Định lí Radon Nikodym và ứng dụng

Header Page of 16 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH SONGSAMAYVONG SOMCHAY ĐỊNH LÍ RADON-NIKODYM VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh- 2012 Footer Page of 16 Header Page of 16 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH SONGSAMAYVONG SOMCHAY ĐỊNH LÍ RADON-NIKODYM VÀ ỨNG DỤNG Chuyên nghàn: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh- 2012 Footer Page of 16 Header Page of 16 LỜI CẢM ƠN Lới đầu tiên, kính gửi đến Thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy lời cảm ơn chân thành tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian làm luận văn Tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy hướng dẫn suốt khóa học Tôi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, bạn học viên Cao học Toán Giải Tích Khóa 21 gia đình động viên, khuyến khích giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn Tp Hồ Chí Minh, ngày 29/09/2012 Học viên Cao học khóa 21 SONGSAMAYVONG Somchay Footer Page of 16 Header Page of 16 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG ĐỊNH LÍ RADON-NIKODYM 1.1Độ đo liên tục tuyệt đối, tính chất 1.2 Phân tích Lebesgue-Radon-Nikodym 10 1.3 Định lí Radon-Nikodym 15 CHƯƠNG ỨNG DỤNG 26 2.1 Đối biến số tích phân 26 2.2 Không gian độ đo có dấu 31 2.3 Định lí phép tính tích phân 38 2.4 Phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian 𝑳𝒑𝑋, 𝜇 46 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 Footer Page of 16 Header Page of 16 MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài, ý nghĩa khoa học thực tiễn: Định lí Radon-Nikodym định lí trung tâm lí thuyết độ đo tích phân Nó tìm ứng dụng có ý nghĩa Giải tích thực, Giải tích hàm, Y học,… Việc tìm hiểu ứng dụng định lí Radon-Nikodym trình bày chúng thành tài liệu hoàn chỉnh việc làm có ý nghĩa thực tiễn, giúp học viên Cao học hiểu sâu đầy đủ đề tài Mục tiêu đề tài: - Trình bày định lí Radon-Nikodym hệ - Trình bày tương đối đầy đủ ứng dụng định lí Radon-Nikodym Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp chung: sưu tầm tài liêu định lí Radon-Nikodym vấn đề liên quan, ứng dụng Phân tích tổng hợp tài liệu thu để trình bày lại đề tài theo hiểu biết cách chi tiết, khoa học - Phương pháp chứng minh cụ thể: áp dụng phương pháp kết lý thuyết độ đo-Tích phân, Giải tích hàm, Tôpô đại cương Nội dụng luân văn: CHƯƠNG Định lí Radon-Nikodym 1.1 Độ đo liên tục tuyệt đối, tính chất 1.2 Phân tích Lebesgue-Radon-Nikodym 1.3 Định lí Radon-Nikodym CHƯƠNG Ứng dụng 2.1 Đối biến số tích phân 2.2 Không gian độ đo có dấu 2.3 Định lí phép tính tích phân 2.4 Phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian 𝐿𝑝 (𝑋, 𝜇) Footer Page of 16 Header Page of 16 CHƯƠNG ĐỊNH LÍ RADON-NIKODYM 1.1Độ đo liên tục tuyệt đối, tính chất Định nghĩa:1.1 Giả sử (𝑋, 𝔐) không gian đo được, 𝜇 độ đo dương, 𝜑, 𝜆 độ đo dương có dấu, xác định 𝔐 a) b) 𝜑được gọi liên tục tuyệt đối 𝜇, ký hiệu là𝜑 ≪ 𝜇 nếu: ∀𝐴 ∈ 𝔐, 𝜇 (𝐴) = ⇒ 𝜑(𝐴) = 𝜑 gọi tập trung tập 𝐵 ∈ 𝔐 nếu: 𝜑 (𝐴 ) = 𝜑 (𝐴 ∩ 𝐵 ) c) (∀𝐴 ∈ 𝔐) Nói cách khác, 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑐 ta có 𝜑(𝐴) = Hai độ đo 𝜑, 𝜆 gọi kỳ dị nhau, ký hiệu 𝜑 ⊥ 𝜆,nếu có tập 𝐵 ∈ 𝔐 cho 𝜑 tập trung 𝐵, 𝜆 tập trung 𝐵 𝑐 Mệnh đề :1.1.1 Giả sử 𝜇 độ đo dương, 𝜑, 𝜑1 , 𝜑2 độ đo (có dấu dương) a) Nếu 𝜑1 ≪ 𝜇 � 𝜑1 + 𝜑2 ≪ 𝜇 𝜑2 ≪ 𝜇 Hệ quả: 𝜑1 − 𝜑2 ≪ 𝜇 b) Nếu 𝜑1 ⊥ 𝜇 � 𝜑1 + 𝜑2 ⊥ 𝜇 𝜑2 ⊥ 𝜇 Hệ quả: 𝜑1 − 𝜑2 ⊥ 𝜇 𝜑≪𝜇 � 𝜑 ⊥ 𝜇 𝜑 = c) Nếu d) Nếu 𝜑 ≪ 𝜇 𝜑 + ≪ 𝜇 𝜑 − ≪ 𝜇 Footer Page of 16 Header Page of 16 Chứng minh: a) Ta chứng minh 𝜑1 + 𝜑2 ≪ 𝜇 sau ∀𝐴 ∈ 𝔐, giả sử 𝜇(𝐴) = ,cần chứng minh (𝜑1 + 𝜑2 )(𝐴) = Ta có: (𝜑1 + 𝜑2 )(𝐴) = 𝜑1 (𝐴) + 𝜑2 (𝐴), ∀𝐴 ∈ 𝔐 Nhận xét (1) Do 𝜑1 ≪ 𝜇, 𝜇(𝐴) = 0, ⇒ 𝜑1 (𝐴) = Do 𝜑2 ≪ 𝜇, 𝜇(𝐴) = 0, ⇒ 𝜑2 (𝐴) = thay kế vào (1), ta có (𝜑1 + 𝜑2 )(𝐴) = + = ∀𝐴 ∈ 𝔐 Do theo định nghĩa liên tục tuyệt đối ta suy ra:𝜑1 + 𝜑2 ≪ 𝜇 Hệ : chứng minh ∀𝐴 ∈ 𝔐, 𝜇 (𝐴) = ta cần chứng minh (𝜑1 − 𝜑2 )(𝐴) = Ta có: (𝜑1 − 𝜑2 )(𝐴) = 𝜑1 (𝐴) − 𝜑2 (𝐴), ∀𝐴 ∈ 𝔐 (2) Nhận xét Do 𝜑1 ≪ 𝜇, 𝜇(𝐴) = 0, 𝐴 ∈ 𝔐 ⇒ 𝜑1 (𝐴) = Do 𝜑2 ≪ 𝜇, 𝜇(𝐴) = 0, 𝐴 ∈ 𝔐 ⇒ 𝜑2 (𝐴) = thay kế vào (2), ta có (𝜑1 − 𝜑2 )(𝐴) = + = , ∀𝐴 ∈ 𝔐 b) Do theo định nghĩa liên tục tuyệt đối ta suy ra:𝜑1 − 𝜑2 ≪ 𝜇 Do𝜑1 ⊥ 𝜇, 𝜑2 ⊥ 𝜇 nên ta tìm Footer Page of 16 Header Page of 16 𝐴1 ∈ 𝔐 cho 𝜑1 tập trung 𝐴1, 𝜇 tập trungtrên 𝐴1𝑐 𝐴2 ∈ 𝔐 cho 𝜑2 tập trung 𝐴2 , 𝜇 tập trungtrên𝐴𝑐2 Khi 𝜑1 + 𝜑2 tập trung 𝐴1 ∪ 𝐴2 và𝜇 tập trung (𝐴1 ∪ 𝐴2 )𝑐 Thật lấy 𝐵 ⊂ (𝐴1 ∪ 𝐴2 )𝑐 = 𝐴1𝑐 ∩ 𝐴𝑐2 𝐵 ⊂ 𝐴1𝑐 𝐵 ⊂ 𝐴𝑐2 Mà 𝜑𝑖 tập trung 𝐴𝑖 , 𝑖 = ���� 1,2 nên 𝜑𝑖 (𝐵) = 0, 𝑖 = ���� 1,2 Do (𝜑1 + 𝜑2 )(𝐵) = 𝜑1 (𝐵) + 𝜑2 (𝐵) = Do (𝜑1 + 𝜑2 ) tập trung 𝐴1 ∪ 𝐴2 Lấy 𝐵 ⊂ 𝐴1 ∪ 𝐴2 Ta có: 𝐵 = (𝐴1 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴2 ∩ 𝐵) = 𝐵1 ∪ 𝐵2 ≤ 𝜇 (𝐵) = 𝜇(𝐵1 ∪ 𝐵2 ) ≤ 𝜇(𝐵1 ) + 𝜇(𝐵2 ) = Nên 𝜇(𝐵) = c) Vậy 𝜇 tập trung (𝐴1 ∪ 𝐴2 )𝑐 Để chứng minh 𝜑 = 0, ta lấy ∀𝐴 ∈ 𝔐, chứng minh 𝜑(𝐴) = Ta có: • 𝜑 ≪ 𝜇 ⇔ (𝜇(𝑈) = ⇒ 𝜑(𝑈) = 0, ∀𝑈 ∈ 𝔐) • 𝜑 ⊥ 𝜇 ⇔ ∃𝐵 ∈ 𝔐 cho 𝜑 tập trung B 𝜇 tập trung 𝐵𝑐 Ta có:∀𝐴 ∈ 𝔐 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝑋 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐵 𝑐 ) = = (𝐴 ∩ 𝐵 ) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 ) Footer Page of 16 Header Page of 16 ⇒ 𝜑(𝐴) = 𝜑[(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵𝑐 )] = = 𝜑 (𝐴 ∩ 𝐵 ) + 𝜑 (𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 ) (4) (do: 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 ∈ 𝔐, (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 ) = ∅ 𝜑 độ đo có dấu xác định 𝔐) Nhận xét 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐵 = (𝐵𝑐 )𝑐 mà 𝜇 tập trung 𝐵 𝑐 (giả thiết) ⇒ 𝜇 (𝐴 ∩ 𝐵 ) = ⇒ 𝜑 (𝐴 ∩ 𝐵 ) = Nhận xét (do 𝜑 ≪ 𝜇 ) 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 ⊂ 𝐵𝑐 mà 𝜑 tập trung 𝐵 (giả thiết) ⇒ 𝜑 (𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 ) = Thay kết vào (4), ta ∀𝐴 ∈ 𝔐, 𝜑(𝐴) = Điều dẫn đến 𝜑 = d)Trường hợp 1: Chứng minh 𝜑 + ≪ 𝜇 ∀𝐴 ∈ 𝔐, 𝜇 (𝐴) = 0, chứng minh 𝜑 + (𝐴) = Ta có: 𝜑+ (𝐴) = sup{𝜑(𝐵)/𝐵 ⊂ 𝐴, 𝐵 ∈ 𝔐} Ta có khẳng định 𝜑(𝐵) = 0, ∀𝐵 ∈ 𝔐 , 𝐵 ⊂ 𝐴 Thật vậy:Với 𝐵 ⊂ 𝐴 ⇒ 𝜇(𝐵) ≤ 𝜇 (𝐴) mà 𝜇(𝐴) = ⇒ 𝜇(𝐵) = Giả thiết cho 𝜑 ≪ 𝜇, nên với 𝜇(𝐵) = ⇒ 𝜑(𝐵) = Footer Page of 16 Header Page 10 of 16 Tóm lại: 𝜑(𝐵) = 0, ∀𝐵 ∈ 𝔐 , 𝐵 ⊂ 𝐴 ⇒ Sup{𝜑(𝐵)/𝐵 ⊂ 𝐴, 𝐵 ∈ 𝔐} = ⇒ 𝜑 + (𝐴 ) = Trường hợp 2: Chứng minh 𝜑 − ≪ 𝜇 ∀𝐴 ∈ 𝔐: 𝜇(𝐴) = 0, chứng minh 𝜑− (𝐴) = Ta có: ∀𝐴 ∈ 𝔐 thi 𝜑− (𝐴) = 𝜑 + (𝐴) − 𝜑(𝐴) (5) Nhận xét: giả thiết cho𝜑 ≪ 𝜇 Vậy ∀𝐴 ∈ 𝔐: 𝜇(𝐴) = ⇒ 𝜑(𝐴) = Chứng minh tiếp cho ta 𝜑+ ≪ 𝜇 Vậy với 𝜇(𝐴) = ⇒ 𝜑 + (𝐴) = 0thay kết vào (5), Ta 𝜑 − (𝐴) = Mệnh đề:1.1.2 Cho không gian độ đo (𝑋, 𝔐, 𝜇) 𝜑 độ đo có dấu xác định 𝔐 Các mệnh đề sau tương đương 1) 2) 𝜑≪𝜇 ∀𝜀 > , ∃𝛿 > 0: 𝐴 ∈ 𝔐, 𝜇 (𝐴) < 𝛿 ⇒ |𝜑(𝐴)| < 𝜀 Từ suy hàm f khả tích 𝑋 theo độ đo 𝜇 ∀𝜀 > , ∃𝛿 > 0: 𝐴 ∈ 𝔐, 𝜇(𝐴) < 𝛿 ⇒ � |𝑓| 𝑑𝜇 < 𝜀 𝐴 Footer Page 10 of 16 38 Header Page 42 of 16 Chú ý nếu𝑓 ∈ L(𝜇)và 𝜑(𝐴) = � 𝑓𝑑 𝜇, 𝐴𝜖𝔐 𝐴 𝑋 + = {𝑥, 𝑓(𝑥) ≥ 0}, 𝑋 − = {𝑥𝜖𝑋: 𝑓 (𝑥) < 0} phân hoạch Hahn 𝜑 nên mệnh đề 2.2.1 ta có 𝜑 ± (𝐴 ) = � 𝐴∩𝑋 ± 𝑓𝑑 𝜇 = � 𝑓 ± 𝑑 𝜇 𝐴 |𝜑|(𝐴) = � |𝑓|𝑑 𝜇, 𝐴 𝐴𝜖𝔐 Ta có: ‖𝜑𝑚 − 𝜑𝑛 ‖ = |𝜑𝑚 − 𝜑𝑛 |(𝑋 ) = � |𝑓𝑚 − 𝑓𝑛 |𝑑 𝜇 𝑋 nên {𝑓𝑛 }là dãy Cauchy không gian Ba nach L(𝜇) nên hội tụ Gọi 𝑓0 ∈L(𝜇) giới hạn {𝑓𝑛 } L(𝜇) Xét độ đo 𝜑0 ∈M(𝑋, 𝜇) cho 𝜑0 (𝐴) = � 𝑓0 𝑑 𝜇 𝐴 Khi đó‖𝜑𝑛 − 𝜑0 ‖ = � |𝑓𝑛 − 𝑓0 |𝑑 𝜇 → (khi 𝑛 → ∞) nên lim 𝜑𝑛 = 𝜑0 M(𝑋, 𝜇) 2.3 𝑋 Định lí phép tính tích phân Trước tiên ta cần xét hai lớp hàm quan trọng 2.3.1 Hàm có biến phân bị chặn Định nghĩa 2.3.1 Hàm f gọi có biến phân bị chặn ( ký hiệu 𝑓 ∈ 𝐵𝑉)trên [𝑎, 𝑏]nếu đại lượng sau hữu hạn Footer Page 42 of 16 39 Header Page 43 of 16 𝑛 𝑏 V 𝑓 ≔ sup �|𝑓 (𝑡𝑖 ) − 𝑓 (𝑡𝑖−1 )| 𝑎 𝑖=1 sup lấy tập phân hoạch [𝑎, 𝑏] 𝑎 = 𝑡0 < 𝑡1 < ⋯ < 𝑡𝑛 = 𝑏, 𝑛 ∈ ℕ Có thể thấy hàm đơn điệu có biến phân bị chặn Mệnh đề 2.3.1 Giả sử 𝑓 ∈ 𝐵𝑉 [𝑎, 𝑏] Thế thì: i) ii) 𝑥 ( ) V Hàm 𝐹 𝑥 = 𝑓 (𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]) có tính chất: 𝑎 𝑦 𝐹 (𝑦 ) − 𝐹 (𝑥 ) = V 𝑓 , 𝑥 (𝑥 < 𝑦) 𝑓 hiệu hai hàm không giảm [𝑎, 𝑏] Chứng minh i) Gọi {𝑡𝑖 : 𝑖 = ����� 0, 𝑛} phân hoạch [𝑎, 𝑥] ������ �𝑠𝑗 : 𝑗 = 0, 𝑚� phân hoạch [𝑥, 𝑦] 𝑛 𝑉1 = �|𝑓 (𝑡𝑖 ) − 𝑓(𝑡𝑖−1 )| 𝑖=1 𝑚 𝑉2 = ��𝑓�𝑠𝑗 � − 𝑓(𝑠𝑗−1 )� 𝑗=1 �𝑡𝑖 , 𝑠𝑗 � lập thành phân hoạch [𝑎, 𝑦] Gọi V tổng ứng với phân hoạch ta có: Footer Page 43 of 16 40 Header Page 44 of 16 𝑦 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑉 ≤ V 𝑓 𝑎 𝑦 ⇒ 𝑉1 ≤ V 𝑓 − 𝑉2 𝑎 Lấy sup {𝑡𝑖 ; 𝑖 = ����� 0, 𝑛} ta 𝑦 𝐹 (𝑥) ≤ V 𝑓 − 𝑉2 𝑎 𝑦 V ⇒ 𝑉2 ≤ 𝑓 − 𝐹 (𝑥) 𝑎 ������ Lấy sup �𝑠𝑗 ; 𝑗 = 0, 𝑚� ta 𝑦 𝑦 V 𝑓 ≤ V 𝑓 − 𝐹(𝑥) 𝑥 𝑎 𝑦 hay 𝐹 (𝑥) + V 𝑓 ≤ 𝐹(𝑦) 𝑥 Ta chứng minh bất đẳng thực ngược lại Ta xét phân hoạch P [𝑎, 𝑦] ứng với tổng V Thêm điểm x vào số điểm chia ta có phân hoạch 𝑃′ [𝑎, 𝑦] ứng với tổng 𝑉 ′ Vì điểm chia 𝑃′ tạo thành phân hoạch [𝑎, 𝑥] [𝑥, 𝑦] nên ta có: 𝑦 𝑉 ≤ 𝑉 ≤ 𝐹 (𝑥) + V 𝑓 𝑥 ′ Footer Page 44 of 16 41 Header Page 45 of 16 𝑦 Từ ta có: 𝐹 (𝑦) ≤ 𝐹 (𝑥) + V 𝑓 𝑥 ii) Ta có: 𝑓 = 𝑔 − ℎ 𝑦 Vậy 𝐹 (𝑥) + V 𝑓 = 𝐹 (𝑦) 𝑥 1 Trong 𝑔 = (𝐹 + 𝑓); ℎ = (𝐹 − 𝑓) 2 𝑦 Ta có: |𝑓 (𝑦) − 𝑓 (𝑥)| ≤ V 𝑓 = 𝐹 (𝑦) − 𝐹 (𝑥) , (𝑥 < 𝑦) 𝑥 Từ ta có: 𝑔 (𝑦 ) − 𝑔 (𝑥 ) = 1 �𝐹 (𝑦) + 𝑓 (𝑦)� − �𝐹 (𝑥) + 𝑓 (𝑥)� 2 = �𝐹 (𝑦) − 𝐹(𝑥) + 𝑓(𝑦) − 𝑓 (𝑥)� ≥ �|𝑓 (𝑦) − 𝑓 (𝑥)| + 𝑓 (𝑦) − 𝑓 (𝑥)� (𝑦 > 𝑥 ) ≥0 2.3.2 • ℎ(𝑦) − ℎ(𝑥) ≥ 0; Hàm liên tục tuyệt đối (𝑦 > 𝑥) (tương tự) Định nghĩa 2.3.2 Hàm f gọi liên tục tuyệt đối [𝑎, 𝑏], ký hiệu 𝑓 ∈ 𝐴𝐶, ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > cho bất đẳng thức 𝑛 �|𝑓 (𝑏𝑖 ) − 𝑓 (𝑎𝑖 )| < 𝜀 𝑖=1 Footer Page 45 of 16 42 Header Page 46 of 16 đứng với họ {(𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ): 𝑖 = ����� 1, 𝑛} khoảng không giaonhau có tổng độ dài nhỏ 𝛿 Mệnh đề 2.3.2 Mỗi hàm liên tục tuyệt đối hiệu hai hàm liên tục tuyệt đối, không giảm Chứng minh Ta chứng minh: i) ii) 𝑓 ∈ 𝐴𝐶 𝑓 ∈ 𝐵𝑉 𝑥 𝐹 (𝑥) = V 𝑓(𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] hàm liên tục tuyệt đối 𝑎 Thật ta chứng minh ii) Do 𝑓 ∈ 𝐴𝐶 nên ∀𝜀, ∃𝛿 > cho họ {(𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ): 𝑖 = ����� 1, 𝑛} có khoảng không giào 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 �(𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 ) < 𝛿 ta có: �|𝑓 (𝑏𝑖 ) − 𝑓(𝑎𝑖 )| < 𝜀 ������ Nếu {𝑡𝑘 : 𝑘 = 0, 𝑚} phân hoạch [𝑎1 , 𝑏1 ] ta có: 𝑚 𝑛 𝑘=1 𝑖=2 �|𝑓 (𝑡𝑘 ) − 𝑓 (𝑡𝑘−1 )| + �|𝑓 (𝑏𝑖 ) − 𝑓 (𝑎𝑖 )| < 𝜀 𝑚 𝑛 𝑘=1 𝑖=2 𝑛 �Do �(𝑡𝑘 − 𝑡𝑘−1 ) + �(𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 ) = �(𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 ) < 𝛿� Lấy sup theo {(𝑡𝑘 }, ta được: 𝑛 𝑖=1 𝐹(𝑏1 ) − 𝐹 (𝑎1 ) + �|𝑓 (𝑏𝑖 ) − 𝑓(𝑎𝑖 )| ≤ 𝜀 𝑖=2 Footer Page 46 of 16 43 Header Page 47 of 16 𝑛 hay|𝐹 (𝑏1 ) − 𝐹 (𝑎1 )| + �|𝑓 (𝑏𝑖 ) − 𝑓(𝑎𝑖 )| ≤ 𝜀 𝑖=2 Lặp lại lý luận cho [𝑎2 , 𝑏2 ], … , [𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ] ta có 𝑛 �|𝐹 (𝑏𝑖 ) − 𝐹 (𝑎𝑖 )| ≤ 𝜀 𝑖=1 Vậy 𝐹 ∈ 𝐴𝐶 • Tiếp theo ta chứng minh i) Với 𝜀 = 1, ta tìm 𝛿 > tương ứng với định nghĩa 𝑓 ∈ 𝐴𝐶 Chia [𝑎, 𝑏] thành 𝑚 đoan cácđiểm {𝑠𝑖 : 𝑖 = 𝑜, ������ 𝑚} cho 𝑠𝑖 − 𝑠𝑖−1 < 𝛿, 𝑖 = ������ 𝑜, 𝑚 Nếu �𝑡𝑗 : 𝑗 = 𝑜, ������ 𝑛 phân hoạch [𝑎, 𝑏] với tổng tương ứng V 𝑉 ′ tổng tương ứng với phân hoạch �𝑡𝑗 , 𝑠𝑖 � ta có 𝑚 𝑉 ≤ 𝑉′ = � � �𝑓�𝑡𝑗 � − 𝑓�𝑡𝑗−1 �� < 𝑚 𝑖=1 �𝑡𝑗−1 ,𝑡𝑗 �⊂�𝑠𝑖−1, 𝑠𝑖 � Mệnh đề 2.3.3 Vậy 𝑓 ∈ 𝐵𝑉 𝑥 Nếu 𝑓 ∈ 𝐿(ℝ) 𝐹 (𝑥) = � 𝑓𝑑𝑚 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) m − h k n Chứng minh −∞ Ta xét độ đo Borel có dấu𝜑(𝐸 ) = � 𝑓𝑑𝑚 ; ∀𝐸 ∈ 𝐵(ℝ) 𝐸 Do 𝑓 ∈ 𝐿(ℝ) nên 𝜑(𝐸 ) < +∞; ∀𝐸 ∈ 𝐵(ℝ) Do 𝜑 độ đo có dấu, quy Footer Page 47 of 16 44 Header Page 48 of 16 Dễ dàng ta thấy 𝜑 ≪ 𝑚 nên theo định lý 3.1 Ta có: 𝐷𝜑(𝑥) = 𝑓(𝑥) m-h-k-n (Ta coi𝐷𝜑(𝑥) = 𝑓 (𝑥) điểm ) Do𝐷𝜑(𝑥) tồn nên với dãy {𝐸𝑛 } hội tụ tốtvề x ,tađều có: 𝜑 (𝐸𝑛 ) 𝑛→∞ 𝑚 (𝐸𝑛 ) 𝐷𝜑(𝑥) = lim Xét tập 𝐸𝑛 = (𝑥, 𝑥𝑛 ) ( trừng hợp 𝐸𝑛 = (𝑥𝑛 , 𝑥) ta làm tương tự )trong 𝑥𝑛 → 𝑥 Khi {𝐸𝑛 } hội tụ tốt x ta có 𝐹 (𝑥𝑛 ) − 𝐹(𝑥) 𝜑 (𝐸𝑛 ) � 𝑓𝑑𝑚 = = 𝑚(𝐸𝑛 ) 𝑥𝑛 − 𝑥 (𝑥,𝑥𝑛 ) 𝑥𝑛 − 𝑥 𝐹 (𝑥𝑛 ) − 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑛→∞ 𝑥𝑛 − 𝑥 Do lim Vậy𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) Định lí (định lí phép tính tích phân) Nếu hàm f liên tục tuyệt đối [𝑎, 𝑏] f khả vi h.k.n [𝑎, 𝑏] hàm 𝑓 ′ khả tích [𝑎, 𝑏] ta có: 𝑥 𝑓(𝑥) − 𝑓 (𝑎) = � 𝑓 ′ 𝑑𝑚 Chứng minh: 𝑎 (𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) (1) Do hàm liên tục tuyệt đối viết thành hiệu hai hàm liên tục tuyệt đối không giảm nên ta xem f hàm liên tục tuyệt đối, không giảm Footer Page 48 of 16 45 Header Page 49 of 16 Ta kí hiệu F 𝜎- đại số tập đo được, chứa [𝑎, 𝑏] Trước ta chứng minh 𝐸 ⊂ [𝑎, 𝑏] có độ đokhông 𝑓 (𝐸 ) có độ đo Ta giả thiết Ekhông chứa a,b (do 𝑚(𝐸 ) = 0).Cho 𝜀 > cho trước, ta kí hiệu 𝛿 số tương ứng chọn theo định nghĩa hàm liên tục tuyệt đối Do tính quy độ đo m, tồn tập mở V hội không đếm khoảng mở (𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ) đôi không giao cho 𝐸 ⊂ 𝑉, 𝑚(𝑉 ) < 𝛿 Ta có: 𝑚(𝑓(𝑉)) = 𝑚 �� 𝑓 (𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 )� ≤ � 𝑚�𝑓(𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 )� 𝑖 𝑖 ⇒ 𝑚(𝑓(𝑉)) ≤ �|𝑓 (𝑏𝑖 ) − 𝑓 (𝑎𝑖 )| ≤ 𝜀 𝑖 (do cách chọn 𝛿) Vậy tập 𝑓 (𝐸 ) chứa tập có độ đo nhỏ tùy ý, nêndo tính đầy đủ độ đo m ta suy 𝑓(𝐸 ) đo có độ đo Tiếp theo ta chứng minh 𝐸 đo 𝑓(𝐸 ) đođược Thật vậy: E đo nên 𝐸 = 𝐴 ∪ 𝐵 với A tập dạng 𝐹𝜎 , 𝐴 = ⋃𝑛 𝐹𝑛 , 𝐹𝑛 đóng , 𝐵 tập có độ đo 0: Ta có 𝐹 (𝐸 ) = 𝑓(𝐴) ∪ 𝑓(𝐵) 𝑓 (𝐴) tập dạng 𝐹𝜎 tính liên tục f , 𝑓(𝐵) có độ đo 0dochứng minh Vậy 𝑓(𝐸 ) tập đo Ta chứng minh định lý cho trường hợp f hàm tăng chặt Ánh xạ 𝜑: 𝐹 → [0, +∞] 𝐸 ↦ 𝜑(𝐸 ) = 𝑚�𝑓 (𝐸 )� Footer Page 49 of 16 46 Header Page 50 of 16 độ đo dương (tính 𝜎-cộng 𝜑 suy từ già thiết tăng chặt f ), liên tục tuyệt độ đo Lebesgue m • 𝑚(𝐸 ) = ⇒ 𝑚�𝑓 (𝐸 )� ⇒ 𝜑(𝐸 ) = Gọi ℎ ∈ 𝐿(𝑎, 𝑏) hàm thỏa chọn 𝐸 = (0, 𝑥) ta có 𝑚�𝑓(𝐸 )� = � ℎ 𝑑𝑚 (𝐸 ∈ 𝐹) 𝐸 𝑥 𝑚(𝑓[𝑎, 𝑏]) = � ℎ 𝑑𝑚 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) 𝑎 Xem ℎ = (−∞, 0) ∪ (𝑏, ∞) , ta có 𝑥 𝑓(𝑥) − 𝑓 (𝑎) = � ℎ 𝑑𝑚 nên 𝑓 ′ (𝑥) = ℎ(𝑥) 𝑥 −∞ Vậy � 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑚 = 𝑓 (𝑥) − 𝑓(𝑎) 2.4 𝑎 Phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian 𝑳𝒑 (𝑿, 𝝁) Cho 𝜇 độ đo dương, giả sử ≤ 𝑝 ≤ ∞, q số mũ liên hợp p Bất đẳng thức Holder 𝑔 ∈ 𝐿𝑞 (𝜇) 𝜙𝑔 định nghĩa: 𝜙𝑔 (𝑓) = � 𝑓𝑔𝑑𝜇 𝑋 𝜙𝑔 ánh xạ tuyến tính bị chặn không gian 𝐿𝑝 (𝜇), vơí chuẩn ‖𝑔‖𝑞 Một câu hỏi tự nhiên đặt có phải tất ánh xạ tuyến tính