Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 38 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
38
Dung lượng
383,06 KB
Nội dung
z ÁnhxạliêntụctrênkhônggiantopoÁnhxạliêntụctrênkhônggiantôpô SV: Đào Thanh B ình - 3 - Chương 1 ÁNHXẠLIÊNTỤCTRÊNKHÔNGGIANTÔPÔ TỔNG QUÁT A. Kiến thức chuẩn bị: 1. Định nghĩa tôpô: Cho tập X ≠ Ø. Một họ các tập con của X được gọi là một tôpôtrên X nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: a) X và Ø ; b) Hợp tùy ý các tập thuộc là thuộc ; c) Giao hữu hạn các tập thuộc cũng thuộc . Một tập X được trang bị một tôpô tr ên nó được gọi là một khônggian tôpô, kí hiệu (X, ). Nếu chỉ ký hiệu khônggiantôpô l à X thì ta ngầm hiểu rằng trên X đã được trang bị một tôpô nào đó. 2. Tập mở, tập đóng, lân cận: Cho khônggiantôpô (X, ). a) Mọi tập thuộc được gọi là tập mở; tập có phần bù là tập mở gọi là tập đóng. b) Với mỗi điểm x X, tập V X được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở G trong X sao cho x G V. Nhận xét: G là tập mở khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm thuộc nó. c) Họ tất cả các lân cận của điểm x được gọi là hệ lân cận của x, ký hiệu V x . Họ B x V x được gọi là một cơ sở lân cận của điểm x nếu V V x , B B x sao cho x B V. 3. Các loại điểm, phần trong, bao đóng: Cho khônggiantôpô (X, ), x X và tập A X. a) Các loại điểm: Ánhxạliêntụctrênkhônggiantôpô SV: Đào Thanh B ình - 4 - - x gọi là điểm trong của A nếu tồn tại tậ p mở G sao cho x G A. - x gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại tập mở G sao cho x G X \ A. - x gọi là điểm biên của A nếu V V x , V A ≠ Ø, và V (X \ A) ≠ Ø. - x gọi là điểm dính của A nếu V V x , V A ≠ Ø. - x goi là điểm cô lập của A nếu V V x : V A = Ø. Nếu A = X thì x là điểm cô lập của A nếu tập {x} l à tập mở. b) Phần trong của tập A, ký hiệu l à int A hoặc o A , là tập tất cả các điểm trong của A. Nói cách khác, phần trong của A là tập mở lớn nhât chứa trong A. c) Bao đóng của tập A, ký hiệu A , là tập đóng bé nhất trong X chứa A. 4. Tập hợp trù mật, khônggian khả ly: a) Trong khônggiantôpô X, t ập con A của X được gọi là trù mật trong X nếu A = X. Nếu int A = Ø thì A gọi là tập thưa ( hay tập không đâu trù mật). b) Khônggiantôpô (X, ) là khônggian khả ly nếu tồn tại một tập A X sao cho A không quá đếm được và A = X, tức là A trù mật trong X. 5. Tập thuộc phạm trù:: Khônggiantôpô X g ọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X bằng hợp đếm đ ược các tập không đâu trù mật. Khônggiankhông thu ộc phạm trù thứ nhất gọi là thuộc phạm trù thứ hai. 6. Khônggian T 1 , T 2 và khônggian chuẩn tắc: a) Khônggiantôpô X được gọi là T 1 - khônggian nếu hai điểm x, y khác nhau bất k ì của X đều có một lân cận của x không chứa y v à một lân cận của y không chứa x. b) Khônggiantôpô X đư ợc gọi là khônggian Hausdorff (hay T 2 - không gian) nếu bất kì hai điểm khác nhau x, y X đều tồn tại một lân cận U của x v à lân cận V của y sao cho U V = Ø. c) Khônggiantôpô