XS c2 BNN QLPP 1

ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP CHƯƠNG : BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT (PHẦN 1) Giảng viên: ThS Nguyễn Xuân Quý Email: quynx2705@gmail.com ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP NỘI DUNG CHÍNH Định nghĩa phân loại biến ngẫu nhiên (BNN) BNN rời rạc: • Bảng phân phối xác suất • Hàm phân phối xác suất • Các số đặc trưng: E[X], DX, mod(X), med(X) • Một số phân phối rời rạc thường gặp Ví dụ Bài tập ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP I BIẾN NGẪU NHIÊN (BNN) Định nghĩa − BNN đại lượng lấy giá trị số thực tùy thuộc vào kết phép thử với xác suất định − Thường kí hiệu bnn X, Y, Z, VD Gieo xúc xắc, gọi X số chấm xuất X biến ngẫu nhiên X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD Tung đồng thời đồng xu cân đối đồng chất Gọi Y số mặt ngửa xuất số đồng xu Khi Y biến ngẫu nhiên Y ∈ {0, 1, 2, 3} VD Đo (chính xác) chiều dài tất bàn học trường Gọi Z chiều dài bàn Z bnn nhận giá trị khoảng xác định ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Phân loại BNN BNN gồm hai loại: • Rời rạc : tập giá trị X hữu hạn đếm được; • Liên tục : tập giá trị X khoảng R toàn R ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD Xét phép thử: − Rút ngẫu nhiên quân từ bài, gọi X số quân bích rút Khi X ??? − Tung đồng xu liên tiếp thu mặt ngửa dừng lại Đặt W số lần tung Khi W ??? − Gọi Y tuổi thọ bóng đèn Y ??? − Gọi Z quãng đường mà ô tô với lít xăng có bình Z ??? − Gọi T chiều cao người T ??? ThS Nguyễn Xn Q TỐN CAO CẤP II BNN RỜI RẠC Bảng phân phối xác suất Giả sử X BNN rời rạc, X có bảng phân phối xác suất dạng: x x1 x2 xn P[X = x] p1 p2 pn pi = Trong đó: ≤ pi ≤ 1, ∀i i≥1 ThS Nguyễn Xuân Q TỐN CAO CẤP VD Cho bnn X có bảng pp xác suất: x −1 P[X = x] 0, 0, 0, 0, a) Tính P[X > 0] b) Tính P[|X − 1| ≤ 2] c) Lập bảng pp xác suất bnn Y = − X ThS Nguyễn Xuân Quý TỐN CAO CẤP Giải Ta có a) P[X > 0] = P[X = 1] + P[X = 4] = 0, + 0, = 0, b) P[|X − 1| ≤ 2] = P[−2 ≤ X − ≤ 2] = P[−1 ≤ X ≤ 3] = P[X = −1] + P[X = 0] + P[X = 1] = 0, + 0, + 0, = 0, c) Bảng pp xác suất bnn Y = − X: y P[Y = y] 0, 0, 0, 0, ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD Gọi X số chấm xuất ta gieo xúc xắc (cân đối, đồng chất) lần Lập bảng phân phối xác suất X Giải Ta thấy X bnn rời rạc nhận giá trị {1, 2, 3, 4, 5, 6} Do xúc xắc cân đối, đồng chất nên khả xuất mặt nhau, tức P [X = i] = , ∀i = 1, 2, , 6 x Vậy ta có bảng pp xác suất X: 10 1 1 1 P[X = x] 6 6 6 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP X ∼ G(p) Kỳ vọng: E[X] = p Phương sai: DX = 1−p p2 VD 13 Gieo xúc xắc (chuẩn) liên tiếp đến xuất mặt chấm dừng Gọi X số lần gieo a) Tính P[X = 4] b) Hỏi trung bình sau lần gieo mặt 6? 26 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Giải Với X số lần gieo thực X ∼ G 16 (do khả xuất mặt lần gieo ) 125 a) P[X = 4] = = 6 1296 b) Số lần gieo trung bình để mặt chấm Kỳ vọng X, tức 1 E[X] = = = p 27 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP 3.3 Phân phối Pốt-xơng P(λ) Bnn X gọi có phân phối Pốt-xơng với tham số λ > 0, kí hiệu X ∼ P(λ) X ∈ {0, 1, 2, } e−λ.