Ky thuat giai he phuong trinh

M T S K THU T GI I H PH NG TRèNH Luy n thi i H c 2011 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong i n (lo i) M T S PHNG PHP GI I H PHNG TRèNH Tham kh o T p chớ THTT 2010 Trong cỏc thi i h c nh ng nm gn õy, ta g p r t nhi u bi toỏn v h phng tr ỡnh . Nh m giỳp cỏc b n ụn thi t t, bi vi t ny chỳng tụi xin gi i thi u m t s d ng bi v k nng gi i. I.H S D NG PHNG PHP BI N I TNG NG. c i m chung c a d ng h ny l s d ng cỏc k nng bin i ng nh t c bi t l k nng phõn tớch nhm a m t PT trong h v d ng n gi n ( cú th rỳt theo y ho c ng c l i ) r i th vo PT cũn l i trong h . *Lo i th nh t: Trong h cú m t phng trỡnh b c nh t v i n x ho c y khi ú ta tỡm cỏch rỳt y theo x ho c ng c l i. Vớ d 1. Gi i h phng trỡnh 2 2 2 1 1 3 4 1 1 1 2 ỡ ù ớ ù ợ x y x y x x xy x x Gi i. D th y 0 x khụng th a món PT(2) nờn t (2) ta cú : 2 1 1 x y x thay vo (1) ta c 2 2 2 2 2 2 1 1 x . 3 4 1 1 2 1 1 3 1 ổ ử ỗ ữ ố ứ x x x x x x x x x x x 3 2 3 2 1 1 2 2 1 1 3 1 1 2 2 4 0 0 2 ộ ờ ờ ờ ở x x x x x x x x x x x x x T ú, ta c cỏc nghi m c a h l : (1; 1) , ( 2; 5 2 ) *Lo i th hai: M t phng trỡnh trong h cú th a v d ng tớch c a cỏc phng trỡnh b c nh t hai n. Vớ d 2 . Gi i h phng trỡnh 2 2 2 1 2 1 2 2 2 ỡ ù ớ ù ợ xy x y x y x y y x x y Gi i . i u ki n: 1, 0 x y PT (1) 2 2 2 0 2 0 x xy y x y x y x y x y ( t i u ki n ta cú 0 !x y ) 2 1 0 2 1 x y x y thay vo PT (2) ta c : 2 2 2 2 1 2 2 0 y 0 2 5 ị y x y y y y do y x *Lo i th ba: a mt phng trỡnh trong h v d ng phng trỡnh b c hai c a m t n, n cũn l i l tham s . Vớ d 3. Gi i h phng trỡnh 2 2 2 5 4 4 1 5 4 16 8 16 0 2 ỡ ù ớ ù ợ y x x y x xy x y Gi i .Bi n i PT (2) v d ng 2 2 4 8 5 16 16 0 y x y x x www.VNMATH.com M T S K THU T GI I H PH NG TRèNH Luy n thi i H c 2011 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong i n Coi PT (2) l phng trỡnh n y tham s x ta cú 2 ' 9' x t ú ta c nghi m 5 4 3 4 4 ộ ờ ờ ở y x y x Thay (3) vo (1) ta c: 2 4 0 5 4 5 4 4 5 0 4 ộ ị ờ ờ ị ở x y x x x x y Thay (4) vo (1) ta c : 2 4 0 4 5 4 4 0 4 ị ộ ờ ị ở x y x x x x y V y nghi m c a h l : (0;4) , (4;0) , 4 ;0 5 ổ ử ỗ ữ ố ứ II. H S D NG PHNG PHP T N PH i m quan tr ng nh t trong h d ng ny l phỏt hi n n ph , ; , a f x y b g x y cú ngay trong t ng phng trỡnh ho c xu t hi n sau m t phộp bi n i h ng ng th c c b n ho c phộp chia cho m t bi u th c khỏc 0. Vớ d 4 . Gi i h phng trỡnh 2 2 1 4 1 1 2 2 ỡ ù ớ ù ợ x y y x y x y x y Gi i . D th y 1 y khụng th a món PT(1) nờn HPT 2 2 1 4 1 2 1 ỡ ù ù ớ ổ ử ù ỗ ữ ù ố ứ ợ x y x y x y x y t 2 2 1 , 2 1 ỡ ị ớ ợ a b x a b y x ab y gi i h ta c 1 a b t ú ta cú h 2 1 3 ỡ ớ ợ x y x y H ny b n c cú th gi i d dng. Vớ d 5. Gi i h ph ng tr ỡnh 2 2 2 3 4 4 7 1 2 3 ỡ ù ù ớ ù ù ợ xy x y x y x x y Gi i . i u ki n : 0 ạx y HPT 2 2 2 3 3 7 1 3 ỡ ù ù ớ ù ù ợ x y x y x y x y x y x y www.VNMATH.com M  T S  K  THU  T GI  I H  PH  NG TRÌNH Luy  n thi  i H  c 2011 Giáo viên: LÊ BÁ B  O T  Toán THPT Phong i n  t   1 2 ;   ³   a x y a b x y x y ta đ c h      2 2 3 13 1 3 2 ì  ï í  ï î a b a b Gi  i h  ta đ c a=2 , b=1 ( do 2 ³a ) t  đó ta có h 1 2 1 1 1 0 1 ì    ì ì ï  Û Û í í í  î î ï  î x y x y x x y x y y x y III.H  S  D  NG PHNG PHÁP HÀM S H  lo  i này ta g  p nhi  u  hai d  ng ( ) 0 f x (1)và ( ) ( ) f x f y (2) v  i f là hàm đn đi  u trên t  p D và , x y thu  c D .Nhi  u khi ta c  n ph  i đánh giá  n , x y đ , x y thu  c t  p mà hàm f đn đi  u * Lo  i th  nh  t: M t phng trình trong h có d  ng ( ) ( ) f x f y , phng tr ình còn l  i giúp ta gi  i h  n , x y thu  c t  p D đ trên đ trên đó hàm f đn đi u . Ví d  6 . Gi  i h  phng trình     3 3 8 4 5 5 1 1 2 ì   ï í  ï î x x y y x y Gi  i . T  PT (2) ta có 8 4 1; 1 1; 1£ £ Û £ £x y x y Xét hàm s    > @ 3 5 ; 1;1  Î f t t t t có   > @ 2 ' 3 5 0; 1;1   5 Î f t t t do đó ( )f t ngh  ch bi  n trên kho  ng (  1;1) hay PT (1) Û x y thay vào PT (2) ta đ  c PT : 8 4 1 0  x x  t 4 0 ³a x và gi i phng trình ta đ c 4 1 5 1 5 2 2     Þ ±a y x *Lo  i th  hai: Là d  ng h  đ i x  ng lo  i hai mà khi gi  i th ng d  n đ n c  hai tr ng h  p (1) và (2) Ví d  7. Gi  i h  phng trình 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 1   ì     ï í     ï î y x x x x y y y Gi  i .  t 1; 1  a x b y ta đ c h      2 2 1 3 1 1 3 2 ì   ï í   ï î b a a a b b Tr  v  v  i v  2 PT ta đ c : 2 2 1 3 1 3      a b a a b b (3) Xét hàm s      2 2 2 1 1 3 ; ' 3 ln3 1        t t t t f t t t f t t Vì   2 2 2 / 1 1 0 0,  ! ³  Þ   ! Þ ! 5t t t t t f t t do đó hàm s ( )f t đ ng bi  n trên R Nên PT (3) Û a b thay vào PT (1) ta đ c 2 1 3   a a a (4) Theo nh  n xét trên thì 2 1 0  !a a nên PT (4)   2 ln 1 ln 3 0 Û    a a a ( l  y ln hai v  ) www.VNMATH.com M  T S  K  THU  T GI  I H  PH  NG TRÌNH Luy  n thi  i H  c 2011 Giáo viên: LÊ BÁ B  O T  Toán THPT Phong i n Xét hàm s        2 2 1 ln 1 ln 3; g' ln 3 1 ln3 0, 1        5 Î  g a a a a a a R a hay hàm ( ) g a ngh  ch bi  n trên  và do PT (4) có nghi  m 0 a nên PT (4) có nghi  m duy nh  t 0 a T  đó ta đ c nghi  m c  a h  ban đ u là : 1 x y . IV. H  S  D  NG PHNG PHÁP ÁNH GIÁ V  i phng pháp này, c  n lu ý phát hi n các bi  u th  c không âm và n  m v  ng cách v  n d  ng các b t đ ng th c c b n. Ví d  8 . Gi  i h  phng trình 2 2 3 2 2 3 2 2 9 2 2 9 ì   ï   ï í ï   ï   î xy x x y x x xy y y x y y Gi  i. C  ng v  v  i v  hai PT ta đ c 2 2 2 2 3 3 2 