X được gọi là khônggian chuẩn tắc (hay T 4 – không gian) nếu X là T 1 – khônggian và với hai tập đóng bất k ì A, B không giao nhau c ủa X luôn tồn tại các tập mở U và V sao cho A U, B V và U V = Ø. 7. Khônggiantôpô t ổng, tích, thương: Cho I X )( , là họ các khônggian tôpô. Ánhxạliêntụctrênkhônggiantôpô SV: Đào Thanh B ình - 5 - a) Tổng: Đặt X = X I . Xét họ = {G X: G X , I}. Khi đó, là một tôpôtrên X và (X, ) là khônggiantôpô t ổng của họ khônggiantôpô đ ã cho, ký hiệu X= I X . Nếu họ I X rời nhau từng đôi th ì tổng gọi là tổng trực tiếp, ký hiệu X = X I . Ký hiệu XXi : , )x( i = x, là phép nhúng chính t ắc. b) Tích Descartes: Đặt X = I X và XX : là phép chiếu (hay ánhxạ tọa độ thứ ). Gọi là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu liêntục (định nghĩa ánhxạ li ên tục sẽ được trình bày sau trong ch ương này). Khi đó, (X, ) gọi là khônggiantôpô tích của họ khônggian đ ã cho. c) Khônggian thương: Cho khônggiantôpô (X, ) và một quan hệ tương đương R trên X. K ý hiệu X/R là tập thương của X theo quan hệ t ương đương R. Xét ánh x ạ : X X/R xác định bởi (x) = x , với x là lớp tương đương chứa x. Khi đó, gọi là phép chiếu chính tắc và dễ thấy là toàn ánh. Trên X/R, dễ thấy họ = {V X/R: -1 (V) } là một tôpô và là tôpô mạnh nhất để liên tục. Khi đó, (X/R, ) gọi là khônggian thương c ủa khônggian X theo quan hệ t ương đương R. B. Các vấn đề về ánhxạliên tục. 1.1. Định nghĩa ánhxạliên tục: Cho hai khônggiantôpô (X, τ X ), (Y, τ Y ) và ánhxạ f: X Y. Khi đó, f được gọi là liêntụctại điểm x 0 X nếu với mỗi lân cận W của f(x 0 ) Y, tồn tại lân cận V của x 0 sao cho f(V) W. Nếu f liêntục x X thì f được gọi là liêntụctrên X. Nếu f: (X, X ) (Y, Y ) là ánhxạliêntục thì ta còn nói ánh x ạ f là ( X , Y )- liên tục. Ánhxạliêntụctrênkhônggiantôpô SV: Đào Thanh B ình - 6 - 1.2.Các định lý và tính chất: Với mỗi x, ký hiệu B x là cơ sở lân cận của x. Khi đó, ta có định lý sau: Định lý 1.2.1: Ánhxạ f: X Y liêntụctại x khi và chỉ khi W B f(x) , tồn tại V ß x sao cho f (V) W. Chứng minh: Giả sử f liêntụctại x, và W B f(x) . Vì W là một lân cận của f(x) nên tồn tại lân cận U của x sao cho f(U) W. Mà B x là cơ sở lân cận của x nên có V B x sao cho V U, do đó f(V) f(U) W. Ngược lại, gọi G là một lân cận của f(x) W B f(x) : W G. Theo giả thiết, U B x : f(U) W f(U) G f liêntụctại x. Định lý 1.2.2: Cho (X, τ X ), (Y, τ Y ) là hai khônggian tôpô. Ánh x ạ f: X Y liêntụctại điểm x X khi và chỉ khi với mọi lân cận W của f(x) th ì f -1 (W) là lân cận của x. Chứng minh: Giả sử f liêntụctại x và W là lân cận của f(x). Khi đó tồn tại lân cận V của x sao cho f(V) W V f -1 (W) f -1 (W) là lân cận của x. Ngược lại, gọi W là lân cận của f(x). Theo giả thiết, f -1 (W) là lân cận của x. Đặt V= f -1 (W) thì V là lân cận của x và f(V) = f( f -1 (W)) W f liêntục lại x. Định lý 1.2.3: Cho ánhxạ f: (X, τ X ) (Y, τ Y ). Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: a) f liêntụctrên X. b) Nghịch ảnh của mỗi tập mở trong Y l à tập mở trong X. c) Nghịch ảnh của mỗi tập đóng trong Y l à tập đóng trong X. d) A X f( A ) )(Af . e) B Y )( 1 Bf f -1 ( B ). f) B Y f -1 (int B) int f -1 (B). Chứng minh: Ánhxạliêntụctrênkhônggiantôpô SV: Đào Thanh B ình - 7 - a) b): Giả sử G τ Y (tức G mở trong Y), G ≠ Ø. Với mỗi x f -1 (G) thì f(x) G, do G là tập mở nên G là lân cận của f(x). Mà f liêntục nên tồn tại lân cận V của x sao cho f(V) G x V f -1 (G) f -1 (G) là lân cận của x. Vậy, f -1 (G) là lân cận của mọi điểm thuộc nó n ên f -1 (G) là tập mở. b) c): Gọi F là tập đóng trong Y Y\F là tập mở trong Y f -1 (Y\F) = X\ f -1 (F) là tập mở trong X f -1 (F) đóng trong X. c) d): A X, ta có f -1 ( )(Af ) là tập đóng trong X. Vì f(A) )(Af nên A f -1 ( )(Af ) A f -1 ( )(Af ) f( A ) f (f -1 ( )(Af )) )(Af d) e): B Y, ta có: f( )( 1 Bf ) ))(( 1 Bff B )( 1 Bf f -1 ( B ). e) f): B Y f -1 (int B) = f -1 (Y\ BY \ ) = X\f -1 ( BY \ ). Mà )(\ 1 BfX = )\( 1 BYf f -1 ( BY \ ) (do e) Nên X\f -1 ( BY \ ) X\ )(\ 1 BfX = int f -1 (B). Vậy, f -1 (int B) int f -1 (B). f) a): x X, gọi W là lân cận mở của f(x). Theo giả thiết ta có: x f -1 (W) = f -1 (int W) int f -1 (W). Nếu đặt V = int f -1 (W) thì V là lân cận của x và f(V) W. Do đó, f liêntụctrên X. Nhận xét 1.2.1: a)Từ định lý 1.2.3 ta có thể phát biểu lại định lý 1. 2.2 như sau: “Ánh xạ f: X Y liêntụctại điểm x X khi và chỉ khi với mọi lân cận mở W của f(x) thì f -1 (W) là lân cận mở của x”. b) Nếu f:(X, X ) (Y, Y ) là ánhxạliêntục thì với mọi tôpô trên X mà X thì ánhxạ f: (X, ) (Y, Y ) cũng liên tục. Thật vậy, với x X gọi W là lân cận mở của f(x). Vì f là ( X , Y )- liêntục nên f -1 (W) X f -1 (W) ánhxạ f là ( , Y )-liên tục. Ví dụ 1.1: Cho X là khônggiantôpô r ời rạc, Y là khônggiantôpô tùy ý. Khi đó, mọi ánhxạ f: X Y đều liên tục. Thật vậy, nếu G là tập mở trong Y thì f -1 (G) X, mà X rời rạc nên f -1 (G) mở trong X. Ánhxạliêntụctrênkhônggiantôpô SV: Đào Thanh B ình - 8 - Ví dụ 1.2: Nếu X là khônggiantôpô b ất kỳ và Y là khônggiantôpô thô thì m ọi ánhxạ f: X Y đều liêntục vì A X, A ≠ Ø thì f( A ) = )(Af = X ( do đó f( A ) )(Af ). Ví dụ 1.3: Trên tập X trang bị hai tôpô τ 1 và τ 2 . Ánhxạ đồng nhất f: (X, τ 1 ) (X, τ 2 ) liêntục khi và chỉ khi τ 1 ≥ τ 2 (hay τ 1 τ 2 ). Thật vậy, vì ánhxạ đồng nhất f:(X, 2 ) (X, 2 ) liêntục nên theo nhận xét 1.2.1 nếu τ 1 ≥ τ 2 thì ánhxạ đồng nhất f: (X, τ 1 ) (X,τ 2 ) cũng liên tục. Điều ngược lại là hiển nhiên. Ví dụ 1.4: Ánhxạ hằng f: X Y (y 0 cố định trong Y) là ánhxạliêntục vì với x y 0 mọi lân cận W của y 0 thì f -1 (W) = X là lân cận của x x X. Định lý 1.2.4: Cho ba khônggiantôpô (X, τ X ), (Y, τ Y ), (Z, τ Z ) và hai ánhxạliêntục f: X Y, g: Y Z. Khi đó ánhxạ tích h = g o f: X Y cũng liên tục. Chứng minh: Giả sử V mở trong Z g -1 (V) mở trong Y h -1 (V) = f -1 [g -1 (V)] mở trong X. Do đó, h liên tục. Nhận xét 1.2.2: Giả sử X là khônggian tôpô, R là t ập số thực với tôpô tự nhi ên ( tôpô tự nhiên trên R là tập các khoảng mở của R ). Khi đó, các ánh x ạ f: X R được gọi là các hàm số. Theo định lý 1.2.1, f liêntụctại x 0 X khi và chỉ khi ε > 0, lân cận V của x 0 sao cho x V thì | f(x) – f(x 0 ) | < ε. Đặt biệt, nếu X = R th ì ta được hàm số f: R R. Khi đó, f liêntụctại x 0 R khi và chỉ khi ε >0, δ >0 sao cho x R thỏa | x – x 0 | < δ thì | f(x) – f(x 0 ) | < ε. Đây là định nghĩa quen thuộc về hàm liêntục trong giải tích cổ điển đối với h àm một biến thực. Định lý 1.2.5: Cho f,g: X R là các hàm số liên tục. Khi đó, các hàm | f |, -f, f g, f.g, min{f, g}, max{f, g} là liên tục. Nếu g(x) ≠ 0 x X thì g f cũng liên tục. Chứng minh: a) Gọi h: R → R là hàm số xác định bởi h(x) = |x|. Khi đó, | f | = h o f là hợp của hai hàm liêntục nên | f | liên tục. b) Do f liêntục nên x X, ε > 0, lân cận V của x sao cho x’ V ta có |f(x’) – f(x)| < ε |(-f)(x’) – (-f )(x)| = |-f(x’) + f(x)| = | f(x’) – f(x)| < ε. Do đó, -f liên tục. Ánhxạliêntụctrênkhônggiantôpô SV: Đào Thanh B ình - 9 - c) Đặt φ = f + g. x X và ε > 0, ta có: Vì f liêntục nên lân cận V của x sao cho x’ V: |f(x’) – f(x)| < 2 . Vì g liêntục nên lân cận V’ của x sao cho x’ V’: |g(x’) – g(x)| < 2 . Đặt V = U U’ thì V cũng là một lân cận của x v à x’ V ta có: | φ(x’) – φ(x)| ≤ | f(x’) – f(x)| + |g(x’) – g(x)| < 2 + 2 = ε. Vậy, φ = f +g liên tục. d) Vì f liêntục và –g liêntục nên f – g = f + (-g) liên tục. e) Đặt = f.g. x X và ε > 0, ta có: Vì f liêntục nên lân cận V của x sao cho x’ V: |f(x’) – f(x)| < )'(.2 Vx sup xg . Vì g liêntục nên lân cận V’ của x sao cho x’ V’: |g(x’) – g(x)| < |)(|2 xf . | (x’) - (x)| = | f(x’).g(x’) – f(x).g(x) | = | f(x’).g(x’) – f(x).g(x’) + f(x).g(x’) – f(x).g(x) | = | g(x’).( f(x’) – f(x)) + f(x).(g(x’) – g(x)) | |g(x’)|.|f(x’) – f(x)| + |f(x)|.|g(x’) – g(x)| < |g(x’)|. )'(.2 Vx sup xg + |f(x)|. |)(|2 xf < 2 + 2 = . Vậy, liên tục. f) Tính liêntục của min{f, g}và max{f, g} được suy ra từ các đẳng thức sau: min{f, g}= 2 )()( xgxf - 2 |)()(| xgxf , max{f, g}= 2 )()( xgxf + 2 |)()(| xgxf . g) Nếu g(x) 0 x X, để chứng minh g f liên tục, ta chỉ cần chứng minh g 1 liên tục. Do g liêntục và |g(x)| > 0 x X nên với mỗi x 0 X tồn tại lân cận V của x 0 và M > 0 sao cho x V thì |g(x)| M. Mặt khác, g liêntục > 0, lân cận U của x 0 sao cho x U, Ánhxạliêntụctrênkhônggiantôpô SV: Đào Thanh B ình - 10 - |g(x) – g(x 0 )| < M 2 . . Đặt V’ = V U. Khi đó V’ là lân c ận của x 0 , và x V’, ta có: | )( 1 xg - )( 1 0 xg | = | )().( )()( 0 0 xgxg xgxg | < MM M . 2 = . Vậy, g 1 liên tục, do đó g f . Bổ đề Urysohn: Cho X là một khônggian chuẩn tắc; A v à B là hai tập con đóng rời nhau của X. Khi đó, tồn tại hàm liêntục f: X [0, 1] sao cho f(x) = 0 x A và f(x) = 1 x B. Định lý 1.2.6: Gọi {(X α , )} α I là họ các khônggian tôpô. Khi đó, α I, phép nhúng chính tắc: a). i α : X α I X là ánhxạliên tục. b). i α : X α X I là vừa mở vừa đóng. Chứng minh: a). Gọi là tôpôtrên I X . Khi đó, G , 1 i (G)= G X α . Do đó, i α liên tục. b). Giả sử U mở