1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Tài liệu Ánh xạ liên tục trên không gian topo docx

38 2K 31

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 38
Dung lượng 383,06 KB

Nội dung

z  Ánh xạ liên tục trên không gian topo Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 3 - Chương 1 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ TỔNG QUÁT A. Kiến thức chuẩn bị: 1. Định nghĩa tôpô: Cho tập X ≠ Ø. Một họ  các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: a) X   và Ø   ; b) Hợp tùy ý các tập thuộc  là thuộc  ; c) Giao hữu hạn các tập thuộc  cũng thuộc  . Một tập X được trang bị một tôpô tr ên nó được gọi là một không gian tôpô, kí hiệu (X,  ). Nếu chỉ ký hiệu không gian tôpô l à X thì ta ngầm hiểu rằng trên X đã được trang bị một tôpô nào đó. 2. Tập mở, tập đóng, lân cận: Cho không gian tôpô (X,  ). a) Mọi tập thuộc  được gọi là tập mở; tập có phần bù là tập mở gọi là tập đóng. b) Với mỗi điểm x  X, tập V  X được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở G trong X sao cho x  G  V. Nhận xét: G là tập mở khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm thuộc nó. c) Họ tất cả các lân cận của điểm x được gọi là hệ lân cận của x, ký hiệu V x . Họ B x  V x được gọi là một cơ sở lân cận của điểm x nếu  V  V x ,  B  B x sao cho x  B  V. 3. Các loại điểm, phần trong, bao đóng: Cho không gian tôpô (X,  ), x  X và tập A  X. a) Các loại điểm: Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 4 - - x gọi là điểm trong của A nếu tồn tại tậ p mở G sao cho x  G  A. - x gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại tập mở G sao cho x  G  X \ A. - x gọi là điểm biên của A nếu  V  V x , V  A ≠ Ø, và V  (X \ A) ≠ Ø. - x gọi là điểm dính của A nếu  V  V x , V  A ≠ Ø. - x goi là điểm cô lập của A nếu  V  V x : V  A = Ø. Nếu A = X thì x là điểm cô lập của A nếu tập {x} l à tập mở. b) Phần trong của tập A, ký hiệu l à int A hoặc o A , là tập tất cả các điểm trong của A. Nói cách khác, phần trong của A là tập mở lớn nhât chứa trong A. c) Bao đóng của tập A, ký hiệu A , là tập đóng bé nhất trong X chứa A. 4. Tập hợp trù mật, không gian khả ly: a) Trong không gian tôpô X, t ập con A của X được gọi là trù mật trong X nếu A = X. Nếu int A = Ø thì A gọi là tập thưa ( hay tập không đâu trù mật). b) Không gian tôpô (X,  ) là không gian khả ly nếu tồn tại một tập A  X sao cho A không quá đếm được và A = X, tức là A trù mật trong X. 5. Tập thuộc phạm trù:: Không gian tôpô X g ọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X bằng hợp đếm đ ược các tập không đâu trù mật. Không gian không thu ộc phạm trù thứ nhất gọi là thuộc phạm trù thứ hai. 6. Không gian T 1 , T 2 và không gian chuẩn tắc: a) Không gian tôpô X được gọi là T 1 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất k ì của X đều có một lân cận của x không chứa y v à một lân cận của y không chứa x. b) Không gian tôpô X đư ợc gọi là không gian Hausdorff (hay T 2 - không gian) nếu bất kì hai điểm khác nhau x, y  X đều tồn tại một lân cận U của x v à lân cận V của y sao cho U  V = Ø. c) Không gian tôpô X được gọi là không gian chuẩn tắc (hay T 4 – không gian) nếu X là T 1 – không gian và với hai tập đóng bất k ì A, B không giao nhau c ủa X luôn tồn tại các tập mở U và V sao cho A  U, B  V và U  V = Ø. 7. Không gian tôpô t ổng, tích, thương: Cho   I X    )( , là họ các không gian tôpô. Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 5 - a) Tổng: Đặt X =   X I  . Xét họ  = {G  X: G   X    ,    I}. Khi đó,  là một tôpô trên X và (X,  ) là không gian tôpô t ổng của họ không gian tôpô đ ã cho, ký hiệu X=  I X   . Nếu họ   I X   rời nhau từng đôi th ì tổng gọi là tổng trực tiếp, ký hiệu X =   X I  . Ký hiệu XXi   : , )x(  i = x, là phép nhúng chính t ắc. b) Tích Descartes: Đặt X =  I X   và   XX : là phép chiếu (hay ánh xạ tọa độ thứ  ). Gọi  là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu   liên tục (định nghĩa ánh xạ li ên tục sẽ được trình bày sau trong ch ương này). Khi đó, (X,  ) gọi là không gian tôpô tích của họ không gian đ ã cho. c) Không gian thương: Cho không gian tôpô (X,  ) và một quan hệ tương đương R trên X. K ý hiệu X/R là tập thương của X theo quan hệ t ương đương R. Xét ánh x ạ  : X  X/R xác định bởi  (x) = x , với x là lớp tương đương chứa x. Khi đó,  gọi là phép chiếu chính tắc và dễ thấy  là toàn ánh. Trên X/R, dễ thấy họ   = {V  X/R:  -1 (V)   } là một tôpô và là tôpô mạnh nhất để  liên tục. Khi đó, (X/R,   ) gọi là không gian thương c ủa không gian X theo quan hệ t ương đương R. B. Các vấn đề về ánh xạ liên tục. 1.1. Định nghĩa ánh xạ liên tục: Cho hai không gian tôpô (X, τ X ), (Y, τ Y ) và ánh xạ f: X  Y. Khi đó, f được gọi là liên tục tại điểm x 0  X nếu với mỗi lân cận W của f(x 0 )  Y, tồn tại lân cận V của x 0 sao cho f(V)  W. Nếu f liên tục  x  X thì f được gọi là liên tục trên X. Nếu f: (X, X  )  (Y, Y  ) là ánh xạ liên tục thì ta còn nói ánh x ạ f là ( X  , Y  )- liên tục. Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 6 - 1.2.Các định lý và tính chất: Với mỗi x, ký hiệu B x là cơ sở lân cận của x. Khi đó, ta có định lý sau: Định lý 1.2.1: Ánh xạ f: X  Y liên tục tại x khi và chỉ khi  W  B f(x) , tồn tại V  ß x sao cho f (V)  W. Chứng minh: Giả sử f liên tục tại x, và W  B f(x) . Vì W là một lân cận của f(x) nên tồn tại lân cận U của x sao cho f(U)  W. Mà B x là cơ sở lân cận của x nên có V  B x sao cho V  U, do đó f(V)  f(U)  W. Ngược lại, gọi G là một lân cận của f(x)   W  B f(x) : W  G. Theo giả thiết,  U  B x : f(U)  W f(U)  G f liên tục tại x.  Định lý 1.2.2: Cho (X, τ X ), (Y, τ Y ) là hai không gian tôpô. Ánh x ạ f: X  Y liên tục tại điểm x  X khi và chỉ khi với mọi lân cận W của f(x) th ì f -1 (W) là lân cận của x. Chứng minh: Giả sử f liên tục tại x và W là lân cận của f(x). Khi đó tồn tại lân cận V của x sao cho f(V)  W  V  f -1 (W)  f -1 (W) là lân cận của x. Ngược lại, gọi W là lân cận của f(x). Theo giả thiết, f -1 (W) là lân cận của x. Đặt V= f -1 (W) thì V là lân cận của x và f(V) = f( f -1 (W))  W  f liên tục lại x.  Định lý 1.2.3: Cho ánh xạ f: (X, τ X )  (Y, τ Y ). Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: a) f liên tục trên X. b) Nghịch ảnh của mỗi tập mở trong Y l à tập mở trong X. c) Nghịch ảnh của mỗi tập đóng trong Y l à tập đóng trong X. d)  A  X f( A )  )(Af . e)  B  Y  )( 1 Bf   f -1 ( B ). f)  B  Y  f -1 (int B)  int f -1 (B). Chứng minh: Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 7 - a)  b): Giả sử G  τ Y (tức G mở trong Y), G ≠ Ø. Với mỗi x  f -1 (G) thì f(x)  G, do G là tập mở nên G là lân cận của f(x). Mà f liên tục nên tồn tại lân cận V của x sao cho f(V)  G x  V  f -1 (G)  f -1 (G) là lân cận của x. Vậy, f -1 (G) là lân cận của mọi điểm thuộc nó n ên f -1 (G) là tập mở. b) c): Gọi F là tập đóng trong Y  Y\F là tập mở trong Y  f -1 (Y\F) = X\ f -1 (F) là tập mở trong X  f -1 (F) đóng trong X. c)  d):  A  X, ta có f -1 ( )(Af ) là tập đóng trong X. Vì f(A)  )(Af nên A  f -1 ( )(Af )  A  f -1 ( )(Af ) f( A )  f (f -1 ( )(Af ))  )(Af d)  e):  B  Y, ta có: f( )( 1 Bf  )  ))(( 1 Bff   B  )( 1 Bf   f -1 ( B ). e)  f):  B  Y f -1 (int B) = f -1 (Y\ BY \ ) = X\f -1 ( BY \ ). Mà )(\ 1 BfX  = )\( 1 BYf   f -1 ( BY \ ) (do e) Nên X\f -1 ( BY \ )  X\ )(\ 1 BfX  = int f -1 (B). Vậy, f -1 (int B)  int f -1 (B). f)  a):  x  X, gọi W là lân cận mở của f(x). Theo giả thiết ta có: x  f -1 (W) = f -1 (int W)  int f -1 (W). Nếu đặt V = int f -1 (W) thì V là lân cận của x và f(V)  W. Do đó, f liên tục trên X.  Nhận xét 1.2.1: a)Từ định lý 1.2.3 ta có thể phát biểu lại định lý 1. 2.2 như sau: “Ánh xạ f: X  Y liên tục tại điểm x  X khi và chỉ khi với mọi lân cận mở W của f(x) thì f -1 (W) là lân cận mở của x”. b) Nếu f:(X, X  )  (Y, Y  ) là ánh xạ liên tục thì với mọi tôpôtrên X mà   X  thì ánh xạ f: (X,  )  (Y, Y  ) cũng liên tục. Thật vậy, với x  X gọi W là lân cận mở của f(x). Vì f là ( X  , Y  )- liên tục nên f -1 (W)  X   f -1 (W)    ánh xạ f là (  , Y  )-liên tục. Ví dụ 1.1: Cho X là không gian tôpô r ời rạc, Y là không gian tôpô tùy ý. Khi đó, mọi ánh xạ f: X  Y đều liên tục. Thật vậy, nếu G là tập mở trong Y thì f -1 (G)  X, mà X rời rạc nên f -1 (G) mở trong X. Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 8 - Ví dụ 1.2: Nếu X là không gian tôpô b ất kỳ và Y là không gian tôpô thô thì m ọi ánh xạ f: X  Y đều liên tục vì  A  X, A ≠ Ø thì f( A ) = )(Af = X ( do đó f( A )  )(Af ). Ví dụ 1.3: Trên tập X trang bị hai tôpô τ 1 và τ 2 . Ánh xạ đồng nhất f: (X, τ 1 )  (X, τ 2 ) liên tục khi và chỉ khi τ 1 ≥ τ 2 (hay τ 1  τ 2 ). Thật vậy, vì ánh xạ đồng nhất f:(X, 2  )  (X, 2  ) liên tục nên theo nhận xét 1.2.1 nếu τ 1 ≥ τ 2 thì ánh xạ đồng nhất f: (X, τ 1 )  (X,τ 2 ) cũng liên tục. Điều ngược lại là hiển nhiên. Ví dụ 1.4: Ánh xạ hằng f: X  Y (y 0 cố định trong Y) là ánh xạ liên tục vì với x  y 0 mọi lân cận W của y 0 thì f -1 (W) = X là lân cận của x  x  X. Định lý 1.2.4: Cho ba không gian tôpô (X, τ X ), (Y, τ Y ), (Z, τ Z ) và hai ánh xạ liên tục f: X  Y, g: Y  Z. Khi đó ánh xạ tích h = g o f: X  Y cũng liên tục. Chứng minh: Giả sử V mở trong Z  g -1 (V) mở trong Y  h -1 (V) = f -1 [g -1 (V)] mở trong X. Do đó, h liên tục.  Nhận xét 1.2.2: Giả sử X là không gian tôpô, R là t ập số thực với tôpô tự nhi ên ( tôpô tự nhiên trên R là tập các khoảng mở của R ). Khi đó, các ánh x ạ f: X  R được gọi là các hàm số. Theo định lý 1.2.1, f liên tục tại x 0  X khi và chỉ khi  ε > 0,  lân cận V của x 0 sao cho  x  V thì | f(x) – f(x 0 ) | < ε. Đặt biệt, nếu X = R th ì ta được hàm số f: R  R. Khi đó, f liên tục tại x 0  R khi và chỉ khi  ε >0,  δ >0 sao cho  x  R thỏa | x – x 0 | < δ thì | f(x) – f(x 0 ) | < ε. Đây là định nghĩa quen thuộc về hàm liên tục trong giải tích cổ điển đối với h àm một biến thực. Định lý 1.2.5: Cho f,g: X  R là các hàm số liên tục. Khi đó, các hàm | f |, -f, f  g, f.g, min{f, g}, max{f, g} là liên tục. Nếu g(x) ≠ 0  x  X thì g f cũng liên tục. Chứng minh: a) Gọi h: R → R là hàm số xác định bởi h(x) = |x|. Khi đó, | f | = h o f là hợp của hai hàm liên tục nên | f | liên tục. b) Do f liên tục nên  x  X,  ε > 0,  lân cận V của x sao cho  x’  V ta có |f(x’) – f(x)| < ε  |(-f)(x’) – (-f )(x)| = |-f(x’) + f(x)| = | f(x’) – f(x)| < ε. Do đó, -f liên tục. Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 9 - c) Đặt φ = f + g.  x  X và  ε > 0, ta có: Vì f liên tục nên  lân cận V của x sao cho  x’  V: |f(x’) – f(x)| < 2  . Vì g liên tục nên  lân cận V’ của x sao cho  x’  V’: |g(x’) – g(x)| < 2  . Đặt V = U  U’ thì V cũng là một lân cận của x v à  x’  V ta có: | φ(x’) – φ(x)| ≤ | f(x’) – f(x)| + |g(x’) – g(x)| < 2  + 2  = ε. Vậy, φ = f +g liên tục. d) Vì f liên tục và –g liên tục nên f – g = f + (-g) liên tục. e) Đặt  = f.g.  x  X và  ε > 0, ta có: Vì f liên tục nên  lân cận V của x sao cho  x’  V: |f(x’) – f(x)| < )'(.2 Vx sup xg    . Vì g liên tục nên  lân cận V’ của x sao cho  x’  V’: |g(x’) – g(x)| < |)(|2 xf  .  |  (x’) -  (x)| = | f(x’).g(x’) – f(x).g(x) | = | f(x’).g(x’) – f(x).g(x’) + f(x).g(x’) – f(x).g(x) | = | g(x’).( f(x’) – f(x)) + f(x).(g(x’) – g(x)) |  |g(x’)|.|f(x’) – f(x)| + |f(x)|.|g(x’) – g(x)| < |g(x’)|. )'(.2 Vx sup xg    + |f(x)|. |)(|2 xf  < 2  + 2  =  . Vậy,  liên tục. f) Tính liên tục của min{f, g}và max{f, g} được suy ra từ các đẳng thức sau: min{f, g}= 2 )()( xgxf  - 2 |)()(| xgxf  , max{f, g}= 2 )()( xgxf  + 2 |)()(| xgxf  . g) Nếu g(x)  0  x  X, để chứng minh g f liên tục, ta chỉ cần chứng minh g 1 liên tục. Do g liên tục và |g(x)| > 0  x  X nên với mỗi x 0  X tồn tại lân cận V của x 0 và M > 0 sao cho  x  V thì |g(x)|  M. Mặt khác, g liên tục    > 0,  lân cận U của x 0 sao cho  x  U, Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 10 - |g(x) – g(x 0 )| < M 2 .  . Đặt V’ = V  U. Khi đó V’ là lân c ận của x 0 , và  x  V’, ta có: | )( 1 xg - )( 1 0 xg | = | )().( )()( 0 0 xgxg xgxg  | < MM M . 2  =  . Vậy, g 1 liên tục, do đó g f .  Bổ đề Urysohn: Cho X là một không gian chuẩn tắc; A v à B là hai tập con đóng rời nhau của X. Khi đó, tồn tại hàm liên tục f: X  [0, 1] sao cho f(x) = 0  x  A và f(x) = 1  x  B. Định lý 1.2.6: Gọi {(X α ,   )} α  I là họ các không gian tôpô. Khi đó,  α  I, phép nhúng chính tắc: a). i α : X α   I X   là ánh xạ liên tục. b). i α : X α    X I  là vừa mở vừa đóng. Chứng minh: a). Gọi  là tôpô trên  I X   . Khi đó,  G   , 1  i (G)= G  X α    . Do đó, i α liên tục. b). Giả sử U mở trong X α . Khi đó, U  X α = U    , U  X β = Ø  β ≠ α. Do đó, U  X α     α  I. Vậy, i α (U) = U mở trong   X I  . Bây giờ, giả sử F đóng trong X α . Xét tập G =   X I  \F. Vì G  X α = X α \F    và G  X β = X β  β ≠ α nên G mở trong   X I  . Suy ra, i α (F) = F đóng trong   X I  .  