λk P[X = k] = k! Kỳ vọng: E[X] = λ Phương sai: DX = λ Chú ý Cơng thức Pốt-xơng dùng xấp xỉ cho công thức Becnulli n lớn p bé: k.e−λ λ Pn(k) = Cnkpk(1 − p)n−k , k! 28 với λ = np ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD 14 Sản phẩm nhà máy có tỉ lệ phế phẩm 0, 02% Chọn ngẫu nhiên liên tiếp có hồn lại 10.000 sản phẩm Tính xác suất để 10.000 sản phẩm chọn có sản phẩm phế phẩm Giải Tính trực tiếp Xác suất cần tính là: P(A) = P10000(5) = C5 (0, 02%)5(99, 98%)9995 10000 29 0, 036 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP n = 10000, p = 0, 02%, k=5 Tính xấp xỉ Pốt-xơng Từ n = 10000, p = 0, 02% suy λ = np = Xác suất cần tính là: P(A) = P10000(5) λk.e−λ 25.e−2 = 5! k! 30 0, 036 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP III HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BNN Cho X BNN x số thực Hàm phân phối xác suất X điểm x (kí hiệu: F(x)) xác suất để X nhận giá trị nhỏ x: F(x) = P[X < x] Chú ý Hàm phân phối sử dụng cho BNN liên tục BNN rời rạc Chú ý Nếu X rời rạc F(x) = 31 xi F(x) = 0, + 0, + 0, = 32 ; F(5) = ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Vậy hàm phân phối X      x ≤ −1          − < x ≤   0, F(x) =       0, < x ≤         x > 1 Đồ thị hàm F(x) có dạng bậc thang 33 ThS Nguyễn Xn Q TỐN CAO CẤP VD 16 Xét bnn X có bảng pp xác suất: X 10 11 2 1 p 12 12 12 12 12 12 12 Khi • x ≤ ⇒ F(x) = P[X < x] = • < x ≤ ⇒ F(x) = P[X < x] = P[X = 5] = 12 • < x ≤ ⇒ F(x) = P[X < 7] = P[X = 5] + P[X = 6] = + = 12 12 12 • ( tương tự) 34 ThS Nguyễn Xuân Quý                                   Suy F(x) =                                  TOÁN CAO CẤP x ≤ 12 12 12 12 10 12 11 12 < x ≤ x > 11 < x ≤ < x ≤ < x ≤ < x ≤ 10 10 < x ≤ 11 35 ThS Nguyễn Xn Q TỐN CAO CẤP Tính chất hàm phân phối • ≤ F(x) ≤ • Không giảm: x2 > x1 ⇒ F(x2) ≥ F(x1) • P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a) • F(x) liên tục trái: lim F(x) = F(b) x→b− • lim F(x) = 0, x→−∞ lim F(x) = x→+∞ Ý nghĩa hàm phân phối Phản ánh mức độ tập trung xác suất bên trái số thực x 36 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD 17 Giả sử X có hàm phân phối sau:       x ≤ −1      3 F(x) =  + x − < x ≤    4       x >  1 Tìm xác suất để X nhận giá trị miền 0, − 2, 37 ThS Nguyễn Xuân Quý            3 F(x) =  + x    4        TOÁN CAO CẤP x ≤ −1 − < x ≤ x > Giải Vì P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a) nên 1 3 P 0≤X< =F − F(0) = 1+ − = 3 4 1 15 P −2 ≤ X < =F − F(−1) = 1+ −0= 4 4 16 38 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Sinh viên tự giải Một hộp đựng cầu xanh cầu đỏ Lấy ngẫu nhiên cầu Gọi X số cầu xanh lấy a) Lập bảng phân phối xác suất X b) Lập hàm phân phối xác suất X c) Tính P[−1 ≤ X ≤ 2, 5] d) Tính kỳ vọng, phương sai X e) Tìm mod(X) med(X) f) Đặt Y = max {X, 2} Tính kỳ vọng Y 39 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP Ba xạ thủ bắn vào mục tiêu, người bắn phát với xác suất trúng 0, 6; 0, 7; 0, Gọi X số viên đạn trúng mục tiêu a) Lập bảng phân phối xác suất X b) Lập hàm phân phối xác suất X c) Tính P X ≤ d) Tính kỳ vọng, phương sai X e) Tìm mod(X) med(X) f) Đặt Y = 2X − 3X + Tính kỳ vọng Y 40 ... = 12 Ta thấy X bnn X ∈ {5; 6; 7; 8; 9; 10 ; 11 } Ta có • P(X = 5) = 12 • P(X = 8) = 12 P(X = 6) = 12 P(X = 9) = 12 11 P(X = 7) = 12 ThS Nguyễn Xuân Q TỐN CAO CẤP • P(X = 10 ) = 12 P(X = 11 ) = 12 ... CẤP x ≤ 12 12 12 12 10 12 11 12 < x ≤ x > 11 < x ≤ < x ≤ < x ≤ < x ≤ 10 10 < x ≤ 11 35 ThS Nguyễn Xuân Q TỐN CAO CẤP Tính chất hàm phân phối • ≤ F(x) ≤ • Không giảm: x2 > x1 ⇒ F(x2) ≥ F(x1) • P(a... x ≤         x > ? ?1 Đồ thị hàm F(x) có dạng bậc thang 33 ThS Nguyễn Xuân Quý TOÁN CAO CẤP VD 16 Xét bnn X có bảng pp xác suất: X 10 11 2 1 p 12 12 12 12 12 12 12 Khi • x ≤ ⇒ F(x) = P[X