trong X α . Khi đó, U X α = U , U X β = Ø β ≠ α. Do đó, U X α α I. Vậy, i α (U) = U mở trong X I . Bây giờ, giả sử F đóng trong X α . Xét tập G = X I \F. Vì G X α = X α \F và G X β = X β β ≠ α nên G mở trong X I . Suy ra, i α (F) = F đóng trong X I . Hệ quả 1.2.1: Mỗi tập X α là vừa mở vừa đóng trong X I . Định lý 1.2.7: Ánhxạ f: I X Y liêntục nếu và chỉ nếu f o i α liêntục α I. Chứng minh: Ánhxạliêntụctrênkhônggiantôpô SV: Đào Thanh B ình - 11 - Hiên nhiên nếu f liêntục thì f o i α liêntục α I. Ngược lại, giả sử mọi f o i α liêntục và G là một tập mở tùy ý của Y. Ta có: f -1 (G) X α = 1 i (f -1 (G)) = ( f o i α ) -1 (G) (do f o i α liên tục) f -1 (G) mở trong I X . Vậy, f liên tục. Định lý 1.2.8: Với mọi α, phép chiếu I XX : là ánhxạ mở. Chứng minh: Giả sử G là tập mở tùy ý của I X . Lấy a (G). Khi đó, tồn tại x G sao cho (x) = a. Do G mở nên i U (i = 1, 2,…, n ) mở trong X i sao cho x V = n i 1 1 i ( i U ) G. Từ đó, a (V) (G). Và: (V) = Do đó, (V) là tập mở trong X và (G) là tập mở. Định lý 1.2.9: Ánhxạ f: Z I X liêntục khi và chỉ khi o f liêntục I. Chứng minh: Hiển nhiên, nếu f liêntục thì o f cũng liêntục I. Ngược lại, giả sử o f liêntục I. Giả sử G là tập mở trong I X . Khi đó, G = 1 (U), với U , nào đó thuộc I. Và ta có: f -1 (G) = f -1 ( 1 (U)) = ( o f) -1 (U) là tập mở trong Z (vì o f liên tục). Định lý 1.2.10: Cho khônggiantôpô (X, ) và một quan hệ tương đương R trên X. Khi đó, ánhxạ f: X/R Y liêntục nếu và chỉ nếu f o liên tục. Trong đó, : X X/R là phép chiếu chính tắc. Chứng minh: i U nếu = i , i = 1, 2,…, n X nếu ≠ i , i = 1, 2,…, n [...]... 4 Ch t àn ánhliên t x x X X khônggiantôpô X không là khônggianliên thông khi và ch f: X ▪ Giải: Gi ph mâu thu ìm khôngliên thông àn ánhliên t f: X Y, v ên thông thì theo à khônggian r 2.1 thì Y c ì khôngliên thông Do ày Ø A, B trong X sao cho A B = Ø và X = A B Goi Y là khônggian r f(x) = a ( x A) và f(x) = b ( x B) D - 24 - f: X f là toàn ánhliên t Ánhxạliêntụctrênkhônggiantôpô SV:... 1 liên t ì f là Ánh xạliêntục trên khônggiantôpô SV: Đào Thanh B ình Chương 2 ÁNHXẠLIÊNTỤCTRÊNKHÔNGGIANTÔPÔ COMPACT VÀ KHÔNGGIANTÔPÔLIÊN THÔNG A Kiến thức chuẩn bị: 1 Khônggiantôpô compact: a) Các định nghĩa: X và {G } I là h A N G là các t G - Trênkhônggiantôpô X, cho A {G } I à phủ c ì phủ g I à phủ mở c t à khônggian compact n àv {G } I c T phủ mở c n ch I (i i sao cho -T trên. .. là khônggian compact - Khônggiantôpô X g àt i 1 G i X compact n ên A b à compact địa phương n m b) Các tính chất: -T -T àt con compact c àt 2 .Không giantôpôliên thông: a) v à khônggianliên thông n ào ài Ø và X Hay m ãn m - X không bi - X không bi b) T khônggianliên thông à tập liên thông n - 20 - à Ánh xạliêntục trên khônggiantôpô M hai t X sao cho: U A SV: Đào Thanh B ình Ø, V A à tập liên. . .