq = √ ⇒ X ∼ N(20, 15) 35 √ 13 80 = 15 44 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP X − 20 Đặt Z = √ ∼ N(0, 1) 15     25 − 20 30 − 20  ≤Z≤ √ P[25 ≤ X ≤ 30] = P  √  15 15 = P[1, 29 ≤ Z ≤ 2, 58] = Φ0(2, 58) − Φ0(1, 29) = ??? 36 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Sinh viên tự giải Thời gian để sản xuất sản phẩm loại A BNN tuân theo luật phân phối chuẩn với tham số µ = 10 σ = (đơn vị phút) Tính xác suất để sản phẩm loại A sản xuất khoảng thời gian từ phút đến 12 phút 37 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Đường kính loại chi tiết máy sản xuất có phân phối chuẩn với kỳ vọng 20mm, phương sai 0, 22 Tính xác suất lấy ngẫu nhiên chi tiết chi tiết (a) có đường kính khoảng 19, 9mm đến 20, 3mm (b) có đường kính sai khác với kỳ vọng khơng q 0, 3mm 38 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn N(µ, σ) Biết X lấy giá trị nhỏ 60 với xác suất 0, 1003 lấy giá trị lớn 90 với xác suất 0, 0516 Tính µ σ 39 ... gian bảo hành 22 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP 3.3 Phân phối chuẩn N(a, σ 2) N(µ, σ 2) − Bnn X gọi có phân phối chuẩn: X ∼ N(a, σ 2) , hàm mật độ X f (x) = (x−a )2 − e 2? ?2 , ∀x ∈ R 2? ?σ − Phân phối... theo BNN chuẩn tắc Z 26 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD Cho X ∼ N(300, 5 02) Tính P[X > 3 62] Giải X − 300 − Đặt Z = ⇒ Z ∼ N(0, 1) 50 − Khi X = 3 62 3 62 − 300 = 1, 24 Z= 50 − Khi P[X > 3 62] =... z tương ứng với x1 = 45 x2 = 62 45 − 50 z1 = = −0, 10 62 − 50 z2 = = 1, 10 Do P [45 < X < 62] = P [−0, < Z < 1, 2] = Φ0(1, 2) + Φ0(0, 5) = 0, 3849 + 0, 1915 = 0, 5764 28 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN