Định lí radon nikodym cho các hàm dung lượng và các nửa độ đo

Mục lục Trang Mở đầu . 1 Chơng 1: Các hàm tập luân phiên . . 2 Chơng 2: Định lý Radon-Nikodym cho các hàm dung lợng 11 1. Phân tích Hahn cho các hàm dung lợng 11 2. Định lý Radon-Nikodym cho các hàm dung lợng . 22 Chơng 3: Định lý Radon-Nikodym cho các nửa độ đo . 27 Kết luận . . 48 Tài liệu tham khảo 49 Mở đầu Định lý Radon-Nikodym là một trong những định lý quan trọng và có nhiều ứng dụng trong giải tích toán học. Nhờ đó mà chúng ta biết đợc sự tồn tại của đạo hàm Radon-Nikodym đối với các độ đo - hữu hạn. Trong rất nhiều bài toán trong thống kê toán học, xác suất hình học, chúng ta có thể thay thế độ đo xác suất bởi hàm dung lợng. Tuy nhiên cho đến bây giờ lý thuyết về hàm dung lợng vẫn cha đợc phát triển rộng rãi và đầy đủ nh lý thuyết độ đo. Trong quá trình nghiên cứu và phát triển lý thuyết hàm dung lợng và các hàm tập tổng quát hơn, việc biểu diễn định lý Radon-Nikodym là một vấn đề thời sự đã và đang đợc nhiều nhà toán học quan tâm nh Huber, Strassen, Graf, N.T. Hung, N.T. Nhu, T.H. Wang . Luận văn nhằm trình bày một số kết quả nghiên cứu của Graf về định lý Radon-Nikodym cho các hàm dung lợng và tổng quát hơn của N.T. Hung, N.T. Nhu và Tonghui Wang cho các nửa độ đo. Với mục đích nh vậy, luận văn đợc chia làm ba chơng. Chơng 1, tác giả trình bày khái niệm và các cách xây dựng hàm tập cực đại, sau đó chứng minh đợc tính chất quan trọng của hàm tập cực đại là luân phiên bậc vô hạn. Chơng 2, tác giả trình bày cách xây dựng và chứng minh định lý Radon- Nikodym cho các hàm dung lợng theo nghĩa của Mokobodzki bằng việc chứng minh các kết quả này của Graf [8]. Chơng 3, trình bày cách xây dựng và chứng minh định lý Radon-Nikodym cho lớp các nửa độ đo. Sau đó chỉ ra đợc mối liên hệ giữa lớp nửa độ đo này và lớp các hàm dung lợng theo nghĩa ở trên bằng cách chứng minh lại các kết quả của N.T. Hung, N.T. Nhu và Tong Hui Wang. Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn đầy nhiệt tình, chu đáo của PGS.TS Nguyễn Nhụy, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán, tổ Giải tích, khoa Sau đại học đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trờng. Cuối cùng, tác giả muốn chân thành cảm ơn NCS Lê Xuân Sơn, ngời đã cho tác giả nhiều lời khuyên hữu ích trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Tác giả 2 Chơng 1 Các hàm tập luân phiên Định nghĩa 1.1. Giả sử U là một tập cho trớc và U là - đại số các tập con của U. Hàm tập u: U [0, ) đợc gọi là cực đại, nếu u(A B) = max{u(A), u(B)} với mọi A, B U. Mệnh đề 1.2. (i) Hàm tập cực đại u là đơn điệu tăng, tức là với mọi A, B U và A B thì u(A) u(B). (ii) Với bất kỳ A 1 , A 2 , ., A n U, n N ta luôn có = n i i Au 1 = max{u(A 1 ), u(A 2 ), ., u(A n )}. Chứng minh. (i) Giả sử u là hàm tập cực đại và A, B U thoả mãn A B khi đó ta có u(B) = u(A B) = max{u(A), u(B)} chứng tỏ u(B) u(A). (ii) Kết luận này thu đợc bằng phơng pháp quy nạp. Định nghĩa 1.3. - Giả sử J là một tập con khác rỗng của U. Ta nói rằng J là một ideal (tơng ứng - ideal) nếu nó khép kín đối với phép lấy hợp hữu hạn (t- ơng ứng hợp đếm đợc) và nó có tính di truyền, tức là nếu A J, B U và B A thì B J. - Giả sử {J t : t 0} là một họ các ideal. Họ này đợc gọi là tăng nếu t < s thì J t J s . Mệnh đề 1.4. Cho U là một tập, u là - đại số các tập con của U. Giả sử {N t : t 0} là một họ tăng các ideal cho trớc trong u, khi đó hàm tập u: u [0, ) đợc xác định bởi u(A) = inf{t 0 : A N t } (1) là cực đại. Chứng minh. Với A, B u, ta cần chứng minh u(A B) = max{u(A), u(B)}. Với mỗi A u ta đặt T(A) = {t 0: A N t }. Khi đó u(A) = inf{t 0 : t T(A)}. 3 Theo giả thiết { N t : t 0} là họ tăng các ideal, hơn nữa vì A A B và B A B nên ta có u(A) u(A B) và u(B) u(A B). Do đó u(A B) max{u(A), u(B)}. Ngợc lại, giả sử u(A) u(B),ta suy ra T(B) T(A). Vì N t là ideal nên với A ,B N t thì A B N t . Bây giờ lấy bất kỳ t T(B) thì t T(A) kéo theo t T(A B). Điều đó chứng tỏ T(B) T(A B) .Vì vậy u(A B) u(B) = max{u(A), u(B) }. Do đó ta nhận đợc u(A B) = max{u(A), u(B) }. Mệnh đề 1.5. Cho U là một tập, u là - đại số các tập con của U. Khi đó bất kì một hàm tập cực đại u : u [0, ) đều đợc biểu diễn dới dạng sau u(A) = inf{t 0 : A J t }. ở đây {J t : t 0} là một họ tăng các ideal nào đó trong U. Chứng minh. Trớc tiên, với mỗi t [0, ) chúng ta đặt J t = {A U: u(A) t}. Ta sẽ chứng minh họ {J t : t 0} là họ tăng các ideal. Thật vậy, với A 1 , ., A n J t khi đó u(A i ) t với mọi i = 1, 2, ., n. Vì u là cực đại nên = n i i Au 1 = max{u(A 1 ), ., u(A n )} t. Suy ra n i i A 1 = J t . Chứng tỏ J t khép kín đối với phép hợp hữu hạn. Hơn nữa, J t có tính di truyền. Thật vậy, giả sử A J t , B A, B U thì u(B) u(A) t (theo Mệnh đề 1.2 (i)), chứng tỏ B J t . Rõ ràng u(A) inf{t 0: A J t }. Ngợc lại, bằng cách chọn t 0 = u(A) thì A J to .Do đó u(A) = t 0 inf{t 0 : A J t }. Vì vậy với cách đặt của họ J t nh trên và u là hàm tập cực đại. Khi đó u sẽ đ- ợc biểu diễn dới dạng u(A) = inf{t 0 : A J t }. Nhận xét 1.6. Nh vậy, một họ tăng các ideal { N t : t 0} cho trớc cảm sinh ra một hàm tập cực đại u : U [0, ) đợc xác định ở Mệnh đề 1.4 theo công 4 thức (1). Đến lợt mình, hàm tập cực đại u : U [0, ) cảm sinh ra một họ tăng các ideal {J t : t 0} theo Mệnh đề 1.5. Hai họ {N t : t 0} và {J t : t 0} đợc xác định ở Mệnh đề 1.4 và 1.5 nói chung không trùng nhau. Chúng sẽ trùng nhau nếu họ {N t : t 0} là liên tục phải theo nghĩa sau N t = ts > N s . Thật vậy,giả sử A ts > N s khi đó u(A) s với mọi s > t, do đó u(A) t hay A J t . Vì vậy ts > N s J t . Ngợc lại, nếu A J t thì t u(A) = inf{s 0 : A N s }, tức là nếu s > t thì A N s với mọi s. Do đó A ts > N s , tức J t ts > N s ,và ta có J t = ts > N s . Vậy nếu họ {N t : t 0} liên tục phải thì họ {N t : t 0} và họ {J t : t 0} trùng nhau. Ví dụ 1.7. < Về hàm tập cực đại đợc xây dựng bằng họ tăng các ideal > Giả sử U là một không gian cho trớc và hàm f: U [0, ), với mỗi t [0,) ta đặt J t = {A U : A {f > t} N}. (2) ở đây N là một ideal cho trớc trong U và {f > t} = {x U : f(x) > t}. Khi đó {J t : t 0} là một họ tăng các ideal và do đó hàm tập u xác định bởi u(A) = inf{t 0 : A {f > t} N } là cực đại trong U. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh họ {J t : t 0} đợc xác định ở (2) là một họ tăng các ideal. Trớc hết, ta sẽ chỉ ra J t là ideal với mọi t [0, ). Thật vậy, giả sử A, B J t .Khi đó ta có A {f > t} N và B {t > t} N. Ta suy ra (A {f > t}) (B {f > t}) = (A B) {f > t} N (vì N là ideal) .Vậy A B J t . Tức J t khép kín đối với phép hợp hữu hạn. Hơn nữa, nếu A J t , B A, B U, ta có A {f > t} N và để ý rằng B {f > t} A {f > t} N (do B A) nên B {f > t} N (vì N là ideal), tức B J t . 5 Vậy J t có tính di truyền, do đó theo định nghĩa {J t : t 0} là họ các ideal. Mặt khác, với s > t thì {f > s} {f > t} và với A J t tức A {f > t} N ta suy ra A {f > s} N (vì N là ideal). Do đó A J s . Vậy {J t : t 0} là họ tăng các ideal xác định bởi (2) theo Mệnh đề 1.4 hàm tập u xác định bởi u(A) = inf{t 0: A {f > t} N } = inf{t 0: A J t } là cực đại trong U. Ví dụ 1.8. <Về hàm tập cực đại đợc xây dựng bằng họ tăng các -ideal> Cho P là độ đo xác suất trên không gian đo đợc (U, u ), f : U [0, ) là hàm đo đợc, bị chặn. Ta xác định N = {A u : P(A) = 0} và J t = {A u : P(A {f > t}) = 0} với mỗi t [0,). Khi đó N là một - ideal, còn {J t : t 0} là họ tăng các - ideal. Thật vậy, với bất kỳ A 1 , ., A n , . N, khi đó P(A n ) = 0 với n = 1, 2, . P = = 1 1 )( n n n n APA = 0 (vì P là một độ đo) chứng tỏ = 1n n A N hay N khép kín với phép hợp đếm đợc. Hơn nữa, nếu A N, B u và B A thì ta có P(B) P(A) = 0,suy ra P(B) = 0 hay B N tức N có tính di truyền. Do đó N là một - ideal. Bây giờ ta chứng minh họ {J t : t 0} với J t = {A u : P(A {f > t}) = 0} là họ tăng các - ideal. Thật vậy, giả sử A 1 , A 2 , ., A n , . J t khi đó ta có P(A 1 {f > t}) = 0 P(A 2 {f > t}) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . P(A n {f > t}) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . Suy ra P { } { }( ) >= > = = 11 n n n n tfAPtfA 6 = 1n P (A n {f > t}) = 0 nên = 1n n A J t , tức J t khép kín đối với phép lấy hợp đếm đợc. Nếu A J t , B A, B u thì ta chứng minh B J t . Để ý rằng B A nên B {f > t} A {f > t}. Do vậy P(B {f > t}) P(A {f > t}) = 0. Suy ra P(B {f > t}) = 0 hay B J t tức J t có tính di truyền. Cuối cùng ta chứng tỏ {J t : t 0} là họ tăng các - ideal. Với A J t và s > t thì A {f > t} A {f > s} và 0 = P(A {f > t}) P(A {f > s}) P(A {f > s}) = 0 hay A J s , chứng tỏ J t J s . Do đó u(A) = inf{t 0 : A J t } với A u và ta đợc u : u [0, ) là một hàm tập cực đại. Đặc biệt nếu N = { } thì u(A) = inf{t 0 : A {f > t} = } = Ax sup f(x). Thật vậy, với trờng hợp N = { }, tức với mọi A u thì P(A) > 0. Đặt A t = {t 0 : A {f > t} = }, khi đó vì A {f > t} = nên ta có f(x) t với mọi x A.Từ đó suy ra Ax sup f(x) t. Bất đẳng thức này đúng với mọi t A t nên Ax sup f(x) u(A). Đặt t = Ax sup f(x) ta suy ra A {f > t} = nên u(A) t = Ax sup f(x). Do đó u(A) = Ax sup f(x). Từ kết luận trên với I là tập chỉ số bất kỳ ta dễ dàng suy ra Ii Ii i Au = sup {u(A i )}. Thật vậy, ta có { } )(sup)(supsup)(sup i IiAxIiAx Ii i AuxfxfAu i Ii i = == . 7 Định nghĩa 1.9. Giả sử U là tập cho trớc, u là - đại số các tập con của U, hàm tập u: u [0,) đợc gọi là luân phiên bậc vô hạn nếu với bất kỳ A 1 , A 2 , ., A n u thì { } + = Ii i nI I n i i AuAu .,,1 1 1 )1( . ở đây |I| đợc kí hiệu là lực lợng của tập I. Định lý 1.10. Mỗi hàm tập cực đại đều luân phiên bậc vô hạn. Chứng minh. Giả sử u là hàm tập cực đại trên u ( - đại số các tập con của tập đã cho U) và bất kỳ A 1 , ., A n u. Ta chứng minh khẳng định sau Ii Ii i nJI I Au + = min)1( )( 1 {u(A i )}. (3) ở đây J(n) = {I : I {1, ., n}}. Ta sẽ chứng minh khẳng định này bằng phơng pháp quy nạp. Với n = 2 ta có vế trái của (3) là u(A 1 ) + u(A 2 ) - u(A 1 A 2 ) = u(A 1 ) + u(A 2 ) - max{u(A 1 ), u(A 2 )} = min{u(A 1 ), u(A 2 )} nên khẳng định đúng với n = 2. Giả sử (3) đúng đến n, ta cần chứng tỏ nó cũng đúng với n +1. Với A 1 , A 2 , ., A n +1 u, không mất tính tổng quát ta có thể xem u(A 1 ) = 11 min + ni {u(A i )} và u(A n +1 ) = 11 max + ni {u(A i )}. Khi đó sử dụng giả thiết quy nạp trên ta có )()1()1( 1 )( 1 )1( 1 + + + + + = n Ii i nJI I Ii i nJI I AuAuAu + + { } + + ' 1),(' 1' )1( Ii i nnJI I Au = = u(A 1 ) + u(A n +1 ) + (- C 2 n + C 3 n - . + (-1) n C n n ) u(A n +1 ) = u(A 1 ) + (C 1 n - C 2 n + C 3 n - . + (-1) n C n n )u(A n +1 ) = u(A 1 ) = 11 min + ni {u(A i )}. Vậy khẳng định (3) đúng. Từ Mệnh đề 1.2 ta có ni n i i Au = 1 1 min {u(A i )} (4) 8 với A i u, i = 1, 2, ., n. Kết hợp (3) và (4) ta nhận đợc kết luận của định lý. Định nghĩa 1.11. - Cho (R n , d) là một không gian metric, A R n . Kí hiệu diam(A) = sup{d(x, y) : x, y A}, và gọi diam(A) đợc gọi là đờng kính của tập A. - Họ {A n } đợc gọi là một - phủ của tập A nếu {A n } là một họ đếm đợc (hoặc hữu hạn) phủ A gồm các tập có đờng kính cực đại bằng tức là A = 1n n A và 0 < diam(A n ) với mọi n. Định nghĩa 1.12. - Cho (R n , d) là một không gian metric, A R n và 0 s R. Với bất kỳ > 0 ta đặt s H (A) = inf { } = 1 :)( n n s n