Ánh xạliêntục trên khônggiantôpô Nếu f liêntục thì hiển nhiên fo SV: Đào Thanh B ình liêntục Ngược lại, giả sử fo liêntục Khi đó, G mở trong Y thì -1(f -1(G)) mở trong X Theo định nghĩa tôpôtrên X/R thì f -1(G) mở trong X/R Do đó, f liêntục 1.3 Phép đồng phôi: Định nghĩa 1.3.1: Cho hai khônggiantôpô X và Y Ánh x ạ f: X một phép đồng phôi nểu f là song ánh, f liêntục và f -1 liên tục. .. Hausdorff Y thì f V f là song ánhliên t 1.1 f là ánh x ào khônggian Chứng minh: 1.2, f là ánh x f Hệ quả 2.1.2: Gi ên X trang b gian compact, (X, 2 ) là khônggian Hausdorff thì lý 1.3.1 1 và 2 ( 1= 2 1 2 ) N Chứng minh: Ánh x idX: (X, 1 ) (X, 2 ) là song ánhliên t (X, 1 ) vào khônggian Hausdorff (X, 2 ) nên theo h 1= 2 - 21 - idX 1 ) là không Ánh xạliêntục trên khônggiantôpô SV: Đào Thanh B ình... x1 = x 2 f là f là toàn ánh Khi f là song ánh thi ánhxạ g xác định như trong định lý hiển nhiên là ánhxạ ngược của f Vậy f là song ánh có ánhxạ ngược liêntục nên nó là phép đồng phôi Ví dụ 1.3.2: Ánhxạ f: R (-1; 1), f(x) = x là phép đồng phôi 1 |x| Thật vậy, ta có f liêntục Xét ánhxạ g: (-1; 1) R xác định bởi g(x) = x , dễ 1 |x| thấy g liêntục và fog, gof là các ánhxạ đồng nhất Do đó, f là... tập mở trong Y f là ánhxạ mở b) c): Giả sử F là tập đóng trong X X\F là tập mở trong X Do f là ánhxạ mở nên f(X\F) = f(X)\f(F) = Y\ f(F) là tập mở trong Y f(F) là tập đóng trong Y f là ánhxạ đóng - 12 - Ánh xạliêntục trên khônggiantôpô SV: Đào Thanh B ình c) a): Do f là song ánhliêntục nên ta chỉ cần chứng minh f -1 liêntục Gọi F là tập đóng bất kỳ trong X Do f là ánhxạ đóng nên f(F) là... nhất Do đó, f là phép đồng phôi 1.4 Thác triển liêntục Định nghĩa 1.4: Với ánhxạliêntục f: M tôpô X vào khônggiantôpô Y, t à thác tri ên t f trên X; f ã bi t r con M c f |M: M liên t ìv F|M = f D tri f: X Y) c à có t Y từ khônggian con M của khônggian ên t F: X Y sao cho F|M = f, thì F à thác tri ên t ên X Y liên t ên t ì ánh x ên t f trênkhônggian f: M Y F: X Y sao cho ào b ên t Định lý 1.4.1... 1.2.3 f liêntục Định lý 1.3.2: Ánhxạ f: X Y là phép đồng phôi khi và chỉ khi f liêntục và có một ánhxạliêntục g: Y X sao cho fog = 1Y và gof = 1X Ở đây, 1X và 1Y tương ứng là các ánhxạ đồng nhất từ X vào Y và từ Y vào X Chứng minh: Nếu f là phép đồng phôi thì g = f -1 Ngược lại, nếu có ánhxạliêntục g: Y cho fog = 1Y và gof = 1X Ta chứng minh f là song ánh: - Giả sử ta có f(x1) = f(x2) đơn ánh. .. là hai t Vì f liên t Th B suy ra A khôngliên thông (trái gi f(A) ph ên thông Nhận xét 2.2.1: T Yc ên thông Định lý 2.2.2: Gi X, f(a) < f ên, n f là toàn ánhliên t f: X R là hàm liên t k R th f(a) < k < f(b), - 22 - ìt ên thông ta suy ra ên khônggianliên thông X và a, b c X sao cho f(c) = k Ánh xạliêntụctrênkhônggiantôpô SV: Đào Thanh B ình Chứng minh: Vì X liên thông nên f(X) liên thông trong . z Ánh xạ liên tục trên không gian topo Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình - 3 - Chương 1 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ. triển liên tục. Định nghĩa 1.4: Với ánh xạ liên tục f: M Y từ không gian con M của không gian tôpô X vào không gian tôpô Y, t ồn tại ánh xạ liên tục F: