2
1δ(x)): x X} là phủ mở của không gian compact X, nên tồn tại phủ con hữu hạn {B(xi,
2
Đặt δ =
2 1
min{δ(x1),δ(x2),…, δ(xn)}. Khi đó, x, y X thỏa d1(x, y) < δ, vì họ (2) là một phủ của X nên tồn tại i sao cho d1(x, xi) <
2
1δ(xi), và khi đó
d1(y, xi)≤ d1(y, x) + d1(x, xi) <δ +
2 1
δ(xi)≤ δ(xi).
Do đó, theo (1): d2(f(x), f(y)) ≤ d2(f(x), f(xi)) + d2(f(xi), f(y)) <
2 + 2 = .
Vậy,f liên tục đều trên X.
Bài 12. Gọi (X, d) là không gian mêtríc và A là tập con khác rỗng của X. Chứng minh
rằng ánh xạ f: X [0,∞) xác định bởif(x) = dist(x, A) = inf{d(x, y): yA} liên tục đều
trên X.
▪Giải:
Với x0, x X và y A ta có:
dist(x, A) ≤ d(x, y) ≤ d(x, x0) + d(x0, y).
Do đó, dist(x, A) ≤ d(x, x0) + dist( x0, A). Suy ra, dist(x, A) – dist(x0, A)≤ d(x, x0).
Tương tự ta cũng có: dist(x0, A)– dist(x, A) ≤ d(x, x0). Suy ra: |dist(x, A) – dist(x0, A)|≤ d(x, x0).
Và vì vậyf liên tục đều trên X.
Bài 13. Giả sử f là ánh xạ liên tục của không gian mêtríc liên thông X vào không gian mêtríc Y. Chứng minh rằng f(X) liên thông trong Y.
▪Giải:
Giả sửf(X) không liên thông. Khi đó, tồn tại các tập con mở rời nhau, khác rỗng G1 và G2 sao cho G1G2 = f(X).
Do f liên tục nên f-1(Gi) mở trong X, i = 1, 2. Và rõ ràng chúng khác rỗng, rời nhau và hợp của chúng bằng X, điều này mâu thuẫn vì X liên thông.
Vậy,f(X) liên thông trong Y.
Bài 14. Kí hiệu F là họ các hàm liên tục từ không gian mêtríc compact X (với mêtríc d) vào tập số thực R sao cho với mỗi x X, tồn tại Mx > 0 thỏa mãn | f (x)| ≤ Mx f F. Chứng minh rằng tồn tại hằng số dương M và tập mở khác rỗng GX sao cho | f(x)|≤ M
f F và x G.
Với mỗi số nguyên dương n, ta định nghĩa Fn = {xX: |f(x)| ≤ n,f F}. Ta sẽ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
chứng minh Fn là tập đóng n nguyên dương.
Thật vậy, gọi {xk} là dãy bất kỳ các phần tử của Fn hội tụ về x. Do f liên tục nên ta có f(x) = limf(xk)
k ≤n. Do đó, x Fn Fn đóng.
Theo giả thuyết, với mỗi x X, tồn tại số nguyên dương nx sao cho | f(x)|≤ nx,
f F. Do đó, X = n 1 n F .
Vì X compact nên (X, d) thuộc phạm trù thứ hai, do đó tồn tại Fn0 có phần trong khác
rỗng. Đặt G = int Fn
0. Khi đó, |f(x)|≤ n0 f F và x G.
Bài 15. Cho (X, d) là không gian mêtric và với x X, xác định ρ(x)dist(x, X\{x}). Chứng minh rằng hai điều kiện sau đây t ương đương:
a) Mọi hàm f: X R là liên tục đều.
b) Mọi dãy {xn}X sao cho lim ρ(xn) 0
n đều có chứa một dãy con hội tụ.
▪Giải:
Trước hết ta chứng minh (a) (b).
Giả sử tồn tại dãy {xn}X sao cho lim ( ) 0
n
n x nhưng {xn} không chứa dãy con hội tụ nào. Khi đó, tồn tại dãy {yn}X sao cho lim ( , )0
n n
n d x y và yn ≠ xn n. Nếu
{yn} chứa dãy con hội tụ {ynk}, thì do
n lim d( k n x , k n
y ) = 0 nên dãy con { k
n
x } cũng
hội tụ. Do đó, dãy {yn} cũng không có dãy con hội tụ. Suy ra, không có số hạng nào của
dãy {xn} và {yn} được lặp lại vô hạn lần. Vì vậy, tồn tại một dãy tăng thực sự {nk} các số nguyên dương sao cho các tập vô hạn F1 = {
k n x : k N} và F2 = { k n y : k N} đóng và
rời nhau. Vì mọi không gian metric đều là không gian chuẩn tắc nên theo bổ đề Urysohn,
tồn tại hàm liên tục f: X R sao cho f(x) = 1 x F1 và f(x) = 0 x F2. Khi đó, (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
| f( k n x ) – f( k n y )| = 1 trong khi n lim d( k n y , k n
y ) = 0. Từ đó, f liên tục nhưng không liên
tục đều trên X, mâu thuẫn (a). Vậy, ta phải có (b). Ngược lại, ta sẽ chứng minh (b) (a).
Ta kí hiệu A là tập các điểm giới hạn của X. Khi đó, mọi x A đều có (x)0. Do
đó, theo (b), mọi dãy các phần tử trong A đều có dãy con hội tụ tới một phần tử trong A.
Vì vậy, A là tập compact.
Nếu X ≠ A thì với 1> 0, đặt 2= inf {( x)| x X, dist(x, A) > 1}. Ta sẽ chứng
nlimρ(xn)= 0 và d(xn, A) > 1. Khi đó, theo (b), {xn} có dãy con hội tụ tới một phần tử
trong A, mâu thuẫn.
Gọi f: X R là hàm liên tục và lấy > 0 tùy ý. Khi đó, với x A, x> 0 sao cho nếu d(x, y) < x thì |f(x), f(y)| <
2
.
Vì A compact nên tồn tại x1, x2,…, xn A sao cho A
3 1 , S(xk n 1 k k x ). Đặt 1= 3 1 min { k x
}k1,..,n và 2> 0 xác định như trên. Lại đặt δ = min{1,2} và lấy x, y X sao cho d(x, y) < δ.
Nếu dist(x, A) >1 thì ( x)> 2. Do đó, d(x, y) < δ ≤ 2chỉ nếu x = y. Khi đó, rõ
ràng | f(x)–f(y)| < .
Còn nếu dist(x, A) ≤ 1 thì tồn tại a A sao cho d(x, a) ≤ 1. Suy ra từ trên rằng tồn
tại k {1, 2,…, n} để d(a, xk) < 3 1 k x . Dođó,
d(y, xk)≤ d(y, x) +d(x, a) + d(a, xk) < δ + 1 +
3 1 k x ≤ k x . Từ đó, |f(x)–f(y)|≤ |f(x)–f(xk)| + | f(xk)–f(y)| < 2 1 + 2 1 = .
Như vậy, f liên tục đều trên X.
Bài 16. Chứng minh rằng không gian mêtríc X là compact nếu và chỉ nếu mọi hàm thực
liên tục trên X là liên tục đều và > 0, tậpA = {x X: ρ(x) >} là hữu hạn, trong đó
ρ(x) = dist(x, X\{x}).
▪Giải:
Giả sử không gian mêtríc X là compact. Theo bài tập11 thì mọi ánh xạ liên tục trên X là liên tục đều.
Hơn nữa, do X compact nên tập A = { x X: ρ(x) > > 0} là hữu hạn. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Thật vậy, nếu A vô hạn thì họ hình cầu mở {S(x,ε)}xA là vô hạn, đôi một rời nhau và phủ A. Khiđó, nếugọi {S(x,ε)}xX\A là phủ mở của X\A thì họ
Xx x
ε)}
{S(x, ={S(x,ε)}xA {S(x,ε)}xX\A là cái phủ mở của X nhưng rõ ràng không có phủcon hữu hạn. Điều này trái giả thiết X compact.
Bây giờ giả sử mọi hàm thực liên tục trên X là liên tục đều và tập A hữu hạn. Ta sẽ
Gọi {xn} là dãy các phẩn tử của X. Nếu có một số hạng của dãy này được lặp lại vô
hạn lần thì rõ ràng tồn tại một dãy con hội tụ. Nếu không thì lim (xn)0
n (vì A hữu
hạn).Do đó, theo bài kết quả bài 15 thì {xn} chứa một dãy con hội tụ.