Ôn tập lý thuyết Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Cách 1: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm định nghĩa Cách 2: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 định lý Cách 3: Tứ[r]
(1)Hoàng Ngọc Thà (2) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH CHỨNG MINH HỆ THỨC I Ôn tập lý thuyết Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Cách 1: Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (định nghĩa) Cách 2: Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 (định lý) Cách 3: Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn xuống cạnh chứa hai đỉnh còn lại góc (quỹ tích cung chứa góc) Khi chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn các kết sau thường sử dụng: - Tổng hai góc đối diện 1800 - Các góc nhau; các đoạn thẳng nhau… (3) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH CHỨNG MINH HỆ THỨC II Bài tập Cho đường tròn (O;R), đường kính AB Gọi M là trung điểm đoạn OB.Dây CD vuông góc với AB M Điểm E chuyển động trên cung nhỏ AC (E ≠ A).Nối AE cắt CD K Nối BE cắt CD H.Chứng minh: a Bốn điểm B;M;E;K cùng thuộc đường tròn b AE.AK= AC2 c AE.AK không đổi d Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác BHK luôn thuộc đường thẳng cố định E chuyển động trên cung nhỏ AC (4) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH CHỨNG MINH HỆ THỨC Cho đường tròn (O;R), đường kính AB Gọi M là trung điểm đoạn OB.Dây CD vuông góc với AB M Điểm E chuyển động trên cung nhỏ AC (E ≠ A).Nối AE cắt CD K Nối BE cắt CD H.Chứng minh: a Bốn điểm B;M;E;K cùng thuộc đường tròn b AE.AK= AC2 c AE.AK không đổi d Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác BHK luôn thuộc đường thẳng cố định E chuyển động trên cung nhỏ AC (5) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH CHỨNG MINH HỆ THỨC Chứng minh: ốn điểm B;M;E;K cùng thuộc đường tròn Các kiện lấy từ: + E thuộc đường tròn đường kính AB + CD vuông góc với AB M *)+Ta có ∠ AEB= 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) → ∠KEB = 900 (kề bù với ∠ AEB) + CD⊥AB M (gt)→∠CMB = 900 →∠KMB =900 *) Xét tứ giác BMEK có: ∠ KEB =∠KMB = 900 →Tứ giác BMEK nội tiếp đường tròn ( quỹ tích cung chứa góc) Vậy bốn điểm B;M;E;K cùng thuộc đường tròn (6) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH CHỨNG MINH HỆ THỨC b) Chứng minh: AE.AK= AC2 AE.AK= AC2 AE AC = AC AK AEC ~ ACK AMK = ACM AKM = AMC (7) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH CHỨNG MINH HỆ THỨC b) Cách 2: *) AEB và AMK có: ∠ AEB = ∠ AMK= 900 ∠ BAE- góc chung → AEB ~ AMK (g-g) Các AE cách chứng minh đẳng thức: AB = Cách Chứng minh trực tiếp AM 1:AK Cách=AM.AB 2: Chứng → AE.AK (1 ) minh gián tiếp *) ∆ACB: ∠ ACB = 900 (cmt); CM⊥ AB M(gt) → AC2 = AM.AB (đl) (2) Từ (1) và (2), ta có AE.AK= AC2 (8) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH CHỨNG MINH HỆ THỨC c) Chứng minh: AE.AK không đổi + Ta có AE.AK= AC2 (1) Xét ACB có: ∠ ACB=900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CM AB M (gt) →AC2 = AM AB (2) Từ (1) và (2) ta có: AE.AK= AM AB (3) M thuộc OB: OM = MB (gt)→ OM = R 3R → AM= R + R = 2 3R → AM.AB = 2R = 3R2 (4) Từ (3) và (4) ta có : AE.AK = 3R2 Vậy AE.AK không đổi (9) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH CHỨNG MINH HỆ THỨC Các lưu ý chứng minh đẳng thức: 1- Thay các đoạn đẳng thức cần chứng minh các đoạn thẳng nó để làm xuất các tam giác đồng dạng 2- Sử dụng linh hoạt các kiến thức có các tỷ lệ thức: Định lý Ta lét; tính chất đường phân giác tam giác; hệ thức lượng tam giác vuông… Các kết có thể suy chứng minh đẳng thức: 1- Tích hai đoạn không đổi 2- Tỷ số hai đoạn không đổi 3- Độ dài đoạn thẳng không đổi (10) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH CHỨNG MINH HỆ THỨC Hướng dẫn câu d: *) Gọi F là điểm đối xứng O qua B→ F cố định *) Chứng minh tứ giác BHKF nội tiếp(dùng định lý) *) Khẳng định tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác BHK nằm trên đường trung trực BF cố định (11) CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHỨNG MINH CHỨNG MINH HỆ THỨC Về nhà: + Ôn tập các cách chứng minh hệ thức hình học- các ứng dụng + Xem lại bài giảng- Vận dụng: làm các câu a;b các đề: 1;4;5;6 (12) (13)