AdiamA Acủa phủ - một là . (5) Rõ ràng với 0 < 2 < 1 thì mọi 2 - phủ A cũng là 1 - phủ A nên s H 2 (A) s H 1 (A). Vì vậy khi cho 0 thì s H (A) tăng dần đến một giới hạn. Ta đặt H s (A) = )(lim 0 AH s , (6) và gọi H s (A) đợc gọi là độ đo Hausdorff s- chiều của tập A. Mặt khác, từ (5) ta thấy nếu < 1 thì s H (A) không tăng khi s tăng, theo (6) thì H s (A) cũng không tăng. Cụ thể, với t > s và {A n } là - phủ của A ta có (diamA n ) t - s t - s hay (diamA n ) t t - s (diamA n ) s . Do đó t H (A) t - s . s H (A). Khi 0 nếu H s (A) < thì H t (A) = 0. Nh vậy ắt có một giá trị giới hạn của s là s A sao cho H s (A) = với s < s A và H s (A) = 0 với s > s A . Bằng cách đặt s A = dim H (A) ta có dim H (A) = inf{s 0 : H s (A) = 0} = sup{s 0: H s (A) = }. Ta gọi dim H (A) là chiều Hausdorff của tập A. Hệ quả 1.13. Chiều Hausdorff của một tập con A trong không gian metric (R n , d) là luân phiên bậc vô hạn. Chứng minh. Giả sử với tập A bất kỳ thoả mãn A R n và dim H (A) = inf{s 0 : H s (A) = 0} là chiều Hausdorff của nó. 9 Để chứng minh dim H (A) là luân phiên bậc vô hạn, theo Định lý 1.10 ta chứng minh nó là cực đại. Thật vậy, bằng cách xác định N s = {A R n : H s (A) = 0}. Khi đó với mỗi s 0, N s là một - ideal. Hơn nữa { N s : s 0} là một họ tăng. Thật vậy, giả sử A i R n , i = 1, 2, . với > 0 tùy ý, với > 0 và với số tự nhiên i, từ (5) ta suy ra tồn tại dãy {A i , k } thoả mãn A i = 1 , k ki A , diamA i, k và = 1k (diamA i, k ) s s H (A i ) + i 2 . Ta có = = = 1 1 1 , i i k kii AA , do đó = = = = + 11 1 , 1 2 )()( i i i s i k s ki i i s AHdiamAAH = = 1i s H (A i ) + . Cho 0 ta đợc H s = 1i i A = 1i H s (A i ) + . Với bé tùy ý ta có H s = 1i i A = 1i H s (A i ) . (7) Nh vậy với mỗi A i R n mà thoả mãn H s (A i ) = 0, i =1, 2, .thì từ (7) ta suy ra H s = 1i i A = 0. Do đó = 1i i A N s tức N s khép kín với phép hợp đếm đợc. Bây giờ, giả sử A N s , B tuỳ ý sao cho B R n thoả mãn B A. Từ (5) ta suy ra s H (B) s H (A), do đó từ (6) và H s (A) = 0 ta có H s (B) = 0 tức B N s . Vì vậy N s có tính di truyền. Phần còn lại ta chứng minh rằng {N s } là dãy tăng, nghĩa là phải chứng minh rằng nếu s < t thì N s N t . Lấy A N s ,ta có H s (A) = 0. Từ Định nghĩa 1.12 rõ ràng H t (A) = 0 do đó A N t . Vậy {N s : s 0} là một họ tăng các - ideal. Do vậy dim H (A) = inf{s 0 : A N s } = inf{s 0 : H s (A) = 0} là cực đại. Nên hàm dim H : P (R n ) [ 0,) cho bởi A dim H (A) , A P (R n ) là luân phiên bậc vô hạn . 10 . trình bày cách xây dựng và chứng minh định lý Radon-Nikodym cho lớp các nửa độ đo. Sau đó chỉ ra đợc mối liên hệ giữa lớp nửa độ đo này và lớp các hàm dung. nghiên cứu của Graf về định lý Radon-Nikodym cho các hàm dung lợng và tổng quát hơn của N.T. Hung, N.T. Nhu và Tonghui Wang cho các nửa độ đo. Với mục đích nh