giáo án dạy thêm toán 8 theo chủ đề

giáo án dạy thêm toán 8 theo chủ đề; giáo án dạy thêm toán 8 theo chủ đề; giáo án dạy thêm toán 8 theo chủ đề; giáo án dạy thêm toán 8 theo chủ đề; giáo án dạy thêm toán 8 theo chủ đề; giáo án dạy thêm toán 8 theo chủ đề; giáo án dạy thêm toán 8 theo chủ đề; giáo án dạy thêm toán 8 theo chủ đề; giáo án dạy thêm toán 8 theo chủ đề;

CHỦ ĐỀ 1: PHÉP NHÂN ĐƠN THỨC - ĐA THỨC A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: Muốn nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với A(B + C) = AB + AC Quy tắc nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD B CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Thực phép nhân: a) (- 2x)(x3 – 3x2 – x + 1) b) (- 10x3 + 1 y - z )( xy ) c) (x3 + 5x2 – 2x + 1)(x – 7) Giải a) (- 2x)(x3 – 3x2 – x + 1) = - 2x4 + 3x3 + 2x2 – 2x b) (- 10x3 + 1 y - z )( xy ) = 5x4y – 2xy2 + xy 5 c) (x3 + 5x2 – 2x + 1)(x – 7) = x4 – 2x3 – 37x2 + 15x – Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: x(x – y) + y(x + y) x = - y = Giải Ta có: x(x – y) + y(x + y) = x2 – xy + xy + y2 = x2 + y2 Khi x = - 1 y = 3, giá trị biểu thức là: ( - )2 + 32 = 2 Chú ý: Trong dạng tập « TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC », việc thực phép nhân rút gọn thay giá trị biến vào làm cho việc tính tốn giá trị biểu thức dễ dàng thường nhanh Ví dụ 3: Tính C = (5x2y2)4 = 54 (x2)4 (y2)4 = 625x8y8 Chú ý: Lũy thừa bậc n đơn thức nhân đơn thức cho n lần Để tính lũy thừa bậc n đơn thức, ta cần: - Tính lũy thừa bậc n hệ số - Nhân số mũ chữ cho n Ví dụ 4: Chứng tỏ đa thức sau không phụ thuộc vào biến: a) F = x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 3) b) G = 4(x – 6) – x2(2 + 3x) + x(5x – 4) + 3x2(x – 1) Giải a) Ta có: F = x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 3) = 2x2 + x – x3 – 2x2 + x3 – x + = Kết số, đa thức không phụ thuộc vào giá trị x b) Ta có: G = 4(x – 6) – x2(2 + 3x) + x(5x – 4) + 3x2(x – 1) = 4x – 24 – 2x2 – 3x3 + 5x2 – 4x + 3x3 – 3x2 = - 24 Kết số, đa thức không phụ thuộc vào giá trị x Ví dụ 5: Tìm x, biết: a) 5x(12x + 7) – 3x(20x – 5) = - 100 b) 0,6x(x – 0,5) – 0,3x(2x + 1,3) = 0,138 Giải a) 5x(12x + 7) – 3x(20x – 5) = - 100  60x2 + 35x – 60x2 + 15x = -100  50x = -100 => x = - b) 0,6x(x – 0,5) – 0,3x(2x + 1,3) = 0,138  0,6x2 – 0,3x – 0,6x2 – 0,39x = 0,138  -0,69x = 0,138 => x = 0,2 DẠNG BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ DẠNG 1/ THỰC HIỆN PHÉP TÍNH: * Phương pháp: Thực nhân ĐƠN THỨC với ĐA THỨC ; nhân ĐA THỨC với ĐA THỨC để thực phép tính * Bài tập vận dụng: 1) 3x2(2x3 – x + 5) 3) (3x2y – 6xy + 9x)(- 2) (4xy + 3y – 5x)x2y xy) 4) - 5) (x3 + 5x2 – 2x + 1)(x – 7) xz(- 9xy + 15yz) + 3x2 (2yz2 – yz) 6) (2x2 – 3xy + y2)(x + y) 7) (x – 2)(x2 – 5x + 1) – x(x2 + 11) 8) [(x2 – 2xy + 2y2)(x + 2y) - (x2 + 4y2)(x – y)] 2xy 9) -3ab.(a2 - 3b) 10) (x2 – 2xy + y2 )(x - 2y) 11) (x + y + z)(x – y + z) 12) 12a2b(a - b)(a + b) 13) (2x2 - 3x + 5)(x2 - 8x + 2) DẠNG 2: TỐN TÌM x * Phương pháp: - Thực nhân ĐƠN THỨC với ĐA THỨC ; nhân ĐA THỨC với ĐA THỨC - Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử không chứa ẩn (hằng số) sang vế phải - Từ tìm x * Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm x biết a) 1 x  ( x  4) x  14 2 b) 3(1 - 4x)(x - 1) + 4(3x - 2)(x + 3) = - 27 c) (x + 3)(x2 - 3x + 9) – x(x - 1)(x+1) = 27 d) 6x(5x + 3) + 3x(1 – 10x) = e) (3x – 3)(5 – 21x) + (7x + 4)(9x – 5) = 44 f) (x + 1)(x + 2)(x + 5) – x2(x + 8) = 27 Bài 2: Tìm x biết: (-2 + x2) (-2 + x2) (-2 + x2) (-2 + x2) (-2 + x2) = Hướng dẫn Một biểu thức mà có lũy thừa bậc lẻ số phải (-2 + x2)5 = => (-2 + x2) = hay x2 = Vậy x = x = - Bài 3: Cho đa thức: f(x) = 3x2 – x + g(x) = x – a)Tính f(x).g(x) b)Tìm x để f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] = Hướng dẫn a) Ta có: f(x).g(x) = (3x2 – x + 1)(x – 1) = 3x3 – 3x2 – x2 + x + x – = 3x3 – 4x2 + 2x – b) Ta có: f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] = (3x3 – 4x2 + 2x – ) + x2[1 – 3(x – 1)] = 3x3 – 4x2 + 2x – + x2(1 – 3x + 3) = 3x3 – 4x2 + 2x – + x2 – 3x3 + 3x2 = 2x – Do f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] =  2x – = 7 5  2x = +  2x =  x= 2 DẠNG 3: RÚT GỌN RỒI TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC: * Phương pháp: - Thực nhân ĐƠN THỨC với ĐA THỨC ; nhân ĐA THỨC với ĐA THỨC - Cộng (trừ) đơn thức đồng dạng với để có dạng rút gọn biểu thức - Thay giá trị biến vào biểu thức rút gọn để tính giá trị biểu thức * Bài tập vận dụng Bài 1: Tính giá trị biểu thức: E = x(x – y) + y(x + y) x = - y = Giải Ta có: E = x(x – y) + y(x + y) = x2 – xy + xy + y2 = x2 + y2 Khi x = - 1 y = 3, giá trị biểu thức E = ( - )2 + 32 = 2 Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau : A = 5x(4x2 - 2x + 1) – 2x(10x2 - 5x - 2) với x = 15 B = 5x(x - 4y) - 4y(y - 5x) với x = 1 ;y=  C = 6xy(xy – y2) - 8x2(x - y2) - 5y2(x2 - xy) với x = D = (y2 + 2)(y - 4) – (2y2 + 1)( y – 2) với y = - ; y = 2 DẠNG 4: CM BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ * Phương pháp: - Thực nhân ĐƠN THỨC với ĐA THỨC ; nhân ĐA THỨC với ĐA THỨC - Cộng (trừ) đơn thức đồng dạng với để rút gọn biểu thức - Nếu biểu thức sau rút gọn số kết luận biểu thức hông phụ thuộc vào biến số * Bài tập vận dụng Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số: A = (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (x - 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + D = x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 3) E = 4(x – 6) – x2(2 + 3x) + x(5x – 4) + 3x2(x – 1) DẠNG 5: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC: * Phương pháp: - Thực nhân ĐƠN THỨC với ĐA THỨC ; nhân ĐA THỨC với ĐA THỨC để biến đổi vế phức tạp đẳng thức cho kết vế lại, đẳng thức chứng minh - Nếu hai vế đằng thức phức tạp, ta biến đổi đồng thời vế đẳng thức cho chúng biểu thức thứ ba, lấy biểu thức vế trái trừ biểu thức vế phải biến đổi có kết chứng tỏ đẳng thức cho chứng minh * Bài tập vận dụng Bài 1: Chứng minh đẳng thức sau: a) a(b – c) – b(a + c) + c(a – b) = - 2bc b) a(1 – b)+ a(a2 – 1) = a(a2 – b) c) a(b – x) + x(a + b) = b(a + x) Hướng dẫn a) a(b – c) – b(a + c) + c(a – b) = - 2bc VT = a(b – c) – b(a + c) + c(a – b) = ab – ac – ab – bc + ac – bc = - 2bc = VP Vậy đẳng thức chứng minh b) a(1 – b)+ a(a2 – 1) = a(a2 – b) VT = a – ab + a3 – a = a3 – ab = a(a2 – b) = VP Vậy đẳng thức chứng minh c) a(b – x) + x(a + b) = b(a + x) VT = ab – ax + ax + bx = ab + bx = b(a + x) = VP Vậy đẳng thức CM Bài 2: Chứng minh đẳng thức sau: a) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = a3 + b3 + c3 – 3abc b) (3a + 2b – 1)(a + 5) – 2b(a – 2) = (3a + 5)(a + 3) + 2(7b – 10) Bài 3: Cho a + b + c = 2p CMR 2bc + b2 + c2 – a2 = 4p(p – a) Hướng dẫn Xét VP = 4p(p – a) = 2p (2p – 2a) = (a + b + c) (a + b + c – 2a) = (a + b + c)(b + c – a ) = (ab + ac – a2 + b2 + bc – ab + bc + c2 – ac ) = b2 + c2 + 2bc – a2 = VT Vậy đẳng thức c/m DẠNG 6: TOÁN LIÊN QUAN VỚI NỘI DUNG SỐ HỌC * Phương pháp: Bài toán thường gặp: Tìm số tư nhiên; tìm số tự nhiên liên tiếp; thỏa mãn yêu cầu Chú ý: - Có thể gọi số tự nhiên liên tiếp là: n ; n + 1; n + 2; n + ; - Có thể gọi số tự nhiên chẵn liên tiếp là: 2n ; 2n + 2; 2n + ; 2n + ; - Có thể gọi số tự nhiên lẻ liên tiếp là: 2n + ; 2n + 3; 2n + ; * Bài tập vận dụng Bài Tìm số chẵn liên tiếp, biết tích hai số đầu tích hai số cuối 192 đơn vị Bài Tìm số tự nhiên liên tiếp, biết tích hai số đầu tích hai số cuối 146 đơn vị DẠNG 7: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CĨ QUY LUẬT (TỐN NÂNG CAO) Bài1/ Tính giá trị của: M  1 432 (2  )  229 433 229 433 229.433 Bài 2/ Tính giá trị biểu thức : N  1 118    117 119 117 119 117.119 39 Bài 3/ Tính giá trị biểu thức : a) A = 5x5 - 5x4 + 5x3 - 5x2 + 5x - x = b) B = x2006 – 8.x2005 + 8.x2004 - +8x2 - 8x – x = Bài 4: Tính giá trị biểu thức: M = x10 – 25x9 + 25x8 – 25x7 + … - 25x3 + 25x2 – 25x + 25 với x = 24 Hướng dẫn Thay 25 = x + ta được: M = x10 - (x + 1)x9 + (x + 1)x8 – (x + 1)x7 + … - (x + 1)x3 + (x + 1)x2 – (x + 1)x + 25 M = x10 – x10 – x9 + x9 + x8 – x8 – x7 + … - x4 – x3 + x3 + x2 – x2 – x + 25 M = 25 – x Thay x = 24 ta được: M = 25 – 24 = Bài 7: Tính giá trị biểu thức sau: a) A = x3 – 30x2 – 31x + , x = 31 b) B = x5 – 15x4 + 16x3 – 29x2 + 13x , x = 14 Hướng dẫn a) Vì x = 31 , nên thay 30 = x – 1, ta có A = x3 – (x – 1)x2 – x.x + = x3 – x3 + x2 – x2 + = Vậy với x = 31 A = b) Vì x = 14 , nên thay 15 = x + ; 16 = x + ; 29 = 2x + ; 13 = x -1, ta có B = x5 – (x + 1)x4 + (x + 2)x3 – (2x + 1)x2 + x(x – 1) = x5 – x5 – x4 + x4 + 2x3 – 2x3 – x2 + x2 – x = -x Vậy với x = 14 B = - 14 DẠNG 8: BÀI TOÁN CHỨNG MINH CHIA HẾT * Phương pháp: Muốn chứng minh biểu thức A chia hết cho số a ta làm sau: - Dùng tính chất chia hết: + Cần chứng minh chia hết cho => chứng minh A có dạng 2k + Cần chứng minh chia hết cho => chứng minh A có dạng 3k + Cần chứng minh chia hết cho => chứng minh A có dạng 2k + Cần chứng minh chia hết cho a => chứng minh A có dạng a.k - Kết hợp tính chất chia hết tổng (một hiệu) cho số * Bài tập vận dụng: Bài 1/ a) CMR với số nguyên n : (n2 - 3n + 1)(n + 2) – n3 + chia hết cho b) CMR với số nguyên n : (6n + 1)(n+5) –(3n + 5)(2n – 10) chia hết cho Đáp án: a) Rút gọn BT ta 5n2 + 5n chia hết cho b) Rút gọn BT ta 24n + 10 chia hết cho Bài 2: CMR a) 817 – 279 – 913 chia hết cho 405 b) 122n + + 11n + chia hết cho 133 Hướng dẫn a) 817 – 279 – 913 chia hết cho 405 Ta có: 817 – 279 – 913 = (34)7 – (33)9 – (32)13 = 328 – 327 – 326 = 326(9 – – 1) = 326 = 34.5.322 = 405 322 => chia hết cho 405 Hay 817 – 279 – 913 chia hết cho 405 b) 122n + + 11n + chia hết cho 133 Ta có: 122n + + 11n + = 122n 12 + 11n 112 = 12 144n + 121 11n = 12.144n – 12.11n + 12.11n + 121.11n = 12(144n – 11n) + 11n(12 + 121) = 12.(144 – 11) M + 133.11n M biểu thức Mỗi số hạng chia hết cho 133, nên 122n + + 11n + chia hết cho 133 Bài 3: Cho x số gồm 22 chữ số 1, y số gồm 35 chữ số CMR: xy – chia hết cho Hướng dẫn Vì x gồm 22 chữ số nên x chia cho dư 1, hay x có dạng: x = 3n + (n  Z) Vì y gồm 35 chữ số nên y chia cho dư 2, hay y có dạng: y = 3m + (m  Z) Khi xy – = (3n + 1)(3m + 2) – = 9n.m + 6n + 3m + – = 3(3n.m + 2n + m) = 3k ; với k = 3n.m + 2n + m  Z Vậy xy – chia hết cho Bài 4: Cho biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a) Rút gọn biểu thức 7A – 2B b) CMR: Nếu số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 9x + 7y chia hết cho 17 Hướng dẫn a) Ta có: 7A – 2B = 7(5x + 2y) – 2(9x + 7y) = 35x + 14y – 18x – 14y = 17x b) Nếu có x, y thỏa mãn A = 5x + 2y chia hết cho 17 , ta c/m B = 9x + 7y chia hết cho 17 Ta có 7A – 2B = 17x  17 Mà A  17 nên 7A  17 Suy 2B  17 Mà (2,17) = Suy B  17 PHẦN LUYỆN TẬP Bài Làm tính nhân: a) 3x(5x2 - 2x - 1); b) (x2 - 2xy + 3)(-xy); c) 2 x y(2x3 - xy2 - 1); d) x(1,4x - 3,5y); e) xy( x2 - xy + y2); f)(1 + 2x - x2)5x; Bài Đơn giản biểu thức tính giá trị chúng 3 a) 3(2a - 1) + 5(3 - a) với a = b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) với x = 2,1 c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - với a = -0,2 d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) với b = Bài Thực phép tính sau: a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y; b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a); c) 2p p2 -(p3 - 1) + (p + 3) 2p2 - 3p5; d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a) Bài Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3); b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2); Bài Chứng minh biểu thức sau 0; a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y); b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x) Bài Thực phép tính: a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1); c) b) (x - 1)(x + 1)(x + 2); 2 x y (2x + y)(2x - y); 2 d) ( x - 1) (2x - 3); e) (x - 7)(x - 5); f) (x - 1 )(x + )(4x - 1); 2 Bài Chứng minh: a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1; b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3; Bài Thực phép nhân: a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4); b) ( 2b2 - - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b); Bài Viết biểu thức sau dạng đa thức: a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a); b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b); c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b); d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x); Bài 10 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến y: a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1); Bài 11 Tìm x, biết: a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4); b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1); c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1); d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2); e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2) CHUYÊN ĐỀ 1: TỨ GIÁC VÀ HÌNH THANG A/ LÝ THUYẾT I/ Tứ giác * Tứ giác ABCD hình gồm đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, hai đoạn thẳng khơng nằm đường thẳng * Tứ giác lồi tứ giác ln nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác * Định lý: Tổng góc tứ giác 1800 II/ Hình thang Định nghĩa: AB // CD � Tứ giác ABCD hình thang � � BC // AD � 2.Tính chất: Nếu hình thang có hai cạnh đáy hình bình hành Hình thang vng: Hình thang vng hình thang có hai góc vng Hình thang cân �AB // CD � �� � C=D Tứ giác ABCD hình thang cân � �� �� �=B � � A �� * Tính chất: Trong hình thang cân: + Hai cạnh bên + Hai đường chéo 10 a) Chứng minh DE song song với AB b) Điểm C vị trí DE đường trung bình tam giác ABC ? Hướng Dẫn: a) OD đường phân giác AOC nên DC OC  DA OA OE đường phân giác BOC nên EC OC  (2) EB OB Ta lại có OA  OB DC EC  Nên từ  1 ,  ,  suy , DE // A B DA EB b) DE đường trung bình tam giác ABC � DC  DA � OC  OA (1) Bài 8: Cho tam giác ABC có phân giác AM, BN, CP cắt I Chứng minh a) AP BM CN 1 AP BC CA b) MI NI PI   1 MA NB PC Hướng Dẫn: a) Ta có AM phân giác góc A Theo tính chất đường phân giác tam giác, ta có MB AB  MC AC Tương tự đường phân giác BN, CP ta có NC BC PA CA  ;  NA BA PB CB Do MB NC PA AB BC CA � �  � � 1 MC NA PB AC BA CB 398 Vậy AP BM CN 1 AP BC CA b) Gọi a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB Trong ABM BI phân giác ứng với cạnh AM nên MI BM BM MI BM MI BM   �  �  IA BA c MI  IA BM  c MA BM  c (1) Trong ACM CI phân giác ứng với cạnh AM nên MI CM CM MI CM MI CM   �  �  IA CA b MI  IA CM  b MA CM  b MI a  BM  MA a  BM  b Mà CM = BC – BM = a – BM Nên So sánh (1) (2) ta có � MI a  MA a  b  c (2) MI BM a  BM BM  a  BM    MA BM  c a  BM  b BM  c  a  BM  b Chứng minh tương tự ta có NI b  BN a  b  c PI c  CP a  b  c MI NI PI a b c a bc       1 Suy MA BN CP a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c MI NI PI   1 Vậy MA NB PC � Bài 9: Cho tam giác ABC, phân giác AD Phân giác giác ADC cắt AC F, phân � giác ADB cắt AB E Chứng minh a) AF BE AB  AE CF AC b) AF.BE.CD = AE.BD.CF Hướng Dẫn: a) Áp dụng tính chất đường phân giác ta có BE BD  (1) AE AD AF AD  (2) FC DC Nhân (1) với (2) vế theo vế ta được: Do AD phân giác góc A nên AF BE AD BD BD �   FC AE DC AD DC BD AB  DC AC 399 Vậy AF BE AB  AE CF AC b) Nhân (1) với (2) vế theo vế ta AF BE AD BD AF BE DC AD BD DC �  � � �  � 1 FC AE DC AD FC AE BD DC AD BD AF BE DC � � 1 Hay FC AE BD Vậy AF.BE.CD = AE.BD.CF Bài 10: Cho tam giác ABC, phân giác BD, CE Chứng minh a)Nếu DE//BC tam giác ABC cân A b)Nếu tam giác ABC cân A DE//BC Hướng Dẫn: a) Giả sử DE//BC ta có AE AD  EB DC (1) Mặt khác, BD phân giác góc B nên ta có AD AB  CE phân giác góc C DC BC AE AC  EB BC AC AB  � AC  AB Suy BC BC nên ta có Nên ABC cân A b) Giả sử ABC cân A � AC  AB Ta có BD phân giác góc B AD AB AE AC   nên ta có CE phân giác góc C nên ta có EB BC DC BC Mặt khác AC  AB AE AD � DE//BC  EB DC Suy � Bài 11: Cho hình bình hành ABCD ( AB  AD, A  900 ) Trên tia đối tia CD lấy điểm ^ ^ E cho DBC  CBE Đường thẳng BE cắt đường thẳng AD M Đường thẳng CM cắt AB F, BD K Chứng minh a) CK  KF KM 1   CK CF CM BF BE  c) FA BD b) 400 Hướng Dẫn: CK KB  KM KD FK KB  Ta lại có FB//DC � KC KD FK KC  � CK  KF KM Suy KC KM a)Ta có BC//DM � b)Ta có BC//DM � CK KB  (1) CM BD Ta lại có FB//DC � CK KD  (2) CF BD Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta : Vậy CK CK KD KB BD     1 CF CM BD BD BD 1   CF CM CK ^ ^ c) Ta có DBC  CBE suy BC phân giác góc B CE BE  (3) DC BD FB MF  Mặt khác, ta có FB//CE � CE FC FA MF  AF//DC � CD FC FA BF BF CE  � CD.BF  FA.CE �  Suy CD CE FA CD BF BE  Từ (3) (4) suy FA BD Theo tính chất phân giác ta có (4) Bài 12: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), vẽ đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D cho HD = AH Đường thẳng vuông góc với BC D cắt AC E Gọi M trung điểm BE, tia AM cắt BC G Chứng minh: Hướng Dẫn: 401 BG HD  BC AH  HC BG HD  BC AH  HC BC AH  HC HC  1 BG HD HD BC HC BC  BG HC GC HC � 1  �  �  BG HD BG HD GB HD � Ta chứng minh: HC GC HC AC   Ta có: DE // AH � HD GB HD AE Dựng đường thẳng qua E vng góc AH I, suy HIED hình chữ nhật �  HBA � IE = HD = HA; IAE hai tam giác vng IEA HBA HC AC AC � AE  AB �   HD AE AB � Vì M trung điểm BE, tam giác ABE cân A nên AM tia phân giác góc BAC � hay G chân đường phân giác góc BAC tam giác ABC Từ ta có: GC AC HC AC AC GC     Vậy � GB AB HD AE AB GB Bài 13: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD, BE, CF Biết BC  36cm, CA  30cm, AB  18cm Tính độ dài đoạn BD, DC, EA, EC, FA, FB Hướng Dẫn: $ Bài 14: Cho tam giác ABC, BC  10cm,CA  6cm,AB  8cm Đường phân giác B � cắt cạnh AC AB D E C a) Tính độ dài đoạn thẳng AE, EB, AD, DC b) Trên cạnh BC lấy điểm K cho BK  40 cm Chứng minh ba đường thẳng AK, BD, CE đồng quy Hướng Dẫn: a) Học sinh tự giải b) Ta lập tỉ số BK BA   ; Từ ta có AK phân giác góc �A Nên suy CK CA ĐPCM � Bài 15: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Phân giác AMB cắt AB D, phân giác � góc AMC cắt AC E a) Chứng minh DE song song với BC b) Gọi I giao điểm DE với AM Chứng minh I trung điểm DE Hướng Dẫn: 402 a) Xét tam giác AMB, phân giác MD, có Tương tự ta chứng minh Từ ta có AD AM  BD BM AE AM  CE CM AE AD  CE BD Suy DE//BC b) Vì DE//BC nên DI AI IE   BM AM MC Mà MB = MC, suy DI = IE Bài 16: Cho tam giác ABC vuông A, AB  6cm,AC  8cm, đường phân giác BD a) Tính độ dài DA, DC � cắt BD I Gọi M trung điểm BC Chứng minh b) Tia phân giác C �  900 BIM Hướng Dẫn: a) Học sinh tự thực b) Từ phần a, ta có: MB = MC = 5cm Suy CID  CIM �  IDC � Nên IMC � , góc ngồi nên ta có: Trong tam giác BIM, có IMC �  BIM �  IBM � IMC �  BAD � � Tương tự, IDC ABD � � � Vậy BIM  IBM  BAD  900 Bài 17: Cho tam giác ABC có BC  15cm,CA  18cm,AB  12cm Gọi I G tâm đường tròn nội tiếp trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh IG song song với BC b) Tính độ dài đoạn thẳng IG Hướng Dẫn: 403 Gọi M trung điểm BC.AD tia phân giác góc BAC (D nằm BC) Tính CD = 9cm Trong tam giác ACD, phân giác CI, ta có: AI AC 18    DI CD AG  MF AG AI  Nên ta suy từ có ĐPCM MG DI Ta chứng minh b) Ta tính DM = 1,5cm Vì IG//DM, nên IG AG 2   � IG  DM  1cm DM AM 3 Bài 18: Cho tam giác ABC cân A, BC = 8cm, phân giác góc B cắt đường cao AH K, AK  AH a) Tính độ dài AB b) Đường thẳng vng góc với BK cắt AH E Tính EH Hướng Dẫn: a) AB = 6cm b) EH = 8,94 cm Bài 19: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = m, AC = n; AD đường phân giác góc A Tính tỉ số diện tích tam giác ABD tam giác ACD Hướng Dẫn: SABD m  SACD n Bài 20: Cho tam giác ABC cân A, phân giác BD, BC = 10cm, AB = 15cm a) Tính AD, DC b) Đường phân giác ngồi góc B tam giác ABC cắt đường thẳng AC D Tính DC Hướng Dẫn: a) DA = 9cm, DC = 6cm b) DC = 10cm Bài 21: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM đường phân giác AD a) Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) diện tích ABC S b) Cho n = 7cm, m = 3cm Diện tích tam giác ADM chiếm phần trăm diện tích tam giác ABC? Hướng Dẫn: a) SADM  n m S 2(m n) ABC b) SADM  20%SABC Bài 22: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Gọi G trọng tâm tam giác ABC, O giao điểm hai đường phân giác BD, AE 404 a) Tính độ dài đoạn thẳng AD b) Chứng minh OG // AC Hướng Dẫn: a) AD  2,5cm b) OG // DM  OG // AC Bài 23: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, đường phân giác góc AMB cắt AB D, đường phân giác góc AMC cắt cạnh AC E Chứng minh DE // BC Hướng Dẫn: DA EA  � DE P BC DB EC Bài 24: Cho tam giác ABC (AB < AC), AD phân giác góc A Qua trung điểm E cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh AC F, cắt đường thẳng AB G Chứng minh CF = BG Hướng Dẫn: BG BE.CD.BA CD.AB    CF BD.CE.AC BD.AC Bài 25: Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC Đường phân giác góc AIB cắt cạnh AB M Đường phân giác góc AIC cắt cạnh AC N a) Chứng minh MM // BC b) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN = AI? c) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN  AI? Hướng Dẫn: a) Chứng minh AM AN  BM CN Bài 26: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn DC, góc D = 600 Đường phân giác góc D cắt đường chéo AC I, chia AC thành hai đoạn theo tỉ số cắt đáy AB M 11 Tính cạnh đáy AB, DC, biết MA – MB = 6cm Hướng Dẫn: Chứng minh DC = AB + AD  DC = AB + AM  MB   DC = 66cm, AB = MA 42cm Bài 27: Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng cắt AB E, AD F cắt đường chéo AC G Chứng minh hệ thức: AB AD AC   AE AF AG Hướng Dẫn: Vẽ DM // EF, BN // EF Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ADM, ABN Bài 28: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh CD lấy điểm N cho DN = BM Chứng minh ba đường thẳng MN, DB, AC đồng quy Hướng Dẫn: Bài 29: a) Chứng