2 2 9 2 9       xy xy x y x x y y (1) Ta có :   2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 9 1 8 2 2 2 9 2 9     ³ Þ £ £     xy xy xy x x x xy x x x x Tng t 2 3 2 2 9 £   xy xy x x mà theo b  t đ ng th  c Côsi 2 2 2 ³x y xy Nên VT(1) £ VP(1) D  u b  ng x  y ra khi x y 1 0 é ê ë x y th  l i ta đ c nghi  m c  a h  là: (0;0) , (1;1) Ví d  9 . Gi  i h  phng trình 3 3 3 4 2 6 2 ì    ï í   ï î y x x x y y Gi  i. HPT                 2 3 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 2 3 2 2 2 1 2 2 ì ì         ï ï Û Û í í       ï ï î î y x x y x x x y y x y y N  u 2!x t  (1) suy ra 2 0 y di  u này mâu thu  n v  i PT(2) có   2 x và   2y cùng d  u . Tng t  v  i 2x ta cng suy ra đi u vô lí . V  y nghi  m c  a h  là 2 x y . www.VNMATH.com M  T S  K  THU  T GI  I H  PH  NG TRÌNH Luy  n thi  i H  c 2011 Giáo viên: LÊ BÁ B  O T  Toán THPT Phong i n Hy v  ng m  t s  ví d  trên s  giúp b  n ph n nào k nng gi i h  .  k  t thúc bài vi  t m  i các b  n cùng gi  i các h  phng trình sau BÀI T  P T  LUY  N             3 2 2 3 3 2 2 4 2 3 2 2 3 8 3 2 16 1) 2) 2 4 33 2 6 2 2 1 1 3 9 3) 4) 4 2 3 48 48 155 0 4 1 ln 2 ì    ì ï í í     î ï î     ì  ï í          ï î x y xy x y x y x y x y x x y x y x y y x y y x y x y x 0 ì ï í ï î 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 1 3 5 5) 6) 0 44 2007 2 0 1 7) 8) 2 3 6 12 13 0 2007 1 ì ì           ï ï í í       ï ï î î ì  ï ì    ï í í     ï  ï  î x y x y x x x y y y x xy y y x y x y y e x y x y y x x x y x e x ï ï î www.VNMATH.com M T S K THU T GI I H PH NG TRèNH Luy n thi i H c 2011 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong i n M T S CH í KHI GI I H PHNG TRèNH Tham kh o T p chớ THTT 400- 2010 Bi toỏn 1: (A- 2008) Gi i h phng tr ỡnh: 2 3 2 4 2 5 4 5 1 2 4 x y x y xy xy x y xy x ỡ ù ù ớ ù ù ợ L i gi i: H ó cho tng ng v i 2 3 2 2 2 5 4 5 4 x y x y xy xy x y xy ỡ ù ù ớ ù ù ợ Suy ra 2 2 2 2 x y xy x y x y 2 2 1 0x y x y xy a) 2 2 0 0 5 4 x y x y xy ỡ ù ị ớ ù ợ (I) H (I) cú nghi m 3 3 5 25 ; ; 4 16 x y ổ ử ỗ ữ ố ứ b) 2 2 1 2 1 0 3 2 x y x y xy xy ỡ ù ù ị ớ ù ù ợ (II) H (II) cú nghi m 3 ; 1; 2 x y ổ ử ỗ ữ ố ứ V y h ó cho cú hai nghi m ; x y l 3 3 5 25 ; 4 16 ổ ử ỗ ữ ố ứ ; 3 1; 2 ổ ử ỗ ữ ố ứ . Bi toỏn 2: (B- 2009) Gi i h phng trỡnh: 2 2 2 1 7 1 13 xy x y x y xy y ỡ ớ ợ L i gi i: D th y 0y ạ nờn h ó cho tng ng v i 2 2 2 1 1 7 7 1 1 13 13 x x x x y y y y x x x x y y y y ỡ ỡ ù ù ù ù ớ ớ ổ ử ù ù ỗ ữ ù ù ợ ố ứ ợ www.VNMATH.com M T S K THU T GI I H PH NG TRèNH Luy n thi i H c 2011 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong i n Suy ra 2 1 1 20 0x x y y ổ ử ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ . a) 1 5 1 5 12 x y x y x y ỡ ù ị ớ ù ợ (H vụ nghi m) b) 1 4 1 4 3 x y x y x y ỡ ù ị ớ ù ợ . Tr ng h p ny h cú hai nghi m 1 ; 1; 3 x y ổ ử ỗ ữ ố ứ v ; 3;1 x y . Nh n xột: Qua hai vớ d thi tuy n sinh nờu trờn, chỳng ta th y r ng ụi khi ch c n bi n i c b n, d a vo cỏc h ng ng th c l cú th c k t qu . Ta xột ti p cỏc vớ d ũi h i cỏc phộp bi n i ph c t p hn. Bi toỏn 3: Gi i h phng trỡnh: 12 1 2 3 12 1 6 3 x y x y y x ỡ ổ ử ù ỗ ữ ùố ứ ớ ổ ử ù ỗ ữ ù ố ứ ợ L i gi i: i u ki n 0, 0, 3 0x y y x! ! ạ . H ó cho tng ng v i 1 3 12 2 1 1 3 12 6 1 3 12 1 3 3 x y y x x y x y y x x y ỡ ỡ ù ù ù ù ớ ớ ù ù ù ù ợ ợ Suy ra 2 2 2 1 9 12 6 27 0 6 27 0. 3 y y y xy x x y y x x x ổ ử ổ ử ị ị ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ Tỡm c 3 y x v 9 y x (lo i). V i 3 y x ta c 2 2 1 3 ; 3 1 3 x y . Bi toỏn 4: Gi i h phng trỡnh: log log (1) 2 2 3 (2) y x x y xy y ỡ ù ớ ù ợ L i gi i: i u ki n 0, 0, 1, 1 x y x y! ! ạ ạ . T (1) cú 2 2 0t t v i log y t x . a) V i log 1 y x , ta c 2 3 log 2 x y ổ ử ỗ ữ ố ứ . b) V i log 2 y x , ta c 2 1 x y . Th vo (2) c 2 1 2 2 3 (3) y y Tr ng h p ny PT (3) vụ nghi m. Th t v y: + N u 1 y ! thỡ 2 2 1 1 2 2; 2 1 2 2 3 y y y y ! ! ị ! . www.VNMATH.com M T S K THU T GI I H PH NG TRèNH Luy n thi i H c 2011 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong i n + N u 0 1y thỡ 2 1 1 y ! suy ra: 2 2 1 1 2 1; 2 2 2 2 3 y y y y ! ! ị ! . V y h ó cho ch cú m t nghi m 2 2 3 3 ; log ;log 2 2 x y ổ ử ổ ử ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ . Bi toỏn 5: (D b D- 2008) Gi i h phng trỡnh: 2 2 2 2 2 2 36 60 25 0 36 60 25 0 36 60 25 0 x y x y y z y z z x z x ỡ ù ớ ù ợ L i gi i: H ó cho tng ng v i 2 2 2 2 2 2 60 36 25 60 36 25 60 36 25 x y x y z y z x z ỡ ù ù ù ớ ù ù ù ợ Hi n nhiờn h ny cú nghi m ; ; 0;0;0 . x y z Di õy ta xột , , 0x y z ạ . T h trờn ta th y , , 0x y z ! . S d ng b t ng th c Cauchy ta cú: 2 2 2 2 2 60 60 60 36 25 60 2 36 .25 x x x y x x x x Ê . Tng t ta thu c y x z y Ê Ê Ê . Suy ra x y z . T ú suy ra h cú m t nghi m n a 5 . 6 x y z Bi toỏn 6: Gi i h phng trỡnh: 3 4 1 8 1 x y x x y ỡ ù ớ ù ợ L i gi i: k 1, 0.x y Th y t PT(2) vo PT(1) ta c 2 3 1 1 8 (3) x x x T (3) cú 3 2 1 2 9 (4)x x x x Xột hm s 3 2 ( ) 2 9 1f x x x x x . Ta cú / 2 ( ) 3 2 2 0 1f x x x x 5 . Suy ra hm s ( ) f x luụn luụn ngh ch bi n khi 1x . M t khỏc, hm s ( ) 1g x x luụn ngh ch bi n khi 1x nờn 2x l nghi m duy nh t c a PT(4). V y h cú m t nghi m duy nh t ; 2;1x y . Nh n xột: i v i bi toỏn trờn, dung cụng c o hm gi i quy t l r t hay, tuy nhiờn, ta c ng cú th trỏnh c o hm b ng cỏch bi n i khộo lộo nh sau: www.VNMATH.com M T S K THU T GI I H PH NG TRèNH Luy n thi i H c 2011 Giỏo viờn: Lấ B B O T Toỏn THPT Phong i n 2 3 2 2 PT(3) 1 1 1 1 8 0 2 2 2 2 4 0 1 1 1 2 Do 2 4 0, 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x ộ ự ở ỷ ổ ử ! 5 ỗ ữ ố ứ Di õy, xin nờu mt bi toỏn trong thi tuy n sinh i h c g n nh t m n u khụng dựng n cụng c o hm thỡ khú cú th gi i quy t c. Bi toỏn 7: (A- 2010) Gi i h phng trỡnh: 2 2 2 4 1 3 5 2 0 (1) 4 2 3 4 7 (2) x x y y x y x ỡ ù ớ ù ợ L i gi i: k 3 5 ; 4 2 x yÊ Ê . 2 PT(1) 4 1 2 5 2 1 5 2x x y y t 2 2 2 1 1 5 2 x u u u v v y v ỡ ù ị ớ ù ợ . Hm 2 ( ) 1f t t t cú / 2 ( ) 3 1 0f t t ! nờn ( ) f t luụn ng bi n trờn , suy ra: 2 0 2 5 2 5 4 2 x u v x y x y ỡ ù ớ ù ợ Th y vo PT (2) ta c: 2 2 2 5 4 2 2 3 4 0 (3) 2 x x x ổ ử ỗ ữ ố ứ Nh n th y 0x v 3 4 x khụng ph i l nghi m c a PT (3). Xột hm s : 2 2 2 5 ( ) 4 2 2 3 4 2 g x x x x ổ ử ỗ ữ ố ứ trờn 3 0; 4 ổ ử ỗ ữ ố ứ . Ta cú / 2 2 5 4 4 ( ) 8 8 2 4 4 3 0 2 3 4 3 4 g x x x x x x x x ổ ử ỗ ữ ố ứ trờn 3 0; 4 ổ ử ỗ ữ ố ứ . Suy ra ( )g x ngh ch bi n trờn 3 0; 4 ổ ử ỗ ữ ố ứ . Nh n th y 1 0 2 g ổ ử ỗ ữ ố ứ , nờn PT(3) cú nghi m duy nh t 1 2 x . V i 1 2 x thỡ 2y . V y h ó cho cú m t nghi m 1 ; ;2 2 x y ổ ử ỗ ữ ố ứ . Bi toỏn 8: Gi i h phng trỡnh: 5 4 10 6 2 (1) 4 5 8 6 (2) x xy y y x y ỡ ù ớ ù ợ L i gi i: Hi n nhiờn 0 y ạ . Chia h ai v c a PT(1) cho 5 0y ạ ta c 5 5 x x y y y y ổ ử ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ . www.VNMATH.com M  T S  K  THU  T GI  I H  PH  NG TRÌNH Luy  n thi  i H  c 2011 Giáo viên: LÊ BÁ B  O T  Toán THPT Phong i n Hàm s  5 ( )f t t t  có / 4 ( ) 5 1 0, f t t t  ! 5 nên hàm s  ( )f t luôn đ ng bi  n nên 2 . x y x y y Û Th  2 x y vào PT(2) ta đ c 4 5 8 6x x   . Tìm đ c 1x . V  y h  có hai nghi  m     ; 1;1x y và     ; 1; 1x y  . BÀI T  P T  LUY  N: Gi  i các h  phng trình sau: 4 3 2 2 4 3 2 2 3 2 2 1 2 2 9 1) 2) 1 2 6 6 2 6 2 11 1 3) 4) 7 6 26 3 2 3 2 x x y x y x x y x y x x y x xy x xy x x y x y x y y x y y x y x x x y x y ì ì      ï ï í í      ï ï î î ì    ì    ï ï í í    ï ï î     î         2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 6 2 2 2 12 20 0 5) 6) ln 1 ln 1 2 2 3 2 2 2 2 2 7) 8) 2 1 2 2 4 1 0 x y x x y x x xy y x y y x x y x y x y x y y x x xy x y x x y x x y x    ì ì     ï ï í í       ï ï î î ì     ï ï í    ï     ï î     2 3 2 3 3 1 3 3 2 9) 2 1 log log 3 1 2 y x x x y y x y x y x ì ï í ï î ì    ï í æ ö   æ ö   ç ÷ ç ÷ ï   è ø è ø î www.VNMATH.com . t l k nng phõn tớch nhm a m t PT trong h v d ng n gi n ( cú th rỳt theo y ho c ng c l i ) r i th vo PT cũn l i trong h . *Lo i th nh. cú m t phng trỡnh b c nh t v i n x ho c y khi ú ta tỡm cỏch rỳt y theo x ho c ng c l i. Vớ d 1. Gi i h phng trỡnh 2 2 2 1 1 3