Hệ quả 1.2.1: Mỗi tập X α là vừa mở vừa đóng trong   X I  . Định lý 1.2.7: Ánh xạ f:  I X    Y liên tục nếu và chỉ nếu f o i α liên tục  α  I. Chứng minh: Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 11 - Hiên nhiên nếu f liên tục thì f o i α liên tục  α  I. Ngược lại, giả sử mọi f o i α liên tục và G là một tập mở tùy ý của Y. Ta có: f -1 (G)  X α = 1  i (f -1 (G)) = ( f o i α ) -1 (G)    (do f o i α liên tục)  f -1 (G) mở trong  I X   . Vậy, f liên tục.  Định lý 1.2.8: Với mọi α, phép chiếu    I XX    : là ánh xạ mở. Chứng minh: Giả sử G là tập mở tùy ý của  I X   . Lấy a    (G). Khi đó, tồn tại x  G sao cho   (x) = a. Do G mở nên  i U  (i = 1, 2,…, n ) mở trong X i  sao cho x  V =  n i 1 1 i   ( i U  )  G. Từ đó, a    (V)    (G). Và:   (V) =    Do đó,   (V) là tập mở trong X  và   (G) là tập mở.  Định lý 1.2.9: Ánh xạ f: Z   I X   liên tục khi và chỉ khi   o f liên tục    I. Chứng minh: Hiển nhiên, nếu f liên tục thì   o f cũng liên tục    I. Ngược lại, giả sử   o f liên tục    I. Giả sử G là tập mở trong  I X   . Khi đó, G = 1   (U), với U    ,  nào đó thuộc I. Và ta có: f -1 (G) = f -1 ( 1   (U)) = (   o f) -1 (U) là tập mở trong Z (vì   o f liên tục).  Định lý 1.2.10: Cho không gian tôpô (X,  ) và một quan hệ tương đương R trên X. Khi đó, ánh xạ f: X/R  Y liên tục nếu và chỉ nếu f o  liên tục. Trong đó,  : X  X/R là phép chiếu chính tắc. Chứng minh: i U  nếu  = i  , i = 1, 2,…, n X  nếu  ≠ i  , i = 1, 2,…, n [...]... 4 Ch t àn ánh liên t x x X X không gian tôpô X khôngkhông gian liên thông khi và ch f: X ▪ Giải: Gi ph mâu thu ìm không liên thông àn ánh liên t f: X Y, v ên thông thì theo à không gian r 2.1 thì Y c ì không liên thông Do ày Ø A, B trong X sao cho A B = Ø và X = A B Goi Y là không gian r f(x) = a ( x A) và f(x) = b ( x B) D - 24 - f: X f là toàn ánh liên t Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV:... 1 liên t ì f là Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình Chương 2 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ COMPACT VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ LIÊN THÔNG A Kiến thức chuẩn bị: 1 Không gian tôpô compact: a) Các định nghĩa: X và {G } I là h A N G là các t G - Trên không gian tôpô X, cho A {G } I à phủ c ì phủ g I à phủ mở c t à không gian compact n àv {G } I c T phủ mở c n ch I (i i sao cho -T trên. .. là không gian compact - Không gian tôpô X g àt i 1 G i X compact n ên A b à compact địa phương n m b) Các tính chất: -T -T àt con compact c àt 2 .Không gian tôpô liên thông: a) v à không gian liên thông n ào ài Ø và X Hay m ãn m - X không bi - X không bi b) T không gian liên thông à tập liên thông n - 20 - à Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô M hai t X sao cho: U A SV: Đào Thanh B ình Ø, V A à tập liên. . .Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô Nếu f liên tục thì hiển nhiên fo SV: Đào Thanh B ình liên tục Ngược lại, giả sử fo liên tục Khi đó, G mở trong Y thì -1(f -1(G)) mở trong X Theo định nghĩa tôpô trên X/R thì f -1(G) mở trong X/R Do đó, f liên tục 1.3 Phép đồng phôi: Định nghĩa 1.3.1: Cho hai không gian tôpô X và Y Ánh x ạ f: X một phép đồng phôi nểu f là song ánh, f liên tục và f -1 liên tục. .. Hausdorff Y thì f V f là song ánh liên t 1.1 f là ánh x ào không gian Chứng minh: 1.2, f là ánh x f Hệ quả 2.1.2: Gi ên X trang b gian compact, (X, 2 ) là không gian Hausdorff thì lý 1.3.1 1 và 2 ( 1= 2 1 2 ) N Chứng minh: Ánh x idX: (X, 1 ) (X, 2 ) là song ánh liên t (X, 1 ) vào không gian Hausdorff (X, 2 ) nên theo h 1= 2 - 21 - idX 1 ) là không Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình... x1 = x 2 f là f là toàn ánh Khi f là song ánh thi ánh xạ g xác định như trong định lý hiển nhiên là ánh xạ ngược của f Vậy f là song ánhánh xạ ngược liên tục nên nó là phép đồng phôi Ví dụ 1.3.2: Ánh xạ f: R (-1; 1), f(x) = x là phép đồng phôi 1 |x| Thật vậy, ta có f liên tục Xét ánh xạ g: (-1; 1) R xác định bởi g(x) = x , dễ 1 |x| thấy g liên tục và fog, gof là các ánh xạ đồng nhất Do đó, f là... tập mở trong Y f là ánh xạ mở b) c): Giả sử F là tập đóng trong X X\F là tập mở trong X Do f là ánh xạ mở nên f(X\F) = f(X)\f(F) = Y\ f(F) là tập mở trong Y f(F) là tập đóng trong Y f là ánh xạ đóng - 12 - Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình c) a): Do f là song ánh liên tục nên ta chỉ cần chứng minh f -1 liên tục Gọi F là tập đóng bất kỳ trong X Do f là ánh xạ đóng nên f(F) là... nhất Do đó, f là phép đồng phôi 1.4 Thác triển liên tục Định nghĩa 1.4: Với ánh xạ liên tục f: M tôpô X vào không gian tôpô Y, t à thác tri ên t f trên X; f ã bi t r con M c f |M: M liên t ìv F|M = f D tri f: X Y) c à có t Y từ không gian con M của không gian ên t F: X Y sao cho F|M = f, thì F à thác tri ên t ên X Y liên t ên t ì ánh x ên t f trên không gian f: M Y F: X Y sao cho ào b ên t Định lý 1.4.1... 1.2.3 f liên tục Định lý 1.3.2: Ánh xạ f: X Y là phép đồng phôi khi và chỉ khi f liên tục và có một ánh xạ liên tục g: Y X sao cho fog = 1Y và gof = 1X Ở đây, 1X và 1Y tương ứng là các ánh xạ đồng nhất từ X vào Y và từ Y vào X Chứng minh: Nếu f là phép đồng phôi thì g = f -1 Ngược lại, nếu có ánh xạ liên tục g: Y cho fog = 1Y và gof = 1X Ta chứng minh f là song ánh: - Giả sử ta có f(x1) = f(x2) đơn ánh. .. là hai t Vì f liên t Th B suy ra A không liên thông (trái gi f(A) ph ên thông Nhận xét 2.2.1: T Yc ên thông Định lý 2.2.2: Gi X, f(a) < f ên, n f là toàn ánh liên t f: X R là hàm liên t k R th f(a) < k < f(b), - 22 - ìt ên thông ta suy ra ên không gian liên thông X và a, b c X sao cho f(c) = k Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình Chứng minh: Vì X liên thông nên f(X) liên thông trong . z  Ánh xạ liên tục trên không gian topo Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 3 - Chương 1 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ. triển liên tục. Định nghĩa 1.4: Với ánh xạ liên tục f: M  Y từ không gian con M của không gian tôpô X vào không gian tôpô Y, t ồn tại ánh xạ liên tục F:

Ngày đăng: 25/12/2013, 22:16

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w