minh tia qua đỉnh góc tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng tia phân giác góc b) Cho tam giác ABC có �A  120o , đường phân giác AD, BE , CF Chứng minh �  90o EDF Hướng Dẫn: 405 Kẻ BE //AD �E  � B1 DB AE DB AB   Theo giả thiết ta có Suy AE  AB Do DC AC DC AC � � A1 , từ � A1  �A2 Ta lại có AD//BE nên �E  �A2 ,B Chú ý: Bài tốn định lý đảo tính chất đường phân giác tam giác b) Qua C vẽ đường thẳng song song với DA, cắt BA K Dễ thấy ACK tam giác DA CK CA FA    , DB CB CB FB Do DF tia phân giác góc ADB (theo kết câu a) Chứng minh tương tự, DE tia phân giác góc ADC Vậy � EDF  90 o (vì DE, DF tia phân giác hai góc kề bù) Ta có: Chú ý: Cách giải khác dùng kiến thức lớp 7:  ABD có AE phân giác góc ngồi, BE phân giác góc nên DE phân giác góc ngồi Vậy DE phân giác góc ADC Tương tự DF phân giác góc ADB Do � EDF  90 o Bài tâp nâng cao Bài : Cho tam giác ABC vuông A có AH đường cao (H thuộc BC), N trung điểm AB Biết AB=6cm, AC=8cm � (K thuộc BC) Tính AK? a) Vẽ AK tia phân giác góc BAC b) Gọi E hình chiếu vng góc H lên AC T điểm đối xứng N qua I với I giao điểm CN HE Chứng minh tứ giác NETH hình bình hành Hướng Dẫn: 406 a) Theo tính chất chân đường phân giác ta có: KC AC CK   �  KB AB CB Gọi K’ hình chiếu vng góc K lên AC, suy KK’ // AB Theo định lí Talet ta có: KK' CK 4 24   � KK'  AB   (cm) AB CB 7 7 Mặt khác, tam giác AKK’ vuông cân K’ nên: AK  KK’  24 2(cm) b) Ta chứng minh I trung điểm HE Vì HE  AC nên HE // BA Theo định lí Talet ta có: IE CI IH   NA CN NB Vì NA = NB nên IE = IH Do I trung điểm HE Theo giả thiết I trung điểm NT Tứ giác NETH có hai đường chéo NT EH có chung trung điểm I nên NETH hình bình hành � < 600 phân giác AD Bài 2: Cho  ABC, có B a) Chứng minh AD < AB b) Gọi AM phân giác  ADC Chứng minh BC > DM Hướng Dẫn: � � � � � =C � + A > A + C = 180 - B  600 a)Ta có ADB 2 � >B � � AD < AB � ADB b) Gọi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d Trong  ADC, AM phân giác ta có DM AD DM AD DM AD � = = � = CM AC CM + DM AD + AC CD AD + AC 407 abd CD.AD CD d ab  ; CD = ( Vận dụng 1) � DM = (b + c)(b + d) AD + AC b + d b+c 4abd Để c/m BC > DM ta c/m a > (b + c)(b + d) hay (b + d)(b + c) > 4bd (1) Thật : c > d � (b + d)(b + c) > (b + d)2 �4bd Bất đẳng thức (1) c/m Bài 3:Cho  ABC, trung tuyến AM, tia phân giác góc AMB , AMC cắt AB, � DM = AC theo thứ tự D E a) Chứng minh DE // BC b) Cho BC = a, AM = m Tính độ dài DE c) Tìm tập hợp giao diểm I AM DE  ABC có BC cố định, AM = m khơng đổi d)  ABC có điều kiện DE đường trung bình Hướng Dẫn: DA MB �  a) MD phân giác AMB nên (1) DB MA EA MC �  ME phân giác AMC nên (2) EC MA DA EA � DE // BC  Từ (1), (2) giả thiết MB = MC ta suy DB EC x DE AD AI m  b) DE // BC � Đặt DE = x � x  � x = 2a.m BC AB AM a m a + 2m a.m c) Ta có: MI = DE = không đổi a + 2m � I cách M đoạn không đổi nên tập hợp điểm I đường tròn tâm a.m M, bán kính MI = (Trừ giao điểm với BC) a + 2m d) DE đường trung bình  ABC � DA = DB � MA = MB �  ABC vuông A Bài 4: Cho  ABC ( AB < AC) phân giác BD, CE a) Đường thẳng qua D song song với BC cắt AB K, chứng minh E nằm B K b) Chứng minh: CD > DE > BE Hướng Dẫn: 408 a) BD phân giác nên AD AB AC AE AD AE = < = �  (1) DC BC BC EB DC EB AD AK  Mặt khác KD // BC nên (2) DC KB AK AE AK + KB AE + EB  �  Từ (1) (2) suy KB EB KB EB AB AB �  � KB > EB � E nằm K B KB EB b)Gọi M giao điểm DE CB � = KDB � (Góc so le trong) � KBD � = KDB � Ta có CBD � > EDB � � KBD � > EDB � � EBD � > EDB � � EB < DE Mà E nằm K B nên KDB � + ECB � = EDB � + DEC � � > ECB � � DEC � > DCE � � � ) � DEC Ta lại có CBD (Vì DCE = ECB Suy CD > ED � CD > ED > BE Bài 5: Cho  ABC với ba đường phân giác AD, BE, CF Chứng minh a DB EC FA 1 DC EA FB 1 1 1      AD BE CF BC CA AB Hướng Dẫn: b DB AB � = a)AD đường phân giác BAC nên ta có: (1) DC AC EC BC FA CA = = Tương tự: với phân giác BE, CF ta có: (2) ; (3) EA BA FB CB DB EC FA AB BC CA = Từ (1); (2); (3) suy ra: =1 DC EA FB AC BA CB b) Đặt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da Qua C kẻ đường thẳng song song với AD , cắt tia BA H BA.CH c.CH c AD BA � AD     CH CH BH BH BA + AH b + c b  c �1 � 1 �1 � 2bc �   �  ��  � � Do CH < AC + AH = 2b nên: d a  d a 2bc �b c � d a �b c � bc Theo ĐL Talét ta có: Chứng minh tương tự ta có : 1 �1 �  �  � Và db �a c � 1 �1 �  �  � Nên: d c �a b � 1 1 �1 1 � � 1 1� �1 � �1 � �1 � �    �   �    � �  � �  � � � � d a db d c � �b c � �a c � �a b � � d a d b d c �a b c � 409 1 1 1      ( đpcm ) d a db dc a b c Bài 6: Cho tam giác ABC ba đường phân giác AM, BN, CP cắt O Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4, 7, a) Tính MC, biết BC = 18cm b) Tính AC, biết NC – NA = 3cm � OP OC MB NC PA  d) Chứng minh: MC NA PB 1 1 1      e) Chứng minh: AM BN CP BC CA AB c) Tính tỉ số Hướng Dẫn: a) MC = 10cm b) AC = 11cm c) OP  OC 2AC.AB 1 �1 �  �   � AM �AB AC � AC  AB 1 �1 � 1 �1 �  �   �  Tương tự: �, � đpcm BN �AB BC � CP �AC BC � Bài 7: Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b, AB  c,  b  c  , đường phân giác BD, CE a) Tính độ dài CD, BE suy CD  BE b) Vẽ hình bình hành BEKD Chứng minh CE  EK c) Chứng minh CE  BD e) Vẽ BD // AM  BD < 2AB  AM  Hướng Dẫn: a) Tính độ dài cạnh CD,BE , ta CD  ab ac ,BE  (xem ví dụ 6) ac ab ab ac ac   tức CD  BE ac ac a b b) Ta có CD  BE mà BE  DK nên CD  DK , suy �K1  �C3 Ta lại có b  c nên �B  �C , mà �B  �K nên �K  �C Ta lại có b  c nên 2 2 2 EKC  � ECK � CE  EK Từ (1) (2) ta suy �K1  �K  �C3  �C2 �� c) CE  EK mà EK  BD nên CE  BD Chú ý: Từ toán suy ra: 410 (1) - Trong tam giác có hai cạnh không nhau, đường phân giác ứng với cạnh lớn nhỏ - Tam giác có hai đường phân giác tam giác cân (Một cách chứng minh toán này, xem Các tập chuyên đề tam giác) Bài 8: Chứng minh tia phân giác góc ngồi đỉnh A tam giác ABC chia cạnh BC theo tỉ số AB : AC Hướng Dẫn: Gọi E giao điểm tia phân giác góc ngồi đỉnh A với đường thẳng BC Vẽ CK //AB EB AB  (1) EC CK � � � �K1  A1 � � K1  �A2 � AC  CK (2) � � � �A1  A2 EB AB  Từ (1) (2) suy EC AC Bài 9: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Phân giác góc A cắt BC D, phân giác ngồi góc A cắt BC E Tính BD, DC, EB,EC theo a, b, c Hướng Dẫn: Theo tính chất đường phân giác tam giác ABC ta có BD AB BD  DC AB  AC (tính chất dãy tỉ số nhau)  �  + DC AC DC AC BC AB  AC BC.AC a.b  � DC   DC AC AB  AC c  b ab b � � � BD  a   a� 1 � cb � bc� EC AC EC  EB AC  AB  �  + EB AB EB AB � 411 BC AC  AB  EB AB BC AB a.c � EB   AC  AB b  c a.c �c �  1� EC  EB  BC   a  a� bc �b  c � � 412 ... = ( 78) 2 – = ( 78 + 1)( 78 – 1) = ( 78 + 1)(74 + 1)(74 – 1) = ( 78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(72 – 1) = ( 78 + 1)(74 + 1)(72 + 1)(7 + 1)(7 – 1) = ( 78 + 1)(74 + 1)(72 + 1 )8. 6 > ( 78 + 1)(74 + 1)(72 + 1) .8 Bài... 1)(24 + 1) ( 28 + 1) = (24 – 1) (24 + 1) ( 28 + 1) = ( 28 – 1)( 28 + 1) = 216 – Suy : N = 216 – < 216 Vậy : N < M Bài 4: So sánh hai số M N biết : M = 22016 N = (2 + 1)(22 + 1) (24 + 1) …(210 08 + 1) Hướng... …(210 08 + 1) = (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) …(210 08 + 1) = (24 – 1) (24 + 1) …(210 08 + 1) = ( 28 – 1)…(210 08 + 1) = 22016 – Suy : N = 22016 – < 22016 Mà: M = 22016 Vậy : N < M Bài 5: So sánh hai