Để giảm bớt “nỗi lo âu” của các em học sinh đối với loại bài tập này, thầy biên soạn cuốn tài liệu TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH, tài liệu bao gồm 129 bài tập giải hệ phương[r]
(1)CẨM NANG CHO MÙA THI TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (ÔN THI THPT QUỐC GIA) NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Email: ng.huubien@gmail.com (2) LỜI GIỚI THIỆU Các em học sinh thân thân mến, đề thi ĐH môn Toán năm gần đây thường xuyên xuất câu giải hệ phương trình, câu hỏi này thường là thuộc hệ thống câu hỏi khó, có tính chất phân loại đề thi, mốc đạt điểm từ đến 10 Phương pháp suy luận để giải loại câu hỏi này khá đa dạng, thầy có thể kể số phương pháp phổ biến sau: (1) Phương pháp rút - (2) Phương pháp nhóm nhân tử chung (3) Phương pháp dùng hàm số và đạo hàm (4) Phương pháp dùng BĐT vec - tơ (5) Phương pháp dùng số phức (6) Phương pháp nhân liên hợp và đánh giá (7) Phương pháp lượng giác hóa Sự phân chia và liệt kê các phương pháp nói trên mang tính chất tương đối, vì trên thực tế đề thi chúng ta thường phải vận dụng kết hợp nhiều phương pháp đan xen hợp lý để giải bài tập (rất ít đề thi dùng phương pháp độc lập) Vậy câu hỏi đặt là “làm nào nhận biết bài tập đã cho dùng phương pháp nào?”, đôi có bài tập có vài cách giải khác nhiên có cách hay nhất, dễ hiểu Để giảm bớt “nỗi lo âu” các em học sinh loại bài tập này, thầy biên soạn tài liệu TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH, tài liệu bao gồm 129 bài tập giải hệ phương trình - minh họa đầy đủ các kỹ thuật giải hệ phương trình đề thi đại học, đặc biệt 24 bài tập đầu thầy không hướng dẫn làm bài mà quan trọng đó là sâu vào phân tích, tìm hiểu kỹ thuật giải tương ứng, các em tích lũy thành kinh nghiệm - “bí kíp” cho riêng mình Sau 24 bài tập, thầy đưa loạt các bài tập tự luyện kèm hướng dẫn giải bám sát cấu trúc đề theo xu để các em tự thực hành và đối chiếu hướng dẫn giải Phương châm và mong muốn thầy là học xong tài liệu này, các em giải tốt câu giải hệ phương trình đề thi tới (nếu có) CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG ! Thầy giáo Nguyễn Hữu Biển - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 (3) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ) x 4y3 + 3y + 5y − x = y x + 4y + (1) Bài : Giải hệ phương trình x + 12 − 2x = 2y − y − (2) ( ( ) Phân tích tìm lời giải x ≤ 5y + ĐK: 0 < x ≤ y ≥ + Trước hết quan sát ta thấy phương trình (2) có hình thức đơn giản (1) Tuy (2) có biến x và y cô lập vế ta không thể biến đổi để sử dụng “hàm đại diện” Vì vậy, ta “mò nghiệm” để tìm quan hệ x và y Thật vậy: - Từ (2) ta cho y = ⇒ x + 12 − 2x = 24 , bấm máy ta thấy phương trình này vô nghiệm, vì ta bỏ qua việc suy luận từ (2) + Bây ta còn cách quay (1) để “nghiên cứu” Ta thấy sau: ( - Từ (1) ta cho y = ⇒ x ( 38 + ) - Từ (1) ta cho y = ⇒ x + − x = x + 12 , bấm máy giải phương trình này có x = ) ( ) 20 − x = x + 24 , bấm máy giải phương trình có x = Vậy với giá trị ta nhận thấy dự đoán x = 2y ⇔ x − 2y = , điều này khiến ta có suy luận rằng, biến đổi (1) cách khéo léo, ta ép nhân tử chung là ( x − 2y ) Bây ta “ép nhân tử chung” từ (1) sau: ) ( ( x 4y3 + 3y + 5y − x = y x + 4y + ) ⇔ 4xy3 + 3xy + x 5y − x = x y + 4y + 8y ( ) ) ( ( − y ) + y ( 4x + 2xy ) ⇔ 2xy3 − 4y + x 5y − x − xy + 4xy + 2xy3 − 8y − x y = ⇔ 2y3 ( x − 2y ) + x ⇔ 2y3 ( x − 2y ) − ( 5y − x x ( x − 2y )( x + 2y ) 5y − x − y ) − 8y − x y = + y ( x − 2y )( + xy ) = x ( x + 2y ) ⇔ ( x − 2y ) 3y3 − + y ( + xy ) = 5y − x + y + Như ta đã ép nhân tử chung ( x − 2y ) từ (1), nhiên cái ngoặc vuông “khổng lồ” gắn kèm ta khó để chứng minh nó khác Có lẽ cách làm này không khả thi cho + Sau hồi suy luận khá nhiều thời gian và công sức, ta biết x = 2y ⇔ x − 2y = Bây đường cuối cùng là ta đổi hướng làm theo kiểu “đánh giá”, chú ý phải “biến đổi ép” để có ( x − 2y ) nhé Thật vậy, từ (1) ta biến đổi sau: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 (4) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ) ( ( x 4y3 + 3y + 5y − x = y x + 4y + ) ⇔ 4xy3 + 3xy + x 5y − x = x y + 4y + 8y ⇔ 3xy + x 5y − x − 8y = x y + 4y − 4xy3 ( ⇔ 3xy + x 5y − x − 8y = 2y − xy ) (3) + Nhận thấy ( 2y − xy ) ≥ , từ (3) ⇒ 3xy + x 5y − x − 8y ≥ x x x ⇔ 3 + 5− −8 ≥ y y y x x x ⇔ − ≥ − (4) y y y x x x + Mặt khác, từ ĐK x ≤ 5y ⇔ ≤ ⇔ < ≤ ⇒ − > , BPT (4) có vế y y y 2 không âm nên bình phương vế và biến đổi ta kết quả: x x x x + − 48 + 64 ≤ , đặt t = ≥ y y y y ( ) ⇒ t + 4t − 48t + 64 ≤ ⇔ ( t − ) t + 4t + 16 ≤ ⇔ ( t − ) ≤ (do t + 4t + 16 > 0, ∀t ≥ 0) ⇔ ( t − 2) = ⇔ t = ⇒ x = ⇔ x = 2y y + Cuối cùng ta đã tìm hướng làm đúng, bây thì thay x = 2y vào (2) ta có: 2y + 12 − 4y = 2y − y − ⇔ − y + y = y2 − y − y − y − ≥ ⇔ y ≥ (do y ≥ 0) ⇔ 2 − y + y = y − y − (5) ( ) ( ) + Từ (5) biến đổi ta được: y − 2y3 − 3y + 4y + = y ( − y ) (6) + Phương trình (6) thật không dễ gì giải được, bình phương vế tiếp tục, phương trình bậc (ghê gớm quá) nên không làm !!! + Bây bạn hãy quan sát bậc bên phải, ta đoán tạo lượng thích hợp để nhân liên hợp đoán nhân tử chung, trước hết ta nghĩ đến việc tạo lượng ( ) ( y (3 − y ) −1 ⇒ ) (y (3 − y ) − 1) y (3 − y ) −1 = − y − 3y + ⇒ đoán nhân tử chung là ( y − 3y + 1) + Vậy vấn đề là ta phải ép cho vế trái (6) có nhân tử chung là ( y − 3y + 1) : Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 (5) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA y − 2y3 − 3y + 4y − = ( ) y (3 − y ) −1 ⇔ y + y3 − y − 3y3 − 3y + 3y + y + y − = 2 ( ) ( ) ( ( ) ⇔ y y + y − − 3y y + y − + y + y − = ( )( ) ⇔ y + y − y − 3y + + ( ) y (3 − y ) −1 ( ) −2 y − 3y + y (3 − y ) + ) =0 y − 3y + y (3 − y ) + 2 =0 ⇔ y − 3y + y + y − + y − y + ( ) ⇔ y − 3y + = y + y + + >0 y (3 − y ) + ( ) 3− <2 y = ⇔ 3+ ⇒ x = 3+ y = * Chú ý: các bạn có thể phân tích đa thức y − 2y3 − 3y + 4y − thành nhân tử với nhân tử chung là y − 3y + cách sau: - Cách 1: Chia đa thức y − 2y3 − 3y + 4y − cho đa thức y − 3y + - Cách 2: Dùng hệ số bất định y − 2y3 − 3y + 4y − = ( y − 3y + 1)( y + my − 1) ⇒ m ? Vậy HPT có nghiệm (x; y) = + 5; 3+ x + y + = y − 3x + (1) Bài : Giải hệ phương trình 2 y − + 2y + = x + x + xy + 3y (2) Phân tích tìm lời giải y ≥ 3x + ĐK y ≥ x ≥ + Ở bài này ta không xuất phát từ (1), vì có số và rời nên giải thường cho nghiệm không phải số nguyên + Xét phương trình (2) để “xử lý” ta thấy: - Nếu cho y = ⇒ x + x + x = ⇔ x + x x + x = ⇔ x = ( ) - Nếu cho y = ⇒ x + x + 2x = , bấm máy giải phương trình ⇒ x = + Như đến đây ta dự đoán y = x + ⇔ y − x − = , nhân tử chung dự đoán là ( y − x − 1) , bây ta tìm cách ép nhân tử chung từ phương trình (2) sau: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 (6) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA y − + 2y + = x + x + xy + 3y ⇔ y − − x = x + xy + 3y − 2y − ⇔ y −1 − x = x + xy + 3y − 2y − (3) y −1 + x + Ta cần phân tích đa thức vế phải (3) thành nhân tử với nhân tử chung là ( y − x − 1) , công việc này không đơn giản Cách xử lý khéo léo là ta coi VP (3) là phương trình bậc ẩn x: x + xy + ( 3y − 2y − 1) = - Tính ∆ = y = 4.1 ( 3y − 2y − 1) = ( 3y − ) ≥ , phương trình x + xy + ( 3y − 2y − 1) = có nghiệm là : − y + 3y − x = x − y + = ⇔ ⇒ x + xy + 3y − 2y − = ( x − y − 1)( x + 2y − 1) x + 2y − = x = − y − 3y + ( ) - Vậy (3) ⇔ y −1 − x = ( x − y − 1)( x + 2y − 1) y −1 + x ⇔ ( y − x − 1) + x + 2y − 1 = y −1 + x - Ta thấy với ĐK x ≥ 0; y ≥ ⇒ + x + 2y − 1 > ⇒ y − x − = ⇒ y = x + thay y −1 + x vào (1) ta được: x + x + + = x − x + + (4) , bấm máy thấy phương trình này có nghiệm x = , ta biến đổi để xuất nhân tử chung là ( x − ) : Bình phương vế và biến đổi ta được: x − = 7x − 7x + − 3x + 3x + ⇔ x−2= ⇔ x−2= 4x − 10x + 7x − 7x + + 3x + 3x + ( x − )( 2x − 1) 7x − 7x + + 3x + 3x + 4x − ⇔ ( x − ) 1 − =0 7x − 7x + + 3x + 3x + + Đến đây mặc dù đã xuất nhân tử chung là ( x − ) , nhiên đại lượng dấu ngoặc thứ hai là 1 − ta không thể chứng minh cho nó ≠ , 7x − 7x + + 3x + 3x + 4x − Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 (7) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA = thì việc giải phương 7x − 7x + + 3x + 3x + 4x − xét phương trình 1 − trình này là khó + Bây ta phải quay trở phương trình (4) để đổi hướng làm bài sau: x + x + + = x − x + + (4) ⇔ x + x + − x − x + = − (5) + Ý tưởng làm bài lúc này là ta chứng minh cho VT (5) là hàm đơn điệu để suy x = là nghiệm (5) - Xét hàm số : f (x) = x + x + − x − x + ⇒ f '(x) = 2x + ⇔ f '(x) = ( 2x + 1) t - Xét hàm số f (t) = t +3 2 x + x +1 ( 2x − 1) , t ∈ R ⇒ f '(t) = ( t2 + ) ( 2x + 1) − +3 2x − ( 2x − 1) 2 x2 − x +1 > 0, ∀t ⇒ f (t) là hàm đồng biến 2x + ( 2x + 1) 2x + 2x − +3 - Mặt khác ta có 2x + > 2x − ⇒ g(2x + 1) > g(2x − 1) ⇒ ⇒ f '(x) = − 2x − − +3 2x + 2x − > ( 2x − 1) +3 +3 > ⇒ f (x) là hàm đồng biến +3 Vậy x = là nghiệm (5) KL: (x; y) = (2;3) x + x − x + = x ( y − 1)3 + (1) Bài 3: Giải hệ phương trình 3 2 3 x − y + x + x + y = 2y y − x + x (2) ( ) Phân tích tìm lời giải x3 − x + ≥ + ĐK: y ≥ + Ở bài này phương trình (1) là đa thức có hạng tử nên ta loại trừ PP nhân lượng liên hợp, ta xuất phát từ (2) để biến đổi rắc rối xem hình dạng biểu thức thu nhé ! + Từ (2) ta biến đổi: ( x − y + x + x + y3 = 2y y − x + x ⇔ x + 2x x + ( ⇔ (x + ⇔ x+3 ) ( x ) − 2y y − ( x + x ) + y − y = x ) − 2y y − ( x + x ) + ( y y − ) = x − y y −1) = 3 3 2 ⇔ x + x − y y −1 = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 (8) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ( x) ⇔( x) ⇔ 3 + x = ( y − + 1) y − +3x= ( ) y − + y − (3) + Như sau biến đổi (2) thì kết thu tự nhiên tốt, đó đây là điều may mắn và ngẫu nhiên + Đến đây ta xét hàm số f (t) = t + t ⇒ f '(t) = 3t + > ⇒ f (t) là hàm đồng biến Vậy từ (3) ⇒ f ( x)=f ( ) y − ⇒ x = y − ⇒ ( y − 1) = x thay vào (1) ta được: x + x3 − x + = x3 + ⇔ ( ) x3 − x2 + − x4 ⇔ ( ) x3 − x + − x + x − x3 + x −1 = x − x +1 + x ( ) + x − x3 + x −1 = ⇔ x − x + x − 1 − =0 x3 − x + + x ( ) x − x3 + x −1 = ⇔ x − x + + x = x = ⇔ 1 − x ≥ 2 x − x + = − x ( ) x = ⇒ y = ⇔ x = ⇒ y = KL: HPT có nghiệm (x; y) = (1; 2), (0;1) 3x + 3y + = ( y − x ) y + xy + x + (1) Bài 4: Giải hệ phương trình ( x + y − 13) 3y − 14 − x + = (2) ( ( ) ) Phân tích tìm lời giải x ≥ −1 + ĐK: 14 y ≥ + Quan sát phương trình (1), ta thực mở dấu ngoặc và chuyển vế thì cô lập x và y sang vế, thật vậy: ( 3x + 3y + = ( y − x ) y + xy + x + ) ⇔ 3x + 3y + = ( y − x ) y + xy + x + ⇔ 3x + 3y + = y3 − x + ( y − x ) ( ) ⇔ x + 3x + 6x + = y3 − 3y + 6y (3) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 (9) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA + Ở phương trình (3) đã cô lập x và y sang vế, mặt khác vế có dạng đa thức bậc ba, với hình thức phương trình kiểu này, ta thường nghĩ đến phương pháp sử dụng “hàm đại diện” x + 3x + 6x + = y3 − 3y + 6y 3 ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( y − 1) + ( y − 1) (4) + Đến đây ổn rồi, xét hàm số f (t) = t + 3t ⇒ f '(t) = 3t + > ⇒ f (t) là hàm đồng biến Vậy từ (4) ⇒ f (x + 1) = f (y − 1) ⇔ x + = y − ⇔ y = x + thay vào (2) ta được: ( 2x − 11) ( ) 3x − − x + = ⇔ 3x − − x + = ⇔ 3x − − x + − 2x − 11 11 =0 (5); ≤ x ≠ 2x − 11 + Ở phương trình (5) ta nhẩm thấy (hoặc dùng máy tính) phương trình có nghiệm x = 3; x = , nhiên việc giải phương trình (5) là khó Trong trường hợp này ta dùng phương pháp đồ thị để chứng tỏ phương trình (5) có đúng nghiệm x = 3; x = 11 ; ≤x≠ 2x − 11 3 10 ⇒ f '(x) = − + 2 3x − x + ( 2x − 1) + Xét hàm số f (x) = 3x − − x + − x + − 3x − 10 11 + > 0, ∀x ≥ ; x ≠ 2 3x − x + ( 2x − 1) ⇔ f '(x) = + Ta có bảng biến thiên sau: x 11 +∞ + f'(x) + f(x) + Từ BBT ta thấy hàm số f(x) cắt Ox tối đa điểm, phương trình (5) có nghiệm x = 3; x = KL: HPT có nghiệm là (x; y) = (3;5); (8;10) Nhận xét: Nếu ta giải phương trình ( 2x − 11) ( ) 3x − − x + = phương pháp nhân liên hợp thì ta biến đổi sau: ( 2x − 11) ( ⇔ ( 2x − 11) ⇔ ) 3x − − x + = ( ) 3x − − − ( 2x − 11) ( ( 2x − 11) ( x − 3) ( 2x − 11) ( x − 3) ( ) 3x − + − ( x +1 + ) ) x + − − ( x − 3) = − ( x − 3) = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 (10) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2x − 11 ( ) ⇔ ( x − 3) − 3x − + ( − 2 = x +1 + ( 2x − 11) ) ( ) + Tuy nhiên đến đây ta gặp khó khăn lý luận cho phương trình dấu ngoặc vuông có nghiệm x = 2x − 11 ) ( − 3x − + ( ) ( − 2 = x +1 + ( 2x − 11) ) y + y2 + 6 ln = ( x − y ) x + xy + y − (1) x + x2 + Bài 5: Giải hệ phương trình 4y − 6y + − 4x − = (2) ( ) Phân tích tìm lời giải + ĐK: < x ≤ + Nhận thấy (1) có dạng đặc biệt nên biến đổi (1) ta được: ( ⇔ ln ( y + + Xét hàm số f (t) = ln ( t + ) ( ) y + ) + y − 2y = ln ( x + x + ) + x − 2x (3) t + ) + t − 2t, t ∈ R ⇒ f '(t) = + 3t − t +5 ⇔ ln y + y + − ln x + x + = x − y3 − 2x + 2y 3 2 + Đến đây ta chưa chứng minh f(t) là hàm đơn điệu, ta tính f’’(t) và sử dụng PP “min - max”, thật vậy: ⇒ f ''(t) = 6t 1 − (t +5 ) , xét f ''(t) = ⇔ t = , ta có bảng biến thiên sau: t -∞ f''(t) - +∞ + f'(t) + Từ BBT ta thấy f '(t) ≥ -2 − > ⇒ f '(t) > ⇒ f (t) là hàm đồng biến + Vậy từ (3) f (x) = f (y) ⇒ x = y thay vào (2) ta có: 4x − 6x + − 4x − = (4) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 (11) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA + Việc giải phương trình (4) không đơn giản, bây ta dùng đến máy tính và thấy phương trình (4) có nghiệm x = , đó ta phải chứng minh cho hàm số vế trái (4) là hàm đơn điệu, thật vậy: 3 4 3 ⇒ g '(x) = 16x − 12x − = 4x 4x − − < 0, ∀x ∈ 0; − 4x − 4x 4 1 ⇒ g(x) là hàm nghịch biến ⇒ x = là nghiệm (4) ⇒ y = 2 1 1 KL: HPT có nghiệm ( x; y ) = ; 2 2 + Xét hàm số g(x) = 4x − 6x + − 4x − , x ∈ 0; 4 ( ) 2x − x + y = (1) Bài 6: Giải hệ phương trình x − 3x + + ( y + ) − y = (2) Phân tích tìm lời giải 2x − x ≥ 0 ≤ x ≤ + ĐK: ⇔ 0 ≤ y ≤ 0 ≤ y ≤ + Nhận thấy phương trình (2) có thể cô lập x và y sang vế, mặt khác VT là đa thức bậc x, VP chứa bậc hai đa thức bậc y, hình thức này, ta thường sử dụng PP “hàm đại diện” để giải quyết, thật vậy: x − 3x + + ( y + ) − y = ⇔ x − 3x + = − ( y + ) − y ( ) ⇔ x − 3x + 3x − − ( x − 1) = (1 − y ) − 3 − y ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) = ( 1− y ) − − y (3) 0 ≤ x ≤ −1 ≤ x − ≤ ⇔ ⇒ −1 ≤ t ≤ 0 ≤ y ≤ 0 ≤ − y ≤ + Xét hàm số f (t) = t − 3t , ta thấy ( ) ⇒ f '(t) = 3t − = t − ≤ 0, ∀t ∈ [ −1;1] ⇒ f (t) là hàm nghịch biến + Từ (3) f ( x − 1) = f ( x ≥ x − ≥ − y ⇒ x −1 = − y ⇔ ⇔ 2 ( x − 1) = − y y = − x + 2x ) + Thay vào (1) ta được: 2x − x + 2x − x = 2,1 ≤ x ≤ , giải PT này ⇒ x = KL: HPT có nghiệm (x; y) = (1;1) 3 − x + 3x − y − = (1) Bài 7: Giải hệ phương trình x − 5x = y + 2y − y + (2) ( ) Phân tích tìm lời giải Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 (12) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 1 − x ≥ −1 ≤ x ≤ + ĐK: 3x − y − ≥ ⇔ y + ≤ 3x y + ≥ y ≥ −1 + Quan sát thấy phương trình (2) cô lập x và y sang vễ, đa thức bậc hai là bậc nên ta nghĩ đến việc biến đổi (2) theo PP “hàm đại diện” ( x − 5x = y + 2y − ) y +1 ⇔ x − 5x = ( y + 1) − 5 y + ⇔ x − 5x = ( ) y + − y + (3) + Xét hàm số f (t) = t − 5t x ∈ [ −1;1] + Ta cần tìm điều kiện : y + ≤ 3x ⇒ t ∈ −1; ⇒ y + ∈ 0; y +1 ≥ + Ta có f '(t) = 5t − = ( t − 1) , rõ ràng với t ∈ −1; thì ta chưa thể xác định hàm f(t) đơn điệu, điều này chứng tỏ ĐK t tìm chưa sát (vẫn còn thiếu) Bây ta phải nghiên cứu kỹ để tìm ĐK cho t thật sát + Xét (1) ta thấy: = − x + 3x − y − ⇔ = 3 − 3x + 3x − y − ⇔ ≤ + − 3x + 3x − y − ⇔ 3≤ 2−y ⇔ y ≤ − 3 ⇔ y +1 ≤ ⇔ ≤ y +1 ≤ 4 x ∈ [ −1;1] + Như cuối cùng ta có ⇒ t ∈ [ −1;1] y + ∈ 0; ⇒ f '(t) = ( t − 1) ≤ 0, ∀t ∈ [ −1;1] ⇒ f (t) là hàm nghịch biến + Từ (3) ⇒ f ( x ) = f ( 0 ≤ x ≤ y +1 ⇒ x = y +1 ⇔ thay vào (1) ta được: x = y + ⇒ y = x − ) − x + 2x = , đặt X = x ⇒ X ∈ [ 0;1] ⇒ − X + 2X = (4) + Phương trình (4) giải cách bình phương vế lần 49 ;− 121 11 KL: HPT có nghiệm là (x; y) = (0; −1); ± Qua bài này ta thấy việc tìm ĐK cho hàm “đại diện” f(t) lấy hợp các ĐK hàm số VT và VP, đôi chúng ta cần tìm thật sát ĐK f để chứng minh hàm số f(t) đơn điệu Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 10 (13) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x + + x − − y + = y (1) Bài (KA-2013): Giải hệ phương trình 2 x + 2x ( y − 1) + y − 6y + = (2) Phân tích tìm lời giải + ĐK: x ≥ + Ta thấy phương trình (1) có thể cô lập x và y sang vế, có thể sử dụng PP “hàm đại diện” để giải quyết, thật vậy: x + + x −1 − y4 + = y ⇔ x + + x − = y4 + + y ⇔ ( ) x − + = y + + y (3) + Xét hàm số f (t) = t + + t , y ∈ R, x ≥ ⇒ t ∈ R ⇒ f '(t) = 2t t4 + + t , rõ ràng với t ∈ R thì hàm số f(t) không đơn điệu, ta cần tìm điều kiện sát t sau + Xét (2) x + 2x ( y − 1) + y − 6y + = ⇔ x + 2xy − 2x + y − 6y + = ⇔ x + y + + 2xy − 2x − 2y = 4y ⇔ ( x + y − 1) = 4y ⇒ 4y ≥ ⇒ y ≥ x ≥ ⇒ t ≥ ⇒ f '(t) = y ≥ + Như với + Từ (3) ⇒ f ( 2t t4 + + t ≥ 0, ∀t ≥ ⇒ f (t) là hàm đồng biến ) x − = f ( y ) ⇒ x − = y ⇒ x = y + thay vào (2) ta được: y = y y7 + 2y + y − = ⇔ y + 2y + y − = (4) + Ở phương trình (4) ta thấy có nghiệm y = , mặt khác xét hàm số vế trái (4) ta ( ) có: g(y) = y7 + 2y + y − ⇒ g '(y) = 7y6 + 8y3 + > nên g(y) là hàm đồng biến, y = là nghiệm (4) KL: HPT có nghiệm (x; y) = (1; 0), (2;1) 2y3 − 2x + x = + x − y (1) Bài 9: Giải hệ phương trình 2 2 5x + 2y + 12x + − x − y − 19 = 5y (2) Phân tích tìm lời giải x ≥ −1 + ĐK: 5x + 2y + 12x + ≥ 2 x − y − 19 ≥ + Nhận thấy phương trình (1) có thể cô lập x và y sang vế, đa thức là bậc 1, y bậc nên ta nghĩ đến PP sử dụng “hàm đại diện”, thật vậy: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 11 (14) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2y3 − 2x + x = + x − y ⇔ 2y3 + y = 2x + x + + x ⇔ 2y3 + y = (1 + x ) − 1 + x + + x ⇔ 2y3 + y = + x ( ⇔ 2y3 + y = ( 1+ x ) ) 3 − 1+ x + 1+ x + + x (3) + Xét hàm số f (t) = 2t + t, t ∈ R ⇒ f '(t) = 6t + > 0, ∀t ∈ R ⇒ f (t) là hàm đồng biến, từ (3) f ( y ) = f ( ) + x ⇔ y = + x thay vào (2) ta có: 5x + 14x + − x − x − 20 = x + 1, x ≥ ⇔ 5x + 14x + = x + + x − x − 20 + Bình phương vế ta được: 2x − 5x + = ( x + 1)( x − 5)( x + ) (4) + Đối với dạng phương trình (4) ta giải PP đặt ẩn phụ sau: a = ( x + 1)( x − ) ≥ a = x − 5x − - Đặt thay vào (4) ta có: ⇒ b = x + > b = x + a b =1 a = b a a 2 ⇔ 2a + 3b = 5ab ⇔ − + = ⇔ b b 2a = 3b a = b + 61 + 61 ( x + 1)( x − ) = x + x = ⇒y= ⇒ ⇔ 2 ( x + 1)( x − ) = ( x + ) x = ⇒ y = + 61 + 61 ; ( 8;3) KL: HPT có nghiệm ( x; y ) = ; 2 = (10 − xy ) (1) 3 x + y + x − y) ( Bài 10: Giải hệ phương trình 2x + = (2) x−y ( ) Phân tích tìm lời giải + ĐK: x ≠ y + Nhận thấy dạng HPT trên nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để giải quyết, thật vây : 1 2 2 = (10 − xy ) = 20 2 3 x + y + 2 ( x + y ) + ( x − y ) + x − y) ( x − y) ( ⇔ 2x + = ( x + y ) + ( x − y ) + = x−y x−y ( ) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 12 (15) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA a = ( x + y ) a = ⇒ b = 2a + b − = 20 + Đặt ⇔ ⇒ a = ⇒ b = 14 b = ( x − y ) + x − y a + b = 3 + 10 − 10 − 10 + 10 KL: HPT có nghiệm là ( x; y ) = ( 2;1) ; ; ; ; 3 x + y + x y + xy + xy = − (1) Bài 11 (KA-2008): Giải hệ phương trình x + y + xy (1 + 2x ) = − (2) Phân tích tìm lời giải + HPT đã cho biến đổi chút ta thấy xuất nhân tử chung: 5 2 x + y + x y + xy + xy = − x + y + xy + xy x + y = − ⇔ x + y + xy (1 + 2x ) = − x + y + xy = − 4 5 a + b + ab = − b = − − a2 a =0⇒b=− a = x + y 4 + Đặt ⇒ ⇔ ⇔ a a = − ⇒ b = − b = xy a + b = − a + a + = 4 2 x + y = x = + Với a = 0, b = − ⇒ ⇔ xy = − y = − 25 16 3 + Tương tự với a = − ; b = − ⇒ x = 1; y = − 2 25 3 KL: HPT đã cho có nghiệm ( x; y ) = ; − ; 1; − 16 2 ( ) ( ) ( ) x − 3x − 9x + 22 = y3 + 3y − 9y (1) Bài 12 (KA-2012): Giải hệ phương trình 2 x + y − x + y = (2) Phân tích tìm lời giải + Nhận thấy (1) có x và y cô lập sang vế, bậc đa thức với biến x và y là 3, ta biến đổi (1) theo PP “hàm đại diện” x − 3x − 9x + 22 = y3 + 3y − 9y 3 ⇔ ( x − 1) − 12 ( x − 1) = ( y + 1) − 12 ( y + 1) (3) + Xét hàm số f (t) = t − 12t, t ∈ R ⇒ f '(t) = ( t − ) , ta thấy f(t) không phải hàm đơn điệu, đó ta cần tìm điều kiện sát biến t sau: + Từ (2) ta biến đổi thấy: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 13 (16) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 1 −1 ≤ x − ≤ − ≤ x − ≤ 1 1 3 2 x + y2 − x + y = ⇔ x − + y + = ⇒ ⇔ ⇒− ≤t≤ 2 2 2 −1 ≤ y + ≤ − ≤ y + ≤ 2 3 + Như với điều kiện t là − ≤ t ≤ ⇒ f '(t) < ⇒ f (t) là hàm nghịch biến 2 + Vậy từ (3) ⇒ f ( x − 1) = f ( y + 1) ⇒ x − = y + ⇔ y = x − thay vào (2) và biến đổi ta 2 ⇒y=− 2 ⇒y=− 2 1 3 3 1 KL: HPT có nghiệm ( x; y ) = ; − ; ; − 2 2 2 2 x = được: 4x − 8x + = ⇔ x = Nhận xét: Ta có thể giải HPT trên PP đặt ẩn phụ sau: ( x − y )3 + 3xy ( x − y ) − ( x − y )2 + 2xy − ( x − y ) + 22 = x − 3x − 9x + 22 = y3 + 3y − 9y ⇔ 2 x + y − x + y = ( x − y ) + 2xy − ( x − y ) = a + 3ab − 3a − 6b − 9a + 22 = (1) a = x − y + Đặt ⇒ b = xy a + 2b − a = (2) 2 2a − 2a − + Từ (2) ⇒ b = thay vào (1) và biến đổi ta được: a =2⇒b= −2a + 6a − 45a + 82 = ⇔ a − 2a + 41 = (3) x= a = x + y = + Do phương trình (3) vô nghiệm nên với 3⇒ ⇔ x = b = xy = 1 3 3 1 KL: HPT có nghiệm ( x; y ) = ; − ; ; − 2 2 2 2 ⇒y=− 2 ⇒y=− 2 x y + + y x + = 7xy (1) Bài 13: Giải hệ phương trình x x + + y y + = + x + y (2) Phân tích tìm lời giải + Nhận thấy HPT đã cho có thể giải PP đặt ẩn phụ, nhiên để đặt ẩn phụ, ta cần biến đổi chút sau: Nhận thấy x = y = không phải là nghiệm HPT nên ta chia vế (1) cho xy ≠ , còn (2) ta chuyển vế và nhóm nhân tử, ta được: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 14 (17) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA y2 + x2 + x y + + y x + = 7xy + =7 y x ⇔ x x + + y y + = + x + y 2 x x + − x + y y + − y = (*) ) ( ( ) + Ở phương trình (*) ta biến đổi tiếp cách “nhân liên hợp” x ( ⇔ ) ( ) x2 + − x + y 3x x2 + + x ⇔ x +3 +1 x + + y2 + − y = 6y y2 + + y y +6 +1 y =2 =2 y2 + a = a + b = a = ⇒ b = y + Đến đây ta đặt ⇒ ⇔ a = ⇒ b = b + + a + = x2 + 2 b = x 1 + Đoạn cuối bạn đọc tự giải, cuối cùng ta có đáp số ( x; y ) = ; ; 1; 15 15 x −1 3 x − 3x − y − 6y − 9y − + ln y + = (1) Bài 14: Giải hệ phương trình y log ( x − 3) + log y = x + (2) Phân tích tìm lời giải x > y > + ĐK: + Quan sát (1) ta thấy có thể cô lập x và y sang vế, mặt khác x và y có mũ cao là 3, vì ta sử dụng PP “hàm đại diện” để giải quyết, thật vậy: x − 3x − y3 − 6y − 9y − + ln x −1 =0 y +1 ⇔ x − 3x − + ln ( x − 1) = y3 + 6y + 9y + ln ( y + 1) 3 ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) + ln ( x − 1) = ( y + 1) + ( y + 1) + ln ( y + 1) (3) x > ⇒ t > f '(t) = 3t + 6t + > 0, ∀t > ⇒ f(t) là t y > + Xét hàm số f (t) = t + 3t + ln t , hàm đồng biến + Từ (3) ⇒ f ( x − 1) = f ( y + 1) ⇒ x − = y + ⇔ y = x − thay vào (2) ta được: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 15 (18) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ( x − ) log ( x − 3) + log ( x − ) = x + ⇔ log ( x − 3) + log ( x − ) − x +1 = (4) x−2 + Nhận thấy phương trình (4) không dễ gì giải được, la dùng phương pháp hàm số Ta thấy (4) có nghiệm là x = , mặt khác ta xét hàm số: x +1 ,x > x−2 1 ⇒ g '(x) = + + > 0, ∀x > ( x − 3) ln ( x − ) ln ( x − )2 g(x) = log ( x − 3) + log ( x − ) − Vậy g(x) là hàm đồng biến ⇒ x = là nghiệm (4) ĐS: ( x; y ) = ( 5;3) y3 3x + 2x − + 4y = Bài 15: Giải hệ phương trình ( ) 2 y x + 4y x − 6y + 5y = Phân tích tìm lời giải + Ta nhận thấy hệ đã cho có thể cô lập x và y sang vế để sử dụng PP “hàm đại diện” giải HPT + Do y = không phải là nghiệm HPT nên: 3x + 2x − = − (1) y 3x + 2x − + 4y = y y y 3x + 2x − = − 4y ⇔ ⇔ 3 2 y x + 4x + = + 6y x + 4x + = + (2) y x + 4y x − 6y + 5y = y2 y ( ( ( ) ) ) + Ta cộng vế (1) và (2) 2 2 ⇒ x + 3x + 6x + = + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = + (3) y y y + Xét hàm số f (t) = t + 3t, t ∈ R ⇒ f '(t) = 3t + > 0, ∀t ∈ R ⇒ f (t) là hàm đồng biến 2 + Từ (3) ⇒ f ( x + 1) = f ⇒ x + = thay vào (2) ta có: y y x + 4x + = ( x + 1) + ( x + 1) ⇔ x = ±1 (với x = −1 không tìm y) ⇒ (x; y) = (1;1) y x − x − y = x − y (1) Bài 16: Giải hệ phương trình 2 x + y − 2x − = 11 (2) ( ) Phân tích tìm lời giải x − x − y ≥ + ĐK x − y ≠ x ≥ Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 16 (19) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA + Ở phương trình (1) ta nhận thấy: y = , bấm máy tính giải PT này ta có y = 2−y y - Nếu cho x = ⇒ − y − = , bấm máy tính giải PT này ta có y = 3− y ⇒ ta thấy y luôn kém x là đơn vị ⇒ y = x − ⇒ (1) có nhân tử chung là - Nếu cho x = ⇒ − y − y − x + = − ( x − y − 1) , bây ta biến đổi (1) để ép nhân tử chung: x=0< + Ta thấy x − x − y ≠ vì : x − x − y = thì theo (1) ⇒ y = ⇒ x = 2 ⇒ x = 0; y = không là nghiệm HPT, từ (1) thực nhân liên hợp ta có: x2 − x − y = y ⇔ x−y = x−y x − y −1 ⇔ (x − y) + x − y +1 = y x2 − x − y ⇔ x − y −1 = y x2 − x − y −1 = y − x2 − x − y x2 − x − y ( x + y )( y + − x ) (y + x2 − x − y ) x2 − x − y x + y) ( = (*) ⇔ ( x − y − 1) + 3 2 ( x − y ) + x − y + y + x − x − y x − x − y ( ) + Đến đây ta cần tìm cách chứng minh cho phương trình dấu ngoặc vuông vô nghiệm x + y) ( ≠0 + 3 2 ( x − y ) + x − y + y + x − x − y x − x − y >0 3 ( x − y) + x − y +1 + Ta thấy x − x − y > ta còn chứng minh cho y > x2 − x − y > x > + Giả sử y < , từ (1) ⇒ x − y < ⇔ x − y < ⇔ ≤ x < y (vô lý) ⇒ y > >0 3 x − y +1 x − y + ( ) + Như với hàng loạt kiện có là x − x − y > thì ta luôn có: x2 − x − y > x > 0, y > ( ) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 17 (20) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ( x − y) + + x − y +1 ( x + y) ( y + x2 − x − y ) x2 − x − y > , từ (*) x − y − = ⇔ y = x − + Thay y = x − vào (2) ta được: ( ) 2x − 2x + + 2x − = 11 ⇔ ( 2x − 1) + 2x − − 10 = + Đặt t = 2x − ⇒ t + 3t − 10 = ⇔ t = ⇒ 2x − = ⇔ x = ⇒y= 2 (1 − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y (1) Bài 17 (KB-2014): Giải hệ phương trình 2y − 3x + 6y + = x − 2y − 4x − 5y − (2) Phân tích tìm lời giải + ĐK: x − y ≥ 0; y ≥ 0; x − 2y ≥ 0; 4x − 5y − ≥ (*) + Ta thử với phương trình (1) thì thấy quy luật sau: y = y = - Cho x = ⇒ (1 − y ) − y − + y y = ⇔ - Cho x = ⇒ (1 − y ) − y + ( y − 1) y = ⇔ y = Như ta có quy luật y = x − , điều này chứng tỏ (1) có nhân tử chung là − ( x − y − 1) + Bây ta biến đổi (1) để ép nhân tử chung là − ( x − y − 1) (1 − y ) x − y + x = + ( x − y − 1) y ⇔ (1 − y ) x − y − 1 + − y + x − − ( x − y − 1) (1 − y )( x − y − 1) ⇔ + ( x − y − 1) (1 − y ) = y =0 x − y +1 ⇔ (1 − y )( x − y − 1) + ( x − y − 1)(1 − y ) = x − y +1 1+ y 1 ⇔ (1 − y )( x − y − 1) + =0 x − y + 1 + y + Với y = thay vào (2) ta có − 3x = ⇔ x = + Với y = x − thay vào (2) ta có 2x − x − = − x ) ( ( ) ⇔ x2 − x −1 + x −1 − − x = ⇔ x − x − 2 + =0 x −1 + − x ( ) ⇔ x2 − x −1 ⇔ x = 1± + −1 + ; 2 Kết hợp ĐK: ( x; y ) = ( 3;1) ; Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 18 (21) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA y − + 2y + = x + x + xy + 3y (1) Bài 18: Giải hệ phương trình 2x − 11x + 21 = 3 4y − (2) Phân tích tìm lời giải + ĐK: y ≥ 1; x ≥ + Ở phương trình (1) ta làm phép thử sau: - Cho x = ⇒ y − + 2y2 = + 4y , bấm máy tính giải PT này ⇒ y = - Cho x = ⇒ y − + 2y = 17 + 7y , bấm máy tính giải PT này ⇒ y = + Đến đây ta dự đoán quy luật y = x + ⇔ x − y + = ⇒ (1) có nhân tử chung là x − y + , bây ta biến đổi (1) để ép nhân tử chung: y − + 2y + = x + x + xy + 3y ⇔ ⇔ ( ) ( ) x − y − + x + xy + 3y − 2y − = x − y +1 + x + xy + 3y − 2y − = (3) x + y −1 ( ) + Ta coi x + xy + 3y − 2y − = là phương trình bậc 2, ẩn x ⇒ ∆ = ( 3y − ) x = y −1 x − y +1 = ⇒ ⇔ ⇒ x + xy + 3y − 2y − = ( x − y + 1)( x + 2y − 1) x = −2y + x + 2y − = + Vậy phương trình (3) tương đương với: x − y +1 + x + xy + 3y − 2y − = x + y −1 ( ) ⇔ ( x − y + 1) + x + 2y − = (4) x + y −1 + Căn vào ĐK bài ta có : + x + 2y − > , từ (4) ⇔ y = x + x + y −1 + Thay y = x + vào (2) ta được: 2x − 11x + 21 = 3 4x − (5) + Ở phương trình (5) ta thấy có nghiệm x = (nhẩm bấm máy), vì ta cần biến đổi (5) để ép nhân tử chung là ( x − 3) 2x − 11x + 21 = 4x − ⇔3 ( ) 4x − − = 2x − 11x + 15 12 ( x − 3) ⇔ ( 4x − ) + 4x − + = ( x − 3)( 2x − ) 12 ⇔ ( x − 3) − ( 2x − ) = (6) 4x − + 4x − + ) ( + Đến phương trình (6) ta lại gặp khó khăn xử lý phương trình dấu ngoặc vuông 12 ( 4x − ) + 4x − + 12 − ( 2x − ) = ⇔ ( 4x − ) = 2x − (7) + 4x − + Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 19 (22) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA + Đặt t = 4x − ta xét hàm số f (t) = 24 ( t + 1) 12 ⇒ f '(t) = − t + 2t + t + 2t + ( ) + Ta cần phải tìm ĐK cho t để đánh giá hàm f(t), nhận thấy từ (5) ta có: 11 47 2x − 11x + 21 = 4x − ⇔ x − + = 3 4x − 4 47 47 47 ⇒ 3 4x − ≥ ⇔ 4x − ≥ ⇒t≥ ⇒ f '(t) < 24 24 12 ⇒ f (t) là hàm nghịch biến ⇒ f (x) = là hàm nghịch biến, mặt 3 ( 4x − ) + 4x − + khác hàm số g(x) = 2x − là hàm đồng biến, nhận thấy phương trình (7) có nghiệm x = ⇒ x = là nghiệm (7) + Từ (6) ⇒ x = ĐS: ( x; y ) = ( 3; ) x ( x − ) − y y + = −2 (1) Bài 19: Giải hệ phương trình 3 x − = y ( y + ) (2) Phân tích tìm lời giải + Quan sát hệ ta thấy (1) có thể cô lập x và y sang vế, x có mũ 3, y nằm biểu thức chứa bậc - đây là loại toán phổ biến - ta nghĩ đến việc dùng “hàm đại diện” để làm Cụ thể (1) biến đổi: ⇔ x − 3x + = y y + ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) = ( y + 3) − 3 y + 3 ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) = ( ) y+3 −3 y+3 + Đến đây thì ổn rồi, coi là có lối thoát, ta xét hàm f (t) = t − 3t + Các bạn chú ý tìm điều kiện t vào ĐK x và y nhé, cụ thể này: x ≥ ⇒ x −1 ≥ ⇒ t ≥ , xét f '(t) = 3t − ≥ 0, ∀t ≥ ⇒ f(t) đồng biến y ≥ ⇒ y +1 ≥ Do Vậy f ( x − 1) = f ( ) y + ⇔ x − = y + ⇔ x = + y + thay vào (2) và bình phương vế ta được: y + = y + 8y + (*) + Phương trình (*) ta có thể dùng quy tắc giải phương trình bình phương vế, nhiên cách đó phương trình bậc cao, ta giải pt đó có nghiệm nguyên + Bạn lấy máy tính bấm ta thấy pt (*) có nghiệm y = 1, ta dùng cách thêm bớt nhân liên hợp để xuất nhân tử chung là y - sau: y + = y + 8y + (*) ⇔ ⇔9 ( ) y + − = y + 8y − y −1 = ( y − 1)( y + ) ⇔ ( y − 1) − y − 9 = y+3 +2 y+3 +2 + Ta dễ thấy với y ≥ thì − y − < Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (3;1) y+3 +2 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 20 (23) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x + y + xy + = 4y (1) Bài 20: Giải hệ phương trình 2 x + ( − x ) = x y (2) ( ) Phân tích tìm lời giải Nhận xét: Đối với pt (1) vế trái là đẳng cấp bậc 2, mà vế phải bậc 1, dạng toán này ta thường nghĩ đến việc khử ẩn bậc nằm vế phải sau: + Ta thấy y = không phải là nghiệm hệ nên chia vế (1) cho y ≠ phương trình : x2 +1 + x + y = (*) y + Ở phương trình (*) đã xuất đại lượng x2 +1 , điều này có nghĩa là ta biến đổi (2) y x2 +1 và dẫn đến việc suy nghĩ giải hệ cách đặt ẩn phụ, y x2 +1 đó có ẩn phụ là a = y + Bây ta thực mở dấu ngoặc từ pt(2) : x + x + x y − 2x − = để làm xuất ( ) ( ) ⇔ x ( x + 1) + y ( x + 1) − ( x ( x + 1) ( x + y − ) = (**) ⇔ ( ) ( ) ( ) ⇔ x x2 +1 + x2y − x2 +1 = ⇔ x x2 +1 + x2y + y − y − x2 +1 = 2 ) ( ) + = y ⇔ x + ( x + y − 2) = y y x2 +1 , ta thấy xuất + Như sau biến đổi pt(2) để làm xuất đại lượng y thêm đại lượng là ( x + y − ) , đó từ (*) ta thêm bớt để thành sau : x2 +1 x2 +1 + x + y = (*) ⇔ + ( x + y − 2) = y y x + + ( x + y − 2) = y + Vậy cuối cùng thì hệ phương trình đã cho đã trở thành : x +1 y ( x + y − 2) = x +1 Bài toán đến đây giải cách đặt ẩn phụ a = , b = x + y − quá dễ nhé y Các bạn giải đoạn cuối có đáp số ( x; y ) = ( −2;5 ) , (1; ) ( ) 3x y3 + 2xy3 − y3 = − 4y 2 x y + 4y x − 6y + 5y = Bài 21: Giải hệ phương trình Phân tích tìm lời giải + Trước hết, ta thấy PT hệ có thể cô lập x, y nên ta biến đổi sau: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 21 (24) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 3x y3 + 2xy3 − y3 = − 4y y 3x + 2x − = − 4y ⇔ 2 2 x y + 4y x − 6y + 5y = y x + 4x + = + 6y ( ( ) ) + Nhận thấy y = không phải là nghiệm hệ nên ta biến đổi tiếp : y3 3x + 2x − = − 4y 3x + 2x − = y3 − y (1) ⇔ y x + 4x + = + 6y x + 4x + = + (2) y2 y ( ( ( ) ) ( ) ) + Quan sát (1) và (2) rõ ràng ta cần phải cộng vế chúng lại (sẽ làm lượng ⇒ x + 3x + 6x + = ) y2 + (*) y3 y + Phương trình (*) nhận thấy VT và VP có “hình thức” gần giống rồi, chắn đến đây dùng “hàm đại diện” để làm, biến đổi tiếp tục nhé: 2 2 x + 3x + 6x + = + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = + y y y y Ổn nhé, xét hàm số f (t) = t + 3t, t ∈ R ⇒ f '(t) = 3t + > 0, ∀t ∈ R Vậy f(t) là 2 hàm đồng biến f (x + 1) = f ⇒ x + = thay vào (2) …(bạn tự làm đoạn cuối vì nó y y không khó) Cuối cùng có đáp số (x; y) = (1;1) x + 2y = 8(x + y) − 3xy (1) Bài 22: Giải hệ phương trình 2 4 − x + − y = 2x − y + (2) Phân tích tìm lời giải + ĐK: x ≤ 2; y ≤ + Ta thấy phương trình (1) ⇒ x − x(8 − 3y) + 2y − 8y = (*) 2 + Ta coi (*) là phương trình bậc với ẩn x, tính ∆ = (8 − 3y) − 4.1( 2y2 −8y) = = ( y −8) ≥ , x = − 2y x + 2y − = ⇔ , (*) ⇔ (x + 2y − 8)(x + y) = x + y = x ≤ x = + Với x + 2y = ta thấy: với đk đề bài ⇒ x + 2y ≤ ⇒ x + 2y = ⇔ y ≤ ⇒ 2y ≤ y = từ đây tìm nghiệm x = −y (như ta đã dùng cách đánh giá kết hợp với đk để có x = ; y = 3, bạn không biết kỹ thuật đặc biệt này thì từ x + 2y = ⇔ x = − 2y thay vào (2) giải dài dòng) Bây thay x = 2; y = vào (2) ta thấy không thỏa mãn Vậy loại bỏ trường hợp này ! + Với y = − x thay vào (2) và biến đổi ta : − x + + x = x + (**) Gặp dang phương trình (**), ta dùng máy tính để bấm nghiệm và thấy phương trình có nghiệm là x = 1, ta nghĩ đến dùng PP “nhân lên hợp” để xuất nhân tử chung là (x − 1) Thật vậy, từ (**) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 22 (25) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ⇔4 ( ) ( − x −1 + 1− x x −1 + = (x − 1)(x + 1) − x +1 3+ x + ) + x − = x2 −1 ⇔ 4 ⇔ (1 − x) − + x + 1 = 3+ x + − x +1 * TH1: − x = ⇔ x = ⇒ y = −1 * TH2: Xét f (x) = − + x + 1; −3 ≤ x ≤ 2 − x +1 3+ x + - Nhận thấy f(x) có nghiệm x = −2 , mặt khác: f '(x) = + > ⇒ f(x) là hàm đồng biến ⇒ x = −2 2 − x − x +1 + x + x +1 ( ) ( ) là nghiệm f(x) Vậy HPT có nghiệm (x; y) = (1; −1); (−2; 2) 2x − 11x − 2y + = (1) Bài 23: Giải hệ phương trình 4x − 22x + 21 + y + 3y + y = (2x + 1) 2x − (2) Phân tích tìm lời giải 2x − 11x = 2y − (1) + HPT ⇔ 4 2x − 11x + 21 + y + 3y + y = (2x + 1) 2x − (2) Thay (1) vào (2) ta có: y3 + 3y + 5y + = (2x + 1) 2x − (*) + ĐK: x ≥ ( ) - Nhận thấy (*) có vế trái là đa thức bậc 3, vế phải có bậc 2, x và y cô lập vế, đó ta nghĩ đến PP hàm số để giải tiếp, từ (*) ⇔ ( y + 1) + ( y + 1) = ( 2x − 1) + 2x − ⇔ ( y + 1) + ( y + 1) = ( ) 2x − + 2x − - Đến đây ổn rồi, ta xét hàm f (t) = t + 2t ⇒ f '(t) = 3t + > ⇒ f(t) là hàm đồng biến ⇒ f ( y + 1) = f ( ) 2x − ⇔ y + = 2x − thay vào (1) ta có: 2x − 11x + 11 ≥ x = ⇒ y = 2x − = 2x − 11x + 11 ⇔ ⇔ x = ⇒ y = 4 ( 2x − 1) = 2x − 11x + 11 ( ) 3 2x + 3x y = xy − 2x = Bài 24: Giải hệ phương trình Phân tích tìm lời giải + Ta thấy x = không phải là nghiệm hệ nên biến đổi sau: 1 = + 3y + 3y = 2x + 3x y = y3 − x x + 3y = ⇔ ⇔ ⇒ ⇒ y3 − = 3 + 3y (*) 3 xy − 2x = y3 − = 1 = y − x x 3 + Đặt ẩn phụ t = + 3y ⇒ t = + 3y ⇔ t − = 3y , mặt khác từ (*) có y3 − = 3t 3 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 23 (26) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA y3 − = 3t (3) Như ta có HPT , lấy (3) - (4) ta được: t − = 3y (4) y3 − t = 3(t − y) ⇔ (y − t)(y + yt + t + 3) = ⇔ y = t (do (y + yt + t + 3) > ) 1 Đến đây thì coi bài toán giải xong ĐS: (x; y) = (−1; −1); 1; 2 x − 2y − 7xy = Bài 25: Giải hệ phương trình : 2 2 x + 2x + + y − 2y + = x + 2xy + y + Hướng dẫn làm bài ( x + 1) + 22 + 2 + 12 = ( x + y ) + 32 (*) Xét u = (x + 1; 2), v = (y − 1;1) ⇒ u + v = (x + y;3) Từ (2) ⇔ ( y − 1) Từ (*) ta có | u | + | v |≥| u + v |⇔ x +1 = ⇔ x + = 2( y − 1) thay vào (1) và giải hệ ta y −1 1 có (x; y) = (−1;1); − ; − x 12 − y + y(12 − x ) = 12 Bài 26 (KA-2014) Giải hệ phương trình : x − 8x − = y − Hướng dẫn làm bài Từ (1) ⇔ x 12 − y + y 12 − x = 12 Xét u = (x; 12 − x ), v = ( 12 − y; y ) ⇒ u = 12, v = 12 Ta có u.v ≤ u.v ≤ u v ⇔ x 12 − y + y 12 − x ≤ 12 Dấu “=” x 12 − x = ⇔ y = 12 − x thay vào (2) để giải hệ phương trình … 12 − y y xy + + x + y − y = (1) Bài 27: Giải hệ phương trình: −3 x y + x y + 26 x = x − 14 ( ) )( ( ) Hướng dẫn làm bài ĐK: y ≥ Ta có + y − y > y − y = đó từ phương trình (1) suy x>0; y>0 (1) ⇔ xy (1 + + x2 ( )( ) ( ⇔ xy + + x = 4+ y − y )( ) ( 4+ y + y =8 ) + y + y ⇔ x + x + x2 = 4+ y + y 2 + y y ) +1 y ⇔ x + x 1+ x = + 1+ (3) y y y Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 24 (27) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Xét hàm số f ( t ) = t + t + t trên ( 0; +∞ ) Có f ' ( t ) = + + t + t2 + t2 > 0∀t ∈ ( 0; +∞ ) Suy hàm số f(t) đồng biến trên ( 0; +∞ ) Mà phương trình (3) có dạng f ( x ) = f ⇔y= ⇔ x = x y y Thay y = vào phương trình (2) ta có : x2 −12 x + 26 x + = x − 14 ⇔ −6 x + 13 x + = x − 14 ⇔ ( x − ) + ( x − ) = ( x − 14 ) + x − 14 ( ) Xét hàm số g ( u ) = u3 + u trên R Có g ' ( u ) = 3u2 + > 0∀u ∈ R Suy hàm số g(u) đồng biến trên R mà phương trình (4) có dạng: g ( x − 2) = g ( x = + ( nhaän ) x − 14 ⇔ x − = x − 14 ⇔ −6 x + 12 x + = ⇔ x = − ( loại ) ) ( ⇒ y = 12 − Vậy hệ có nghiệm + 2;12 − ) x + x − = − y − y − Bài 28: Giải hệ phương trình 6 x − y − 11 + 10 − x − x = Hướng dẫn làm bài y + y + ≥ Điều kiện: −2 x − x + 10 ≥ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 4(10 − x − x ) 14 − x − x y − x + 11 = 10 − x − x = ≤ 2 Rút gọn ta được: 4( y − x + 11) ≤ 14 − x − x ⇔ x − 10 x + y + 15 ≤ (3) Tương tự phương trình (1) : x2 + 2x − = − y2 − y − ≤ − y2 − y − ⇔ x + x + y + y − ≤ (4) Cộng vế với vế (3) và (4) ta được: x = x − x + y + y + 12 ≤ ⇔ 3( x − 1)2 + ( y + 3) ≤ ⇔ y = −3 Kết hợp với điều kiện đề bài, suy nghiệm hệ phương trình là S = (1, −3) x + xy + y = y + x (1) Bài 29: Giải hệ phương trình: (2) y x − y + + x = Hướng dẫn làm bài ĐK: x − y + ≥ Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 25 (28) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA (3) x = y (1) ⇔ x − y + xy − y + y − x = ⇔ ( x − y )( x + y − 2) = ⇔ x = − y (4) • Từ (3) & (2) ta có x = y = y = 0; x = x = − y • Từ (4) & (2) ta có ⇔ y = − 1;x = y − y = y 3 8 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) = (1;1) ; ( x; y ) = ( 2;0 ) ; ( x; y ) = ; − 3 3 x + xy − y + x + xy − y = x − xy − y ( ) Bài 30: Giải hệ phương trình: 2 3 x + 10 xy + 34 y = 47 Hướng dẫn làm bài 3x − 2xy − y ≥ ĐK: 4x + 3xy − 7y ≥ Chuyển vế nhân liên hợp phương trình (1) , ta được: x x + 5xy − 6y + 4 = ⇔ 2 2 x 4x + 3xy − 7y + 3x − 2xy − y x = ⇒ y = + Với x = y thay vào (2) , ta được: x = ⇔ x = −1 ⇒ y = −1 y = 47 ⇒ x = −6 82 + Với x = −6y thay vào (2) , ta được: 82y = 47 ⇔ y = − 47 ⇒ x = 82 ( ) =y = −6y 47 82 ; 47 82 47 47 47 47 KL: S = (1;1), (−1; −1), ; −6 ;6 ; − 82 82 82 82 2 y + x − x = − x − y Bài 31: Giải hệ phương trình sau y + = x + xy + x Hướng dẫn làm bài Đk: −1 ≤ x ≤ 2 y + y = − x + − x - Hệ phương trình ⇔ y + = x + xy + x y = − x (1) , y ≥ (Do hàm f ( t ) = 2t + t luôn đồng biến) ⇔ y + = x + xy + x ( ) ( ) - Ta có (2) ⇔ − x + = x + x − x ⇔ x2 + x − x2 − − x − = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 26 (29) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA t t ⇒ − x = sin 2 t - Nên phương trình (2) trở thành 2cos 2t + cos t sin t − sin − = π k 4π t=− + π t 3 ⇔ sin 2t + = sin ⇔ (k ∈ ℤ) 4 t = π + k 4π 5 π π x = cos t = ∈ 0; π [ ] là nghiệm hệ phương trình ⇔ ⇔ π y = sin t = π ( l ) 10 - Đặt x = cos t với t ∈ [ 0; π ] , ta có x = cos t = − 2s in 2 xy x + y + x + y = Bài 32: Giải hệ phương trình: x + y = x2 − y Hướng dẫn làm bài xy 2 x + y + x + y = (1) ÑK : x + y > , ta có x + y = x2 − y ( 2) (1) ⇔ ( x + y ) ( − xy + 2 xy − = ⇔ ( x + y ) − xy ( x + y ) + xy − ( x + y ) = x+ y ) ⇔ ( x + y ) ( x + y ) − − xy ( x + y − 1) = ⇔ ( x + y − 1) ( x + y )( x + y + 1) − xy = x + y = ( 3) ⇔ 2 x + y + x + y = ( 4) Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x + y > Thế (3) vào (2) ta x − y = x + y = x = 1; y = ⇒ (nhận) x − y = x = −2; y = Giải hệ Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;0) và (-2;3) x +12 y + x + = 8y + y Bài 33: Giải hệ phương trình: x + y + y = 5x Hướng dẫn làm bài Error! Objects cannot be created from editing field codes + Ta có (1) ⇔ x + x = (2y − 1)3 + (2y − 1)(*) + Xét hàm số f (t) = t + t, t ∈ R ⇒ f '(t) = 3t + > Vậy hàm số f(t) đồng biến trên R Từ (*) ta có: f (x) = f (2y − 1) ⇒ x = 2y − + Thế x = 2y - vào (2) giải y = y = thoả mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1), (11;6) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 27 (30) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x + xy + x − y − y = y + Bài 34: Giải hệ phương trình y − x − + y − = x − Hướng dẫn làm bài xy + x − y − y ≥ Đk: 4 y − x − ≥ y −1 ≥ Ta có (1) ⇔ x − y + ( x − y )( y + 1) − 4( y + 1) = Đặt u = x − y , v = y + ( u ≥ 0, v ≥ ) u = v u = −4v(vn) Khi đó (1) trở thành : u + 3uv − 4v = ⇔ Với u = v ta có x = y + , thay vào (2) ta : ⇔ y − y − − ( y − 1) + ⇔ ( y − 2) y2 − y − + y −1 ⇔ y = (vì + ( y2 − y − + y −1 = y ) y −1 −1 = y−2 = ⇔ ( y − 2) + y2 − y − + y −1 y −1 +1 y2 − y − + y −1 + =0 y − + > 0, ∀y ≥ ) y −1 + Với y = thì x = Đối chiếu đk ta nghiệm hệ PT là ( 5; ) 2(2 x + 1) + x + = (2 y − 3) y − Bài 35: Giải hệ phương trình 4x + + y + = Hướng dẫn làm bài - Điều kiện xác định: x ≥ − , y ≥ 2 - Xét hàm số: f (t ) = 2t + t t ∈ ( 0; +∞ ) - Suy f '(t ) = 6t + > nên đây là hàm số đồng biến - Từ phương trình thứ hệ ta có f (2 x + 1) = f ( y − 2) ⇔ x + = - Thay vào phương trình thứ hai ta được: y−2 y − + y + = (*) - Xét hàm số g ( y ) = 4 y − + y + − 6, y ∈ ( 2; +∞ ) 1 + > ∀y ∈ ( 2; +∞ ) nên g(y) đồng biến 4y −8 2y + - Hơn g(6) = nên (*) có nghiệm là y = Với y = ta có x = g '( y ) = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 28 (31) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x y + = +1 x xy Bài 36: Giải hệ phương trình : y x xy + y xy = 78 Hướng dẫn làm bài ĐK: x, y> x + y = + xy ⇔ Đặt t = xy (ĐK: t>0) xy x + y = 78 ( ) t = −13 ( l ) x + y = + t ⇔ ⇒ t + 7t − 78 = ⇔ ⇔t=6 (n) t = t ( x + y ) = 78 x = x + y = 13 y = ⇔ Vậy hệ pt có nghiệm là : (4;9) ; (9;4) ⇔ x = xy = 36 y = (1 − y )( x − y + 3) − x = ( y − 1)3 x Bài 37: Giải hệ phương trình 3 x − y + x − = 2( y − 2) ( x, y ∈ R ) Hướng dẫn làm bài 2 x − y ≥ x ≥ y ⇔ x ≥ 1, y ≥ x ≥ 0, y ≥ - Nhận xét x ≥ 1, y = không là nghiệm hệ Xét y > thì pt (1) HPT ĐKXĐ: x + x( y − 1) − 3( y − 1)2 + ( y − 1) x( y − 1) = x x x ⇔ −3+ =0 + y −1 y −1 y −1 x t= , t > Khi đó, pt (1) trở thành: t + t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t + t + 2t + 3) = ⇔ t = y −1 - Với t = 1, thì x = ⇔ y = x + , vào pt(2), ta y −1 x − x − + x3 − = ( x − 1) ⇔ x − x − + x − − ( x − 1) = x2 − x −1 =0 ⇔ x − x −1 + 2 3 ( x − ) + + ( x − 1) x − + ( x − 1) x2 − x − ⇔ x − x − 1 + =0 2 3 3 ( x − ) + + ( x − 1) x − + ( x − 1) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 29 (32) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ⇔ x2 − x −1 = ⇔ x = - V ới x = 1+ ( x ≥ 1) 1+ + 1+ 3+ ; ⇒y= Đối chiếu ĐK, HPT có nghiệm ( x; y ) = 2 x +1 8y2 + 12 =3 y− x − Bài 38: Giải hệ phương trình 2( x + y ) + x + y = 2 Hướng dẫn làm bài Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ ( (1) ⇔ - Xét hàm số f (t) = 2t ( x) +1 +1 +3 ( x ) = 2( y ) +1 ( ) + y ⇔ f ( x ) = f (2 y ) + 3t, t ≥ có f '(t) = 4t 2t +1.ln + > 0, t ≥ Do đó: f ( x ) = f (2 y) ⇔ x = 4y vào phương trình (2) ta có: 2(5 y) + 5y = (3) 2 3 5y 5y ⇒ g '(y) = 50y.2( ) ln + > 0, ∀y > y - Xét hàm số g(y) = 2(5y ) + 1 ) - Mà g = ; suy phương trình có nghiệm y = 5 Do đó hệ có nghiệm x = ; y = x3 − y + y + x − y + = (1) Bài 39: Giải hệ phương trình: (2) x + x − = x + + y Hướng dẫn làm bài Điều kiện: x ≥ −2 (1) ⇔ x + x + = y − y + y ⇔ x + x + = ( y − 1) + ( y − 1) + - Xét hàm số f ( t ) = t + t + trên [ −2; +∞ ) - Ta có: f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ [ −2; +∞ ) Suy hàm số f ( t ) đồng biến trên [ −2; +∞ ) - Do đó: x = y − Thay y = x + và phương trình (2) ta được: x3 − = x + + ⇔ x3 − = ( ) ( ) x + − ⇔ ( x − 2) x2 + 2x + = ( ) ⇔ ( x − 2) x2 + 2x + = ( x+2 −2 ( )( x+2 +2 ⇔ ( x − 2) x2 + x + − x+2 +2 ( x − 2) ( ) x+2 +2 ) ) =0 x+2 +2 ( ) * x−2=0⇔ x = 2⇒ y =3 * x2 + 2x + − ( x+2 +2 ) = ⇔ x2 + 2x + = ( x+2 +2 ) (*) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 30 (33) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Ta có VT = x + x + = ( x + 1) + ≥ 3;VP = ≤ 1, ∀x ∈ [ −2; +∞ ) x+2 +2 Do đó phương trình (*) vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;3) 12 1 − x =2 y + 3x Bài 40: Giải hệ phương trình 1 + 12 y = y + 3x Hướng dẫn làm bài Điều kiện: x > và y > 12 12 − − x =2 y + 3x = y + 3x ⇔ 1 + 12 = + 12 y = y + 3x y + 3x (1) + (2): = + ⇔ 1= + x y x y x y (1) (2) (*) 12 (*) 12 = − ⇔ = − + y y + 3x y + 3x y y x x x y = 3x 12 ⇔ = − ⇔ y + 6xy − 27x = ⇔ y + 3x y x y = −9x So với điều kiện, nhận y = 3x (*) ⇔ x = + ⇒ y = 12 + (2) – (1): x = + Vậy hệ phương trình có nghiệm y = 12 + x + x − = y + y + y Bài 41: Giải hệ phương trình: 2 y − ( x + 1) x + y + + = x (1) (2) Hướng dẫn làm bài * Ðiều kiện: x + y + ≥ 3 2 * PT(1) ⇔ x + x = ( y + 1) + ( x + 1) ⇔ ( x ) + x = ( y + 1) + ( y + 1) ⇔ f ( x ) = f ( y + 1) với f(t) = t3 + 3t * Ta có: f’(t) = 3t + > ∀t ∈ R ⇒ f (t ) đồng biến trên R Do đó: f ( x ) = f ( y + 1) ⇔ x = y + * Với y = x – , pt (2) trở thành: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 31 (34) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2( x − 1) − ( x + 1) x + − x + = ⇔ x + − ( x + 1) x + − x − = 0(*) - Ðặt t = x + 7, (t ≥ 7) , pt(*) trở thành: t − ( x + 1) t − x − = (**) - Ta có: ∆ = ( x + 3) nên (**) có hai nghiệm: t = x + t = -1 (loại) x ≥ −2 x ≥ −2 x = ⇔ ⇔ x = 2 x + = x + x + x − x + = - Với t = x + ⇔ x + = x + ⇔ 2 * Với x = ⇒ y = (nhận) * Với x = ⇒ y = (nhận) Kết luận: hệ có hai nghiệm (x;y) là (1;0), (3;8) xy + = y x + Bài 42: Giải hệ phương trình 2 y + ( x + 1) x + x + = x − x Hướng dẫn làm bài ĐKXĐ: x ∈ ℝ; y ∈ ℝ Ta có xy + = y x + ⇔ y ( ) x2 + − x = ⇔ y = 2 x +2−x ⇔ y = x + + x (1) Thế vào phương trình thứ hai hệ, ta có : ( ) x + + x + ( x + 1) x + x + = x − x ⇔ + x x + + x + ( x + 1) x + x + = ⇔ ( x + 1) 1 + ( x + 1) + = ( − x ) 1 + (−x) + (*) ) ( - Xét hàm số f (t ) = t + t + với t ∈ ℝ Ta có : f '(t ) = + t + + t2 t2 + > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f (t ) đồng biến trên ℝ - Mặt khác, phương trình (*) có dạng f ( x + 1) = f ( − x ) ⇔ x + = − x ⇔ x = − Thay x = − vào (1) ta tìm y = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 32 (35) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x y + x + = x x y + Bài 43: Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ R ) 2 y ( x − 1) + y ( x − 2) + y + = Hướng dẫn làm bài Điều kiện: x y ≥ −2 Gọi hai phương trình là (1) và (2) (2) ⇔ x y + x y = y − y + y − + 3( y − 1) ⇔ ( x y ) + x y = ( y − 1)3 + 3( y − 1) (3) - Xét hàm số f (t ) = t + 3t có f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R - Do đó (3) ⇔ f ( x y ) = f ( y − 1) ⇔ x y = y − 1, ( y ≥ −1) Thế vào (1) ta được: x y + x + = x y + ⇔ x ( y + 1) − x y + + = ⇔ ( x y + − 1) = ⇔ x y + = - Do đó hệ đã cho tương đương với : x y + x = y = − x x y + = ⇔ x y = y − ⇔ x ( − x ) + x = ( 4) x y = y − x > x > (4) ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1) − x = ⇔ ( x − x − 1)( x + x − 1) = 1± x = − 1+ 1+ Do x > nên x = x = ⇔ 2 −1 ± x = - Với x = 1+ 1− −1+ 1+ Với x = ⇒y= ⇒y= 2 2 1+ 1− −1 + 1+ , ( x; y ) = ; ; 2 2 Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y ) = x + 3x − = y + y + y Bài 44: Giải hệ phương trình sau: 2 y − ( x + 1) x + y + + = x Hướng dẫn làm bài Đáp án: Điều kiện: x + y + ≥ 3 * PT(1) ⇔ x + x = ( y + 1) + ( x + 1) ⇔ ( x ) + x = ( y + 1) + ( y + 1) ⇔ f ( x ) = f ( y + 1) với f(t) = t3 + 3t * Ta có: f’(t) = 3t2 + > ∀t ∈ R ⇒ f (t ) đồng biến trên R Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 33 (36) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Do đó: f ( x ) = f ( y + 1) ⇔ x = y + * Với y = x2 – , pt (2) trở thành: 2( x − 1) − ( x + 1) x + − x + = x + − ( x + 1) x + − x − = 0(*) Đặt t = x + 7, (t ≥ 7) , pt(*) trở thành: t − ( x + 1) t − x − = (**) Ta có: ∆ = ( x + 3) nên (**) có hai nghiệm: t = x + t = -1 (loại) x ≥ −2 x ≥ −2 x = ⇔ ⇔ x = 2 2 x + = x + x + x − 4x + = Với t = x + ⇔ x + = x + ⇔ * Với x = ⇒ y = (nhận) * Với x = ⇒ y = (nhận) Kết luận: hệ có hai nghiệm (x;y) là (1;0), (3;8) x3 − y − y + ( x − y ) = 14 Bài 45: Giải hệ phương trình : ( x, y ∈ ℝ ) − x + y + = x + y − Hướng dẫn làm bài Đkxđ x ≤ y ≥ −4 Từ (1) ta có x3 + 3x = ( y + ) + ( y + ) ⇔ ( x − y − ) x + x ( y + ) + ( y + ) + 3 = ⇔ y = x − ( 3) Thế (3) vào (2) ta x + + − x = x3 + x − x − ⇔ x3 + x − x − + − x + + − − x = x−2 x−2 ⇔ ( x − )( x + )( x + 1) − + =0 + x + 1+ − x 1 ⇔ ( x − ) ( x + )( x + 1) − + =0 + x + 1+ − x 1 1 ⇔ ( x − ) ( x + )( x + 1) + − + − =0 + x + 1+ 3− x x +1 x +1 ⇔ ( x − ) ( x + )( x + 1) + + 2+ x+2 x + +1 1+ − x + − x ) ⇔ ( x − )( x + 1) ( x + ) + 2+ x+2 ) ( )( ( Vì y ≥ −4 ⇒ x ≥ −2 ⇒ x + + )( ) ( + x +1 ( 2+ x+2 )( =0 1+ − x + − x ) ( x + +1 + ) (1 + x + +1 )( =0 )( x +1 )( 3− x + 3− x Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 ) >0 34 (37) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x = x = −1 Từ đó phương trình trên tương đương với ( x − )( x + 1) = ⇔ Với x = ⇒ y = 0; x = −1 ⇒ y = −3 Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ phương trình Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {( −1; − 3) ; ( 2; )} x + x2 + y + y + = Bài 46: Giải hệ phương trình: 12 y − 10 y + = x + ( )( ) ( x; y ∈ ℝ) Hướng dẫn làm bài - Ta có: (1) ⇔ x + x + = (−2 y ) + + (−2 y ) (*) - Xét hàm số đặc trưng f (t ) = t + + t ⇒ f '(t ) = t t2 + +1 = t + t2 + t2 + t+ t > t2 + ≥ Suy f(t) là hàm số đồng biến trên R Từ (*) suy ra: f ( x) = f (−2 y ) ⇒ x = −2 y - Thay vào phương trình (2) ta được: 3 x + x + = x3 + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( x3 + 1) + x3 + (**) - Xét hàm số g (t ) = t + 2t ta thấy g(t) đồng biến trên R nên từ (**) suy : x = x + = x3 + ⇔ Vậy hệ có hai nghiệm là (−1; ); (0;0) x = −1 ( x − y )( x + xy + y + 3) = 3( x + y ) + Bài 47: Giải hệ phương trình x + + 16 − y = x + Hướng dẫn làm bài: ĐK: x ≥ −2, y ≤ ( x, y ∈ ℝ ) 16 (1) ⇔ ( x − 1)3 = ( y + 1)3 ⇔ y = x − Thay y = x - vào (2) được: x + + 22 − x = x + ⇔ 4( x − 2) 3( x − 2) = ( x − 2)( x + 2) + x+2 +2 22 − x + x = ⇔ −4 + ( x + 2) + = 0(*) x + + 22 − x + Xét f(x) = VT(*) trên −2; nghiệm (*) 21 , có f’(x) > nên hàm số đồng biến suy x = - là KL: HPT có nghiệm (2;0),(-1;-3) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 35 (38) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x + y + + x + y = 2( x + y ) Bài 47: Giải hệ phương trình: 1 1 x + y = x2 + y2 Hướng dẫn tìm lời giải x + y ≥ −2 xy ≠ Điều kiện: - Ta thấy x + y = không là nghiệm hpt Do đó ta có thể xét hai trường hợp sau: * TH1: −2 ≤ x + y < 1 1 1 1 1 - Từ pt (2) ta suy xy < pt (2) ⇔ + − + − = (3) x y x y x y - Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm x, y - Khi đó phương trình (3) có nghiệm 1 1 + ⇒ + ≥ ⇔ xy + ≤ ⇔ xy ≤ −8 x y x y - Khi đó ta có x + y ≥ xy ≥ 16 Đặt t = x + y + ⇒ ≤ t < - Từ pt (1) ta có t + t − ≥ 32 ⇔ t + t − 34 ≥ điều này vô lí Vậy TH1 hệ phương trình vô nghiệm * TH2: x + y >0 - Từ (2) suy xy > 0, đó x và y dương - Ta có (2) ⇔ ( x + y ) xy = x + y Do x + y ≥ ( x + y)2 ( x + y)2 và xy ≤ nên ta có : ( x + y)2 ( x + y)2 ≤ x + y = ( x + y ) xy ≤ ( x + y ) ⇒ x+ y ≥ 2 - Đặt t = x + y + ⇒ t ≥ Từ (1) ⇒ t + t − ≥ (t − 2)2 ⇔ t − 5t − t − ≤ ⇔ (t − 2)(t + 2t − t − 3) ≤ (4) Ta có t + 2t − t − > ∀ t ≥ , đó, từ (4) ⇒ t − ≤ ⇔ t ≤ Từ đó suy ra: t = ⇒ x + y = , thay vào hpt ta có xy=1 ⇒ x = y = x = y =1 Vậy hệ phương trình có nghiệm là x3 (4 y + 1) + 2( x + 1) x = Bài 48: Giải hệ phương trình: 2 x y + y + = x + x + ( ) Hướng dẫn làm bài Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 36 (39) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ĐK: x ≥ * Do x = không phải nghiệm nên x > ⇒ x + x + > Từ pt (2) ⇒ y (2 + y + 1) > Chia hai vế pt (2) cho x , ta : (2 y) + (2 y) (2 y) 2 1 1 1 +1 = + + ⇔ f (2 y ) = f (3) x x x x * Xét hàm số : f (t ) = t + t t + trên khoảng ( 0; +∞ ) t2 f '(t ) = + t + + t2 +1 > 0, ∀t > ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) (4) x Từ (3) và (4) ⇒ y = * Thay y = vào pt (1), ta : x3 + x + ( x + 1) x = (5) x Ta thấy x = là nghiệm pt (5) - Xét hàm số : f ( x) = x3 + x + ( x + 1) x trên khoảng ( 0; +∞ ) - Có f '( x) = 3x + x + x x + x2 + > 0, ∀x > ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) (6) x - Từ (5) và (6) ⇒ x = là nghiệm pt (5) 1 * x = ⇒ y = Vậy nghiệm hệ : 1; 2 (1 − y )( x − y + 3) − x = ( y − 1)3 x Bài 49: Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ℝ ) 3 x − y + x − = 2( y − 2) Hướng dẫn làm bài 2 x − y ≥ x ≥ y ⇔ x ≥ 0, y ≥ x ≥ 1, y ≥ ĐKXĐ: - Nhận xét x ≥ 1, y = không là nghiệm hệ Xét y > thì pt (1) hệ : x x x + x( y − 1) − 3( y − 1) + ( y − 1) x( y − 1) = ⇔ −3+ + y −1 y −1 t= x =0 y −1 x , t > Khi đó, pt (1) trở thành: t + t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t + t + 2t + 3) = ⇔ t = y −1 - Với t = 1, thì x = ⇔ y = x + , vào pt(2), ta y −1 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 37 (40) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x − x − + x3 − = ( x − 1) ⇔ x − x − + x − − ( x − 1) = x2 − x −1 ⇔ x − x −1 + =0 2 3 3 ( x − ) + + ( x − 1) x − + ( x − 1) ⇔ x − x − 1 + ⇔ Với x = =0 x − + ( x − 1) x2 − x − (x − ) + + ( x − 1) x2 − x − = ⇔ x = 1+ ( x ≥ 1) 1+ 3+ ⇒y= 2 1+ + ; Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm ( x; y ) = 3 x y − xy − + x − y − xy = Bài 50: Giải hệ phương trình y x 1+ x + log 2.4 + = y ( x , y ∈ ℝ) Hướng dẫn làm bài Điều kiện x, y > Khi đó (1) ⇔ (3x y + 3x) − (2 xy + y ) − (4 + xy ) = ⇔ x( xy + 1) − y ( xy + 1) − 4(1 + xy ) = ⇔ ( xy + 1)(3 x − y − 4) = ⇔ x − y − = (vì x, y > ⇒ xy + > ) Do đó y = 3x − (a) (2) ⇔ 2.4 y + = 2.2 x + log x − log y ⇔ y + log y = 2 x + log x − ⇔ y + log y + = 2 x + log x + ⇔ 22 y + log 2 y = 2 x + log 2 x (*) Xét hàm số f (t ) = 2t + log t trên (0; + ∞) Có f '(t ) = 2t ln + > , ∀t ∈ (0; + ∞) t.ln ⇒ f(t) đồng biến trên (0; + ∞) Do đó (*) ⇔ f (2 y ) = f x ⇔ y = x (b) ( ) Từ (a) và (b) ta có 3x − = x (điều kiện x ≥ ) x = (thoûa maõn) ⇒ x − 26 x + 16 = ⇔ x = (loại) Với x = ⇒ y =1 , suy hệ phương trình có nghiệm (2;1) xy 2 x + y + x + y = Bài 51: Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ ℝ ) x + y = x2 − y Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 38 (41) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x + y > - Đặt u = x + y, u > và v = xy Pt (1) trở thành: u − 2v + 2v = ⇔ u − u − 2uv + 2v = u u = ⇔ (u − 1)[u (u + 1) − 2v] = ⇔ u + u − 2v = * TH1: Với u = hay x + y = (thỏa đk), thay vào được: x = 1 = x − (1 − x ) ⇔ x + x − = ⇔ x = ⇒ y = 0; x = −2 ⇒ y = x = −2 * TH2: Với u + u − 2v = hay ( x + y ) + x + y − xy = ⇔ x + y + x + y = ⇒ vô nghiệm đk Vậy hệ pt có nghiệm (1; 0); (−2; 3) x3 − x + x + y + x y − = Bài 51: Giải hệ phương trình x + x + y + = Hướng dẫn làm bài (1) ⇔ ( x + 1) ( x + y − ) = ⇔ x+ y−2=0 ( x2 + > 0) Thay y = − x vào (2) ta x + x + = x = ⇒ y = 2 1 1 ⇔ x+ = x+7 + ⇔ (thỏa mãn điều kiện) x = 1− ⇒ y = + 2 2 2 1− + Vậy hệ có nghiệm ( x, y ) : ( 2; ) ; ; ( x + y )( x + y + y ) + y = Bài 52: Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ℝ) 2 x + y + − y + y + = Hướng dẫn làm bài Điều kiện: x + y + ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với ( x + y ) + 4( x + y ) y + y = ⇔ ( x + y + y )( x + y + y ) = *) x + y + y = 0, hay x = − y − y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta y − y + = −1 (ktm) ± 13 y2 − y + − y2 + y + = ⇔ ⇔ y2 − y − = ⇔ y = y − y + = − 13 + 13 Với y = thì x = −4 + 13 và với y = thì x = −4 − 13 2 *) x + y + y = 0, hay x = − y − y Thay vào phương trình thứ hai hệ ta − y2 − y + − y2 + y +1 = ⇔ − y2 − y + = y2 − y −1 y − y − ≥ y − y − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ y = −1 Suy x = −2 2 − y − y + = ( y − y − 1) y ( y + 1)( y − y + 3) = − 13 + 13 Vậy nghiệm (x; y) hệ là −4 + 13; , −4 − 13; , ( −2; − 1) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 39 (42) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x − − y − = 27 − x Bài 53: Giải hệ phương trình: ( x − ) + = y ( x, y ∈ R ) Hướng dẫn làm bài Từ phương trình (2) ta có ( x − ) = y − ⇒ y − = ( x − ) thay vào phương trình (1) ta x − = 27 − x + x − x + ⇔ x − + x3 − x + x − 31 = (*) Xét hàm số f ( x ) = x − + x − x + x − 31, với x ≥ ⇒ f ' ( x) = x−2 + x − x + > 0∀x > ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ ) mặt khác f ( 3) = ⇒ x = là nghiệm (*) thay vào phương trình (2) ta y = Vậy nghiệm hệ phương trình là ( x; y ) = ( 3; ) 7 x + y + xy ( x − y ) − 12 x + x = (1) Bài 54: Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ℝ ) x + y + + 3x + y = (2) Hướng dẫn làm bài Giải: ĐK x + y ≥ 3 (3) ⇔ x3 − 12 x + x − = x3 − 3x y + 3xy − y ⇔ ( x − 1) = ( x − y ) ⇔ x − = x − y ⇔ y = − x + Với y = − x thay vào (4) ta : Đặt a = 3 x + 2, b = x+2 3x + + x + = (b ≥ 0) a + b = a = 3 x + = Ta có hệ pt ⇔ ⇒ ⇔x=2 = b = − a b x + = x = + x = ⇒ y = −1 Vậy nghiệm hệ là: y = −1 x − y + + y − x + = Bài 55: Giải hệ phương trình : y ( y − x + 2) = x + ( x, y ∈ R ) Hướng dẫn làm bài Phương trình thứ (2) ⇔ y + (2 − x) y − x − = xem là phương trình bậc hai theo ẩn x−2− x−4 y= = −3 2 y có ∆ = ( x + 4) Phương trình có hai nghiệm: y = x − + x + = x +1 - Thay y = -3 vào pt thứ ta pt vô nghiệm - Thay y = x + vào pt thứ ta được: x − x − + x − x + = (3) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 40 (43) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA - Giải (3): đặt - Với t = ⇔ t = ( tm ) x − x + = t , điều kiện t ≥ Từ ( 3) ⇔ t + 6t − = ⇔ t = −7 ( ktm) x = ⇒ y = x − x + =1 ⇔ ( thỏa mãn) x = ⇒ y = Vậy, hệ phương trình có nghiệm là: (1;2) và (4;5) x + y + = − y Bài 56: Giải hệ phương trình 9 + x + xy + y = Hướng dẫn làm bài x + y + ≥ Đk: x ≥ −1 +) Nếu y ≥ , để hệ có nghiệm thì ≥ y ≥ VT (1) = x + y + ≥ ⇒ VT (1) > VP(1) hệ vô nghiệm VP(1) = − y ≤ +) Nếu y < 0, từ (2) suy x > + x + xy + y = ⇔ 9+ = ( − y ) + ( − y ) (3) x x + 2t Xét hàm số f (t ) = t + t , t > 0; f '(t ) = > 0∀t > + t2 (3) ⇔ f = −y ⇔ x = = f (− y) ⇔ y x x 9 + y + = − y (4) Hàm số g ( y ) = 2 + y + y y đồng biến trên ( −∞;0 ) ; hàm số h(y)=1-y nghịch biến trên ( −∞;0 ) và phương trình có ngiệm y=-3 nên pt(4) có nghiệm y=-3 Vậy, hệ có nghiệm (1;-3) Thế vào pt(1) ta có phương trình x + x + + x + = Bài 57: Giải hệ phương trình: y −1 + y − + y − 2 x + y + x + y = 44 Hướng dẫn làm bài Xét hàm số f ( t ) = t + t + + t + trên [ 0; + ∞ ) , có : f ′ (t ) = t + t+2 + t+4 Nên (1) ⇔ x + x + + x + = Thay (*) vào (2): > 0, ∀t ∈ ( 0; + ∞ ) ( y − 5) + + ( y − 5) + + y +3 − y − =1 y − ⇔ x = y − (*) (3) Nhân (3) với lượng liên hợp: = y + − y − (4) (3), (4) ⇒ y + = ⇔ y = ĐS: (1; ) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 41 (44) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 11x − y − y − x = Bài 58: Giải hệ phương trình y − x + y − x = Hướng dẫn làm bài (1) ⇔ 12 x − y = 11x − y + y − x ( ) ⇔ 11x − y + y − x = x − y (*) (vì x = y = không là nghiệm hệ) y 5y (*), (1) ⇒ y − x = x − − (**), thay vào (2): x = − 22 y 13 y 11 y ≥ 13 − = − ⇔ ⇔ y = ⇒ x =1 Thay vào (**): 4 24 − y = (13 y − 22 )2 y + x3 − x + y + y = x x − ( y + y ) Bài 59: Giải hệ phương trình y + y − y + = y ( x − 1) + Hướng dẫn làm bài 2 (1) ⇔ ( y + y ) + ( x x − ) − x x − ( y + y ) = ⇔ y + y = x x − (a) Đặt u = y , v = x − , (a) thành u + u = ( v + 1) v ⇔ u + u = v3 + v (b) Xét hàm số f ( t ) = t + t , có f ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ℝ nên f ( t ) đồng biến Vậy (b) ⇔ y = x − (*), thay vào (2), ta có : y3 − y y4 + y3 − y2 + = y3 + ⇔ y − y3 + y3 − y + − = ⇔ y − y3 + ⇔y+ ( y3 − y ) = ⇔ y3 − y = y − y +1 +1 y3 − y2 + + =0 y = y =1 (vì từ (*) suy y ≥ ) ⇔ x − y3 + 3y + x − 4y + = Bài 60: Giải hệ phương trình x + x − = x + + y Hướng dẫn làm bài (1) ⇔ x + x + = y − y + y ⇔ x + x + = ( y − 1) + ( y − 1) + - Xét hàm số f ( t ) = t + t + trên [ −2; +∞ ) - Ta có: f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ [ −2; +∞ ) Suy hàm số f ( t ) đồng biến trên [ −2; +∞ ) - Do đó: x = y − Thay y = x + và phương trình (2) ta được: x3 − = x + + ⇔ x3 − = ( ( ) ( ) x + − ⇔ ( x − 2) x2 + 2x + = ) ⇔ ( x − 2) x + 2x + = ( x+2 −2 ( )( x+2 +2 ⇔ ( x − 2) x2 + x + − x+2 +2 ( x − 2) ( ) x+2 +2 ) ) =0 x+2 +2 ( ) * x−2=0⇔ x = 2⇒ y =3 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 42 (45) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA * x2 + 2x + − ( x+2 +2 ) = ⇔ x2 + 2x + = Ta có VT = x + x + = ( x + 1) + ≥ 3;VP = ( x+2 +2 x+2 +2 ) (*) ≤ 1, ∀x ∈ [ −2; +∞ ) Do đó phương trình (*) vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;3) 2 x + y + − y = x + Bài 61: Giải hệ phương trình: y − − − x + − x = ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài −2 ≤ x ≤ y ≥1 Điều kiện: (1) ⇔ x + y + = x + + y ⇔ ( x + y + ) = x + + y + y ( x + ) ⇔ ( x+2 − y ) =0⇔ y = x+2 - Thay (3) Vào (2) ta được: (4) ⇔ ( ) ( ( 3) x + − − x + − x = (4), ( -1 ≤ x ≤ 4) ) x + − + − − x + − x2 = x = ⇒ y = x −3 x−3 ⇔ + + (9 − x ) = ⇔ 1 + = x+3 x +1 + − x +1 x + + − x +1 1 x + + ≤ 1 Xét (5) Ta có : ⇒ + ≤ , ∀x ∈ [ -1;4] x +1 +1 − x +1 ≤1 − x + (5) Mặt khác x + ≥ 2, ∀x ∈ [ -1;4] Vậy phương trình (5) vô nghiệm Nghiệm hệ là: ( x; y ) = ( 3;5) 9 x + xy + x − y + y = Bài 61: Giải hệ phương trình x − y + + = ( x − y ) + x − y Hướng dẫn làm bài Đk : x ≥ y ≥ Nếu x = y thì (2) vô nghiệm nên x > y (2) ⇔ x − y + - x − y + – [3(x- y )]2 = ⇔ − 6x + y x − y + + 7x − y + (1 − x + y )(1 + x − y ) = ⇔ (1 − x + y ) + (1 + x − y ) = x − y + + x − y + (1 + x − y ) > suy 1–3x + 3y =0 x − y + + x − y - Với x > y ≥ nên Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 43 (46) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA vào phương trình (1) ta được: 1 9x2 + 9x(x - ) + 5x – 4(x - ) + x − = 3 - Thay y = x – ⇔ 18x – 8x + 6x - + x− - = 3 (9x – ) +3( x − - ) = ⇔ (9x – ) x + + vì x > = ⇔ x = 9 x − + 4 Với x = thì y = Vậy hệ có nghiệm (x;y) = ( ; ) 9 9 ( x − 13) y = ( x + 1) 3 y − − x Bài 62: Giải hệ phương trình 2 ( y − 1) x + ( y + ) x = y + 12 y + ( x + 1) 3 y − ⇔ 2x(9x – ) + ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài y =1 - Trừ vế với vế (1) và (2) ta được: ( y − 1) x − y + y = ⇔ y = x - Với y = thay vào (1) ta x − 13 = x + − x ⇔ x = - Với y = x thay vào (1) ta x3 − 13x + x = ( x + 1) 3x − ⇔ ( x − 1) − ( x − x − 1) = ( x + 1) ( x + 1)( x − 1) + ( x − x − 1) - Đặt a = x − 1, b = 3 x − ta a − ( x − x − 1) = ( x + 1) b a = b ⇒ a − b3 + ( a − b )( x + 1) = ⇔ 2 a + ab + b + x + = b − ( x − x − 1) = ( x + 1) a x = 1⇒ y = 3 a = b ⇒ x − = x − ⇔ x − 15 x + x + = ⇔ x = − ⇒ y = 64 2 a a a + ab + b + x + = + b + ( x − 1) + x + = + b + x − x + > 0, ∀x 2 2 −1 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = (1;1) , ; 64 2 ( y − 1) x + − y = x + Bài 63: Giải hệ phương trình 2 x + x y + y = ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài ( y − 1) x + − y = x + (1) (I ) 2 (2) x + x y + y = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 44 (47) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA - Đặt x + = t ≥ ⇒ phương trình (1) có dạng: 2t − ( y − 1) t + y − = t = y − ∆ = ( y − 1) − ( y − 1) = ( y − 3) ⇒ t = (l ) 2 y ≥1 +) Với t = y − ≥ ⇔ x + = y − ⇔ 2 x = y − y thay vào (2) ta 16 y ( y − 1) + y ( y − 1) + y − = ⇔ y = (do y ≥ ) ⇒ x = Vậy, hệ (I) có nghiệm (0;1) xy + = y x + Bài 64: Giải hệ phương trình (với x; y ∈ ℝ ) 2 y + ( x + 1) x + x + = x − x Hướng dẫn làm bài ĐKXĐ: x ∈ ℝ; y ∈ ℝ Tacó xy + = y x + ⇔ y ) ( x2 + − x = ⇔ y = x2 + − x ⇔ y = x + + x (1) Thế vào phương trình thứ hai hệ, ta có : ( ) x + + x + ( x + 1) x + x + = x − x ⇔ + x x + + x + ( x + 1) x + x + = ⇔ ( x + 1) 1 + ( x + 1) ( + = ( − x ) 1 + (−x) + (*) ) Xét hàm số f (t ) = t + t + với t ∈ ℝ Ta có f '(t ) = + t + + t2 t2 + > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f (t ) đồng biến trên ℝ Mặt khác, phương trình (*) có dạng f ( x + 1) = f ( − x ) ⇔ x + = − x ⇔ x = − x = − Thay x = − vào (1) ta tìm y = Vậy hệ đã cho có nghiệm là 2 y = 2 x y + x + = x x y + Bài 65: Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ R ) 2 y ( x − 1) + y ( x − 2) + y + = Hướng dẫn làm bài Điều kiện: x y ≥ −2 Gọi hai phương trình là (1) và (2) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 45 (48) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA (2) ⇔ x y + x y = y − y + y − + 3( y − 1) ⇔ ( x y ) + x y = ( y − 1)3 + 3( y − 1) (3) Xét hàm số f (t ) = t + 3t có f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R Do đó (3) ⇔ f ( x y ) = f ( y − 1) ⇔ x y = y − 1, ( y ≥ −1) Thế vào (1) ta x y + x + = x y + ⇔ x ( y + 1) − x y + + = ⇔ ( x y + − 1) = ⇔ x y + = Do đó hệ đã cho tương đương với x y + x = y = − x x y + = ⇔ x y = y − ⇔ x ( − x ) + x = ( 4) x y = y − x > x > 2 2 (4) ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1) − x = ⇔ ( x − x − 1)( x + x − 1) = 1± x = − 1+ 1+ Do x > nên x = x = ⇔ 2 −1 ± x = 1+ 1− −1+ 1+ ⇒y= Với x = ⇒y= 2 2 1+ 1− −1 + 1+ , ( x; y ) = Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y ) = ; ; 2 Với x = x y4 = 2 Bài 66: Giải hệ phương trình sau: y + x + y 4x + + y + = Hướng dẫn làm bài x + xy = y + y (1) Hệ pt đã cho tương đương: 4x + + y + = (2) NX: Nếu y = thì từ pt (1) ⇒ x = Thay x = 0; y = vào pt (2) ta được: + = (vô lý) Vậy y = không thỏa mãn bài toán x x *) y ≠ chia vế pt (1) cho y ta được: + = y3 + y (*) y y Xét f (t) = t + t Có f '(t) = 3t + > 0, ∀t Vậy f (t) đồng biến trên R x x Từ (*) ⇒ f = f (y) ⇒ = y ⇒ x = y y y Thay vào pt (2) ta 4x + + x + = ⇔ x = ⇒ y = Vậy hpt có cặp nghiệm (x;y) = (1;1) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 46 (49) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2 2 x − xy + y + x + xy + 13 y = 2( x + y ) Bài 67: Giải hệ phương trình ( x + y ) x + − y y = y y − x + Hướng dẫn làm bài x ≥ −2 Điều kiện: y ≥ x + y ≥ Xét y = 0, hệ vô nghiệm nên y khác Chia vế (1) cho y ta được: 2 Đặt t = 2 x x x x x − + + + + 13 = 2( + 1) y y y y y x > −1 y PT : 2t − 6t + + 2t + 2t + 13 = 2(t + 1) ⇔ t − 2t − 3t + 4t + = t = −1(loai) 2 ⇔ ( t + 1) ( t − ) = ⇔ t = 2(t / m) Với t = ⇒ x = 2y, vào (2) ta được: y y + − y2 y = y4 y − 2 y + ⇔ y y + + 2 y + = y4 y + y2 y ⇔4 2 +2 + y y + = y3 + y y 2 2 ⇔ + 2 +2+2 + = ( y ) + ( y ) y y y (3) Xét hàm số f(u) = u3 + 2u với u > 0; có f’(u) = 3u2 + > 0, u > ⇒ hàm số đồng biến Từ (3) ⇒ f + = f ( y ) ⇔ y + = y ⇔ y3 − y − = ⇔ y = y Hệ có nghiệm (2;1) x + xy + x − y − y = y + Bài 68: Giải hệ phương trình y − x − + y − = x − xy + x − y − y ≥ Hướng dẫn làm bài: Đk: 4 y − x − ≥ y −1 ≥ Ta có (1) ⇔ x − y + ( x − y )( y + 1) − 4( y + 1) = Đặt u = x − y , v = y + ( u ≥ 0, v ≥ ) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 47 (50) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA u = v u = −4v(vn) Khi đó (1) trở thành : u + 3uv − 4v = ⇔ Với u = v ta có x = y + , thay vào (2) ta : ⇔ y − y − − ( y − 1) + ( y − 2) y2 − y − + y −1 ⇔ y = ( vì ⇔ ( y2 − y − + y −1 = y ) y −1 −1 = y−2 = ⇔ ( y − 2) + y2 − y − + y −1 y −1 +1 + y2 − y − + y −1 + =0 y − + > 0∀y ≥ ) y −1 +1 Với y = thì x = Đối chiếu ĐK ta nghiệm hệ PT là ( 5; ) 3 x + y + − x − y = Bài 69: Giải hệ phương trình: 2 − x − y − x + y + = ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài: 2 u = x + y x + y = u y = u + v − Đặt ⇒ ⇒ ⇒ x + y + = u − v2 + 2 3 − x − y = v x = − u − 2v v = − x − y 3u + v = Khi đó hệ ban đầu trở thành: v = – 3u vào phương trình 2 2v − u − v + = (*) (*) giải tìm u = 1, từ đó v = 2, suy x = - 3, y = x + 3x − = y + y + y Bài 70: Giải hệ phương trình: 2 y − ( x + 1) x + y + + = x Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x + y + ≥ 3 + PT(1) ⇔ x + 3x = ( y + 1) + ( x + 1) ⇔ ( x ) + 3x = ( y + 1) + ( y + 1) ⇔ f ( x ) = f ( y + 1) với f(t) = t3 + 3t + Ta có: f’(t) = 3t2 + > ∀t ∈ R ⇒ f (t ) đồng biến trên R Do đó: f ( x ) = f ( y + 1) ⇔ x = y + + Với y = x2 – , pt (2) trở thành: 2( x − 1) − ( x + 1) x + − x + = x + − ( x + 1) x + − x − = 0(*) + Đặt t = x + 7, (t ≥ 7) , pt(*) trở thành: t − ( x + 1) t − x − = (**) + Ta có: ∆ = ( x + 3) nên (**) có hai nghiệm: t = x + t = -1 (loại) x ≥ −2 x ≥ −2 x = ⇔ ⇔ 2 x = 2 x + = x + x + x − 4x + = + Với t = x + ⇔ x + = x + ⇔ Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 48 (51) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA - Với x = ⇒ y = (nhận) - Với x = ⇒ y = (nhận) Kết luận: hệ có hai nghiệm (x;y) là (1;0), (3;8) 2 x + x + y + y +1 = Bài 71: Giải hệ phương trình: 12 y − 10 y + = x + )( ( ) ( x; y ∈ ℝ) Hướng dẫn làm bài: Ta có: (1) ⇔ x + x + = (−2 y ) + + (−2 y ) (*) Xét hàm số đặc trưng f (t ) = t + + t ⇒ f '(t ) = t +1 = t + t2 + > t+ t t2 + t2 + t2 + Suy f(t) là hàm số đồng biến trên R Từ (*) suy ra: f ( x) = f (−2 y ) ⇒ x = −2 y ≥ Thay vào phương trình (2) ta được: 3 x + x + = x3 + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( x3 + 1) + x3 + (**) Xét hàm số g (t ) = t + 2t ta thấy g(t) đồng biến trên R nên từ (**) suy x = x + = x3 + ⇔ Vậy hệ có hai nghiệm là (−1; ); (0;0) x = −1 2 x + = 2 y + x Bài 72: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: x + xy + x − y − y = y + Hướng dẫn làm bài: 2 x + = 2 y + x (1) x + xy + x − y − y = y + (2) Điều kiện: xy + x − y − y ≥ và y ≥ - Với điều kiện trên: ( ) ⇔ ( x − y − 1) + ( ) xy + x − y − y − y − = ( y + 1) ⇔ ( x − y − 1) 1 + =0 xy + x − y − y + y + ⇔ x − y −1 = (Vì với x,y thỏa mãn xy + x − y − y ≥ và y ≥ thì + ( y + 1) xy + x − y − y + y + > 0) Thế y = x − vào (1) ta có x + = x −1 + x ⇔ 2 2( x + 2) + ⇔ ( x − 2) − x + + Ta thấy : x2 − x−2 + ( x − 2)( x + 2) x −1 +1 x2 + + + ( x + ) = (3) x −1 +1 =2 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 49 (52) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ∀x ≥ , − 2( x + 2) + + ( x + 2) = x −1 +1 x2 + + ⇒ (3) có nghiệm x = 2 + ( x + ) 1 − > 0, x −1 +1 x +5 +3 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) = 2; 2 x3 − y + y − x − = (1) Bài 73: Giải hệ phương trình : 2 x + − x − y − y + = (2) Hướng dẫn làm bài: −1 ≤ x ≤ 1 − x ≥ ⇔ Điều kiện: 2 y − y ≥ 0 ≤ y ≤ Đặt t = x + ⇒ t∈[0; 2]; ta có (1) ⇔ t3 − 3t2 = y3 − 3y2 Hàm số f(u) = u3 − 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: 2 (1) ⇔ y = t ⇔ y = x + ⇒ (2) ⇔ x − − x + = Đặt v = − x ⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v2 + 2v − =2 (t/m) v = ⇔ v + 2v − = ⇔ v = −3 (loai) Với v = ta có x = ⇒ y = Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (0;1) Bài 74: Giải hệ phương trình: ( ) 3 xy + y + = x +1 − x x (9 y + 1) + 4( x + 1) x = 10 Hướng dẫn làm bài: ĐK: x ≥ NX: x = không TM hệ PT - Xét x > thì PT (1) ⇔ 3y + 3y y + = 1 x +1 + x ⇔ y + y (3 y ) + = + x x x + (3) x Từ (1) và x > ta có: y > Xét hàm số f(t)= t + t t + , t > Ta có: f’(t) = + t + + t2 t2 +1 >0 Suy f(t) luôn đồng biến trên (0,+∞) ⇔ 3y = Thế vào pt(2) ta PT: x + x + 4( x + 1) x = 10 x x 2 Đặt g(x)= x + x + 4( x + 1) x − 10 , x > Ta có g’(x) > với x > ⇒ g(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0,+∞) Ta có g(1) = Vậy pt g(x) = có nghiệm x = Với x =1 ⇒ y = PT(3) ⇔ f(3y)= f Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 50 (53) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA KL: Vậy hệ có nghiệm nhất: (1; ) x3 − y + y − x − = Bài 75: Giải hệ phương trình : 2 x + − x − y − y + = Hướng dẫn làm bài: −1 ≤ x ≤ 0 ≤ y ≤ Điều kiện: Phương trình (1) hệ tương đương với: x3 − 3x − = ( y − 1)3 − 3( y − 1) − (*) Xét hàm số f (t ) = t − 3t − , ∀t ∈ [−1;1] Ta có: f '(t ) = 3t − ≤ , ∀t ∈ [−1;1] Suy ra: f nghịch biến trên đoạn [-1;1] Do đó: (*) ⇒ f(x)=f(y-1) ⇔ x = y − Thế vào pt (2) hệ ta có: −(2 y − y ) − 2 y − y + = ⇔ y − y2 = ⇔ y = Vậy: hệ phương trình có nghiệm (x = 0;y = 1) Bài 76: Giải hệ phương trình x + xy + x − y − y = y + y − x − + y − = x − Hướng dẫn làm bài: xy + x − y − y ≥ Đk: 4 y − x − ≥ y −1 ≥ Ta có (1) ⇔ x − y + ( x − y )( y + 1) − 4( y + 1) = Đặt u = x − y , v = y + ( u ≥ 0, v ≥ ) u = v u = −4v(vn) Khi đó (1) trở thành : u + 3uv − 4v = ⇔ Với u = v ta có x = y + , thay vào (2) ta : y2 − y − + y −1 = y ⇔ y − y − − ( y − 1) + ( y − 2) y2 − y − + y −1 + ( ) y −1 −1 = y−2 = ⇔ ( y − 2) + y2 − y − + y −1 y −1 +1 ⇔ y = ( vì ⇔ y2 − y − + y −1 + =0 y − + > 0∀y ≥ ) y −1 +1 Với y = thì x = Đối chiếu Đk ta nghiệm hệ PT là ( 5; ) 2 xy + x + y + = x − y Bài 77: Giải hệ phương trình : x y + − y x − = x − + x − y − Hướng dẫn làm bài: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 51 (54) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA y ≥ −1 x ≥ ĐK : Pt đầu hệ tương đương với ( x + y + 1)( y − x + 3) = ⇔ y − x + = (do đk) Thay vào pt thứ hai, được: ( y + 3) y + − y y + = ⇔ ( y + 2) ( y + − 2) = ⇔ 2y + + 2y + y + − = ⇔ y = (thỏa đk ) Hệ pt có nghiệm : x = 5, y = x + xy + x − y − y = y + Bài 78: Giải phương trình y − x − + y − = x − Hướng dẫn làm bài: xy + x − y − y ≥ Đk: 4 y − x − ≥ y −1 ≥ Ta có (1) ⇔ x − y + ( x − y )( y + 1) − 4( y + 1) = Đặt u = x − y , v = y + ( u ≥ 0, v ≥ ) u = v u = −4v(vn) Khi đó (1) trở thành : u + 3uv − 4v = ⇔ Với u = v ta có x = y + , thay vào (2) ta : ⇔ y − y − − ( y − 1) + ( y − 2) y2 − y − + y −1 ⇔ y = ( vì ⇔ + ( y2 − y − + y −1 = y ) y −1 −1 = y−2 = ⇔ ( y − 2) + y − y − + y −1 y −1 +1 2 y − y − + y −1 + =0 y − + > 0∀y ≥ ) y −1 +1 Với y = thì x = Đối chiếu Đk ta nghiệm hệ PT là ( 5; ) y −1 Bài 79: Giải hệ phương trình x + x − x + = + ( x, y ∈ ℝ ) y + y − y + = x −1 + Hướng dẫn làm bài: u = x − Hệ PT ⇔ v = y − - Đặt u + u + = 3v v + v + = 3u ⇒ 3u + u + u + = 3v + v + v + ⇔ f (u ) = f (v) , với f (t ) = 3t + t + t + Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 52 (55) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA - Ta có: f ′ (t ) = 3t ln + t + t2 +1 t2 +1 > ⇒ f(t) đồng biến với ∀t u ⇒ u = v ⇒ u + u + = ⇔ u − log (u + u + 1) = (2) - Xét hàm số: g (u ) = u − log3 ( u + u + ) ⇒ g '(u ) > ⇒ g(u) đồng biến ∀u - Mà g (0) = ⇒ u = là nghiệm (2) KL: x = y = là nghiệm hệ PT y (1 + x3 y ) = x Bài 80: Giải hệ phương trình 6 1 + x y = x Hướng dẫn làm bài: - Nhận xét x = thay vào hệ tâ thấy vô lý - Xét x ≠ ,chia vế hai pt hệ cho x và đặt z = x3 yz + y z = yz ( z + y ) = - Ta có ⇔ 2 z + y = ( z + y ) − yz = SP = S = z + y - Đặt ta có hệ P = yz S − 4P = z = S = z = - Giải hệ ta suy P = y =1 y = 1 Hệ có cặp nghiệm ( x, y ) là (1,1) và , 2 8 x − y − x − y + x − y − = Bài 81: Giải hệ phương trình : x + y − y − = Hướng dẫn làm bài: + Biến đổi phương trình thứ 1: 8x − y3 − 8x − y2 + 4x − y − = 3 ⇔ 8x - 8x + 4x = y + y + y + 3 ⇔ (2x ) - 2(2x) + 2(2x) + = ( y + ) - 2(y + 1) + 2(y+1) + ( *) + Xét hàm f(t) = t3 - 2t2 + 2t + ⇒ f'(t) = 3t2 - 4t + > với ∀t ∈ R ⇒ hàm f(t) luôn luôn đồng biến trên R Mà từ ( *) ta có f(2x ) = f(y + ) ⇔ 2x = y + ⇔ y = 2x - + Thay vào phương trình thứ : x2 + 4(2x -1 )2 - 3( 2x - ) - = 11 − 19 x1 = 17 ⇔ 17x - 22x + = ⇒ 11 + 19 x2 = 17 11 − 19 − 19 + Với x1 = ⇒ y1 = 17 17 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 53 (56) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 11 + 19 + 19 ⇒ y2 = 17 17 11 − 19 − 19 11 + 19 + 19 Vậy hệ có nghiệm : ( ; ); ( ; ) 17 17 17 17 + Với x = x + y + x ( x + y ) = y + y Bài 82: Giải hệ phương trình: x + y − + = x − + y Hướng dẫn làm bài: Đk: ,y≥0 x≥ x + y + x ( x + y ) = y + y ⇔ x + y − y + ( x − y )( x + y ) = Xét phương trình pt(1): Do x ≥ , y ≥ ⇒ x + y + y > Pt(1) ⇔ x− y + ( x − y )( x + y ) = ⇔ ( x − y ) + x + 2y = ⇔ y = x x + y + 2y x + y + 2y Thay y = x vào phương trình Pt(2): x + y − + = x − + y ta x + x − + = 3x − + x ⇔ Đặt x − = a ≥ ( x − 1) + ( x − ) = 3x − + x − −1 , x − = b ≥ Pt có dạng : b = 0, a ≥ a + 2b = a + b b ( b − 2a ) = ⇔ ⇔ a + b ≥ b = a ≥ a + b ≥ - Với b = 0, ta có y = x = (loại) - Với b = 2a, ta có phương trình x ≥ x ≥ x = ( t / m) x − = ( x − 1) ≥ ⇔ ⇔ 4 x − 11x + = x = ( loai ) - Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là S = {( 2; )} )( ) x + 2015 + x y + 2015 + y = 2015 Bài 83: Giải hệ phương trình sau : ( x, y ∈ R ) x x − xy + = xy + x + ( Hướng dẫn làm bài: + Điều kiện : x − xy + ≥ ( + Ta có : x + 2015 + x )( y + ⇔ x + 2015 + x = ) 2015 + y = 2015 2015 y + 2015 + y = − y + 2015 + y Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 54 (57) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ⇔ x + 2015 + x = (− y ) + 2015 + (− y ) (1) Xét hàm số : f (t ) = t + 2015 + t là hàm số xác định và liên tục trên R f ' (t ) = + t 2015 + t = 2015 + t + t 2015 + t > t +t 2015 + t ≥0 ⇒ f ' (t ) > 0, ∀t ∈ R : f (t ) là hàm số luôn đồng biến trên (−∞; +∞ ) + Khi đó pt(1) viết lại : f ( x) = f (− y ) ⇔ x = − y - Thay y = − x vào phương trình thứ hai hệ, : x x + x + = −4 x + x + ⇔ (2 x + x + 1) − x x + x + − x = (2) u = x u = −2 x - Lại đặt : u = x + x + , u ≥ ; pt(2) thành u − xu − x = ⇔ 3 x ≥ x ≥ ⇔ 2 2 x + x + = x 7 x − x − = * Với u = 3x ⇒ x + x + = 3x ⇔ ⇔ x = suy y = −1 : thỏa đk −2 x ≥ x ≤ ⇔ 2 2 x + x + = x 2 x − x − = * Với u = −2 x ⇒ x + x + = −2 x ⇔ ⇔ x= − 11 −3 + 11 suy y = : thỏa đk 2 − 11 −3 + 11 ; 2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm : (1; −1) , x + y + 2y − + x − y = Bài 85: Giải hệ phương trình: y + = xy + y Hướng dẫn làm bài: - Đặt a = 2y − ≥ 0, b = x − y ≥ - Điều kiện x ≥ y ≥ - Phương trình thứ trở thành a + b2 + a + b = 4(3) - Phương trình thứ hai trở thành a b2 + a + b2 = 3(4) S = a + b (S, P ≥ 0) ta : P = a.b - Giải hệ (3), (4) đặt S + S − P = 2 P + S − P = (5) (6) - Trừ (5) cho (6) ta S − P = ⇒ S = P + - Thay vào (6): P + P + 2P + − 2P = ⇔ ( P − 1)( P + P + P + 2) = P = ⇔ Kết hợp điều kiên P ≥ ta P=1; S=2 P + P + 4P + = - Giải hệ P = 1; S = ta thu a = b =1 - Suy hệ có nghiệm (x = 2; y = 1) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 55 (58) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x + xy − x y = x y − x + xy Bài 86: Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ℝ) x y + y − + x = x y − x Hướng dẫn làm bài: x ≥ Điều kiện 5 xy − x y ≥ + Vì x = không là nghiệm ( ) ⇒ Chia hai vế ( ) cho x > ta y + y − y = 1 1+ − x x x - Xét hàm số y = t + t − t là hàm đồng biến trên ℝ x - Do đó ( ) ⇔ y = Thay vào (1) : x + − x = x − x + 2 7 1 ⇔ x − x + + 5− x −− x + = 3 3 3 9x − ( x + 2) (5 − x ) − ( − x ) + =0 x + x+2 5− x − x+7 ⇔ x2 − 5x + = x = 1⇒ y = ⇔ (thỏa điều kiện) x = ⇒ y = ⇔ x + y + xy + = y Bài 87: Giải hệ phương trình: , ( x, y ∈ R ) 2 y( x + y) = x + y + Hướng dẫn làm bài: + Nhận xét: hệ không có nghiệm dạng (x0 ; 0) x2 + + x+ y = x + y + xy + = y y - Với y ≠ , ta có: ⇔ 2 y( x + y) = x + y + ( x + y ) − x + = y u+v = u = 4−v v = 3, u = ⇔ ⇔ v − 2u = v + 2v − 15 = v = −5, u = 2 x +1 = y x +1 = y x + x − = x = 1, y = +) Với v = 3, u = ta có hệ: ⇔ ⇔ ⇔ x = −2, y = x+ y =3 y = 3− x y = 3− x x2 + Đặt u = , v = x + y ta có hệ: y Hệ pt có hai nghiệm là: (1; 2) và (-2; 5) x2 +1 = 9y x2 +1 = 9y x2 + 9x + 46 = ⇔ ⇔ , x + y = −5 y = −5 − x y = −5 − x +) Với v = −5, u = ta có hệ: Hệ này vô nghiệm Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( x; y ) = {(1; 2), (−2; 5)} Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 56 (59) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ( x + 1) x + ( y − 3) − y = Bài 88: Giải hệ phương trình sau 4 x + y + − x = Hướng dẫn làm bài: x ≤ + ĐK : y ≤ + Phương trình thứ hệ tương đương với phương trình: (4x ) + x = ( − y + 1) − y (1) + Xét hàm số : f (t ) = ( t + 1) t ⇒ f ′ = 3t + > ⇒ f (t ) đồng biến trên R - Phương trình (1) hệ tương đương với phương trình f (2 x) = f ( x ≥ − y ⇔ 2x = − y ⇔ − 4x2 y = ) - Thay vào phương trình (2) hệ ta có phương trình: 25 − x + x + − x = (*) 25 3 <0 * Xét hàm số f ( x) = x − x + + − x trên 0; , f '( x) = x(4 x − 3) − − 4x 4 1 1 Mặt khác : f = nên (*) ⇔ f ( x) = f ⇔ x = ⇒ y = (thỏa mãn) 2 2 (1 − y ) x + y = x + y + 3xy (1) Bài 89: Giải hệ phương trình y + + x + y = y − x (2) Hướng dẫn làm bài: ĐK: y ≥ -1 ( x, y ∈ ℝ ) - Xét (1): (1 − y ) x + y = x + y + xy - Đặt x2 + y = t (t ≥ 0) Phương trình (1) trở thành: t + (1 − y ) t − x − y − x − y − xy = ∆ = (1 - y)2 + 4(x2 + 2y2 + x + 2y + 3xy) = (2x + 3y + 1)2 2 t = − x − y − x + y = − x − y − ⇒ ⇔ t = x + y x2 + y2 = x + y - Với x + y = − x − y − , thay vào (2) ta có: y ≥ − y +1 = 3y +1 ⇔ ⇔ y=0 9 y + y = ⇒ x = − x − (vô nghiệm) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 57 (60) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA −1 − x = y + = −2 x - Với x + y = x + y , ta có hệ: ⇔ 2 y = 1+ x + y = x + y −1 − + Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ; x − + 2x x − − y − − 2y y − = (1) Bài 90: Giải hệ pt: x y + y x = 16 (2) Hướng dẫn làm bài: - Từ PT (1): x − + x x − = y − + y y − , ĐK: x, y ≥ - Đặt f(t)= t + 2(t + 1) t , t ≥ ⇒ f ' (t ) = +2 t + 2(t + 1) t ⇒ f ( x − 1) = f ( y − 1) ⇒ x = y t > 0, ∀t > ⇒ hàm số f(t) đồng biến - Thế x = y vào (2) ta được: x x = 16 ⇔ x = , hệ có nghiệm x = y = 2 + 9.3x2 − y = + x2 − y 52 y − x2 + (1) Bài 91: Giải hệ phương trình : 4 x + = x + y − x + 4(2) ( ) Hướng dẫn làm bài: + ĐK: y − x + ≥ , đặt t = x − y + Từ (1) ⇔ + 3t + = ( + 9t ) 52−t ⇔ x + 3t + 2 + 32t = 2t ⇔ f ( t + ) = f ( 2t ) (3) 5t + x + 3x 1 3 - Xét f ( x ) = x = + là HS nghịch biến / R nên từ (3) suy t = 5 5 ⇔ y = x − vào pt (2) : x + = x + x − x + ⇔ x −1 = x − + ( Do s + s + )( ( x − 1) + ⇔ s = s + s + (4) ) s + − s = nên 4− s = s + − s (5) - Lấy (4) trừ (5) ta có s − 4− s − s = (*) ⇒ f ( x ) = x − 4− x − x → f / ( x ) = ln ( x + 4− x ) − ≥ ln − > ⇒ Hàm số nghịch biên, suy s = là nghiệm pt (*) 1 ⇒ Hệ có nghiệm ( x; y ) = 1; − 2 x + x ( x − 3x + 3) = y + + y + + (1) Bài 92: Giải hệ phương trình: 3 x − − x −6x + = y + + (2) Hướng dẫn làm bài: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 58 (61) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ( ) x x − 3x + ≥ x ≥ + y + ≥ + ĐK: ⇒ 1 ≤ x ≤ − (*) x − ≥ y ≥ −3 x2 − 6x + ≥ + Đặt a = y + ≥ −1 ⇒ y + = a + Khi đó , phương trình (1) trở thành (x − 1)3 + + (x − 1) = ⇒ f (t ) = a + + a (3) Xét hàm số f (t ) = t + + t , t ≥ −1 3t + > 0, ∀t ⇒ f (t ) là hàm đồng biến trên R t3 +1 Khi đó (3) ⇔ f (x − 1) = f (a ) ⇔ x − = a ' (2) ⇔ x − − x −6 x + = x ⇔ x − 6x + = x − − x 3 x − − x ≥ (* *) ⇔ x − x + = 9( x − 1) + x − x x − (3) x −1 = (3) ⇔ x x − = 5(x − 1) ⇔ ⇔ 5 x − = x x = x ≥ 4 x − 25 x + 25 = x = x = x ≥ ⇔ x = ⇔ x = x = x = Đối chiếu với (**) và (*) thấy x = thỏa mãn ⇒ a = ⇒ y = 62 Vậy hệ có nghiệm là ( x; y ) = (5;62) 16 x3 y − y = (2 xy − y )(4 xy + 3) (1) 2 2 4 x y − xy + y = (2) Bài 93: Giải hệ phương trình: Hướng dẫn làm bài: - Xét y = 0, thay vào (2) ta được: = ⇒ y = không thỏa mãn hệ phương trình - Xét y ≠ ta có: 16 x − = (2 x − 1)(4 x + ) (3) y 16 x y − y = (2 xy − y )(4 xy + 3) ⇔ 2 2 4 x2 − x + = 4 x y − xy + y = (4) y2 - Thay (4) vào (3) ta được: 16 x − = (2 x − 1)(4 x + x − x + 1) ⇔ x = ⇒ y = ±1 x = - Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: y = ±1 3 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 59 (62) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2 x + x + x + = y + y + y + Bài 94: Giải hệ phương trình x + y − x + y − = Hướng dẫn làm bài: x ≥ −2 + Điều kiện: x ≥ − + Từ phương trình thứ hai hệ, ta có: x = −2 y + x − y + ; thay vào phương trình thứ hệ, ta được: ( ) x + −2 y + x − y + + x + x + = y + y + y + ⇔ x2 + x + + x + + ⇔ ( x + 1)2 + x + + ( x + 1) + = y + y + 2y +1 ( x + 1) + = ( y )2 + y + y + (*) + Xét hàm số f ( t ) = t + t + t + , với t ≥ −1 + Ta có: f / ( t ) = 2t + + t +1 ; f // ( t ) = − + Bảng biến thiên: + Từ bảng biến thiên suy ra: ( t + 1)3 t f ( t ) ≥ > 0; ∀t ∈ ( −1; +∞ ) + Do đó: Hàm số f ( t ) đồng biến trên nửa khoảng [ −1; +∞ ) / f ''(t) ; f // ( t ) = ⇔ t = − −1 − − ց f '(t) + Suy phương trình (*) ⇔ f ( x + 1) = f ( y ) ⇔ x + = y + Thay x = y − vào phương trình thứ hai hệ, ta được: 4 +∞ + ր ( y − 1)2 + y − ( y − 1) + y − = y =1⇒ x =1 ⇔ 6y − 7y +1 = ⇔ y = ⇒ x = − * Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: ( x; y ) = (1;1) , − ; 6 2 x + y + − y = x + Bài 95: Giải hệ phương trình: y − − − x + − x = ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài: −2 ≤ x ≤ y ≥1 + Điều kiện: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 60 (63) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA (1) ⇔ x + y + = x + + y ⇔ ( x + y + ) = x + + y + y ( x + ) ⇔ ( x+2 − y - Thay (3) Vào (2) ta được: (4) ⇔ ( ) =0⇔ y = x+2 ( 3) x + − − x + − x = (4), ( -1 ≤ x ≤ 4) ) ( ) x + − + − − x + − x2 = x −3 x−3 + + (9 − x2 ) = x +1 + − x +1 x = ⇒ y = ⇔ 1 + = x + (5) x + + − x +1 ⇔ 1 x + + ≤ Xét (5) Ta có : ⇒ ≤1 − x + 1 + ≤ , ∀x ∈ [ -1;4] x +1 +1 − x +1 Mặt khác x + ≥ 2, ∀x ∈ [ -1;4] Vậy phương trình (5) vô nghiệm 1 + x + y + = ( x + y )2 + x + y Bài 96: Giải hệ phương trình: 2 ( x + 1) x − x + + x + xy = Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x + y ≥ (1) ⇔ − ( x + y ) + x + y + − x + y = ⇔ (1 + x + y )(1 − x − y ) + − 4x − y =0 x + y + + 6x + ⇔ (1 − x − y ) (1 + x + y ) + =0 x + y + + 6x + - Do điều kiên x + y ≥ nên + ( x + y ) + >0 2x + y + + 6x + ⇒ x + y − = ⇔ x + y = vào phương trình (2) ta ( x + 1) x − x + + x ( x + y ) = ⇔ ( x + 1) x − x + + x − = - Đặt f ( x ) = ( x + 1) x − x + + x − x + 1)( x − 1) ( 8x2 + x + +2= > 0, ∀x ∈ ℝ f ' ( x) = 2x − x + + 2 2x − x − 2x − x − 1 ⇒ hàm số đồng biến trên R mà f = nên x = là nghiệm 2 1 1 Với x = ⇒ y = − (thỏa đk) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ; − 2 2 2 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 61 (64) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 3 x − y + y + x − y + = (1) Bài 97: Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ℝ ) x + x − = x + + y (2) Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x ≥ −2 (1) ⇔ x + x + = y − y + y ⇔ x3 + x + = ( y − 1) + ( y − 1) + Xét hàm số f ( t ) = t + t + trên [ −2; +∞ ) Ta có: f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ [ −2; +∞ ) Suy hàm số f ( t ) đồng biến trên [ −2; +∞ ) Do đó: x = y − Thay y = x + và phương trình (2) ta được: x3 − = x + + ⇔ x3 − = ( ) ( ) x + − ⇔ ( x − ) x2 + x + = ( ) ⇔ ( x − 2) x2 + x + = ( x+2 −2 ( x+2 +2 x+2+2 ⇔ ( x − 2) x2 + x + − x+2 +2 ( x − 2) ( )( ) ) ) =0 x+2 +2 ( ) * x−2=0⇔ x = 2⇒ y =3 * x2 + x + − ( x+2 +2 ) = ⇔ x2 + x + = ( 2 Ta có VT = x + x + = ( x + 1) + ≥ 3;VP = x+2 +2 x+2 +2 ) (*) ≤ 1, ∀x ∈ [ −2; +∞ ) Do đó phương trình (*) vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;3) 3x + 12 y + 24 xy − ( x + y ) xy = (1) Bài 98: Giải hệ phương trình 2 5 x − y + xy = 15 (2) ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài: + ĐK xy ≥ (1) ⇔ ( x + y ) + xy = ( x + y ) xy (3) + Ta có x = y = không là nghiệm hệ nên xy > + Chia hai vế (3) cho ( x + y ) xy ta + Đặt t = x + y 2 xy + = 3(4) xy x + y x + 2y ≥ ta t + = ⇔ t = t xy x + 2y t =2⇒ = ⇔ x = 2y 2xy Thay x = y vào (2) ta y = ⇔ y = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 62 (65) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 12 − y + 3x Bài 99: Giải hệ phương trình: + 12 y + 3x Hướng dẫn làm bài: 12 12 1− − x =2 y + 3x y + 3x + Điều kiện: x > và y > ⇔ 1 + 12 + 12 y = y + 3x y + 3x - Lấy (1) + (2): = + ⇔ 1= + (*) x y x y x =2 y =6 x = y = (1) (2) 12 (*) 12 = − ⇔ = − + y y + 3x y + 3x y y x x x y = 3x 12 ⇔ = − ⇔ y + 6xy − 27x = ⇔ y + 6xy − 27x = ⇔ y + 3x y x y = −9x - So với điều kiện, nhận y = 3x (*) ⇔ x = + ⇒ y = 12 + - Lấy (2) – (1): x = + Vậy hệ phương trình có nghiệm y = 12 + x + xy + y = Bài 100: Giải hệ phương trinh x + xy − x − y + = Hướng dẫn làm bài: Cộng hai vế pt ta : (x + y – )2 + x( x + y – ) – (x + y – ) = x + y − = ⇔ ( x + y − ) ( x + y − 3) = ⇔ 2 x + y − = x + y − = x = ⇔ y =1 x + xy + y = - Với x + y – =0 , ta có hệ : 2 x = 2 x + y − = y =1 - Với 2x + y – =0 , ta có hệ : ⇔ x = x + xy + y = y = −1 x3 (4 y + 1) + 2( x + 1) x = (1) Bài 101: Giải hệ phương trình: 2 x y + y + = x + x + (2) Hướng dẫn làm bài: ĐK: x ≥ ( ) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 63 (66) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA * Do x = không phải nghiệm nên x > ⇒ x + x + > Từ PT (2) ⇒ y (2 + y + 1) > Chia hai vế pt (2) cho x , ta : (2 y) + (2 y) (2 y) 2 1 1 1 +1 = + + ⇔ f (2 y ) = f (3) x x x x * Xét hàm số : f (t ) = t + t t + trên khoảng ( 0; +∞ ) ⇒ f '(t ) = + t + + t2 t2 +1 > 0, ∀t > ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) (4) Từ (3) và (4) ⇒ y = * Thay y = x vào pt (1), ta : x3 + x + ( x + 1) x = (5) x Ta thấy x = là nghiệm pt (5) Xét hàm số : f ( x) = x3 + x + ( x + 1) x trên khoảng ( 0; +∞ ) Có f '( x) = 3x + x + x x + x2 + > 0, ∀x > ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) (6) x Từ (5) và (6) ⇒ x = là nghiệm pt (5) 1 * x = ⇒ y = Vậy nghiệm hệ : 1; x − y − x + y + = Bài 102: Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ ℝ ) 2 −7 x + 12 x y − xy + y − x + y = Hướng dẫn làm bài: Ta có: −7 x3 + 12 x y − xy + y − x + y = ⇔ ( y − x ) x − x ( y − x ) + ( y − x ) + = ( ) x + Vì x − x ( y − x ) + ( y − x ) + = y − x − + x + > 0, ( ∀ x, y ) nên: 2 ( ) ⇔ x − y = hay x = y 2 y = x y = x y = x ⇒ Hệ tương đương: ⇔ ⇔ x = 2 2 x − y − x + y + = x − 5x + = x = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;2 ) ( x; y ) = ( 3;3) 4 x + y − x − = x + + x + x + y − (1) Bài 103: Giải hệ phương trình: x 12 − y + y (12 − x ) = 12 (2) Hướng dẫn làm bài: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 64 (67) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x ≥ − + Điều kiện: y ≤ 12 y (12 − x ) ≥ x + x + y − ≥ ( *) Ta có : x 12 − y ≤ 12 y (12 − x ) = 12 − x 12 − y ⇔ 12 x − 24 x 12 − y + 12 (12 − y ) y = 12 − x x 12 − y ≤ 12 ⇔ ⇔ x − 12 − y = − ≤ x ≤ 3; ≤ y ≤ 12 Thay vào phương trình (1) ta được: x − x + = x + + x + ( 2) ⇔ ( ) ( ) ( ) ⇔ ( x − x ) + x + − 3x + + x + − x + = 1 ⇔ ( x2 − x ) + + =0 x + + 3x + x + + x + ⇔ x − x = ⇔ x = x = Khi đó ta nghiệm ( x; y ) là ( 0;12 ) và (1;11) x + y + x + y + = (x + y)2 + x + y (1) Bài 104: Giải hệ phương trình: x + x + y + + x − y = (2) x + y ≥ (*) x − y ≥ Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: + Đặt t = x + y ≥ , từ (1) ta có: t + ⇔ t(1 − t) + t + = t2 + t ⇔ t − t2 + t + − t = = ⇔ (1 − t) t + t+3 +2 t ⇔ t = (Vì t + + Thay (3) vào (2) ta có: 3(1 − t) t+3 +2 t =0 t+3 +2 t > 0, ∀t ≥ ) ⇒ x + y = ⇔ y = − x (3) x2 + + 2x − = x2 − ⇔ ( x + − 2) + ( 2x − − 1) = ⇔ x +3 +2 + 2x − 2x − + =0 x +1 ⇔ (x − 1) + = 2x − + x +3 +2 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 65 (68) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x +1 ⇔ x = (Vì + x2 + + 2 2x − + > 0, x ≥ ) ⇒ (x = 1; y = 0), thoả mãn (*) Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x = 1; y = 0) xy( x2 + y ) − = ( x − y)2 (1) Bài 105: Giải hệ phương trình 3x y − x y( x + y) + x = 3xy 81x − (2) Hướng dẫn làm bài: Xét phương trình (1): xy( x + y ) − = ( x − y)2 ⇔ xy( x + y ) − = x2 + y − xy ⇔ xy( x + y ) − ( x2 + y ) + xy − = ⇔ ( x + y )( xy − 1) + 2( xy − 1) = ⇔ ( xy − 1)( x2 + y + 2) = ⇔ xy = thay vào (2) ta : 3 2 81x − 81x − x − x + x − = 81x − ⇔ ( x − )3 + 3( x − ) = + (*) 3 3 Xét f (t ) = t + 3t , f(t) đồng biến trên R Khi đó PT (*) trở thành: x = 81x − 2 81x − − 24 f ( x − ) = f ⇔ x − = 81x − ⇔ x = ⇔ x − = 3 3 + 24 x = − x = + x = ⇒ hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: , 3 y = y = 3+ 3− (1 − y )( x − y + 3) − x = ( y − 1)3 x (1) Bài 106: Giải hệ phương trình 3 x − y + x − = 2( y − 2) (2) Hướng dẫn làm bài: x − y ≥ x ≥ y ⇔ + ĐKXĐ: x ≥ 0, y ≥ x ≥ 1, y ≥ Nhận xét x ≥ 1, y = không là nghiệm hệ Xét y > thì pt (1) hệ (I) x + x( y − 1) − 3( y − 1)2 + ( y − 1) x( y − 1) = x x x x ⇔ −3+ = ,t = ,t > + y −1 y −1 y −1 y −1 Khi đó, pt (1) trở thành t + t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t + t + 2t + 3) = ⇔ t = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 66 (69) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x = ⇔ y = x + , vào pt(2), ta y −1 - Với t = 1, thì x − x − + x3 − = ( x − 1) ⇔ x − x − + x − − ( x − 1) = x2 − x −1 ⇔ x − x −1 + =0 2 3 3 ( x − ) + + ( x − 1) x − + ( x − 1) ⇔ x − x − 1 + ⇔ V ới x = =0 x − + ( x − 1) x2 − x − (x − ) + + ( x − 1) x2 − x − = ⇔ x = 1+ ( x ≥ 1) 1+ + 1+ 3+ ⇒y= Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm ( x; y ) = ; 2 9 x + xy + x − y + y = (1) Bài 107: Giải hệ phương trình x − y + + = ( x − y ) + x − y (2) Hướng dẫn làm bài: Đk : x ≥ y ≥ Nếu x = y thì (2) vô nghiệm nên x > y, từ (2) ⇔ x − y + - x − y + – [3(x- y )] = ⇔ − 6x + y x − y + + 7x − y + (1 − x + y )(1 + x − y ) = ⇔ (1 − x + y ) + (1 + x − y ) = x − y + + x − y + x > y ≥ nên + (1 + x − y ) > suy 1–3x + 3y =0 x − y + + x − y + Thay y = x – vào phương trình (1) ta 1 9x2 + 9x(x - ) + 5x – 4(x - ) + x − = 3 ⇔ 18x – 8x + 6x - + x− - = 3 (9x – ) +3( x − - ) = ⇔ (9x – ) x + + = ⇔ x = vì x > 9 x − + 4 Với x = thì y = Vậy hệ có nghiệm (x;y) = ( ; ) 9 9 ⇔ 2x(9x – ) + Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 67 (70) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x + y + = − y (1) Bài 108: Giải hệ phương trình 9 + x + xy + y = (2) Hướng dẫn làm bài: x + y + ≥ +) Đk: x ≥ −1 +) Nếu y ≥ , để hệ có nghiệm thì ≥ y ≥ VT (1) = x + y + ≥ ⇒ VT (1) > VP(1) hệ vô nghiệm VP(1) = − y ≤ +) Nếu y < 0, từ (2) suy x > + x + xy + y = ⇔ 9+ = ( − y ) + ( − y ) (3) x x + 2t Xét hàm số f (t ) = t + t , t > 0; f '(t ) = > 0∀t > + t2 = −y ⇔ x = (3) ⇔ f = f (− y) ⇔ y x x 9 + y + = − y (4) Hàm số g ( y ) = 2 + y + y y đồng biến trên ( −∞;0 ) ; hàm số h(y)=1-y nghịch biến trên ( −∞;0 ) và phương trình có ngiệm y = -3 nên pt(4) có nghiệm y = -3 Vậy hệ có nghiệm (1;-3) x y + x + = x x y + (1) Bài 109: Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ R ) 2 y ( x − 1) + y ( x − 2) + y + = (2) Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x y ≥ −2 Từ (2) Thế vào pt(1) ta có phương trình ⇔ x y + x y = y − y + y − + 3( y − 1) ⇔ ( x y ) + x y = ( y − 1) + 3( y − 1) (3) - Xét hàm số f (t ) = t + 3t có f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R - Do đó (3) ⇔ f ( x y ) = f ( y − 1) ⇔ x y = y − 1, ( y ≥ −1) - Thế vào (1) ta x y + x + = x y + ⇔ x ( y + 1) − x y + + = ⇔ ( x y + − 1) = ⇔ x y + = x y + x = y = − x x y + = Do đó hệ đã cho tương đương với ⇔ x y = y − ⇔ x ( − x ) + x = ( 4) x y = y − x > x > 2 2 ( 4) ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1) − x = ⇔ ( x − x − 1)( x + x − 1) = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 68 (71) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 1± x = − 1+ 1+ Do x > nên x = x = ⇔ 2 −1 ± x = 1+ 1− −1+ 1+ ⇒y= Với x = ⇒y= 2 2 1 + − −1 + 1+ , ( x; y ) = Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y ) = ; ; 2 2 Với x = (1 − y ) x + y + x + y = + ( x + y − 1) y (1) Bài 110: Giải hệ phương trình: y + x + y − y = (2) ( x ∈ ℝ, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài: - Đặt u = x + y ; v = y ( u ≥ 0; v ≥ ) ( x = u − v ) - Pt (1) hệ trở thành: (1 − v ) u + u − v + 2v = + ( u − 1) v ⇔ ( u − 1)( v − 1)( u + v + ) = * TH : u = ⇒ x + y = ⇒ x = − y Thế vào pt thứ hai hệ ta được: y2 + − y + y4 − y2 = ⇔ y2 − y + ( ) y4 − y2 − = y4 − y2 − ⇔ y ( y − 2) + ⇔ ( y − 2) y + (y (y (y =0 − 2y) + y − 2y + 4 − y) =0⇔ y=2 + y − 2y + 4 + 2) ( y + 2) Khi đó x = -1 * TH 2: v = Suy y = 1; x = * TH 3: u + v + = 0: Vô nghiệm Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( x; y ) = ( −1; ) , ( 2;1) (x + 1)y + = 2xy (y3 − 1) Bài 111: Giải hệ phương trình: với x, y ∈ ℝ 4 xy (3xy − 2) = xy (x + 2y) + Hướng dẫn làm bài: xy − xy − x y − y = 1(1) + Hpt ⇔ 2 3 x y − xy − x y − xy = 1(2) Lấy (2) trừ (1) ta được: 3x2y6 – 4xy5 + y4 = y = y4 = ⇔ ⇔ xy = 3 ( xy ) − xy + = xy = + Với y = thay vào pt (1) không thỏa mãn Suy hệ vô nghiệm Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 69 (72) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA + Với xy = thay vào pt (1) Ta được: y = ( y + 1) ⇔ y = 1± 1+ 5 −1 1− − −1 ⇒x= ; y= ⇒x= 2 2 + Với xy = thay vào pt (1) ta được: 3y4 + (y + 3)2 = vô nghiệm −1 1+ − −1 1− Vậy hệ có nghiệm ; ; và 2 2 + Vớ i y = x + 2x + − y − 2y + = y − 3x − (1) Bài 112: Giải hệ phương trình: 2 y − 3y + = x − x (2) Hướng dẫn làm bài: Phương trình (2) ⇔ y2 - 3y + = x2 - x ⇔ y - 3x - = y2 - x2 - 2y - 2x vào phương trình (1) ta có: ( x + 1) +4− ( y − 1) ( y − 1) ⇔ ( x + 1) +4− ⇔ ( x + 1) + +(x+1)2= + = y2 - x2 - 2y - 2x + = (y-1)2-(x-1)2 ( y − 1) + +(y-1)2 (*) Xét hàm số f(t) = t + +t trên [0;+ ∞ ), f’(t) > ∀ t≥0 ⇒ f(t) đồng biến trên [0;+ ∞ ) x = y − 2 2 ⇒ phương trình (*) ⇔ f((x+1) ) = f((y-1) ) ⇔ (x+1) = (y - 1) ⇔ x = − y - Với x = y - 2, vào (2) giải được: x = − ; y = 2 3 - Với x = - y, vào (2) giải được: x = − ; y = 4 3 Vậy (x;y) ∈ − ; , − ; 2 4 y − x + y + = x3 + y ( x + xy + y − 1) + (1) Bài 113: Giải hệ phương trình : y + y − x = (2) Hướng dẫn làm bài: y > ( vì y = không thỏa HPT), từ (1) x + y ≥ −1 −( x + 1) ⇔ = ( x + 1)( x − x + 1) + y ( x + 1)( x + y − 1) y + x + y +1 ⇔ ( x + 1)[ x − x + xy + y − y + + ] y + x + y +1 ⇔ ( x + 1)[ x + (3 y − 1) x + y − y + + ] (3) y + x + y +1 Xét A = x2 + (3y – )x + 3y2 – 3y + ∆ = -3(y - 1)2 ≤ ∀x ∈ R ⇒ A ≥ ∀x, y ∈ R Điều kiện : - Vậy từ (3) ⇔ x = -1 ,thay x = -1 vào (2) ta có : y + y + = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 70 (73) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA −1 + 17 y = −1 + 17 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( - ; ) ⇔ −1 − 17 (l ) y = x x + y + y = x + x3 + x (1) Bài 114: Giải hệ phương trình x + y + x − + y ( x − 1) = (2) x ≥ Hướng dẫn làm bài: Đk: , từ (1) y ≥ (x,y ∈ R ) ⇔ x ( x + y − x + x) + ( x − y ) = y−x ⇔x + x − y = ⇔ ( x − y )( x + y + x + x − x) = x +y+ x +x + Do đó x = y thay vào pt (2) : x + x + x − + x( x − 1) = + Đặt t = x + x − 1(t ≥ 0) ⇒ t = x − + x( x − 1) PT trở thành t + + 2t = hay t + 2t − = lấy t = ⇒ x − + x = 25 x ≤ ⇔ x( x − 1) = − x ⇔ ⇔x= 16 4 x − x = 25 − 20 x + x 25 25 Vậy hệ có nghiệm ( ; ) 16 16 x − 3x + = y + y Bài 115: Giải hệ phương trình: 3 x − = y + y y3 + y ≥ x ≥ Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: y + y ≥ ⇔ y ≥ x − ≥ Khi đó: x − x + = y + y ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) = ⇔ f ( x − 1) = f ( ( y+3 ) −3 y +3 ) y + với hàm số f (t ) = t − 3t - Xét hàm số f (t ) = t − 3t với t ∈ [1; +∞ ) có f '(t ) = 3t − = ( t − 1) ≥ - Hàm số f (t ) = t − 3t đồng biến trên [1; +∞ ) ⇒ f ( x − 1) = f - Từ x − = ( ) y + ⇒ x −1 = y + ⇔ x − = y + −1 y2 + y ⇒ ( x − 2) = y2 + y ⇔ ( ) y + − = y2 + y Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 71 (74) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ⇔ y + = y + y + Với điều kiện y ≥ , bình phương vế phương trình và biến đổi thành: y + 16 y + 72 y + 63 y − 162 = ⇔ ( y − 1) ( y + 17 y + 99 y + 162 ) = x = y =1 Suy y = và x = Kết luận: Hệ có nghiệm nhất: x + y + x2 + y = xy(x + 1)(y + 1) = m Bài 116: Tìm m để hệ sau có nghiệm Hướng dẫn làm bài: 2 x + x + y + y = 2 (x + x)(y + y) = m + Hệ ⇔ u + v = (1) u.v = m (2) u; v ≥ 1 33 Từ (1) ⇒ v = − u (Do v ≥ − ⇒ − u ≥ − ⇒ u ≤ ) thay vào (2) ta có : 4 33 − u + 8u = m (*);- ≤ u ≤ 4 33 Để hệ đã cho có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm thỏa mãn - ≤ u ≤ 4 33 f (u) = − u + 8u; − ≤ u ≤ ⇔ đồ thị 4 phải cắt y = m - Có f '(u) = −2u + 8;f '(u) = ⇔ u = u = x + x ≥ − + Đặt đó ta có hệ : v = y2 + y ≥ − Ta có BBT: u - 4 f'(u) + - f(u) 16 - 33 16 Từ BBT suy giá trị m cần tìm là : − 33 - 33 16 33 ≤ m ≤ 16 16 1 x + x + y + y = Bài 117: (KD-2007) Tìm m để hệ sau có nghiệm x + + y + = 15m − 10 x3 y3 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 72 (75) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Hướng dẫn làm bài: * ĐK: x, y ≠ 1 x + x + y + y = + Hệ ⇔ 3 x + − x + + y + − y + = 15m − 10 x x y y u = x + x , u ≤ −2 ∪ u ≥ Đặt thay vào hệ ta có : v = y + , v ≤ −2 ∪ v ≥ y v ≤ −2 u + v = (1) 3 u − 3u + v − 3v = 15m − 15 (2) u ≥ − u ≤ −2 + Từ (1) ⇒ v = − u Do ⇒ ⇔ , v ≥ 5 − u ≥ u ≤ kết hợp với u ≤ −2 ∪ u ≥ ⇒ u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ , thay v = - u vào (2) ta được: u − 5u + = m, u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ (*) + Để hệ phương trình đã cho có nghiệm thì PT (*) phải có nghiệm thỏa mãn u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ f (u) = u − 5u + 8,u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ ⇔ đồ thị phải cắt y = m - Ta có f’(u) = 2u - 5, f’(u) = ⇔ u = 5 u -∞ -2 f'(u) f(u) +∞ +∞ +∞ 22 2 22 7 ≤m≤2 Từ BBT suy giá trị m cần tìm là m ≥ 22 2x − (y + 2)x + xy = m (*) x + x − y = − 2m Bài 118: (KD-2011) Tìm m để hệ sau có nghiệm Hướng dẫn làm bài: + Từ (*) ⇔ 2x − yx − 2x + xy = m ⇔ x (2x − y) − x(2x − y) = m ⇔ (2x − y)(x − x) = m (2x − y)(x − x) = m Hệ ⇔ x − x + 2x − y = − 2m Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 73 (76) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA u.v = m (1) u = x − x ≥ − + Đặt đó hệ ⇔ u + v = − 2m (2) v = 2x − y u ≥ − Từ (2) ⇒ v = − 2m − u thay vào (1) có : −u + u m(2u + 1) = − u + u,u ≥ − ⇔ = m (**), u ≥ 2u + + Để hệ đã cho có nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm thỏa mãn u ≥ − −u + u = =m ,u ≥f (u) ⇔ đồ thị 2u + phải cắt y = m −1 + u= −2u − 2u + ,f '(u) = ⇔ - Có f '(u) = (2u + 1) −1 − (lo¹i) u = 2 -1- u -∞ f'(u) - - - + -1+ + + +∞ - 2- f(u) - Từ BBT suy giá trị m cần tìm là m ≤ -∞ 2− x + + − y = (1) Bài 119: Giải hệ phương trình y + + − x = (2) Hướng dẫn làm bài: * ĐK: −1 ≤ x;y ≤ - Lấy (1) - (2) ta có : x + − y + + − y − − x = ⇔ ( x+1 − y +1 ( )( x+1 + y +1 x+1 + y +1 ) )+( 7−y − 7−x ( )( 7−y + 7−x 7−y + 7−x ) ) =0 1 ⇔ (x − y) + =0⇔x=y − y + − x x + + y + - Thay y = x vào (1) có : x + + − x = ⇔ x + + (x + 1)(7 − x) + − x = 16 ⇔ (x + 1)(7 − x) = ⇔ x = = y Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 74 (77) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x y + m = y (1) Bài 120: Tìm m để hệ sau có nghiệm y x + m = x (2) m < Hướng dẫn làm bài: + Lấy (1) - (2) ta có : (x − y)(xy + y + x) = ⇔ x = y (do m < nên xy + y + x > 0) Thay y = x vào (1) có : − x + x = m, x > (*) - Để hệ đã cho có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm f (x) = − x + x , x > ⇔ đồ thị phải cắt điểm y = m x = (ktm) - Có f '(x) = −3x + 2x,f '(x) = ⇔ x = -∞ +∞ x f'(x) - 0 + - f(x) 27 -∞ Từ BBT suy giá trị m cần tìm là m < x + x x − 3x + = y + + y + + (1) Bài 121: Giải hệ phương trình 3 x − − x − 6x + = y + + (2) ( ) Hướng dẫn x x − 3x + ≥ y + ≥ 1 ≤ x ≤ − 3; x ≥ + + Điều kiện: ⇔ y ≥ −3 x − ≥ x − 6x + ≥ ( ) + Quan sát ta thấy (1) đã cô lập biến x, y sang vế, vế có tương đồng hình thức nên ta biến đổi (1) để sử dụng phương pháp “hàm đại diện”: ( ) x + x x − 3x + = y + + y + + ⇔ ( x − 1) + + Xét hàm số f (t) = t + t + ⇒ f '(t) = + ( x − 1) +1 = y + + ( y+2 ) + (*) 3t 2 t3 + 1 ≤ x ≤ − 3; x ≥ + 0 ≤ x − ≤ − 3; x − ≥ + ⇒ ⇒ t ≥ −1 y + ≥ −1 y ≥ −3 ⇒ f '(t) > 0, ∀t > −1 ⇒ f (t) đồng biến với t ≥ −1 + Do + Từ (*) ⇒ x − = y + thay vào (2) ta được: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 75 (78) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x − − x − 6x + = ( x − 1) + ⇔ x − − ( x − 1) − ( x − 1) + = ( x − 1) + (**) + Ta thấy x = không là nghiệm (**) x ≠ , mặt khác điều kiện ⇒ x > , chia vế (**) cho + Đặt t = x − + x − > ta được: − x −1 > ⇒ x −1+ ( x − 1) − + 1 = x −1 + x −1 x −1 = t2 − ⇒ − t2 − = t x −1 t ≤ 5 ⇔ t2 − = − t ⇔ ⇒ x −1 + = ⇔ t = x −1 t − = ( − t ) x −1 = x = ⇒ y = 62 ⇔ ⇔ x −1 = x = ⇒ y = − 127 64 x − y + y − x − = 0(1) Bài 122: Giải hệ phương trình x + − x − y − y + = 0(2) 1 − x ≥ − ≤ x ≤ Hướng dẫn: Điều kiện: ⇔ 2 y − y ≥ 0 ≤ y ≤ (1) ⇔ x − x − = y − y ⇔ (x + 1)3 − 3(x + 1)2 = y − y (*) - Xét hàm số f (t ) = t − 3t − ≤ x ≤ 0 ≤ x + ≤ ⇔ ⇒ t ∈ [0;2] 0 ≤ y ≤ 0 ≤ y ≤ - Do ⇒ f ' (t ) = 3t − 6t ; f ' (t ) = ⇔ t = 0; t = t f’(t) f(t) + 0 - + ց ⇒ f (t ) nghịch biến trên [0;2] Vậy từ (*) ⇔ x + = y thay vào (2) ta có: x + − x − 2( x + 1) − ( x + 1) + = ⇔ x2 + 1− x2 − 1− x2 + = ⇔ x2 − 1− x2 + = ( ) ⇔ − 1− x2 − 1− x2 + = ( ) ⇔ 1− x2 + 1− x2 − = - Đặt a = − x ≤ mà a ≥ ⇒ ≤ a ≤ a = (tm) ⇒ a + 2a − = ⇔ ⇒ x = ⇒ y = (tmđk) a = −3 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 76 (79) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x + y (x − 5) − = y − x + 2 y (1) Bài 123: Giải hệ phương trình 4 y ( x − ) + x = x − 1(2) Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ (1) ⇔ x + xy − 20 y − = y − x + 2 y (*) (2) ⇔ xy − 16 y + x = x − ⇔ xy = 16 y + x − − x thay vào (*) ⇔ x + 16 y + x − − x − 20 y − = y − x + 2 y ⇔ x2 + x −1 = 4y2 + 4y +1+ 2y ⇔ x + x − = (2 y + 1) + (2 y + 1) − (**) x ≥ x ≥ ⇔ ⇒ t ≥1 y ≥ 2 y + ≥ - Xét hàm số f (t ) = t + t − do: > 0, ∀t > ⇒ hàm số f(t) đồng biến t −1 - Từ (**) ⇔ x = y + ⇔ thay vào (2) f ' (t ) = 2t + ⇒ 4y ( 2y + − ) + 2y + = 2y + − ⇔ 8y − 12y + 2y + = 2y ⇔ 8y − 10y + = 2y ⇔ 4y − 4y + 1 − 2y − = 2y ⇔ ( 2y − 1) = 2y + + 2y ( 2y + 1) ⇔ ( ( 2y − 1) ) = ( 2y + 1) ⇔ ( 2y − 1) = Chú ý: 2(2 y )2 5− 2 3− 2 ; ( 2y − 1) = 2y + 1, ⇒ y = ⇔ ( 2y − 1) = − − 1, ⇒ y = + 2 ; + 2 − 5(2 y ) + = 2 y - Đặt t = y ≥ ⇒ 2t − 5t + − 2t = t = − 2 ⇔ (t + 1) 2t − 4t + = ⇔ t = + 2 2 2y = + − ⇔ 2y = − ⇔y= − ⇔ 2 4 (t−¬ng tù ) ( ) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 77 (80) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ) (1) 3 xy + y + = x +1 − x Bài 124: Giải hệ phương trình: x y + + x + x = 10(2) ( ( ) ( ) Hướng dẫn: * Điều kiện: x ≥ (1) ⇔ 3xy + xy y + = x + + x x +1 x + (do x = không là nghiệm phương trình) x x 1 ( 3y ) + = + + x x x ⇔ 3y + 3y y + = ⇔ ( 3y ) + ( 3y ) ⇔ ( 3y ) + ( 3y ) ( 3y ) 1 1 + 1+ x x x +1 = = x + + x x (*) * Xét hàm số f (t ) = t + t t + - Do x > và từ (*) ⇒ y > ⇒ t > ⇒ f ' (t ) = + t + + + Từ (*) ⇒ y = x t2 t2 +1 > ⇒ f ' (t ) luôn đồng biến ∀t > 1 x thay vào (2) ⇒ x + 1 + 4(x + 1) x = 10 ⇔ x + x + 4(x + 1) x = 10 ⇒ x = là nghiệm ⇒ y = (t = ) x ⇒ x = t ; x = t ⇒ t + t + ( t + 1) t = 10 2 y + y + x − x = − x (1) Bài 125: Giải hệ phương trình − y = x + y − 7(2) Hướng dẫn: 3 + Điều kiện: x ≤ 1; y ∈ − ; 2 (1) ⇔ y + y = − x − x − x ⇔ y + y = − x (1 − x ) + − x ( ) ⇔ y + y = − x + − x + Xét hàm số f (t ) = 2t + t , f ' (t ) = 6t + > 0, ∀t ∈ R y ≥ ⇒ f ' (t ) đồng biến ⇒ y = − x ⇔ y = 1− x + Thay vào (2) ⇒ − 4(1 − x ) = x + 6(1 − x ) − Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 78 (81) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ⇔ + 4x = 2x − 6x − ⇔ + x = x − 12 x − ⇔ (5 + x ) + + + x = x − x + ( ⇔( ⇔ ) + x + 1) ( ) + 4x + = x − 2x + = (2( x − 1)) + x + = 2( x − 1)(vôly ) ⇔ + x + = 2(1 − x ) ⇔ + x = − x x ≤ ⇔ x = + (loai ) y = ⇒ x = − y = − x − y − x + 2y = (1) Bài 126: Giải hệ phương trình: 2 x + − 4y + y xy + 2y = 34 − 15x (2) ( ) Hướng dẫn: * Điều kiện: − ≤ x ≤ 2; y ≥ + Ta có (1) ⇔ (2 − x ) + − x y − y = + Đặt t = − x ≥ ⇒ t + ty − y = ( t ⇔ y ) t y =1 2−x = y t + − = ⇔ ⇔ t y − x = −2 y y = −2 ( ) * Với y = − x thay vào (2) ⇒ x + − − x + − x = 34 − 15 x(3) + Đặt t = x + − − x ⇒ t = 34 − 15 x − − x t = x + − − x = 34 − 15x − − x ⇒ 2t = t ⇔ t = x+2 −4 2− x =0 4 − x = x + 16(2 − x ) = x + ⇔ ⇔ ⇔ x + − − x = 16(2 − x ) + + 16 − x = x + 4 − x + = x + 30 17 17 x = 30 x= ⇒y= ⇔ ⇔ 17 17 16 − x = 17( x − ) x = ⇒ y = + Từ (3) ⇒ ( ) (chú ý y ≤ − x = −2 y ⇔ 2 − x = y 3y + x + + x = 10y − 3xy + 12 (1) Bài 127: Giải hệ phương trình 3 5y − x − = 6y + xy − x (2) Hướng dẫn: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 79 (82) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA * Điều kiện: x ∈ [− 2;2] * (2) ⇔ y − x − x − x − y = ( ) ⇔ (5 − x ) − x − = (do y = không là nghiệm phương trình) y y 2 2 ⇔ [(2 − x ) + 3] − x = + 3. y y 2 2 ⇔ − x + − x = + 3. y y Xét hàm số f (t ) = t + 3t ⇒ f ' (t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R ⇒ hàm số đồng biến /R ⇒ − x = y ( ) ( ) * (1) ⇔ y + x − 10 + 3x + + x − 12 = 2 ⇔ + x − 10 + x + 4. + x − = y y ⇔ + x − 10 + x + − x + x − − x = ( ) ⇔ + x − 2 − x + 4 − x + x − 10 = ( + x − 2 − x ⇒ t = 10 − x − 4 − x = − 4 − x − x − 10 t = ⇒ 3t − t = ⇔ ⇒x= ⇒ y= 5 t = - Với t = ⇒ + x − 2 − x = ⇔ + x = + 2 − x + Đặt t = ) ⇔ 15 x − 15 = 12 − x ⇔ x − = − x phương trình vô nghiệm x − 6x + 13x = y3 + y + 10 (1) Bài 128: Giải hệ phương trình: 2x + y + − − x − y = x − 3x − 10y + (2) Hướng dẫn: + Từ (1) ⇔ (x − 2)3 + (x − 2) = y + y - Xét hàm số f (t ) = t + t ⇒ f ' (t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R ⇒ f (t ) đồng biến ⇔ x − = y thay vào (2) ⇒ x + x − + − − x − ( x − ) = x − 3x − 10( x − 2) + ⇔ x + − − x = x − x − 10 x + 26; − ≤ x ≤ 5 * f '(x) = + > 0, đồng biến / − 1; 2 3x + − 2x + 39 5 ∉ − 1; x1 = 2 * g ' ( x) = 3x − x − 10; g ' ( x) = ⇔ − 39 5 x2 = ∉ − 1; 2 ⇒ g ( x ) nghịch biến ⇒ x = là nghiệm (*) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 80 (83) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA ⇒ Đáp số: x = 2; y = Bài 129: Giải phương trình: (x + 1) x + + (x + 6) x + = x + x + 12 Hướng dẫn: * Điều kiện: x ≥ −2 * Nhẩm nghiệm x = ⇒ nhân tử chung là x - + Phương trình đã cho: ( ) ( ) ⇔ ( x + 1) x + − + ( x + ) x + − = x + x + 12 − 2( x + 1) − 3( x + ) ( x + 1)( x − ) + ( x + )( x − ) − x − x + = ⇔ ( )( ) x+2 +2 x +7 +3 x+6 x +1 ⇔ ( x − 2) + − x − = (*) x +7 +3 x+2 +2 x+2 x+2 +2 ≥0 * Với x ≥ −2 ⇒ x+6 >0 x + + x+2 x+2 x+6 x+6 + Mà ≤ (do x + + ≥ 2) ; ≤ (do x + + > 2) 2 x+2 +2 x+7 +3 x +1 x+6 x+2 x+6 x+6 x+2 ⇒ + −x−4= − + − − <0 x +7 +3 x+2 +2 x+7 +3 x+2 +2 x+2 +2 Vậy từ (*) ⇒ x = là nghiệm phương trình NGUYỄN HỮU BIỂN Facebook: https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Gmail: ng.huubien@gmail.com Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 81 (84)