bị chặn không gian 𝐿𝑝 (𝜇) biểu diễn trên, biểu diễn có phải hay không? Footer Page 50 of 16 47 Header Page 51 of 16 Trường hợp 𝑝 = ∞, người ta chứng minh 𝐿1 (𝑚)không chứa tất hàm tuyến tính bị chặn 𝐿∞ (𝑚) Trường hợp < 𝑝 < ∞ câu trả lời khẳng định ta trình bày trường hợp 𝑋 không gian độ đo 𝜎- hữu hạn Định lí Giả sử1 ≤ 𝑝 < ∞, 𝜇 độ đo 𝜎- hữu hạn 𝑋, 𝜙 ánh xạ tuyến tính bị chặn 𝐿𝑝 (𝜇) Khi tồn ánh xạ 𝑔 ∈ 𝐿𝑞 (𝜇), với 𝑞 số mũ liên hợp 𝑝, cho: 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (𝜇) 𝜙(𝑓) = � 𝑓𝑔𝑑𝜇 , 𝑋 Hơn nửa ta có ‖𝜙‖ = ‖𝑔‖𝑞 (2) Chứng minh (1)  Sự nhất: Giả sử 𝑔 𝑔′ thỏa (1) Khi ta có � (𝑔 − 𝑔′ )𝑓𝑑𝜇 = X không gian 𝜎 − hữu hạn nên 𝑋 ∞ 𝑋 = � 𝑋𝑛 , 𝜇(𝑋𝑛 ) < +∞ 𝑛=1 𝑋𝑛 ∩ 𝑋𝑚 = 𝜙, ∞ � (𝑔 − 𝑔 )𝑓𝑑𝜇 = � � (𝑔 − 𝑔′ )𝑓𝑑𝜇 = 𝑋 ′ 𝑛≠𝑚 𝑛=1 𝑋𝑛 Chọn 𝑓 hàm đặc trưng 𝑋𝑛 , tức 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∈ 𝑋𝑛 Khi ta có: � (𝑔 − 𝑔′ )𝑓𝑑𝜇 = 𝑋𝑛 Footer Page 51 of 16 𝑓 (𝑥) = 𝑥 ∉ 𝑋𝑛 48 Header Page 52 of 16 ⇒ � (𝑔 − 𝑔′ )𝑑𝜇 = 𝑋 ⇒ 𝑔 − 𝑔′ hầu khắp nơi 𝑋𝑛 Tương tự ta chứng minh 𝑔 = 𝑔′ hầu khắp nơi 𝑋  Sự tồn tại: Từ (1) ta có: |𝜙(𝑓)| = �� 𝑓𝑔𝑑𝜇 � ≤ � |𝑓𝑔|𝑑𝜇 ≤ �� |𝑓|𝑝 𝑑𝜇� 𝑋 = ‖𝑔‖𝑞 ‖𝑓‖𝑝 𝑋 𝑋 ⇒ ‖𝜙‖ ≤ ‖𝑔‖𝑞 1� 𝑝 �� |𝑔|𝑞 𝑑𝜇� 𝑋 1� 𝑞 (3) Ta phải chứng minh 𝑔 tồn (3) xảy dấu bắng • Nếu ‖𝜙‖ = ta có (1) (2) với 𝑔 = • Nếu ‖𝜙‖ > Ta xét trường hợp 𝜇 (𝑋 ) < +∞ với tập đo 𝐸 ∈ 𝑋, định nghĩa 𝜆𝐸 = 𝜙(𝜒𝐸 ) Vì 𝜙 tuyến tính 𝜒𝐴∪𝐵 = 𝜒𝐴 + 𝜒𝐵 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ Do 𝜆 có tính cộng hữu hạn ∞ Gỉa sử 𝐸 = � 𝐸𝑖 , 𝐸𝑖 ∩ 𝐸𝑗 = ∅ (𝑖 ≠ 𝑗) 𝑘 𝑖=1 Dặt 𝐴𝑘 = � 𝐸𝑖 𝑖=1 Ta có �𝜒𝐸 − 𝜒𝐴𝑘 � = [𝜇(𝐸 − 𝐴𝑘 )] 𝑝 1� 𝑝 → ( 𝑘 → ∞) ( ) Từ tính liên tục 𝜙 ta có𝜆(𝐴𝑘 ) → 𝜆(𝐸 ) Footer Page 52 of 16 49 Header Page 53 of 16 Do 𝜇(𝐸 ) = thi 𝜆(𝐸 ) = Vì ‖𝑥𝐸 ‖𝑝 = Do 𝜆 ≪ 𝜇, định lí Radon-Nikodym khẳng định tồn 𝑔 ∈ 𝐿1 (𝜇) cho với tập đo 𝐸 ⊂ 𝑋 ta có 𝜙 (𝜒𝐸 ) = � 𝑔𝑑𝜇 = � 𝜒𝐸 𝑔𝑑𝜇 𝐸 (5) 𝑋 Nếu 𝑓 hàm đơn giản ta có: 𝜙(𝑓) = � 𝑓𝑔𝑑𝜇 𝑋 Nếu 𝑓 ∈ 𝐿∞ (𝜇) tồn dãy hàm đơn giản đo (𝑓𝑛 )𝑛 cho lim 𝑓𝑛 = 𝑓 𝑛→∞ ⇒ ‖𝑓𝑛 − 𝑓‖𝑝 → 𝑛 → ∞ ⇒ 𝜙(𝑓𝑛 ) → 𝜙(𝑓) 𝑛 → ∞ Chúng ta kết thúc chứng minh việc chứng tỏ 𝑔 ∈ 𝐿𝑞 (𝜇) (2) Trường hợp 1: 𝑝 = Từ(5)ta có: �� 𝑔𝑑𝑚� ≤ ‖𝜙‖ ‖𝜒𝐸 ‖1 = ‖𝜙‖ 𝜇(𝐸 ) 𝐸 ⇒ 𝑔(x) ≤ ‖𝜙‖ hầu khắp nơi ∀𝐸 ∈ 𝔐 ⇒ ‖𝑔‖∞ ≤ ‖𝜙‖ Trường hợp 2: < 𝑝 < ∞ Khi tồn hàm đo 𝛼, ‖𝛼 ‖ = cho 𝛼𝑔 = |𝑔| Đặt 𝐸 𝑛 = {𝑥: |𝑔(𝑥)| ≤ 𝑛} , 𝑓 = 𝜒 𝐸 𝑛 |𝑔|𝑞−1 𝛼 Khi |𝑓|𝑝 = |𝑔|𝑞 𝐸 𝑛 , 𝑓 ∈ 𝐿∞ (𝜇) từ (6) ta có: Footer Page 53 of 16 50 Header Page 54 of 16 1� 𝑝 � |𝑔|𝑞 𝑑𝜇 = � 𝑓𝑔𝑑𝜇 = 𝜙(𝑓) ≤ ‖𝜙‖ �� |𝑔|𝑞 � 𝐸𝑛 𝐸𝑛 𝑋 ⇒ � 𝜒 𝐸 𝑛 |𝑔|𝑞 𝑑𝜇 ≤ ‖𝜙‖𝑞 (𝑛 = 1,2,3, … ) 𝑋 Áp dụng định líhội tụ đơn điệu vào (7), ta có: ‖𝑔‖𝑞 ≤ ‖𝜙‖ (7) Do (2) tức ‖𝜙‖ = ‖𝑔‖𝑞 , 𝑔 ∈ 𝐿𝑞 (𝜇) Ta chứng minh trường hợp , 𝑓 ∈ 𝐿∞ (𝜇) , 𝐿∞ (𝜇) trù mật 𝐿𝑝 (𝜇) nên với , 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (𝜇) Xét trường hợp 𝜇(𝑋 ) = +∞, 𝜇 độ đo 𝜎- hữu hạn Tồn 𝒲 ∈ 𝐿1 (𝜇) cho 𝑑𝜇� = 𝒲𝑑𝜇 xác định độ đo hưũ hạn 𝔐 ánh xạ 𝐹 → 𝒲 𝒲 (𝑥) > ∀𝑥 ∈ 𝑋 1� 𝑝𝐹 (8) đẳng cự tuyến tính từ 𝐿𝑝 (𝜇�) lên 𝐿𝑝 (𝜇) Do đo Ψ(F) = 𝜙 �𝒲 1� 𝑝 𝐹� 𝐿𝑝 (𝜇�), với ‖Ψ‖ = ‖𝜙‖ (9) xác định hàm tuyến tính bị chặn Ψ Theo chứng minh phần tồn 𝐺 ∈ 𝐿𝑞 (𝜇�) cho Ψ(F) = � FGd𝜇��𝐹 ∈ 𝐿𝑝 (𝜇�)� Đặt 𝑔 = 𝒲 1� 𝑞 𝐺(nếu X (10) 𝑝 = 1, 𝑔 = 𝐺) Khi � |𝑔|𝑞 𝑑𝜇 = � |𝐺 |𝑞 𝑑𝜇� = ‖Ψ‖𝑞 = ‖𝜙‖𝑞 𝑛ê𝑢 𝑝 > 𝑋 𝑋 Nếu p = 1, ‖g‖∞ = ‖G‖∞ = ‖Ψ‖ = ‖𝜙‖ 𝐺𝑑𝜇� = 𝒲 𝜙 (𝑓) = Ψ �𝒲 Footer Page 54 of 16 −1� 𝑝 𝑓� =� 𝒲 𝑋 −1� 𝑝 𝑓𝐺𝑑𝜇 � = � 𝑔𝑓 𝑑𝜇 𝑋 1� 𝑝𝑔 𝑑𝜇 ta có: ∀𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (𝜇) Header Page 55 of 16 51 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày Định lí Radon-Nikodym số kết liên quan mốt số ứng dụng ban đầu định lí Radon-Nikoduy Qua trình làm luận văn, nhận thấy kiến thức học học phần: Giải tích hàm, Giải tích thực chương trình Cao học giúp nhiều việc hoàn thành luận văn này.Quan trọng bước đầu học phương pháp tự học tự nghiên cứu Chúng hy vọng học tập nghiên cứu thêm đề tài thời gian tới Footer Page 55 of 16 52 Header Page 56 of 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO G.B.Folland Real Analysis John Wiley&sons, Ine, New-York,1999 E.Hewitt, K.Stromberg Real and Abstract Analysis Springer-Verlag, New-York,1965 W.Rudin Real and Complex Analysis Mc.Graw-Hill, 1987 Footer Page 56 of 16 ... thực tiễn: Định lí Radon- Nikodym định lí trung tâm lí thuyết độ đo tích phân Nó tìm ứng dụng có ý nghĩa Giải tích thực, Giải tích hàm, Y học,… Việc tìm hiểu ứng dụng định lí Radon- Nikodym trình... bày định lí Radon- Nikodym hệ - Trình bày tương đối đầy đủ ứng dụng định lí Radon- Nikodym Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp chung: sưu tầm tài liêu định lí Radon- Nikodym vấn đề liên quan, ứng. .. Tôpô đại cương Nội dụng luân văn: CHƯƠNG Định lí Radon- Nikodym 1.1 Độ đo liên tục tuyệt đối, tính chất 1.2 Phân tích Lebesgue -Radon- Nikodym 1.3 Định lí Radon- Nikodym CHƯƠNG Ứng dụng 2.1 Đối biến